სამკუთხედები

სამკუთხედიფიგურას ეწოდება ფიგურა, რომელიც შედგება სამი წერტილისგან, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე და სამი სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში. პუნქტები ე.წ მწვერვალებისამკუთხედი, ხოლო სეგმენტები - მისი პარტიები.

სამკუთხედების სახეები

სამკუთხედი ე.წ ტოლფერდათუ მისი ორი გვერდი ტოლია. ეს თანაბარი მხარეები ეწოდება მხარეები,და მესამე მხარე ე.წ საფუძველისამკუთხედი.

სამკუთხედს, რომელშიც ყველა გვერდი ტოლია, ეწოდება ტოლგვერდაან სწორი.

სამკუთხედი ე.წ მართკუთხა,თუ მას აქვს სწორი კუთხე, მაშინ არის 90° კუთხე. მართი კუთხის მოპირდაპირე მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი ეწოდება ჰიპოტენუზადანარჩენ ორ მხარეს ე.წ ფეხები.

სამკუთხედი ე.წ მწვავე-კუთხოვანითუ მისი სამივე კუთხე მწვავეა, ანუ 90 ° -ზე ნაკლები.

სამკუთხედი ე.წ ბნელი,თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე ბლაგვია, ანუ 90°-ზე მეტი.

სამკუთხედის ძირითადი ხაზები

მედიანური

მედიანურისამკუთხედი არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს სამკუთხედის წვეროს ამ სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარის შუა წერტილთან.

სამკუთხედის მედიანური თვისებები

მედიანა სამკუთხედს ყოფს ერთი და იმავე ფართობის ორ სამკუთხედად.

სამკუთხედის შუალედები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც ყოფს თითოეულ მათგანს 2:1 თანაფარდობით, ზემოდან დათვლაში. ამ პუნქტს ე.წ გრავიტაციის ცენტრისამკუთხედი.

მთელი სამკუთხედი თავისი შუალედებით იყოფა ექვს თანაბარ სამკუთხედად.

ბისექტორი

კუთხის ბისექტორიარის სხივი, რომელიც გამოდის მისი წვეროდან, გადის მის გვერდებს შორის და ორად ყოფს მოცემულ კუთხეს. სამკუთხედის ბისექტორიე.წ.

სამკუთხედის ბისექტრის თვისებები

სიმაღლე

სიმაღლესამკუთხედი ეწოდება პერპენდიკულარს, რომელიც შედგენილია სამკუთხედის წვეროდან ამ სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარის შემცველ წრფემდე.

სამკუთხედის სიმაღლის თვისებები

AT მართკუთხა სამკუთხედიმართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლე მას ორ სამკუთხედად ყოფს, მსგავსიორიგინალური.

AT მწვავე სამკუთხედიმისი ორი სიმაღლე მოწყვეტილია მისგან მსგავსისამკუთხედები.

მედიანა პერპენდიკულარული

წრფე, რომელიც გადის მასზე პერპენდიკულარული სეგმენტის შუა წერტილში, ეწოდება პერპენდიკულარული ბისექტორისეგმენტამდე .

სამკუთხედის პერპენდიკულარული ბისექტრების თვისებები

პერპენდიკულარული ბისექტრის თითოეული წერტილი სეგმენტთან თანაბრად არის დაშორებული ამ სეგმენტის ბოლოებიდან. საპირისპირო დებულება ასევე მართალია: თითოეული წერტილი, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული სეგმენტის ბოლოებიდან, მდებარეობს მის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე.

სამკუთხედის გვერდებზე დახატული შუა პერპენდიკულარების გადაკვეთის წერტილი არის ცენტრი ამ სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრე.

შუა ხაზი

სამკუთხედის შუა ხაზიხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მისი ორი მხარის შუა წერტილებს, ეწოდება.

სამკუთხედის შუა ხაზის თვისება

სამკუთხედის შუა ხაზი მისი ერთ-ერთი გვერდის პარალელურია და ამ გვერდის ნახევრის ტოლია.

ფორმულები და კოეფიციენტები

სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები

ორი სამკუთხედი თანმიმდევრულია, თუ ისინი შესაბამისად თანმიმდევრულია:

ორი მხარე და მათ შორის კუთხე;

ორი კუთხე და მათ მიმდებარე მხარე;

სამი მხარე.

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები

ორი მართკუთხა სამკუთხედიტოლია, თუ ისინი შესაბამისად ტოლია:

ჰიპოტენუზადა მწვავე კუთხე

ფეხიდა მოპირდაპირე კუთხე;

ფეხიდა მიმდებარე კუთხე;

ორი ფეხი;

ჰიპოტენუზადა ფეხი.

სამკუთხედების მსგავსება

ორი სამკუთხედი მსგავსიათუ რომელიმე ქვემოთ ჩამოთვლილი პირობა დაკმაყოფილებულია, ე.წ მსგავსების ნიშნები:

ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე უდრის მეორე სამკუთხედის ორ კუთხეს;

ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი პროპორციულია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და ამ გვერდების მიერ წარმოქმნილი კუთხეები ტოლია;

ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი შესაბამისად მეორე სამკუთხედის სამი გვერდის პროპორციულია.

მსგავს სამკუთხედებში შესაბამისი ხაზები ( სიმაღლეებს, მედიანები, ბისექტორებიდა სხვ.) პროპორციულია.

სინუსების თეორემა

სამკუთხედის გვერდები პროპორციულია მოპირდაპირე კუთხის სინუსების, ხოლო პროპორციულობის კოეფიციენტი არის დიამეტრი სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრე:

კოსინუსების თეორემა

სამკუთხედის გვერდის კვადრატი ტოლია დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამის გამოკლებით ამ გვერდების ნამრავლის ორჯერ გამრავლებული მათ შორის კუთხის კოსინუსზე:

ა 2 = ბ 2 + გ 2 - 2ძვ.წ cos

სამკუთხედის ფართობის ფორმულები

თვითნებური სამკუთხედი

a, b, c -მხარეები; - კუთხე გვერდებს შორის ადა ბ- ნახევრად პერიმეტრი; R-შემოხაზული წრის რადიუსი; r-ჩაწერილი წრის რადიუსი; S-მოედანი; თ ა - სიმაღლე მხარეს ა.

სკოლამდელმა ბავშვებმაც კი იციან, როგორ გამოიყურება სამკუთხედი. მაგრამ რა არის, ბიჭები უკვე სკოლაში იწყებენ გაგებას. ერთი ტიპი არის ბლაგვი სამკუთხედი. იმის გასაგებად, თუ რა არის ეს, უმარტივესი გზაა სურათის ნახვა მისი გამოსახულებით. და თეორიულად, ეს არის ის, რასაც ისინი უწოდებენ "უმარტივეს მრავალკუთხედს" სამი გვერდით და წვერით, რომელთაგან ერთი არის

ცნებების გაგება

გეომეტრიაში არსებობს სამი გვერდის მქონე ფიგურების ასეთი ტიპები: მახვილკუთხა, მართკუთხა და ბლაგვკუთხა სამკუთხედები. უფრო მეტიც, ამ უმარტივესი მრავალკუთხედების თვისებები ყველასთვის ერთნაირია. ასე რომ, ყველა ჩამოთვლილი სახეობისთვის ასეთი უთანასწორობა შეინიშნება. ნებისმიერი ორი მხარის სიგრძის ჯამი აუცილებლად მეტია მესამე მხარის სიგრძეზე.

მაგრამ იმისათვის, რომ დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ სრულ ფიგურაზე და არა ცალკეულ წვეროებზე, აუცილებელია შეამოწმოთ, რომ შესრულებულია მთავარი პირობა: ბლაგვი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 o. იგივე ეხება სხვა ტიპის ფიგურებს სამი გვერდით. მართალია, ბლაგვ სამკუთხედში ერთი კუთხე იქნება 90 o-ზე მეტიც, ხოლო დანარჩენი ორი აუცილებლად მკვეთრი. ამ შემთხვევაში, ეს არის ყველაზე დიდი კუთხე, რომელიც იქნება ყველაზე გრძელი მხარის საპირისპიროდ. მართალია, ეს შორს არის ბლაგვი სამკუთხედის ყველა თვისებისგან. მაგრამ მხოლოდ ამ მახასიათებლების ცოდნითაც კი, მოსწავლეებს შეუძლიათ მრავალი პრობლემის გადაჭრა გეომეტრიაში.

სამი წვერის მქონე ყველა მრავალკუთხედისთვის, ასევე მართალია, რომ რომელიმე გვერდის გაგრძელებით მივიღებთ კუთხეს, რომლის ზომა ტოლი იქნება ორი არამიმდებარე შიდა წვეროს ჯამისა. ბლაგვი სამკუთხედის პერიმეტრი გამოითვლება ისევე, როგორც სხვა ფორმებისთვის. ის უდრის მისი ყველა მხარის სიგრძის ჯამს. მათემატიკოსების დასადგენად, სხვადასხვა ფორმულები იქნა მიღებული, იმისდა მიხედვით, თუ რა მონაცემები იყო თავდაპირველად.

სწორი სტილი

გეომეტრიაში ამოცანების ამოხსნის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი პირობა სწორი ნახატია. მათემატიკის მასწავლებლები ხშირად ამბობენ, რომ ეს დაგეხმარებათ არა მხოლოდ იმის ვიზუალიზაციაში, თუ რა არის მოცემული და რა მოეთხოვებათ თქვენგან, არამედ 80%-ით მიუახლოვდებით სწორ პასუხს. ამიტომ მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ, როგორ ავაშენოთ ბლაგვი სამკუთხედი. თუ უბრალოდ ჰიპოთეტური ფიგურა გსურთ, მაშინ შეგიძლიათ დახაზოთ ნებისმიერი პოლიგონი სამი გვერდით ისე, რომ ერთ-ერთი კუთხე იყოს 90 გრადუსზე მეტი.

თუ მოცემულია გვერდების სიგრძის ან კუთხის ხარისხების გარკვეული მნიშვნელობები, მაშინ აუცილებელია მათი შესაბამისად დახაზოთ ბლაგვკუთხა სამკუთხედი. ამავდროულად, აუცილებელია ეცადოს კუთხეების მაქსიმალურად ზუსტად გამოსახვა, პროტრატორის დახმარებით გამოთვლა და გვერდების ჩვენება დავალებაში მოცემული პირობების პროპორციულად.

მთავარი ხაზები

ხშირად, სკოლის მოსწავლეებისთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა გამოიყურებოდეს გარკვეული ფიგურები. ისინი ვერ შემოიფარგლებიან იმ ინფორმაციით, თუ რომელი სამკუთხედია ბლაგვი და რომელი მართკუთხა. მათემატიკის კურსი ითვალისწინებს, რომ მათი ცოდნა ფიგურების ძირითადი მახასიათებლების შესახებ უნდა იყოს უფრო სრულყოფილი.

ასე რომ, თითოეულმა მოსწავლემ უნდა გაიგოს ბისექტრის, მედიანის, პერპენდიკულარული ბისექტრისა და სიმაღლის განმარტება. გარდა ამისა, მან უნდა იცოდეს მათი ძირითადი თვისებები.

ასე რომ, ბისექტრები ყოფენ კუთხეს ნახევრად, ხოლო მოპირდაპირე მხარეს სეგმენტებად, რომლებიც პროპორციულია მიმდებარე გვერდების მიმართ.

მედიანა ნებისმიერ სამკუთხედს ყოფს ორ თანაბარ ზონად. იმ წერტილში, სადაც ისინი იკვეთება, თითოეული მათგანი იყოფა 2 სეგმენტად 2: 1 თანაფარდობით, ზემოდან, საიდანაც იგი წარმოიშვა. ამ შემთხვევაში, ყველაზე დიდი მედიანა ყოველთვის იზიდავს მის უმცირეს მხარეს.

არანაკლებ ყურადღება ეთმობა სიმაღლეს. ეს არის კუთხიდან მოპირდაპირე მხარის პერპენდიკულარული. ბლაგვი სამკუთხედის სიმაღლეს აქვს თავისი მახასიათებლები. თუ იგი დახატულია მკვეთრი წვეროდან, მაშინ ის ეცემა არა ამ უმარტივესი მრავალკუთხედის მხარეს, არამედ მის გაფართოებაზე.

პერპენდიკულური ბისექტორი არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც გამოდის სამკუთხედის სახის ცენტრიდან. ამავე დროს, იგი მდებარეობს მის მიმართ სწორი კუთხით.

წრეებთან მუშაობა

გეომეტრიის შესწავლის დასაწყისში საკმარისია ბავშვებმა გაიგონ, თუ როგორ უნდა დახატონ ბლაგვი კუთხის სამკუთხედი, ისწავლონ მისი გარჩევა სხვა ტიპებისგან და დაიმახსოვრონ მისი ძირითადი თვისებები. მაგრამ საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის ეს ცოდნა საკმარისი არ არის. მაგალითად, გამოცდაზე ხშირად ჩნდება კითხვები შემოხაზულ და შემოხაზულ წრეებზე. პირველი მათგანი ეხება სამკუთხედის სამივე წვეროს, ხოლო მეორეს აქვს ერთი საერთო წერტილი ყველა მხარესთან.

ჩაწერილი ან შემოხაზული ბლაგვი კუთხის სამკუთხედის აგება უკვე გაცილებით რთულია, რადგან ამისათვის ჯერ უნდა გაარკვიოთ, სად უნდა იყოს წრის ცენტრი და მისი რადიუსი. სხვათა შორის, ამ შემთხვევაში, არა მხოლოდ სახაზავი ფანქარი, არამედ კომპასიც გახდება აუცილებელი ინსტრუმენტი.

იგივე სირთულეები წარმოიქმნება სამი გვერდით ჩაწერილი მრავალკუთხედების აგებისას. მათემატიკოსებმა შეიმუშავეს სხვადასხვა ფორმულები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ რაც შეიძლება ზუსტად განსაზღვროთ მათი მდებარეობა.

ჩაწერილი სამკუთხედები

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, თუ წრე გადის სამივე წვეროზე, მაშინ მას ეწოდება შემოხაზული წრე. მისი მთავარი თვისება ის არის, რომ ის ერთადერთია. იმის გასარკვევად, თუ როგორ უნდა იყოს განლაგებული ბლაგვი სამკუთხედის შემოხაზული წრე, უნდა გვახსოვდეს, რომ მისი ცენტრი არის სამი შუა პერპენდიკულარულის გადაკვეთაზე, რომლებიც მიდიან ფიგურის გვერდებზე. თუ სამი წვერით მახვილკუთხა მრავალკუთხედში ეს წერტილი მის შიგნით იქნება, მაშინ ბლაგვკუთხაში - მის გარეთ.

მაგალითად, იმის ცოდნა, რომ ბლაგვი სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდი უდრის მის რადიუსს, შეიძლება ვიპოვოთ კუთხე, რომელიც დევს ცნობილი სახის საპირისპიროდ. მისი სინუსი ტოლი იქნება ცნობილი მხარის სიგრძის 2R-ზე გაყოფის შედეგს (სადაც R არის წრის რადიუსი). ანუ, კუთხის ცოდვა იქნება ½-ის ტოლი. ასე რომ, კუთხე იქნება 150 o.

თუ თქვენ უნდა იპოვოთ ბლაგვი დახრილი სამკუთხედის შემოხაზული წრის რადიუსი, მაშინ დაგჭირდებათ ინფორმაცია მისი გვერდების სიგრძის (c, v, b) და მისი ფართობის S. ბოლოს და ბოლოს, რადიუსი გამოითვლება შემდეგნაირად. : (c x v x b): 4 x S. სხვათა შორის, არ აქვს მნიშვნელობა როგორი ფიგურა გაქვთ: მრავალმხრივი ბლაგვი სამკუთხედი, ტოლფერდა, მართი თუ მახვილი. ნებისმიერ სიტუაციაში, ზემოაღნიშნული ფორმულის წყალობით, შეგიძლიათ გაიგოთ მოცემული მრავალკუთხედის ფართობი სამი გვერდით.

შემოხაზული სამკუთხედები

ასევე საკმაოდ ხშირია ჩაწერილი წრეებით მუშაობა. ერთ-ერთი ფორმულის მიხედვით, ასეთი ფიგურის რადიუსი, გამრავლებული პერიმეტრის ½-ზე, უდრის სამკუთხედის ფართობს. მართალია, ამის გასარკვევად, თქვენ უნდა იცოდეთ ბლაგვი სამკუთხედის გვერდები. მართლაც, პერიმეტრის ½-ის დასადგენად აუცილებელია მათი სიგრძეების დამატება და 2-ზე გაყოფა.

იმის გასაგებად, თუ სად უნდა იყოს ბლაგვ სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი, აუცილებელია სამი ბისექტრის დახატვა. ეს არის ხაზები, რომლებიც კვეთენ კუთხეებს. სწორედ მათ კვეთაზე განთავსდება წრის ცენტრი. ამ შემთხვევაში, ის იქნება თანაბარი მანძილი თითოეული მხრიდან.

ბლაგვ სამკუთხედში ჩაწერილი ასეთი წრის რადიუსი უდრის კოეფიციენტს (p-c) x (p-v) x (p-b) : p. უფრო მეტიც, p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, c, v, b არის მისი გვერდები.

სამკუთხედების დაყოფა მახვილ, მართკუთხა და ბლაგვ სამკუთხედებად. ასპექტის თანაფარდობის მიხედვით კლასიფიკაცია სამკუთხედებს ყოფს მასშტაბურ, ტოლგვერდა და ტოლგვერდად. უფრო მეტიც, თითოეული სამკუთხედი ერთდროულად ორს ეკუთვნის. მაგალითად, ის შეიძლება იყოს მართკუთხა და ერთდროულად მრავალმხრივი.

კუთხის ტიპის მიხედვით ტიპის განსაზღვრისას ძალიან ფრთხილად იყავით. ბლაგვკუთხა სამკუთხედს ეწოდება ისეთ სამკუთხედს, რომელშიც ერთ-ერთი კუთხეა, ანუ 90 გრადუსზე მეტია. მართკუთხა სამკუთხედი შეიძლება გამოითვალოს ერთი მართი (90 გრადუსის ტოლი) კუთხით. თუმცა, სამკუთხედის მახვილი სამკუთხედის კლასიფიკაციისთვის, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ მისი სამივე კუთხე მახვილია.

ხედის განსაზღვრა სამკუთხედიასპექტის თანაფარდობით, ჯერ უნდა გაარკვიოთ სამივე მხარის სიგრძე. თუმცა, თუ პირობითად გვერდების სიგრძე არ მოგცემთ, კუთხეები დაგეხმარებათ. სამკუთხედი მრავალმხრივი იქნება, რომლის სამივე მხარეს განსხვავებული სიგრძე აქვს. თუ გვერდების სიგრძე უცნობია, მაშინ სამკუთხედი შეიძლება კლასიფიცირდეს სკალენად, თუ მისი სამივე კუთხე განსხვავებულია. სკალენური სამკუთხედი შეიძლება იყოს ბლაგვი, მართკუთხა ან მახვილკუთხა.

სამკუთხედი ტოლფერდაა, თუ მისი სამი გვერდიდან ორი ტოლია. თუ გვერდების სიგრძე არ მოგცემთ, იხელმძღვანელეთ ორი თანაბარი კუთხით. ტოლფერდა სამკუთხედი, ისევე როგორც სკალენური სამკუთხედი, შეიძლება იყოს ბლაგვი, მართკუთხა და მახვილკუთხა.

ტოლგვერდა სამკუთხედი შეიძლება იყოს მხოლოდ ისეთი, რომ სამივე გვერდს ჰქონდეს იგივე სიგრძე. მისი ყველა კუთხეც ერთმანეთის ტოლია და თითოეული მათგანი 60 გრადუსის ტოლია. აქედან ირკვევა, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედები ყოველთვის მახვილკუთხაა.

რჩევა 2: როგორ ამოვიცნოთ ბლაგვი და მახვილი სამკუთხედი

მრავალკუთხედებიდან უმარტივესი არის სამკუთხედი. იგი იქმნება სამი წერტილის დახმარებით, რომლებიც დევს იმავე სიბრტყეში, მაგრამ არ დევს იმავე სწორ ხაზზე, რომლებიც დაკავშირებულია წყვილებში სეგმენტებით. თუმცა, სამკუთხედები სხვადასხვა ტიპისაა, რაც იმას ნიშნავს, რომ მათ აქვთ განსხვავებული თვისებები.

ინსტრუქცია

ჩვეულებრივია განასხვავოთ სამი ტიპი: ბლაგვი, მწვავე და მართკუთხა. კუთხეებს ჰგავს. ბლაგვი სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელშიც ერთ-ერთი კუთხე ბლაგვია. ბლაგვი კუთხე არის ის, რომელიც ოთხმოცდაათ გრადუსზე მეტია, მაგრამ ას ოთხმოცზე ნაკლები. მაგალითად, სამკუთხედში ABC, კუთხე ABC არის 65°, კუთხე BCA არის 95° და კუთხე CAB არის 20°. ABC და CAB კუთხეები 90°-ზე ნაკლებია, მაგრამ კუთხე BCA უფრო დიდია, ამიტომ სამკუთხედი ბლაგვია.

მახვილი სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელშიც ყველა კუთხე მახვილია. მწვავე კუთხე არის ის, რომელიც ოთხმოცდაათზე ნაკლებია და ნულ გრადუსზე მეტი. მაგალითად, სამკუთხედში ABC, კუთხე ABC არის 60°, კუთხე BCA არის 70° და კუთხე CAB არის 50°. სამივე კუთხე 90°-ზე ნაკლებია, ამიტომ ის სამკუთხედია. თუ იცით, რომ სამკუთხედის ყველა გვერდი ტოლია, ეს ნიშნავს, რომ ყველა კუთხე ასევე ტოლია ერთმანეთის და ამავე დროს ისინი უდრის სამოცი გრადუსს. შესაბამისად, ასეთ სამკუთხედში ყველა კუთხე ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლებია და ამიტომ ასეთი სამკუთხედი მახვილკუთხაა.

თუ სამკუთხედში ერთ-ერთი კუთხე ოთხმოცდაათი გრადუსის ტოლია, ეს ნიშნავს, რომ ის არ მიეკუთვნება არც ფართოკუთხედს და არც მახვილკუთხედს. ეს არის მართკუთხა სამკუთხედი.

თუ სამკუთხედის ტიპი განისაზღვრება ასპექტის თანაფარდობით, ისინი იქნება ტოლგვერდა, მასშტაბური და ტოლგვერდა. ტოლგვერდა სამკუთხედში ყველა გვერდი ტოლია და ეს, როგორც გაიგეთ, მიუთითებს იმაზე, რომ სამკუთხედი მახვილია. თუ სამკუთხედს აქვს მხოლოდ ორი ტოლი გვერდი ან თუ გვერდები ერთმანეთის ტოლი არ არის, ის შეიძლება იყოს ბლაგვი, მართკუთხა ან მახვილკუთხა. ასე რომ, ამ შემთხვევებში აუცილებელია კუთხეების გამოთვლა ან გაზომვა და დასკვნების გამოტანა 1, 2 ან 3 პუნქტების მიხედვით.

Მსგავსი ვიდეოები

წყაროები:

• ბლაგვი სამკუთხედი

ორი ან მეტი სამკუთხედის ტოლობა შეესაბამება შემთხვევას, როდესაც ამ სამკუთხედების ყველა გვერდი და კუთხე ტოლია. თუმცა, ამ თანასწორობის დასადასტურებლად რამდენიმე მარტივი კრიტერიუმი არსებობს.

დაგჭირდებათ

• გეომეტრიის სახელმძღვანელო, ფურცელი, მარტივი ფანქარი, პროტრაქტორი, სახაზავი.

ინსტრუქცია

გახსენით მეშვიდე კლასის გეომეტრიის სახელმძღვანელო აბზაცში სამკუთხედების ტოლობის ნიშნების შესახებ. თქვენ ნახავთ, რომ არსებობს რამდენიმე ძირითადი ნიშანი, რომელიც ადასტურებს ორი სამკუთხედის ტოლობას. თუ ორი სამკუთხედი, რომელთა ტოლობაც ტესტირება ხდება, თვითნებურია, მაშინ მათთვის სამი ძირითადი ტოლობის კრიტერიუმი არსებობს. თუ სამკუთხედების შესახებ გარკვეული დამატებითი ინფორმაციაა ცნობილი, მაშინ მთავარ სამ ნიშანს კიდევ რამდენიმე ავსებს. ეს ეხება, მაგალითად, მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის შემთხვევას.

წაიკითხეთ პირველი წესი სამკუთხედების ტოლობის შესახებ. როგორც ცნობილია, ის გვაძლევს საშუალებას მივიჩნიოთ სამკუთხედები ტოლი, თუ დადასტურდება, რომ ორი სამკუთხედის ნებისმიერი ერთი კუთხე და ორი მიმდებარე გვერდი ტოლია. ამ კანონის გასაგებად, პროტრატორის მქონე ფურცელზე დახაზეთ ორი იდენტური განსაზღვრული კუთხე, რომლებიც წარმოიქმნება ერთი წერტილიდან გამომავალი ორი სხივით. ორივე შემთხვევაში სახაზავთან ერთად გაზომეთ იგივე მხარეები დახატული კუთხის ზემოდან. პროტრატორის გამოყენებით გაზომეთ ორი ჩამოყალიბებული სამკუთხედის კუთხეები, დარწმუნდით, რომ ისინი ტოლია.

იმისათვის, რომ არ მივმართოთ ასეთ პრაქტიკულ ზომებს სამკუთხედების ტოლობის კრიტერიუმის გასაგებად, წაიკითხეთ ტოლობის პირველი კრიტერიუმის მტკიცებულება. ფაქტია, რომ სამკუთხედების ტოლობის თითოეულ წესს აქვს მკაცრი თეორიული მტკიცებულება, უბრალოდ არ არის მოსახერხებელი მისი გამოყენება წესების დასამახსოვრებლად.

წაიკითხეთ სამკუთხედების ტოლობის მეორე ნიშანი. ის ამბობს, რომ ორი სამკუთხედი თანმიმდევრული იქნება, თუ ორი ასეთი სამკუთხედის რომელიმე ერთი გვერდი და ორი მიმდებარე კუთხე თანასწორია. ამ წესის დასამახსოვრებლად წარმოიდგინეთ სამკუთხედის დახატული მხარე და მის მიმდებარე ორი კუთხე. წარმოიდგინეთ, რომ კუთხეების გვერდების სიგრძე თანდათან იზრდება. საბოლოოდ, ისინი გადაიკვეთებიან, ქმნიან მესამე კუთხეს. ამ გონებრივ ამოცანაში მნიშვნელოვანია, რომ ფსიქიკურად გაზრდილი გვერდების გადაკვეთის წერტილი, ისევე როგორც შედეგად მიღებული კუთხე, ცალსახად განისაზღვროს მესამე მხარით და მის მიმდებარე ორი კუთხით.

თუ არ მოგეცემათ ინფორმაცია შესასწავლი სამკუთხედების კუთხეების შესახებ, გამოიყენეთ მესამე ტესტი სამკუთხედების ტოლობისთვის. ამ წესის მიხედვით, ორი სამკუთხედი ითვლება ტოლად, თუ ერთის სამივე გვერდი ტოლია მეორის შესაბამისი სამი გვერდის. ამრიგად, ეს წესი ამბობს, რომ სამკუთხედის გვერდების სიგრძე ცალსახად განსაზღვრავს სამკუთხედის ყველა კუთხეს, რაც ნიშნავს, რომ ისინი ცალსახად განსაზღვრავენ თავად სამკუთხედს.

Მსგავსი ვიდეოები

სამკუთხედიარის მრავალკუთხედი სამი გვერდით (ან სამი კუთხით). სამკუთხედის გვერდები ხშირად აღინიშნება პატარა ასოებით (a, b, c), რომლებიც შეესაბამება საპირისპირო წვეროების დიდ ასოებს (A, B, C).

თუ სამკუთხედის სამივე კუთხე მახვილია, მაშინ მწვავე სამკუთხედი.

თუ სამკუთხედის ერთ-ერთი კუთხე მართკუთხაა, მაშინ ის არის მართკუთხა სამკუთხედი. გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები. მართი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ეწოდება ჰიპოტენუზა.

თუ სამკუთხედის ერთ-ერთი კუთხე ბლაგვია, მაშინ ის არის ბლაგვი სამკუთხედი.

სამკუთხედი ტოლფერდათუ მისი ორი გვერდი ტოლია; ამ ტოლ გვერდებს გვერდითი ეწოდება, ხოლო მესამე მხარეს სამკუთხედის ფუძე.

სამკუთხედი ტოლგვერდაათუ მისი ყველა მხარე თანაბარია.

სამკუთხედების ძირითადი თვისებები

ნებისმიერ სამკუთხედში:

1. უფრო დიდი კუთხე დევს უფრო დიდ მხარეს და პირიქით.

2. ტოლი კუთხეები დევს ტოლ გვერდებზე და პირიქით.
კერძოდ, ტოლგვერდა სამკუთხედში ყველა კუთხე ტოლია.

3. სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180º.
ბოლო ორი თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ თითოეული კუთხე ტოლგვერდა
სამკუთხედი არის 60º.

4. ვაგრძელებთ სამკუთხედის ერთ-ერთ გვერდს, ვიღებთ გარე
კუთხე. სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის შიდა კუთხეების ჯამს,
არა მის მიმდებარედ.

5. სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე და მეტი
მათი განსხვავებები.

სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

სამკუთხედები თანმიმდევრულია, თუ ისინი ტოლია:

ა) ორი გვერდი და კუთხე მათ შორის;
ბ) ორი კუთხე და მიმდებარე მხარე;
გ) სამი მხარე.

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები.

ორი მართკუთხა სამკუთხედი ტოლია, თუ ერთ-ერთი შემდეგი პირობა ჭეშმარიტია:

1) მათი ფეხები თანაბარია;
2) ერთი სამკუთხედის ფეხი და ჰიპოტენუზა ტოლია მეორის ფეხისა და ჰიპოტენუზას;
3) ერთი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და მახვილი კუთხე ტოლია მეორეს ჰიპოტენუზასა და მახვილ კუთხეს;
4) ერთი სამკუთხედის ფეხი და მიმდებარე მახვილი კუთხე ტოლია მეორის ფეხისა და მიმდებარე მახვილი კუთხისა;
5) ერთი სამკუთხედის ფეხი და საპირისპირო მახვილი კუთხე ტოლია ფეხის და მეორის საპირისპირო მახვილი კუთხის.

სამკუთხედის სიმაღლეარის ნებისმიერი წვეროდან მოპირდაპირე მხარეს (ან მის გაგრძელებაზე) ჩამოშვებული პერპენდიკულარი. ამ გვერდს სამკუთხედის ფუძე ეწოდება. სამკუთხედის სამი სიმაღლე ყოველთვის იკვეთება ერთ წერტილში, ე.წ სამკუთხედი ორთოცენტრი. მახვილი სამკუთხედის ორთოცენტრი მდებარეობს სამკუთხედის შიგნით, ხოლო ბლაგვი სამკუთხედის ორთოცენტრი გარეთ; მართკუთხა სამკუთხედის ორთოცენტრი ემთხვევა მართი კუთხის წვეროს.

მედიანურიარის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს სამკუთხედის ნებისმიერ წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუა წერტილთან. სამკუთხედის სამი მედიანა იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც ყოველთვის დევს სამკუთხედის შიგნით და არის მისი გრავიტაციის ცენტრი. ეს წერტილი ზემოდან ყოფს თითოეულ მედიანას 2:1.

ტოლფერდა სამკუთხედის შუალედის თვისება.ტოლკუთხედის სამკუთხედში ფუძესთან დახატული მედიანა არის ბისექტორი და სიმაღლე.

ბისექტორიარის კუთხის ბისექტრის სეგმენტი წვეროდან მოპირდაპირე მხარეს გადაკვეთის წერტილამდე. სამკუთხედის სამი ბისექტორი იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც ყოველთვის დევს სამკუთხედის შიგნით და არის ჩაწერილი წრის ცენტრი. ბისექტორი მოპირდაპირე მხარეს ყოფს მიმდებარე გვერდების პროპორციულ ნაწილებად.

მედიანა პერპენდიკულარულიარის სეგმენტის (გვერდის) შუა წერტილიდან გამოყვანილი პერპენდიკულარი. სამკუთხედის სამი პერპენდიკულარული ბისექტორი იკვეთება ერთ წერტილში, რაც არის შემოხაზული წრის ცენტრი.მწვავე სამკუთხედში ეს წერტილი სამკუთხედის შიგნით დევს; ბლაგვში - გარეთ; მართკუთხაში - ჰიპოტენუზის შუაში. ორთოცენტრი, სიმძიმის ცენტრი, წრეწირის ცენტრი და ჩაწერილი წრის ცენტრი ემთხვევა მხოლოდ ტოლგვერდა სამკუთხედს.

სამკუთხედის შუა ხაზიარის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მისი ორი მხარის შუა წერტილებს.

სამკუთხედის შუა ხაზის თვისება. ორი მოცემული გვერდის შუა წერტილების დამაკავშირებელი სამკუთხედის შუა ხაზი მესამე გვერდის პარალელურია და მისი ნახევრის ტოლია.

Პითაგორას თეორემა.მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი უდრის ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამს. c 2 = a 2 + b 2 .

პითაგორას თეორემის მტკიცებულებებიშეგიძლია ნახო აქ.

სინუსების თეორემა. სამკუთხედის გვერდები საპირისპირო კუთხის სინუსების პროპორციულია .

კოსინუსების თეორემა.სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს ამ გვერდების ნამრავლის გაორმაგების გარეშე მათ შორის კუთხის კოსინუსზე. .

სინუსების თეორემისა და კოსინუსების თეორემის მტკიცებულებებიშეგიძლია ნახო აქ.

თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ.სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი არის 180°.

სამკუთხედის გარე კუთხის თეორემა. სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის ორი შიდა კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არის მის გვერდით.

სტანდარტული აღნიშვნა

სამკუთხედი წვეროებით ა, ბდა Cაღინიშნება როგორც (იხ. ნახ.). სამკუთხედს სამი გვერდი აქვს:

სამკუთხედის გვერდების სიგრძე მითითებულია პატარა ლათინური ასოებით (a, b, c):

სამკუთხედს აქვს შემდეგი კუთხეები:

შესაბამისი წვეროების კუთხეები ტრადიციულად აღინიშნება ბერძნული ასოებით (α, β, γ).

სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები

ევკლიდეს სიბრტყეზე სამკუთხედი შეიძლება ცალსახად (შემთხვევამდე) განისაზღვროს ძირითადი ელემენტების შემდეგი სამეულით:

1. a, b, γ (ტოლობა ორ მხარეს და მათ შორის მდებარე კუთხე);
2. a, β, γ (ტოლობა გვერდში და ორ მიმდებარე კუთხეში);
3. a, b, c (ტოლობა სამ მხარეს).

მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნები:

1. ფეხისა და ჰიპოტენუზის გასწვრივ;
2. ორ ფეხზე;
3. ფეხისა და მწვავე კუთხის გასწვრივ;
4. ჰიპოტენუზა და მწვავე კუთხე.

სამკუთხედის ზოგიერთი წერტილი "დაწყვილებულია". მაგალითად, არის ორი წერტილი, საიდანაც ყველა მხარე ჩანს ან 60° ან 120° კუთხით. მათ ეძახიან წერტილები ტორიჩელი. ასევე არის ორი წერტილი, რომელთა გვერდებზე გამოსახულებები დევს რეგულარული სამკუთხედის წვეროებზე. ეს - აპოლონიუსის წერტილები. ქულები და ისეთები, რასაც ე.წ ბროკარდის ქულები.

პირდაპირი

ნებისმიერ სამკუთხედში, სიმძიმის ცენტრი, ორთოცენტრი და შემოხაზული წრის ცენტრი დევს იმავე სწორ ხაზზე, ე.წ. ეილერის ხაზი.

შემოხაზული წრის ცენტრსა და ლემუნის წერტილში გამავალი წრფე ეწოდება ბროკარის ღერძი. მასზე დევს აპოლონიუსის წერტილები. ტორიჩელის წერტილები და ლემუნის წერტილები ასევე დევს იმავე სწორ ხაზზე. სამკუთხედის კუთხეების გარე ბისექტორების ფუძეები დევს იმავე სწორ ხაზზე, ე.წ. გარე ბისექტორების ღერძი. იმავე წრფეზე დევს ორთოკუთხედის გვერდების შემცველი ხაზების გადაკვეთის წერტილები სამკუთხედის გვერდების შემცველ ხაზებთან. ამ ხაზს ე.წ ორთოცენტრული ღერძი, ის პერპენდიკულარულია ეილერის წრფეზე.

თუ ავიღებთ წერტილს სამკუთხედის შემოხაზულ წრეზე, მაშინ მისი პროგნოზები სამკუთხედის გვერდებზე იქნება ერთ სწორ ხაზზე, ე.წ. სიმსონის სწორი ხაზიმოცემული წერტილი. სიმსონის დიამეტრულად საპირისპირო წერტილების ხაზები პერპენდიკულურია.

სამკუთხედები

• სამკუთხედს, რომელსაც აქვს წვეროები ცევიანების ფუძეებზე, დახაზულია მოცემულ წერტილში, ეწოდება ცევიანის სამკუთხედიეს წერტილი.
• გვერდებზე მოცემული წერტილის პროგნოზებში წვეროებით სამკუთხედი ეწოდება კანის ქვეშან პედლებიანი სამკუთხედიეს წერტილი.
• სამკუთხედს წვეროებით წვეროებზე გავლებული წრფეების მეორე გადაკვეთის წერტილებში და მოცემულ წერტილში შემოხაზული წრით ე.წ. ცევიანის სამკუთხედი. ცევიანის სამკუთხედი კანქვეშა სამკუთხედის მსგავსია.

წრეები

• ჩაწერილი წრეარის წრე სამკუთხედის სამივე გვერდის მიმართ. ის ერთადერთია. ჩაწერილი წრის ცენტრს ე.წ ცენტრი.
• შემოხაზული წრე- წრე, რომელიც გადის სამკუთხედის სამივე წვეროზე. შემოხაზული წრე ასევე უნიკალურია.
• შემოხაზეთ- სამკუთხედის ერთ მხარეს ტანგენტიანი წრე და დანარჩენი ორი მხარის გაფართოება. სამკუთხედში სამი ასეთი წრეა. მათი რადიკალური ცენტრი არის შუა სამკუთხედის ჩაწერილი წრის ცენტრი, ე.წ სპიკერის აზრი.

სამკუთხედის სამი გვერდის შუა წერტილები, მისი სამი სიმაღლის ფუძეები და სამი ხაზის სეგმენტის შუა წერტილები, რომლებიც აკავშირებენ მის წვეროებს ორთოცენტრთან, დევს ერთ წრეზე ე.წ. ცხრა წერტილიანი წრეან ეილერის წრე. ცხრა წერტილიანი წრის ცენტრი დევს ეილერის ხაზზე. ცხრა წერტილიანი წრე ეხება ჩაწერილ წრეს და სამ წრეს. შემოხაზულ წრესა და ცხრა წერტილიან წრეს შორის შეხების წერტილი ეწოდება ფოიერბახის წერტილი. თუ ყოველი წვეროდან დავდებთ სამკუთხედებს სწორ ხაზებზე, რომლებიც შეიცავს გვერდებს, ორთოზებს სიგრძით მოპირდაპირე გვერდების ტოლი, მაშინ მიღებული ექვსი წერტილი დევს ერთ წრეზე - კონვეის წრეები. ნებისმიერ სამკუთხედში სამი წრე შეიძლება ჩაიწეროს ისე, რომ თითოეული მათგანი შეეხოს სამკუთხედის ორ მხარეს და ორ სხვა წრეს. ასეთ წრეებს ე.წ მალფატის წრეები. ექვსი სამკუთხედის შემოხაზული წრეების ცენტრები, რომლებშიც სამკუთხედი იყოფა შუალედურებით, დევს ერთ წრეზე, რომელსაც ე.წ. ლამუნის წრე.

სამკუთხედს აქვს სამი წრე, რომლებიც ეხება სამკუთხედის ორ მხარეს და შემოხაზულ წრეს. ასეთ წრეებს ე.წ ნახევრად წარწერიანიან ვერიერის წრეები. ვერიერის წრეების შეხების წერტილებს შემოხაზულ წრესთან დამაკავშირებელი სეგმენტები იკვეთება ერთ წერტილში, ე.წ. ვერიერის წერტილი. ის ემსახურება როგორც ჰომოთეტის ცენტრს, რომელიც შემოხაზულ წრეს წრეში მიჰყავს. გვერდებთან ვერიერის წრეების მიზიდულობის წერტილები დევს სწორ ხაზზე, რომელიც გადის ჩაწერილი წრის ცენტრში.

ხაზოვანი სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებს ჩაწერილი წრის ტანგენს წერტილებს წვეროებთან, იკვეთება ერთ წერტილში, ე.წ. გერგონის წერტილი, ხოლო წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტები წრეწირების შეხების წერტილებთან - in ნაგელის წერტილი.

ელიფსები, პარაბოლები და ჰიპერბოლები

წარწერიანი კონუსი (ელიფსი) და მისი პერსპექტივა

უსასრულო რაოდენობის კონუსები (ელიფსები, პარაბოლები ან ჰიპერბოლები) შეიძლება ჩაიწეროს სამკუთხედში. თუ სამკუთხედში ჩავწერთ თვითნებურ კონუსს და შევაერთებთ შეხების წერტილებს საპირისპირო წვეროებთან, მაშინ მიღებული ხაზები გადაიკვეთება ერთ წერტილში, ე.წ. პერსპექტივაკონუსები. სიბრტყის ნებისმიერი წერტილისთვის, რომელიც არ დევს გვერდზე ან მის გაფართოებაზე, არსებობს ჩაწერილი კონუსი პერსპექტივით.

შტაინერის ელიფსი შემოიფარგლება და ცევიანები გადის მის კერებში

ელიფსი შეიძლება ჩაიწეროს სამკუთხედში, რომელიც ეხება გვერდებს შუა წერტილებში. ასეთ ელიფსს ე.წ შტაინერმა წარწერა ელიფსი(მისი პერსპექტივა იქნება სამკუთხედის ცენტრი). აღწერილ ელიფსს, რომელიც ტანგენტულია გვერდების პარალელურ წვეროებზე გამავალ ხაზებზე, ე.წ. შემოიფარგლება შტაინერის ელიფსით. თუ აფინური ტრანსფორმაცია („დახრილობა“) თარგმნის სამკუთხედს რეგულარულად, მაშინ მისი შემოხაზული და შემოხაზული შტაინერის ელიფსი გადავა ჩაწერილ და შემოხაზულ წრეში. აღწერილ შტაინერის ელიფსის კერებში (სკუტინის წერტილები) დახატული ცევიანები ტოლია (სკუტინის თეორემა). ყველა შემოხაზული ელიფსიდან ყველაზე მცირე ფართობი აქვს შტაინერის შემოხაზულ ელიფსს, ხოლო ყველა წარწერილ ელიფსს ყველაზე დიდი ფართობი აქვს შტაინერის შემოხაზულ ელიფსს.

ბროკარდის ელიფსი და მისი პერსპექტივა - ლემუნის წერტილი

ელიფსს ბროკარის წერტილებში კერებით ეწოდება ბროკარდის ელიფსი. მისი პერსპექტივა არის ლემუნის წერტილი.

ჩაწერილი პარაბოლის თვისებები

კიპერტის პარაბოლა

ჩაწერილი პარაბოლების პერსპექტივები დევს შემოხაზულ შტაინერის ელიფსზე. ჩაწერილი პარაბოლის ფოკუსი დევს შემოხაზულ წრეზე, ხოლო მიმართულება გადის ორთოცენტრში. პარაბოლას, რომელიც ჩაწერილია სამკუთხედში, რომლის მიმართულება არის ეილერის ხაზი, ეწოდება კიპერტის პარაბოლა. მისი პერსპექტივა არის შემოხაზული წრისა და შემოხაზული შტაინერის ელიფსის გადაკვეთის მეოთხე წერტილი, ე.წ. შტაინერის წერტილი.

კიპერტის ჰიპერბოლა

თუ აღწერილი ჰიპერბოლა გადის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილში, მაშინ ის ტოლგვერდაა (ანუ მისი ასიმპტოტები პერპენდიკულარულია). ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ასიმპტოტების გადაკვეთის წერტილი დევს ცხრა წერტილის წრეზე.

ტრანსფორმაციები

თუ წვეროებზე გამავალი ხაზები და გვერდებზე არ დევს რომელიმე წერტილი და მათი გაფართოებები აისახება შესაბამისი ბისექტორების მიმართ, მაშინ მათი გამოსახულებებიც გადაიკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც ე.წ. იზოგონურად კონიუგირებულითავდაპირველი (თუ წერტილი დევს შემოხაზულ წრეზე, მაშინ მიღებული ხაზები იქნება პარალელური). ღირსშესანიშნავი წერტილების მრავალი წყვილი იზოგონურად არის შერწყმული: შემოხაზული წრის ცენტრი და ორთოცენტრი, ცენტრი და ლემუნის წერტილი, ბროკარდის წერტილები. აპოლონიუსის წერტილები იზოგონალურად შერწყმულია ტორიჩელის წერტილებთან, ხოლო წრეწირის ცენტრი იზოგონალურად კონიუგირებულია თავისთან. იზოგონური შეერთების მოქმედებით, სწორი ხაზები გადადის შემოხაზულ კონუსებში, ხოლო შემოხაზული კონიუგები სწორ ხაზებად. ამგვარად, კიპერტის ჰიპერბოლა და ბროკარდის ღერძი, ენჟაბეკის ჰიპერბოლა და ეილერის ხაზი, ფეიერბახის ჰიპერბოლა და ჩაწერილი წრის ცენტრების ხაზი იზოგონალურად არის კონიუგატები. იზოგონურად კონიუგირებული წერტილების კანქვეშა სამკუთხედების შემოხაზული წრეები ემთხვევა. ჩაწერილი ელიფსების კერები იზოგონურად შერწყმულია.

თუ სიმეტრიული ცევიანის ნაცვლად ავიღებთ ცევიანს, რომლის ფუძე ისეა შორს გვერდის შუადან, როგორც საწყისის ფუძე, მაშინ ასეთი ცევიანებიც ერთ წერტილში იკვეთება. შედეგად მიღებული ტრანსფორმაცია ე.წ იზოტომური კონიუგაცია. იგი ასევე ასახავს ხაზებს შემოხაზულ კონუსებზე. გერგონისა და ნაგელის წერტილები იზოტომიური კონიუგირებულია. აფინური გარდაქმნების დროს იზოტომურად კონიუგირებული წერტილები გადადის იზოტომურად კონიუგატებში. იზოტომიის კონიუგაციისას, აღწერილი შტაინერის ელიფსი უსასრულობაში გადადის სწორ ხაზზე.

თუ შემოხაზული წრიდან სამკუთხედის გვერდებით მოწყვეტილ მონაკვეთებში ჩაიწერება წრეები, რომლებიც ეხებიან გვერდებს ცევიანების ფუძეებს, რომლებიც გამოყვანილია გარკვეული წერტილით და შემდეგ ამ წრეების შეხების წერტილები უკავშირდება შემოხაზული წრე საპირისპირო წვეროებით, მაშინ ასეთი ხაზები გადაიკვეთება ერთ წერტილში. თვითმფრინავის ტრანსფორმაცია, რომელიც ემთხვევა თავდაპირველ წერტილს მიღებულს, ე.წ ისოცირული ტრანსფორმაცია. იზოგონალური და იზოტომური კონიუგაციების შემადგენლობა არის იზოცირკულარული ტრანსფორმაციის შემადგენლობა საკუთარ თავთან. ეს კომპოზიცია არის პროექციული ტრანსფორმაცია, რომელიც ტოვებს სამკუთხედის გვერდებს თავის ადგილზე და გარე ბისექტორების ღერძს უსასრულობაში სწორ ხაზად აქცევს.

თუ ჩვენ გავაგრძელებთ ცევიანის სამკუთხედის გვერდებს რომელიმე წერტილის და ავიღებთ მათ გადაკვეთის წერტილებს შესაბამის გვერდებთან, მაშინ მიღებული გადაკვეთის წერტილები დადგება ერთ სწორ ხაზზე, ე.წ. სამხაზოვანი პოლარულიამოსავალი წერტილი. ორთოცენტრული ღერძი - ორთოცენტრის სამწრფივი პოლარული; ჩაწერილი წრის ცენტრის სამწრფივი პოლარი არის გარე ბისექტორების ღერძი. შემოხაზულ კონუსზე მდებარე წერტილების სამწრფივი პოლარული იკვეთება ერთ წერტილში (მოხაზული წრისთვის ეს არის ლემოინის წერტილი, შემოხაზული შტაინერის ელიფსისთვის ეს არის ცენტრი). იზოგონური (ან იზოტომური) კონიუგაციისა და სამწრფივი პოლარულის შემადგენლობა არის ორმაგი ტრანსფორმაცია (თუ წერტილი იზოგონურად (იზოტომურად) კონიუგირებულია წერტილის სამწრფივ პოლარზე, მაშინ წერტილის სამწრფივი პოლარი იზოგონურად (იზოტომურად) კონიუგატი წერტილის სამხაზოვან პოლარზე მდებარე წერტილთან).

კუბურები

ურთიერთობები სამკუთხედში

Შენიშვნა:ამ მონაკვეთში, , არის სამკუთხედის სამი გვერდის სიგრძე და , , არის კუთხეები, რომლებიც დევს შესაბამისად ამ სამი გვერდის მოპირდაპირედ (საპირისპირო კუთხეები).

სამკუთხედის უტოლობა

არადეგენერაციულ სამკუთხედში მისი ორი გვერდის სიგრძის ჯამი მეტია მესამე გვერდის სიგრძეზე, გადაგვარებულში კი ტოლია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სამკუთხედის გვერდების სიგრძე დაკავშირებულია შემდეგი უტოლობებით:

სამკუთხედის უტოლობა მეტრიკის ერთ-ერთი აქსიომაა.

სამკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემა

სინუსების თეორემა

სადაც R არის სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი. თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ ა< b < c, то α < β < γ.

კოსინუსების თეორემა

ტანგენტის თეორემა

სხვა კოეფიციენტები

სამკუთხედში მეტრიკული თანაფარდობები მოცემულია:

სამკუთხედების ამოხსნა

სამკუთხედის უცნობი გვერდებისა და კუთხეების გამოთვლას, ცნობილებზე დაყრდნობით, ისტორიულად „სამკუთხედის ამონახსნები“ უწოდეს. ამ შემთხვევაში გამოიყენება ზემოაღნიშნული ზოგადი ტრიგონომეტრიული თეორემები.

სამკუთხედის ფართობი

ფართობისთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

ვექტორების გამოყენებით სივრცეში სამკუთხედის ფართობის გამოთვლა

სამკუთხედის წვეროები იყოს წერტილებზე , , .

შემოვიღოთ ფართობის ვექტორი. ამ ვექტორის სიგრძე უდრის სამკუთხედის ფართობს და ის მიმართულია ნორმალურის გასწვრივ სამკუთხედის სიბრტყეზე:

მოდით , სადაც , , არის სამკუთხედის პროგნოზები კოორდინატულ სიბრტყეებზე. სადაც

და ასევე

სამკუთხედის ფართობი არის.

ალტერნატივა არის გვერდების სიგრძის გამოთვლა (პითაგორას თეორემის გამოყენებით) და შემდეგ ჰერონის ფორმულის გამოყენებით.

სამკუთხედის თეორემები

დეზარგის თეორემა: თუ ორი სამკუთხედი პერსპექტიულია (სამკუთხედების შესაბამის წვეროებზე გამავალი წრფეები ერთ წერტილში იკვეთება), მაშინ მათი შესაბამისი გვერდები იკვეთება ერთ სწორ ხაზზე.

სონდის თეორემა: თუ ორი სამკუთხედი პერსპექტიული და ორთოლოგიურია (ერთი სამკუთხედის წვეროებიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულური სამკუთხედის შესაბამისი წვეროების მოპირდაპირე გვერდებზე და პირიქით), მაშინ ორივე ორთოლოგიის ცენტრი (ამ პერპენდიკულარების გადაკვეთის წერტილები) და პერსპექტიული ცენტრი. დაწექი პერსპექტივის ღერძის პერპენდიკულარულ ერთ სწორ ხაზზე (სწორი ხაზი დეზარგის თეორემიდან).