ეს სტატია ეფუძნება ადრე ნახსენები სეჯვიკის, უეინის და დონდეროს წიგნის "პითონის პროგრამირება" ერთ-ერთ ნაწილს. ამ განყოფილებას ეწოდება "იტერაციული ფუნქციების სისტემები" და იგი აღწერს სხვადასხვა გამოსახულების აგებას, როგორიცაა სიერპინსკის სამკუთხედი, ბარნსლის გვიმრა და სხვა, საკმაოდ მარტივი ალგორითმის გამოყენებით, რომელიც, უფრო მეტიც, ასევე ადვილად განხორციელდება.
დავიწყებ ამ ალგორითმის აღწერით. გამოვიყენებ მათემატიკურ ტერმინოლოგიას, მათ შორის ისეთს, რომელსაც წიგნის ავტორები თავიანთი თხრობის მსვლელობისას არ იყენებენ. ალგორითმების წმინდა მათემატიკური ხედვა მაადვილებს მათ გააზრებას და საკმაოდ მოსახერხებელია მათი გამოხატვა მათემატიკური ენის გამოყენებით.
ასე რომ, სტატიის თეორიული ნაწილის გასაგებად მკითხველს დასჭირდება მათემატიკის ზოგიერთი მონაკვეთის ცოდნა, რომელსაც ჩვეულებრივ ტექნიკურ უნივერსიტეტებში კითხულობენ. კერძოდ, სასარგებლო იქნებოდა ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური ანალიზის ელემენტების გაცნობა.
სტატიის თეორიულ ნაწილს მოჰყვება პრაქტიკული, რომელიც აღწერს ალგორითმის დანერგვას C99 ენაზე. ვინაიდან პროგრამის შედეგები იქნება სურათები, ჩვენ გამოვიყენებთ pgraph გრაფიკულ ბიბლიოთეკას პროგრამაში, იმ ვარაუდით, რომ მკითხველი, სულ მცირე, ზოგადი თვალსაზრისით, იცნობს მას.
ასე რომ, გადავიდეთ ჩვენი ისტორიის თეორიულ ნაწილზე.
განმეორებითი ფუნქციები და შემთხვევითი მიმდევრობები
სანამ სქემის აღწერას, რომლითაც აშენდება სურათები, მოდით ვისაუბროთ მიმდევრობებზე, რომელთა წევრები გამოითვლება განმეორებადი ფორმულების გამოყენებით.
მოდით განვსაზღვროთ 2 მიმდევრობა, x n n = 1 ∞ და y n n = 1 ∞ , შემდეგი რეკურსიული ფორმულების გამოყენებით:
X n = f x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ , y n = g x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ .
მოდით განვმარტოთ ეს x 0 და წ 0 არის რამდენიმე წინასწარ განსაზღვრული რიცხვი და ვ(x, წ) და გ(x, წ) არის ორი ცვლადის ზოგიერთი ფუნქცია ე.წ განმეორებადი. ასეთი ფუნქციების მეშვეობით კონკრეტული მიმდევრობის შემდეგი წევრის გამოთვლის პროცესს ეძახიან გამეორებებიდა განმეორებადი ფორმულების ზემოაღნიშნული ნაკრები არის განმეორებითი სქემა.
მიმდევრობების დაზუსტების რეკურსიული გზა, სავარაუდოდ, ნაცნობია მკითხველისთვის, თუ ის მათემატიკას სწავლობდა უნივერსიტეტში. გარკვეულწილად უჩვეულო შეიძლება ჩანდეს მიმდევრობის წევრების გამოსათვლელად "ჯვარედინი" მეთოდი, რომელშიც გამოთვლა ნყოველი ორი მიმდევრობის ე წევრი საჭიროა არა მხოლოდ ნ− იგივე მიმდევრობის 1 წევრი, მაგრამ ასევე ნ− 1 წევრი განსხვავებულია.
ახლა განიხილეთ ორი მიმდევრობის წევრების აგების სქემა, რომელიც იყენებს არა მხოლოდ ერთ წყვილს განმეორებადი ფუნქციებს, არამედ მორთქლი. თითოეული ეს ფუნქცია ორივე ცვლადში წრფივი იქნება და ასევე შეიცავს დანამატის მუდმივობას. უფრო კონკრეტულად, ფუნქციები ასე გამოიყურება:
F k x , y = a k x + b k y + c k g k x , y = d k x + e k y + h k , k = 0 , 1 , … , m - 1 .
თითოეულისთვის ნ 1-დან დაწყებული, შემთხვევით შეარჩევს რიცხვს 0-დან მ− 1 და გაანგარიშებისას x nდა y nგანმეორებით ფორმულებში გამოყენებული იქნება განმეორებითი ფუნქციების წყვილი, რომელთა ინდექსები უდრის მოცემულ შემთხვევით რიცხვს. გაითვალისწინეთ, რომ ყოველი გამეორების წინ „გამოჩენილი“ შემთხვევითი რიცხვები არ უნდა იყოს თანაბრად სავარაუდო. თუმცა, სხვადასხვა საფეხურებისთვის, კონკრეტული ფიქსირებული რიცხვის გაჩენის ალბათობა იგივეა.
ახლა ჩამოვაყალიბოთ ის, რაც ითქვა მკაცრი მათემატიკური ენით. განვიხილოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების თანმიმდევრობა T n = 1 ∞, მთლიანობაში დამოუკიდებელი, განაწილებული იმავე კანონის მიხედვით. კერძოდ: ყოველი შემთხვევითი ცვლადი იღებს მნიშვნელობებს 0, 1, ..., მ− 1 შესაბამისი ალბათობით გვ 0 , გვ 1 , …, გვ მ-1 .
ახლა მიმდევრობები x n n = 1 ∞ და y n n = 1 ∞ განისაზღვრება შემდეგი განმეორებითი სქემის გამოყენებით:
X n = f T n x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ , y n = g T n x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ .
როგორც ადრე, x 0 და წ 0 არის რამდენიმე წინასწარ განსაზღვრული რიცხვი.
ამრიგად, თითოეული მიმდევრობა არის შემთხვევითი, ანუ მისი წევრები შემთხვევითი ცვლადებია. თუმცა, თითოეული ამ თანმიმდევრობის "რეალიზება", ანუ მისი ყველა წევრის გამოთვლა შესაძლებელია (რა თქმა უნდა, ასეთი განხორციელება უსასრულოდ ბევრი იქნება).
მოდით შევხედოთ ამ განყოფილების მთავარ კითხვას. და რა კავშირი აქვს სურათებს, რომლებსაც ჩვენ ვაპირებთ ავაშენოთ შემთხვევითი მიმდევრობების ამ წყვილთან? Ძალიან მარტივი. მოდით ავაშენოთ ამ ორი თანმიმდევრობის რეალიზაცია. ყოველი ბუნებრივი ნწყვილი ( x n, y n) შეიძლება ჩაითვალოს სიბრტყეზე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემული წერტილის კოორდინატებად. ასე რომ, გამოსახულება, რომელიც შეესაბამება რამდენიმე წყვილ განხორციელებულ მიმდევრობას, არის სიბრტყის ყველა ასეთი წერტილის ადგილი.
როგორც ჩანს, წყვილი თანმიმდევრობის თითოეული განხორციელებისთვის ჩვენ მივიღებთ ჩვენს საკუთარ გამოსახულებას, სხვებისგან განსხვავებულს. თუმცა, რაც არ უნდა პარადოქსული ჩანდეს, მიღებული გამოსახულებები ყოველ ჯერზე თითქმის ემთხვევა ერთმანეთს (ანუ, კომპიუტერზე დახატვისას, ისინი ადამიანის თვალით გაურკვეველი იქნება). და მიმდევრობის წევრების ფორმირებაში მონაწილე შემთხვევითი ცვლადების განმეორებითი ფუნქციების და განაწილების კანონების შესაბამისი შერჩევით, შეიძლება შეიქმნას ძალიან საინტერესო შაბლონები.
ჩვენ ვამატებთ, რომ კომპიუტერზე სურათების აგებისას, ჩვენ, რა თქმა უნდა, შევასრულებთ მხოლოდ სასრულ (მაგრამ საკმარისად დიდ) რაოდენობას.
ფსევდო შემთხვევითი რიცხვების გენერირების შესახებ
პროგრამის დაწერისას ჩვენ დაგვხვდება ფსევდო შემთხვევითი რიცხვების გენერირების აუცილებლობა, რომლებიც განაწილებულია, ზოგადად, არა თანაბრად, არამედ წინასწარ განსაზღვრული კანონის მიხედვით. ამავდროულად, ჩვენ გვექნება მხოლოდ ფსევდო შემთხვევითი რიცხვების პროგრამული გენერატორი, რომელიც თანაბრად არის განაწილებული ინტერვალზე. როგორ მივიღოთ პირველი მეორე განაწილებიდან?
მოდით გადავთარგმნოთ პრობლემა მათემატიკურ სიბრტყეში. იყოს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი უ, თანაბრად ნაწილდება სეგმენტზე . მოდით დავსახოთ საკუთარ თავს მიზანი, ავაშენოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი თროგორც ფუნქცია უ, ისე, რომ თაიღო მნიშვნელობები 0, 1, ..., მ− 1 შესაბამისი ალბათობით გვ 0 , გვ 1 , …, გვ მ-1 .
პრობლემის მოგვარება ძალიან მარტივია. განვიხილოთ ალბათობების ჯამი
s k = ∑ i = 0 k - 1 p i , k = 0 , 1 , ... , m - 1 .თუ შეჯამების ზედა ზღვარი ამოიწურა მეარის ქვედაზე ნაკლები, მაშინ განსაზღვრებით მივიღებთ ასეთ ჯამს 0-ის ტოლი.
თგამოხატოს მეშვეობით უშემდეგი გზით:
T = 0, თუ U ∈ s 0 , s 1 , 1 თუ U ∈ s 1 , s 2 , 2 თუ U ∈ s 2 , s 3 , ………………… , ……………… , m - 1 თუ U ∈ s m - 1 , 1 .
ცხადია, შემთხვევითი ცვლადი თგანაწილებული კანონის მიხედვით ჩვენ ვითხოვთ. გაითვალისწინეთ, რომ ფაქტობრივად, თ- ეს არის იმ ინტერვალის რიცხვი, რომელშიც ხვდება შემთხვევითი ცვლადი უ(იმ პირობით, რომ დავთვლით ინტერვალებს რიცხვებით 0-დან მ− 1 მათი მარცხენა საზღვრების ზრდის მიხედვით).
პრაქტიკული თვალსაზრისით, მიღებული შედეგი საშუალებას იძლევა, ყოველი გამეორების საფეხურზე, როგორც განმეორებადი ფუნქციების რაოდენობა, ავიღოთ იმ ინტერვალის რიცხვი, რომელშიც ეცემა ინტერვალზე თანაბრად განაწილებული ფსევდო შემთხვევითი რიცხვების გენერატორის მიერ გენერირებული რიცხვი. .
ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ პროგრამის დაწერაზე.
პროგრამის სტრუქტურა
პროგრამა შედგება main.c ფაილისა და ფაილებისგან, რომლებიც ქმნიან pgraph გრაფიკულ ბიბლიოთეკას. main.c ფაილის შინაარსი იწყება შემდეგი დირექტივით, რომელიც მოიცავს გრაფიკულ ბიბლიოთეკას:
#include "pgraph.h"გარდა ამისა, ფაილი შეიცავს გლობალური მუდმივი ცვლადების და მუდმივი მასივების აღწერას. მათ უკან არის get_random_value() და main() ფუნქციების განმარტებები. პირველი წარმოქმნის ფსევდო შემთხვევით რიცხვებს, ხოლო მეორე აკეთებს გამოსახულების აგების ძირითად სამუშაოს.
გლობალური მუდმივი ცვლადები და მუდმივი მასივები
ყველა ინფორმაცია, რომელიც საჭიროა კონკრეტული სურათის შესაქმნელად, შეიცავს გლობალურ მუდმივ ცვლადებსა და მუდმივ მასივებს. რა თქმა უნდა, თითოეული სურათისთვის, მუდმივი მასივების მუდმივი და ელემენტების მნიშვნელობების ნაკრები იქნება "საკუთარი".
ქვემოთ მოცემულია ამ მუდმივების და მასივების აღწერა.
- n არის გამეორებების რაოდენობა;
- w - გამოსახულების სიგანე პიქსელებში;
- h - გამოსახულების სიმაღლე პიქსელებში;
- xc - ძველ სისტემაში ახალი კოორდინატთა სისტემის დასაწყისის აბსციზა;
- yc - ძველ სისტემაში ახალი კოორდინატთა სისტემის დასაწყისის ორდინატი;
- l არის სიგრძე პიქსელებში სეგმენტის პარალელურად ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძის, რომელსაც აქვს ერთეული სიგრძე ახალ კოორდინატულ სისტემაში;
- m არის განმეორებითი ფუნქციების წყვილების რაოდენობა, ანუ რიცხვი მ;
- s - ზომის ერთგანზომილებიანი მასივი მშემთხვევითი ცვლადების ალბათობათა ჯამების შემცველი ტ ნ (კ- მასივის ელემენტი შეიცავს ს კ);
- f არის ორგანზომილებიანი მასივი, რომელიც შედგება მ ვ კ(x, წკ, 0), (კ, 1), (კ, 2) შეიცავს რიცხვებს კ, ბ კ, გ კშესაბამისად, სადაც 0 ≤ კ ≤ მ − 1);
- g - ორგანზომილებიანი მასივი, რომელიც შედგება მ"რიგები" და 3 "სვეტი", რომლებიც შეიცავს ფუნქციებში გამოყენებულ მუდმივებს გ კ(x, წ) (მაივის ელემენტები ინდექსებით ( კ, 0), (კ, 1), (კ, 2) შეიცავს რიცხვებს დ კ, ე კ, სთ კშესაბამისად, სადაც 0 ≤ კ ≤ მ − 1).
ყველა ცვლადი არის int ტიპის და ყველა მასივის საბაზისო ტიპი არის ორმაგი.
განვმარტოთ, რომ „ძველი“ კოორდინატთა სისტემა ნიშნავს pgraph ბიბლიოთეკაში განსაზღვრულს. ყველა გამოსახულების კონსტრუქცია განხორციელდება ძველიდან მიღებულ ახალ სისტემაში პარალელური გადაცემით (ცვლები აბსცისა და ორდინატთა ღერძების გასწვრივ, შესაბამისად, თანაბარია. x გდა წ ს) და „შეკუმშვა“ ში ლერთხელ. ამრიგად, წერტილი, რომელსაც აქვს კოორდინატები ახალ სისტემაში ( x, წ), ძველში ექნება კოორდინატები ( x l + x გ, წ ლ + წ ს). რა სახის ნომრების შენახვაა, ვფიქრობ, ზედმეტია ახსნა x გ, წ სდა ლმუდმივი ცვლადები xc , yc და l პასუხისმგებელნი არიან შესაბამისად.
ნომრების შესანახად x 0 და წ 0 ცვლადი არ არის გამოყოფილი, რადგან გამოსახულების ყველა შემთხვევაში ნულები აღებულია ამ რიცხვებად.
ფსევდო შემთხვევითი რიცხვების გენერირება: get_random_value() ფუნქცია
get_random_value() ფუნქცია ქმნის ფსევდო შემთხვევით მთელ რიცხვს 0-დან დიაპაზონში. მ− 1 ზემოთ აღწერილი სქემის შესაბამისად. აქ არის ამ ფუნქციის კოდი:
1. int get_random_value() 2. { 3. ორმაგი r = (ორმაგი ) rand() / RAND_MAX; 4. int c = 1; 5. ხოლო (s[c]< r && ++c < m) 6. ; 7. დაბრუნება c - 1 ; 8. }ბიბლიოთეკის სტანდარტული ფუნქციის rand() გამოყენებით ვიღებთ ფსევდო შემთხვევით რიცხვს 0-დან RAND_MAX მაკროს მნიშვნელობის დიაპაზონში, ვყოფთ შედეგს ამ მნიშვნელობაზე და ვანიჭებთ კოეფიციენტს r ცვლადს (გვ. 3). ახლა r ინახავს რიცხვს, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს. ის შეიძლება ჩაითვალოს დაახლოებით ამ სეგმენტზე ერთნაირად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობად.
მოდით განვმარტოთ, რომ RAND_MAX მაკროს მნიშვნელობა ჩვენს შემთხვევაში (ანუ MinGW64 შემდგენელის ვერსიის 4.9.2 გამოყენების შემთხვევაში 64-ბიტიანი სისტემებისთვის) არის 32767.
ახლა, წრფივი ძიების გამოყენებით while მარყუჟის გამოყენებით, ჩვენ ვეძებთ s მასივის უდიდესი ელემენტის ინდექსს, რომელიც ნაკლებია ან ტოლია r-ს პლუს ერთის მნიშვნელობაზე და ვინახავთ მას c ცვლადში (იხილეთ გვერდი 4- 6). გაითვალისწინეთ, რომ თუ r-ის მნიშვნელობა ნულია, ციკლი არასოდეს შესრულდება და c ცვლადი ინარჩუნებს ერთ მნიშვნელობას (იხ. გვერდი 4).
ფუნქციის მიერ დაბრუნებული მნიშვნელობა დაახლოებით შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობად თაღწერილია ზემოთ აღნიშნულ განყოფილებაში.
გამოსახულების გენერაცია: main() ფუნქცია
და აქ არის main() ფუნქციის კოდი:
1. int main() 2. { 3. სურათი *img = create_image(w, h); 4. ორმაგი x = 0, y = 0; 5. for (int i = 0; i< n; i++) 6. { 7. int r = get_random_value(); 8. ორმაგი x1 = f[r] * x + f[r] * y + f[r]; 9. ორმაგი y1 = g[r] * x + g[r] * y + g[r]; 10.x=x1; 11.y=y1; 12. ნაკრები_ფერი(img, მრგვალი(x * l) + xc, მრგვალი (y * l) + yc, შავი); 13. } 14. save_to_file(img, "out.bmp" ); 15.უფასო(img); 16. დაბრუნება 0; 17. }შექმენით სურათი მითითებული ზომებით (გვ. 3). მეხსიერების გამოყოფა ცვლადებისთვის xდა წ, რომელიც შეინახავს მიმდევრობის ამჟამინდელ წევრებს და ინიციალიზდება მათ ნულამდე (გვ. 4). შეგახსენებთ, რომ როგორც რიცხვები x 0 და წ 0, ჩართულია თითოეული მიმდევრობის პირველი წევრების გამოთვლაში, აღებულია ნულები.
გამოთვალეთ for მარყუჟში პირველი ნთითოეული მიმდევრობის წევრები (გვერდები 5-13). ჯერ ვიღებთ ფსევდო შემთხვევით რიცხვს და ვწერთ r-ზე (გვ. 7). შემდეგი, ჩვენ ვიანგარიშებთ ორივე მიმდევრობის წევრების მიმდინარე მნიშვნელობებს, ვათავსებთ მათ დროებით ცვლადებში x1 და y1 (გვ. 8, 9). გაანგარიშებისას ვიყენებთ მუდმივებს, რომლებიც ჩნდებიან იტერაციულ ფუნქციებში და ინახება f და g მასივებში. კოეფიციენტების კომპლექტების ამა თუ იმ წყვილის არჩევანი (და, შესაბამისად, განმეორებითი ფუნქციების წყვილი) დამოკიდებულია r-ის მნიშვნელობაზე, რომელიც გამოიყენება მასივის ელემენტების პირველ ინდექსებად, რომლებიც ჩართულია გამოთვლებში.
ჩვენ გადავიწერთ გამოთვლილ მიმდინარე მნიშვნელობებს x და y ცვლადებში (გვ. 10, 11). ამ ცვლადებში შემავალი წერტილის კოორდინატები გარდაიქმნება თავდაპირველი კოორდინატთა სისტემის კოორდინატებად, მრგვალდება მთელ რიცხვებამდე და წერტილი მიღებული კოორდინატებით გამოსახულებას შავ ფერში (გვ. 12).
ციკლის დასრულების შემდეგ შეინახეთ გენერირებული სურათი ფაილში "out.bmp" (გვ. 14) და გაათავისუფლეთ სურათის მიერ დაკავებული მეხსიერება (გვ. 15). ეს ასრულებს ფუნქციას.
სიერპინსკის სამკუთხედის გამოსახულების აგება
სიერპინსკის სამკუთხედი არის წერტილების ერთობლიობა, რომელიც მიღებულია ზოგიერთი საწყისი ტოლგვერდა სამკუთხედის ყველა წერტილიდან შემდეგნაირად. სამკუთხედი სამი შუა ხაზით იყოფა 4 სამკუთხედად, რის შემდეგაც "ცენტრალური" სამკუთხედი ამოღებულია. გარდა ამისა, იგივე ოპერაცია შესრულებულია დანარჩენი სამი ტოლგვერდა სამკუთხედიდან თითოეულზე. და ბოლოს, ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ მიღებული ცხრა ტოლგვერდა სამკუთხედით.
განვაგრძობთ აღწერილი ოპერაციებს უსასრულობამდე, ჩვენ საბოლოოდ ვხსნით თავდაპირველი სამკუთხედიდან უსასრულო რაოდენობის ტოლგვერდა სამკუთხედებს, რომელთა ფართობების ჯამი უდრის თავდაპირველის ფართობს. დარჩენილი წერტილები ქმნიან ხაზს, რომელსაც ეწოდება სიერპინსკის სამკუთხედი, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სიმრავლეების თეორიაში.
სეჯვიკისა და სხვა ავტორების წიგნი გვთავაზობს შემდეგ მეთოდს სიერპინსკის სამკუთხედის გამოსახულების ასაგებად. განვიხილოთ სიბრტყეზე 3 წერტილი, რომლებიც ტოლგვერდა სამკუთხედის წვეროებია, მაგალითად, წერტილები კოორდინატებით 0 , 0 , 0 , 1 , 1/2 , 3/2 დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში. ჩვენ ვირჩევთ შემთხვევით (თანაბარი ალბათობით) სამკუთხედის სამი წვეროდან ერთ-ერთს და ვაშენებთ წერტილს, რომელიც ყოფს წვეროს დამაკავშირებელ სეგმენტს 0, 0 კოორდინატებთან და შემთხვევით არჩეულ წვეროს შუაზე. ეს არის ჩვენი სურათის პირველი წერტილი.
ზემოაღნიშნული ალგორითმი შეიძლება ჩაიწეროს ადრე აღწერილ გამოსახულების აგების სქემაში, რომელიც მოიცავს შემთხვევით თანმიმდევრობებს და განმეორებით ფუნქციებს.
ჩვენ გვჭირდება 3 წყვილი გამეორების ფუნქცია. მათი ინდექსები 0, 1, 2 უნდა შეირჩეს 1/3, 1/3, 1/3 ალბათობით. თავად განმეორებითი ფუნქციები ნაჩვენებია ქვემოთ.
F 0 x , y = 1/2 x , g 0 x , y = 1/2 y , f 1 x , y = 1/2 x + 1/2 , g 1 x , y = 1/2 y , f 2 x , y = 1 / 2 x + 1 / 4 , g 2 x , y = 1 / 2 y + 3 / 4 .
ახლა მოდით ჩავსვათ ჩვენს პროგრამაში გლობალური მუდმივი ცვლადების და მუდმივი მასივების დეკლარაციები, რომლებიც შეესაბამება მოცემულ ალბათობას და მოცემულ განმეორებით ფუნქციებს. მაგრამ პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ TRIANGLE მაკრო შემდეგი განცხადების განთავსებით main.c ფაილში #include განცხადების შემდეგ.
#განსაზღვრა სამკუთხედიინსტრუქციის შემდეგ ჩასვით შემდეგი კოდი ფაილში:
// სიერპინსკის სამკუთხედი #ifdef სამკუთხედი const int n = 100000; //იტერაციების რაოდენობა const int w = 620 , h = 550 ; //სურათის ზომები const int xc = 10 , yc = 10 ; // ახალი კოორდინატთა სისტემის დასაწყისის კოორდინატები ძველში const int l = 600; //შეკუმშვის კოეფიციენტი const int m = 3 ; //იტერაციის ფუნქციების წყვილთა რაოდენობა const double s = (0, 0.3333333, 0.6666667); //ალბათობათა ჯამების მასივი const ორმაგი f = ((0.5 , 0.0 , 0.0 ), //კოეფიციენტების მასივი f(x,y) ფუნქციებისთვის, {0.5 , 0.0 , 0.5 }, //გამოიყენება x-ის გამოსათვლელად {0.5 , 0.0 , 0.25 }}; const ორმაგი g = ((0.0, 0.5, 0.0), //კოეფიციენტების მასივი ფუნქციებისთვის g(x,y), {0.0 , 0.5 , 0.0 }, //გამოიყენება y-ის გამოსათვლელად {0.0 , 0.5 , 0.4330127 }}; #დაასრულე თუზემოაღნიშნული კოდის ფრაგმენტი (პრეპროცესორული დირექტივების გარეშე) შედგენილი იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ TRIANGLE მაკრო არის განსაზღვრული (და ის განსაზღვრულია). რა თქმა უნდა, მრგვალდება მუდმივები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მხოლოდ უსასრულო ათობითი წილადების გამოყენებით (რაციონალური ან ირაციონალური).
პროგრამის შედგენისა და შესრულების შედეგად, გრაფიკული ფაილი out.bmp ჩნდება შესრულებადი ფაილის root დირექტორიაში, რომელიც შეიცავს შემდეგ სურათს:
ბარნსლის გვიმრის გამოსახულების აგება
შემდეგი სურათი, რომლის კონსტრუქცია აღწერილია სედგვიკის და სხვების წიგნში, არის ბარნსლის გვიმრის გამოსახულება. ახლა ჩვენ გვჭირდება 4 წყვილი განმეორებითი ფუნქცია. მათი ინდექსები 0, 1, 2, 3 შეირჩევა შესაბამისად 0.01, 0.85, 0.07, 0.07 ალბათობით. და აი, თავად გამეორების ფუნქციები:
F 0 x, y = 0. 5, g 0 x, y = 0, 16 y, f 1 x, y = 0, 85 x + 0, 04 y + 0, 075, g 1 x, y = - 0, 04 x + 0 , 85 y + 0 , 18 , f 2 x , y = 0 , 2 x - 0 , 26 y + 0 , 4 , g 2 x , y = 0 , 23 x + 0 , 22 y + 0 , 045, f 3 x, y = - 0, 15 x + 0, 28 y + 0. 575, g 3 x, y = 0, 26 x + 0, 24 y - 0, 086.
ჩვენ ახლა ვაკეთებთ ცვლილებებს პროგრამაში. #define ინსტრუქცია შეიცვალა ინსტრუქციით
#განსაზღვრე FERNდა #ifdef -ბლოკის შემდეგ ვათავსებთ კოდის შემდეგ ნაწილს:
//ფერნ ბარნსლი #ifdef FERN const int n = 100000; const int l = 600; const int m = 4; const double s = (0, 0.01, 0.86, 0.93); const ორმაგი f = ((0.0, 0.0, 0.5), {0.85 , 0.04 , 0.075 }, {0.2 , -0.26 , 0.4 }, {-0.15 , 0.28 , 0.575 }}; const ორმაგი g = ((0.0, 0.16, 0.0), {-0.04 , 0.85 , 0.18 }, {0.23 , 0.22 , 0.045 }, {0.26 , 0.24 , -0.086 }}; #დაასრულე თუპროგრამის შედგენისა და გაშვების შედეგია შემდეგი სურათი:
ხის გამოსახულების აგება
ახლა ავაშენოთ ის, რასაც სეჯვიკის და სხვების წიგნში უწოდებენ "ხეს", თუმცა ის, რაც გამოსახულია, უფრო ჰგავს სხვადასხვა ზომის ხეების კოლექციას. ამჯერად იტერაციულ პროცესში მონაწილეობას მიიღებს 6 წყვილი განმეორებითი ფუნქცია. მათი ინდექსები 0, 1, 2, 3, 4, 5 შეირჩევა შესაბამისად 0.1, 0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2 ალბათობით. ეს არის ფუნქციები:
F 0 x, y = 0. 55, g 0 x, y = 0. 6 y, f 1 x, y = - 0. 05 x + 0. 525, g 1 x, y = - 0. 5 x + 0 , 75 , f 2 x , y = 0 , 46 x - 0 , 15 y + 0 , 27 , g 2 x , y = 0 , 39 x + 0 , 38 y + 0 , 105 , f 3 x , y = 0 , 47 x - 0 , 15 y + 0 , 265 , g 3 x , y = 0 , 17 x + 0 , 42 y + 0 , 465 , f 4 x , y = 0 , 43 x + 0 , 26 y + 0 , 29 , g 4 x , y = - 0 , 25 x + 0 , 45 y + 0 , 625 , f 5 x , y = 0 , 42 x + 0 , 26 y + 0 , 29 , g 5 x , y = - 0.35x + 0.31y + 0.525.
#define TREEბოლო #ifdef ბლოკის შემდეგ ჩასვით შემდეგი კოდი:
//Ტყე #ifdef TREE const int n = 100000; const int w = 620 , h = 620 ; const int xc = 0 , yc = 10 ; const int l = 600; const int m = 6 ; const ორმაგი s = (0, 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8); const ორმაგი f = ((0.0, 0.0, 0.55), {-0.05 , 0.0 , 0.525 }, {0.46 , -0.15 , 0.27 }, {0.47 , -0.15 , 0.265 }, {0.43 , 0.26 , 0.29 }, {0.42 , 0.26 , 0.29 }}; const ორმაგი g = ((0.0, 0.6, 0.0) {-0.5 , 0.0 , 0.75 }, {0.39 , 0.38 , 0.105 }, {0.17 , 0.42 , 0.465 }, {-0.25 , 0.45 , 0.625 }, {-0.35 , 0.31 , 0.525 }}; #დაასრულე თუშედგენილი პროგრამის გამომავალი არის სურათი, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ:
ბოლო გამოსახულება, რომელსაც ჩვენ ავაშენებთ სეჯვიკის წიგნით ხელმძღვანელობით, არის მარჯნის გამოსახულება. ჩვენ გვჭირდება 3 წყვილი გამეორების ფუნქცია. მათი ინდექსები 0, 1, 2 შეირჩევა 0.4, 0.15, 0.45 ალბათობით შესაბამისად. განმეორებითი ფუნქციები მოცემულია ქვემოთ.
F 0 x, y = 0. 3077 x - 0. 5315 y + 0. 8863, g 0 x, y = - 0. 4615 x - 0. x - 0, 0769 y + 0, 2166, g 1 x, y = 0, 1538 x - 0, 4476 y + 0, 3384, f 2 x, y = 0, 5455 y + 0, 0106, g 2 x, y = 0. 6923 x - 0 . 1958 y + 0 . 3
შეცვალეთ #define ინსტრუქცია ინსტრუქციით
#განსაზღვე CORALბოლო #ifdef -ბლოკის შემდეგ ჩადეთ ახალი ბლოკი:
//მარჯანი #ifdef CORAL const int n = 100000; const int w = 620 , h = 620 ; const int xc = 10 , yc = 10 ; const int l = 600; const int m = 3 ; const double s = (0 , 0.4 , 0.55 ); const ორმაგი f = ((0.3077, -0.5315, 0.8863), {0.3077 , -0.0769 , 0.2166 }, {0.0 , 0.5455 , 0.0106 }}; const ორმაგი g = ((-0.4615, -0.2937, 1.0962), {0.1538 , -0.4476 , 0.3384 }, {0.6923 , -0.1958 , 0.3808 }}; #დაასრულე თუაი სურათი, რომელსაც ვიღებთ პროგრამის შედგენისა და შესრულების შედეგად:
დასკვნა
არ ვიცი თქვენი, მაგრამ ჩემთვის საინტერესო იყო იმის ყურება, თუ როგორ „იქცევა“ მათემატიკური ფორმულების ნაკრები ძალიან სასაცილო სურათებად. ისიც მიკვირს, რომ მათ, ვინც ეს ყველაფერი მოიფიქრა, შეძლეს იტერაციულ ფუნქციებში ჩართული ალბათობები და მუდმივები ისე აერჩიათ, რომ მიაღწიონ ასეთ გასაოცარ სურათებს! ყველა ამ რიცხვის შერჩევის მეთოდი (სიერპინსკის სამკუთხედის შემთხვევის გამოკლებით) ჩემთვის სრულიად გაუგებარია!
მე აღვნიშნავ, რომ სურათების მიხედვით ვიმსჯელებთ, სიერპინსკის სამკუთხედი და ბარნსლის გვიმრა ფრაქტალებია. სავარაუდოდ, იგივე შეიძლება ითქვას "ხეზე" და "მარჯანზე", მაგრამ მათი ფრაქტალური ბუნება ალბათ ცოტა ნაკლებად აშკარაა.
ქვემოთ მოცემული ბმულის გამოყენებით, როგორც ყოველთვის, შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ სტატიაში განხილული პროგრამის საწყისი კოდი. main.c ფაილს აქვს ოთხი #define განცხადება, თითოეული შეესაბამება ოთხი სურათიდან ერთს. სამ მათგანს ეხმაურება. გასაგებია, რომ ერთი სურათიდან მეორეზე გადასასვლელად საჭიროა კომენტარის გაკეთება უკომენტარულ ინსტრუქციაზე და გაუქმება კომენტარიდან ერთ-ერთი. აბა, გესმით აზრი...
და მარტივი ალგორითმის დახმარებით, შეგიძლიათ უზრუნველყოთ, რომ სტატიაში განხილული სურათები შეუფერხებლად "გადაიქცევა" ერთმანეთში. მაგრამ ეს ცალკე სტატიის თემაა.
ბერძენი გეომეტრები ამაყობდნენ თავიანთი ლოგიკური სიწმინდით; თუმცა, რაც შეეხება ფიზიკურ სივრცეს, ისინი ინტუიციით ხელმძღვანელობდნენ. ბერძნული გეომეტრიის ერთ-ერთი ასპექტი, რომელზეც განსაკუთრებული გავლენა იქონია ფიზიკურმა მოსაზრებებმა, იყო კონსტრუქციების თეორია. სწორი ხაზებისა და წრეების ელემენტარული გეომეტრიის დიდი ნაწილი შეიძლება განიხილებოდეს, როგორც სახაზავი და კომპასის მქონე კონსტრუქციების თეორია. თავად საგნის სახელი, ხაზები და წრეები, ასახავს ინსტრუმენტებს, რომლებიც გამოიყენეს მათ განსახორციელებლად. და გეომეტრიის მრავალი ელემენტარული პრობლემა, როგორიცაა ხაზის სეგმენტის ან კუთხის გაყოფა,
პერპენდიკულარულის აგება ან სამ მოცემულ წერტილში წრის დახატვა შეიძლება ამოხსნათ სახაზავი და კომპასის გამოყენებით.
კოორდინატების შეყვანის შემდეგ, ადვილია იმის ჩვენება, რომ წერტილებს, რომლებიც შეიძლება აშენდეს წერტილებიდან, აქვთ კოორდინატები ოპერაციების მიერ კოორდინატებისგან შექმნილი რიცხვების სიმრავლეში და [იხ. მუაზი (1963) ან სავარჯიშოები 6.3 ნაწილისთვის]. კვადრატული ფესვები, რა თქმა უნდა, ჩნდება პითაგორას თეორემის გამო: თუ წერტილები გამოსახულია, მაშინ მათ შორის მანძილი გამოსახულია (ნაწილი 1.6 და სურათი 2.4). პირიქით, კონსტრუქცია შესაძლებელია ნებისმიერი მოცემული სიგრძისთვის I (სავარჯიშო 2.3.2).
სურათი 2.4: მანძილის აგება
ამ თვალსაზრისით, სახაზავი და კომპასის მქონე კონსტრუქციები ძალიან განსაკუთრებულად გამოიყურება და ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ასეთი რიცხვები იყოს მოცემული, მაგალითად, თუმცა, ბერძნები ძალიან ცდილობდნენ გადაეჭრათ ეს კონკრეტული პრობლემა, რომელიც ცნობილი იყო როგორც გაორმაგება. კუბი (ე.წ. იმიტომ, რომ კუბის მოცულობის გასაორმაგებად საჭიროა გვერდის გამრავლება სხვა სამარცხვინო ამოცანები იყო კუთხის ტრისექცია და წრის კვადრატი. ბოლო ამოცანა იყო ფართობით ტოლი კვადრატის აგება. მოცემულ წრეზე, ან ააგეს რიცხვი, რომელიც ტოლია ერთი და იგივეს. მათ, როგორც ჩანს, არასოდეს მიატოვეს ეს მიზნები, თუმცა აღიარეს უარყოფითი ამოხსნის შესაძლებლობა და დაუშვა ამონახსნები ნაკლებად ელემენტარული საშუალებებით. შემდეგ თავებში ვნახავთ ზოგიერთი მათგანი.
ამ პრობლემების გადაჭრის შეუძლებლობა სწორი და კომპასის კონსტრუქციებით დაუმტკიცებელი დარჩა მეცხრამეტე საუკუნემდე. რაც შეეხება კუბის გაორმაგებას და კუთხის ტრისექციას, შეუძლებლობა აჩვენა ვანცელმა (1837). ამ პრობლემების გადაჭრის დამსახურება, რომელსაც საუკეთესო მათემატიკოსები ებრძოდნენ 2000 წლის განმავლობაში, იშვიათად ენიჭება ვანცელს, ალბათ იმიტომ, რომ მის მეთოდებს გადააჭარბა გალუას უფრო მძლავრმა თეორიამ.
წრის კვადრატის შეუძლებლობა დასტურდება ლინდემანის მიერ (1882), ძალიან მკაცრი გზით, არა მხოლოდ განუსაზღვრელი რაციონალური მოქმედებებითა და კვადრატული ფესვებით; ის ასევე ტრანსცენდენტულია, ანუ ის არ არის რაციონალური კოეფიციენტებით რაიმე მრავალწევრებული განტოლების ფესვი. ვანცელის ნამუშევრის მსგავსად, ეს იყო მცირე მათემატიკოსის მიერ დადასტურებული მნიშვნელოვანი შედეგის იშვიათი მაგალითი. ლინდემანის შემთხვევაში, ახსნა შეიძლება იყოს
ამაში მნიშვნელოვანი ნაბიჯი უკვე გადაიდგა, როდესაც ჰერმიტმა (1873) დაამტკიცა ტრანსცენდენტურობა, ორივე ამ შედეგისთვის ხელმისაწვდომი მტკიცებულება გვხვდება Klein-ში (1924). ლინდემანის შემდგომი კარიერა იყო მათემატიკურად შეუმჩნეველი, უხერხულიც კი. უპასუხა სკეპტიკოსებს, რომლებიც თვლიდნენ, რომ მისი წარმატება შემთხვევითი იყო, მან ყურადღება გაამახვილა მათემატიკაში ყველაზე ცნობილ გადაუჭრელ პრობლემაზე, ფერმას ბოლო თეორემაზე (ამ პრობლემის წარმოშობისთვის იხილეთ თავი 11). მისი მცდელობები წარუმატებლად დასრულდა არადამაჯერებელი ნაშრომების სერიაში, რომელთაგან თითოეული ასწორებდა წინა შეცდომას. ფრიცმა (1984) დაწერა საინტერესო ბიოგრაფიული სტატია ლინდემანზე.
Შესავალი.
II. Მთავარი ნაწილი:
მშენებლობის პირველი მეთოდი;
მშენებლობის მეორე მეთოდი;
მშენებლობის მესამე გზა,
სხვა ორის ნამრავლის ტოლი სეგმენტის აგება კომპასისა და მმართველის გამოყენებით:
დ) მშენებლობის მეოთხე მეთოდი.
2) კომპასისა და მმართველის გამოყენებით დანარჩენი ორის თანაფარდობის ტოლი სეგმენტის აგება:
მშენებლობის პირველი მეთოდი;
მშენებლობის მეორე მეთოდი.
დასკვნა.
განაცხადი.
შესავალი
გეომეტრიული კონსტრუქციები, ან გეომეტრიული კონსტრუქციების თეორია, არის გეომეტრიის ფილიალი, სადაც სწავლობენ გეომეტრიული ფიგურების აგების კითხვებსა და მეთოდებს გარკვეული კონსტრუქციული ელემენტების გამოყენებით. გეომეტრიული კონსტრუქციები შესწავლილია როგორც ევკლიდეს გეომეტრიაში, ასევე სხვა გეომეტრიაში, როგორც სიბრტყეზე, ისე სივრცეში. კლასიკური სამშენებლო ხელსაწყოებია კომპასები და სახაზავი (ცალმხრივი მათემატიკური), თუმცა არის კონსტრუქციები სხვა ხელსაწყოებით: მხოლოდ ერთი კომპასი, მხოლოდ ერთი სახაზავი, თუ წრე და მისი ცენტრი დახატულია სიბრტყეზე, მხოლოდ ერთი სახაზავი პარალელურად. კიდეები და ა.შ.
ყველა კონსტრუქციული პრობლემა ემყარება კონსტრუქციულ პოსტულატებს, ანუ უმარტივეს ელემენტარულ კონსტრუქციულ ამოცანებს და პრობლემა გადაჭრულად ითვლება, თუ იგი დაიყვანება ამ უმარტივესი პოსტულატური ამოცანების სასრულ რაოდენობამდე.
ბუნებრივია, თითოეულ ინსტრუმენტს აქვს საკუთარი კონსტრუქციული ძალა - პოსტულატების საკუთარი ნაკრები. ასე რომ, ცნობილია, რომ შეუძლებელია სეგმენტის დაყოფა მხოლოდ ერთი მმართველის გამოყენებით ორ თანაბარ ნაწილად, მაგრამ კომპასის გამოყენებით, შეგიძლიათ.
კომპასისა და მმართველის დახმარებით გეომეტრიული ფიგურების აგების ხელოვნება ძალიან განვითარებული იყო ძველ საბერძნეთში. ერთ-ერთი ურთულესი კონსტრუქციული ამოცანა, რომლის შესრულებაც მათ უკვე იცოდნენ, იყო სამ მოცემულ წრეზე ტანგენსი წრის აგება.
სკოლაში კომპასითა და სახაზავით (ცალმხრივი გაყოფის გარეშე) სწავლობენ უამრავ უმარტივეს კონსტრუქციას: მოცემულ წერტილზე გამავალი და მოცემული სწორი ხაზის პერპენდიკულარული ან პარალელური წრფის აგებას; მოცემული კუთხის შუაზე გაყოფა, სეგმენტის რამდენიმე ტოლ ნაწილად დაყოფა თალესის თეორემის გამოყენებით (ფაქტობრივად, სეგმენტის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე); მოცემულზე დიდი სეგმენტის აგება მთელი რიცხვით რამდენჯერმე (არსებითად, სეგმენტის გამრავლება ნატურალურ რიცხვზე). თუმცა, ჩვენ არასდროს შეგვხვედრია პრობლემა, როდესაც საჭირო იქნებოდა სეგმენტის გამრავლება სეგმენტზე კომპასისა და ხაზის გამოყენებით, ანუ ორი მოცემული სეგმენტის ნამრავლის ტოლი სეგმენტის აგება, ან სეგმენტის გაყოფა სეგმენტი, ანუ დანარჩენი ორი სეგმენტის თანაფარდობის ტოლი სეგმენტის აგება. ეს პრობლემა ჩვენთვის ძალიან საინტერესო ჩანდა და ჩვენ გადავწყვიტეთ გამოგვეკვლია იგი, ვცადოთ გამოსავალი და ნაპოვნი ამოხსნის მეთოდის გამოყენების შესაძლებლობა სხვა ამოცანების გადასაჭრელად, მაგალითად, მათემატიკასა და ფიზიკაში.
სამშენებლო პრობლემების გადაჭრისას ტრადიციული მეთოდოლოგია რეკომენდაციას უწევს ოთხ ეტაპს: ანალიზი, მშენებლობა, მტკიცებულება და კვლევა. თუმცა, სამშენებლო პრობლემების გადაჭრის მითითებული სქემა ძალიან აკადემიურად ითვლება და მის განხორციელებას დიდი დრო სჭირდება, ამიტომ პრობლემის გადაჭრის ტრადიციული სქემის ცალკეული ეტაპები ხშირად გამოტოვებულია, მაგალითად, მტკიცების ეტაპები. , კვლევა. მუშაობაში შეძლებისდაგვარად გამოვიყენეთ ოთხივე ეტაპი და მაშინაც მხოლოდ იქ, სადაც ამის საჭიროება და მიზანშეწონილობა იყო.
და ბოლო: მეთოდი, რომელიც ჩვენ აღმოვაჩინეთ ზემოაღნიშნული სეგმენტების ასაგებად, გულისხმობს კომპასისა და სტრიქის გარდა, თვითნებურად არჩეული ცალკეული სეგმენტის გამოყენებას. ერთეულის ინტერვალის დანერგვა ასევე ნაკარნახევია იმით, რომ აუცილებელია, სულ მცირე, დავადასტუროთ ჩვენ მიერ ნაპოვნი მეთოდის მართებულობა კონკრეტულ კონკრეტულ მაგალითებზე სეგმენტის მოსაძებნად.
ზოგადი პრობლემა I
კომპასისა და სწორი ხაზის გამოყენებით ააგეთ სეგმენტი, რომელიც ტოლია დანარჩენი ორი სეგმენტის ნამრავლის.
Შენიშვნა:
სავარაუდო:
მმართველი ცალმხრივია, განხეთქილების გარეშე.
მოცემულია ერთეულის სიგრძის სეგმენტი.
Სწავლა.
1. განვიხილოთ წრფეები y=2x-2 2 და y=3x-3 2 და გეომეტრიული და ანალიტიკური მეთოდებით ეცადეთ იპოვოთ ამ წრფეების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები:
ა
) გეომეტრიული მეთოდი ( ნახ.1) აჩვენა, რომ ამ წრფეების გადაკვეთის A წერტილის კოორდინატები: „5“ არის აბსცისა, „6“ არის ორდინატი, ე.ი. AE=5, AD=6.
ბ) ანალიტიკური მეთოდი ადასტურებს ამ შედეგს, ე.ი. A (5;6) - ხაზების გადაკვეთის წერტილი.
მართლაც, განტოლებათა სისტემის ამოხსნით
y=6 А(5;6) - წრფეთა გადაკვეთის წერტილი.
2. განვიხილოთ სეგმენტი: OB=2, OS=3, AD=6, AE=5.
შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ BP=OV×OS, რადგან 6=2×3; AE \u003d OB + OS, რადგან 5=2+3, სადაც
2=OB-განტოლების დახრილობა y=2x-2 2 , 3=OS - განტოლების დახრილობა y=3x-3 2 , AD=y A, OD=x A - ჩვენი გადაკვეთის A წერტილის კოორდინატები. ხაზები.
ჩვენს ვარაუდს ზოგად მაგალითზე შევამოწმებთ ანალიტიკური მეთოდით, ე.ი. y=mx-m 2 და y=nx-n 2 წრფეების განტოლებებზე (სადაც m≠n) შეამოწმეთ, რომ წრფეების გადაკვეთის წერტილს აქვს კოორდინატები:
y=nx-n 2 nx-n 2 =mx-m 2 x=(m 2 -n 2)÷(m-n)=m+n და y=mx-m 2 =m(m+n)-m 2 = წთ
ხაზების გადაკვეთის A წერტილის კოორდინატები, სადაც m და n არის ამ წრფეების ფერდობები და ა.შ.
3. რჩება სეგმენტის აგების მეთოდის პოვნა. HELL=OB×OC=m∙n=y A - Y=mx-m 2 და Y=nx-n 2 წრფეების გადაკვეთის A წერტილის ორდინატები, სადაც m≠n და m=OB, n=OC- სეგმენტები. გამოსახულია ღერძზე oh. და ამისთვის უნდა ვიპოვოთ Y=mx-m 2 და Y=nx-n 2 ხაზების აგების მეთოდი. მსჯელობიდან ირკვევა, რომ ეს წრფეები უნდა გაიაროს OB=m და OC=n სეგმენტების B და C წერტილებში, რომლებიც განეკუთვნება x ღერძს.
შენიშვნა 1.სეგმენტების ზემოაღნიშნული აღნიშვნები შეესაბამება ნახ. 1 „დანართებს“
პირველი გზა AD=mn სეგმენტის აგება, სადაც m>1 ერთეული, n>1 ერთეული, m≠n.
ერთი სეგმენტი
თვითნებური სეგმენტი, m>1ed., n>1ed.
n არის თვითნებური სეგმენტი, სადაც m≠n.
Შენობა (ნახ.2)
დავხატოთ სწორი ხაზი
OH-ზე ჩვენ გადავდებთ OA 1-ს = მ
OX-ზე გამოვყავით A 1 C 1 \u003d 1 ერთეული
ავაშენოთ C 1 B 1 =m, სადაც C 1 B 1 ┴ OH
დავხაზოთ სწორი ხაზი A 1 B 1, რომლის განტოლება არის y=mx-m 2 XOU კოორდინატთა ღერძებში (ღერძებზე მასშტაბი იგივეა).
Შენიშვნა:
ნახ.2
შენიშვნა 1.
მართლაც, ამ სწორი ხაზის დახრილობის ტანგენსი tgά 1 = C 1 B 1 /A 1 C 1 =m/1ed=m, რომელიც გადის OA 1 =m სეგმენტის A 1 წერტილში.
ანალოგიურად, ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს, რომლის განტოლებაა Y \u003d nx-n 2.
6. OX ღერძზე გამოვყავით OA 2 \u003d n (პუნქტი A 2 შემთხვევით დაემთხვა C1 წერტილს).
7. OX ღერძზე გამოყავით A 2 C 2 \u003d 1 ერთეული.
8. ჩვენ ვაშენებთ B 2 C 2 \u003d n, სადაც B 2 C 2 ┴ OH.
9. დავხაზოთ სწორი ხაზი B 2 A 2, რომლის განტოლებაა Y \u003d nx-n 2.
შენიშვნა 2.მართლაც, ამ სწორი ხაზის დახრილობა tg ά 2 =C 2 B 2 /A 2 C 2 =n/1ed=n, რომელიც გადის t A 2 სეგმენტზე OA 2 =n.
10. მივიღეთ t.A (m + n; mn) - ხაზების გადაკვეთის წერტილი Y \u003d mx-m 2 და Y \u003d nx-n 2
11. დავხატოთ AD x-ზე პერპენდიკულურად, სადაც D ეკუთვნის x ღერძს.
12. სეგმენტი AD \u003d mn (ა წერტილის ორდინატი), ე.ი. სასურველი სეგმენტი.
შენიშვნა 3.ა) მართლაც, თუ ჩვენს მაგალითში n=4 ერთეული, m=3 ერთეული, მაშინ უნდა იყოს BP=mn=3 ერთეული∙4 ერთეული=12 ერთეული. ჩვენთან ასე გამოვიდა: BP = 12 ერთეული; ბ) ხაზი B 1 B 2 არ იყო გამოყენებული ამ მშენებლობაში. B-შიც.
AD=mn სეგმენტის აგების მინიმუმ სამი განსხვავებული გზა არსებობს.
მეორე გზა სეგმენტის აგება AD=წთ, სადმ> 1 ერთეული,ნ> 1 ერთეული,მდან- ნებისმიერი.
ანალიზი
ადრე აგებული ნახაზის ანალიზი (ნახ. 2), სადაც სწორი ხაზების აგების ნაპოვნი მეთოდის გამოყენებით Y=mx-m 2 და Y=nx-n 2 ნაპოვნია t.A (m+n; mn) (ეს არის პირველი მეთოდი. ), ვარაუდობს, რომ m.A (m + n; mn) შეიძლება მოიძებნოს რომელიმე ამ ხაზის აგებით (U \u003d mx-m 2 ან U \u003d nx-n 2) და პერპენდიკულარული AD, სადაც AD არის OX-ის პერპენდიკულარული. , AD \u003d mn, D ეკუთვნის OH ღერძს. მაშინ სასურველი წერტილი A (m + n; mn) არის რომელიმე ამ წრფის გადაკვეთის წერტილი და პერპენდიკულარული AD. საკმარისია ვიპოვოთ ამ სწორი ხაზების დახრის კუთხეები, რომელთა ტანგენტები, დახრილობის კოეფიციენტების მიხედვით, უდრის m და n-ს, ე.ი. tan ά 1= m და tan ά 2 =n. იმის გათვალისწინებით, რომ tg ά 1 =m/1ed=m და tg ά 2 =n/1ed=n, სადაც 1ed არის ერთეული სეგმენტი, შეიძლება ადვილად ავაშენოთ სწორი ხაზები, რომელთა განტოლებებია Y=mx-m 2 და Y=nx-n. 2 .
ერთი სეგმენტი
n n>1 ერთეული, m და n არის ნებისმიერი რიცხვი.
პ 
კონსტრუქცია (ნახ.3)
ნახ.3
1. დავხაზოთ სწორი ხაზი OX.
2. OX ღერძზე გამოვყავით სეგმენტი OA 1 \u003d m.
3. OX ღერძზე გამოვყავით სეგმენტი A 1 D \u003d n.
4. OX ღერძზე გამოვყავით სეგმენტი A 1 C 1 \u003d 1 ერთეული.
5. ჩვენ ვაშენებთ C 1 B 1 \u003d m, სადაც C 1 B 1 ┴ OH.
6. XOU კოორდინატულ ღერძებში გავავლოთ სწორი A1B1, რომლის განტოლებაა Y=mx-m2 (ღერძებზე სკალა იგივეა).
7. აღადგინეთ პერპენდიკულარი OX-ზე D წერტილში.
8. ვიღებთ A წერტილს (m + n; mn) - წრფის გადაკვეთის წერტილი Y \u003d mx-m2 და პერპენდიკულარული AD
9. სეგმენტი AD=mn, ანუ სასურველი სეგმენტი.
გამომავალი:ეს მეორე მეთოდი უფრო უნივერსალურია, ვიდრე პირველი მეთოდი, რადგან ის საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ წერტილი A (m + n; mn) და როდესაც m \u003d n> 1 ერთეული, მაშინ ამ წერტილის კოორდინატებია A (2m; m 2). ) და AD \u003d m 2.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მოცემული კვადრატის ტოლი სეგმენტი, რომლის სიგრძე 1 ერთეულზე მეტია.
კომენტარი:მართლაც, თუ ჩვენს მაგალითში m=3 ერთეული, n=5 ერთეული, მაშინ ეს უნდა იყოს AD=mn=3 ერთეული×5 ერთეული=15 ერთეული. ასე გავაკეთეთ: AD=15 ერთეული.
მესამე გზა სეგმენტის აგებაახ.წ= წთ, სადმ> 1 ერთეული,ნ> 1 ერთეული დამ≠ ნ.
ნახაზი No2-ის გამოყენებით დახაზეთ წყვეტილი სწორი ხაზი B 1 B 2 სანამ არ გადაიკვეთება OX-თან E € OX წერტილში და სწორი ხაზი B 1 B ┴ B 2 C 2, შემდეგ
B 1 B \u003d C 1 C 2 \u003d OS 2 -OS 1 \u003d (n + 1 ერთეული) - (m + 1 ერთეული) \u003d n-m, და B 2 B \u003d B 2 C 2 -B 1 C 1 \u003d m-n => B 1 В=В 2 В=>∆В 1 ВВ 2 - ტოლფერდა, მართკუთხა>∆EC 1 В 1 - ტოლფერდა, მართკუთხა => ά=45º
იმიტომ რომ OS 1 \u003d m + 1 ერთეული და EU 1 \u003d B 1 C 1 \u003d m, შემდეგ OE \u003d OS 1 -EC 1 \u003d m + 1 ერთეული-m \u003d 1 ერთეული.
მსჯელობიდან გამომდინარეობს, რომ B 1 და B 2 წერტილები შეიძლება სხვაგვარად მოიძებნოს, რადგან ეს არის EB 1 სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები, რომლებიც შედგენილია ά=45º კუთხით ОХ ღერძზე და პერპენდიკულარულები ОХ: В 1 С 1 და В 2 С 2 და OE=1 ერთეული. გარდა ამისა, წინა მეთოდების გამოყენებით. , გვექნება მშენებლობის შემდეგი მეთოდი.
ერთჯერადი ჭრილი.
n n>1 ერთეული და m≠n.
კონსტრუქცია (ნახ.4)
1. დავხაზოთ სწორი ხაზი OX.
5.ავაშენოთ 
ά \u003d C 1 EV 1 \u003d 45º, სადაც B 1 არის C 1 B 1 პერპენდიკულარულის გადაკვეთის წერტილი ά \u003d 45º გვერდით.
7. გამოყავით OA 2 \u003d n, სადაც A 2 € OX.
8. გამოყავით A 2 C 2 \u003d 1 ერთეული, სადაც C 2 € OH.
9. აღადგინეთ C 2 B 2 პერპენდიკულარული OX ღერძზე C 2 წერტილში, სადაც B 2 არის პერპენდიკულარის გადაკვეთის წერტილი EB 1 სწორ ხაზთან.
10. ვხატავთ A 2 B 2 წრფეს, რომლის განტოლებაა Y \u003d nx-n 2, სანამ არ გადაიკვეთება A 1 B 1 წრფესთან A წერტილში.
11. A წერტილიდან ვამცირებთ OX-ის პერპენდიკულარს და ვიღებთ AD ტოლი mn, სადაც D € OX, ვინაიდან XOY ღერძების კოორდინატულ სიბრტყეებში A წერტილის კოორდინატებია (m + n; mn).
ნახ.4
კომენტარი:ამ მეთოდის მინუსი იგივეა, რაც მშენებლობის პირველი მეთოდის, სადაც მშენებლობა შესაძლებელია მხოლოდ m≠n პირობით.
მეოთხე გზა სეგმენტის აგებაახ.წ= წთ, სადმდან- ნებისმიერი, ერთ სეგმენტზე მეტი.
ერთჯერადი ჭრილი.
n n>1 ერთეული, m და n არის ნებისმიერი.
კონსტრუქცია (ნახ.5)
ნახ.5
1. დავხაზოთ სწორი ხაზი OX.
2. გამოყავით OE = 1 ერთეული, სადაც E € OX.
3. დააჭირეთ EC 1 =m, სადაც C 1 € OH.
4. აღადგინეთ პერპენდიკულარი C 1 წერტილში OX ღერძზე.
5. ავაშენოთ ά=C 1 EV 1 =45º, სადაც B 1 არის C 1 B 1 პერპენდიკულარულის გადაკვეთის წერტილი ά=45º გვერდით.
6. გადავდებთ OA 1 \u003d m, ვხატავთ სწორ ხაზს A 1 B 1, რომლის განტოლებაა Y \u003d mx-m 2, A € OH.
7. გამოყავით A 1 D=n, სადაც D € OX.
8. აღადგინეთ პერპენდიკულარი D წერტილში, სანამ ის A წერტილში არ გადაიკვეთება A 1 B 1 წრფესთან, რომლის განტოლებაა Y \u003d mx-m 2.
9. პერპენდიკულარული AD სეგმენტი = m და n სეგმენტების ნამრავლი, ანუ AD = mn, ვინაიდან A (m + n; mn).
კომენტარი:ეს მეთოდი დადებითად ადარებს პირველ და მესამე მეთოდებს, სადაც m≠n, ვინაიდან საქმე გვაქვს ნებისმიერ m და n სეგმენტებთან, ერთეული სეგმენტი შეიძლება იყოს ნაკლები, ვიდრე მხოლოდ ერთი მათგანი ჩართულია მშენებლობის დასაწყისში (გვაქვს m> 1 ერთეული).
ზოგადი პრობლემა II
კომპასისა და სწორი ხაზის გამოყენებით ააგეთ ხაზის სეგმენტი, რომელიც ტოლია დანარჩენი ორი ხაზის სეგმენტის თანაფარდობის ტოლფასი.
Შენიშვნა:
ერთეული სეგმენტი ნაკლებია გამყოფ სეგმენტზე.
სეგმენტის აგების პირველი გზან= კ/ მ, სადმ> 1 ერთეული
ერთჯერადი ჭრილი.
Შენობა (ნახ.6)
2. OU-ზე გამოვყავით OM = k.
3. გამოყავით OA 1 OX-ზე = მ.
4. OH-ზე გამოყავით A 1 C 1 \u003d 1 ერთეული.
5. ავაშენოთ С 1 В 1 \u003d m, სადაც С 1 В 1 ┴ ОХ.
6. დახაზეთ სწორი ხაზი A 1 B 1, რომლის განტოლება არის y=mx-m 2 XOU კოორდინატთა ღერძებში (ღერძებზე მასშტაბი იგივეა, ტოლია 1 ერთეულის).
7. აღადგინეთ პერპენდიკულარული MA წერტილში M ღერძზე OY, სადაც A არის MA-ს გადაკვეთის წერტილი A 1 B 1 სწორ ხაზთან (ანუ A € A 1 B 1).
8. ჩამოწიეთ პერპენდიკულარი A წერტილიდან OX ღერძამდე სანამ არ გადაიკვეთება OX ღერძთან D წერტილში. სეგმენტი AD=OM=k=mn.
9. სეგმენტი A 1 D \u003d n - სასურველი სეგმენტი, ტოლია n \u003d k / m.
სურ.6
მტკიცებულება:
1. A 1 B 1 წრფის განტოლება ნამდვილად არის Y=mx-m 2, Y=0-ზე გვაქვს 0=mx-m 2 => x=m=OA 1 და დახრილობა არის tg.
2. ∆ADA-ში 1 tg 1 D=AD/A 1 D=B 1 C 1 /A 1 C 1 =>A 1 D=AD×A 1 C 1 /B 1 C 1 =k×1ერთეული/მ= მნ /m=n, ე.ი. და 1 D=n=k/m არის სასურველი სეგმენტი.
კომენტარი.მართლაც, თუ ჩვენს მაგალითში m=3 ერთეული, k=15 ერთეული, მაშინ ეს უნდა იყოს A 1 D=n=k/m=15 ერთეული/3 ერთეული=5 ერთეული. ჩვენ მხოლოდ ეს გავაკეთეთ.
მეორე გზა სეგმენტის აგებან= კ/ მ, სადმ> 1 ერთეული
ერთჯერადი ჭრილი.
ნახ.7
1. ვაშენებთ XOU კოორდინატთა ღერძებს.
2. OU-ზე გამოვყავით OM = k.
3. გამოყავით OE \u003d 1 ერთეული, სადაც E € OX.
4. გამოყავით EC 1 \u003d m, სადაც C 1 € OX.
5. აღადგინეთ პერპენდიკულარი C 1 წერტილში OX ღერძზე.
6. ჩვენ ვაშენებთ C 1 EB 1 \u003d 45º, სადაც B 1 არის პერპენდიკულარული C 1 B 1 კვეთის წერტილი C 1 EB 1 \u003d 45º კუთხის გვერდით.
7. გამოყავით OA 1 OX-ზე = მ.
8. დახაზეთ სწორი ხაზი A 1 B 1, რომლის განტოლება არის y=mx-m 2 XOU კოორდინატთა ღერძებში (ღერძებზე მასშტაბი იგივეა, ტოლია 1 ერთეულის).
9. აღადგინეთ პერპენდიკულარული MA წერტილში M ღერძზე OY, სადაც A არის MA-ს გადაკვეთის წერტილი A 1 B 1 სწორ ხაზთან (ანუ A € A 1 B 1).
10. ჩამოწიეთ პერპენდიკულარი A წერტილიდან OX ღერძამდე, სანამ არ გადაიკვეთება OX ღერძთან D წერტილში. სეგმენტი AD=OM=k=mn.
11. სეგმენტი A 1 D=n - სასურველი სეგმენტი, ტოლი n=k/m.
მტკიცებულება:
1.∆B 1 C 1 E - მართკუთხა და ტოლფერდა, რადგან C 1 EB 1 \u003d 45º \u003d\u003e B 1 C 1 \u003d EU 1 \u003d m.
2.A 1 C 1 \u003d OS 1 - OA 1 \u003d (OE + EC1) - OA 1 \u003d 1 ერთეული + m-m \u003d 1 ერთეული.
3. A 1 B 1 სწორი ხაზის განტოლება ნამდვილად არის Y=mx-m 2, Y=0-ზე გვაქვს 0=mx-m 2 => x=m=OA 1 და დახრილობა არის tg.
4.V ∆ADA 1 tg 1 D=AD/A 1 D=B 1 C 1 /A 1 C 1 => A 1 D=AD×A 1 C 1 /B 1 C 1 =k ×1 ერთეული/მ= mn/m=n, ე.ი. და 1 D=n=k/m არის სასურველი სეგმენტი.
დასკვნა
ჩვენს ნამუშევარში ვიპოვნეთ და შევისწავლეთ სეგმენტის აგების სხვადასხვა მეთოდი, რომელიც ტოლია ორი სხვა სეგმენტის ნამრავლის ან თანაფარდობის ტოლფასი კომპასისა და მმართველის გამოყენებით, მანამდე მივეცი ამ ოპერაციების ჩვენი განმარტება სეგმენტებით, რადგან ვერ ვიპოვნეთ ვერცერთში. სპეციალური ლიტერატურა არა მხოლოდ სეგმენტების გამრავლებისა და გაყოფის განმარტებას, არამედ სეგმენტებზე ამ ოპერაციების ხსენებაც კი.
აქ ჩვენ გამოვიყენეთ თითქმის ოთხივე ეტაპი: ანალიზი, მშენებლობა, მტკიცებულება და კვლევა.
დასასრულს, გვინდა აღვნიშნოთ ფიზიკისა და მათემატიკის ცალკეულ დარგებში სეგმენტების ასაგებად ნაპოვნი მეთოდების გამოყენების შესაძლებლობა.
1. თუ გააგრძელებთ სწორ ხაზებს y=mx-m 2 და y=nx-n 2 (n>m>0) სანამ ისინი გადაიკვეთებიან OS ღერძთან, მაშინ შეგიძლიათ მიიღოთ m 2, n 2, n ტოლი სეგმენტები. 2 - მ 2 (ნახ.8), სადაც OK \u003d m 2, OM \u003d n 2, KM \u003d n 2 - m 2.
რ
სურ.8
მტკიცებულება:
თუ x=0, მაშინ y=0-m 2 => OK=m 2.
ანალოგიურად, დადასტურდა, რომ OM= n 2 =>KM=OM-OK= n 2 - m 2 .
2. ვინაიდან ორი სეგმენტის ნამრავლი არის მართკუთხედის ფართობი, რომლის გვერდები ტოლია ამ სეგმენტების, მაშინ, როდესაც ვიპოვეთ დანარჩენი ორის ნამრავლის ტოლი სეგმენტი, ამით წარმოვადგენთ მართკუთხედის ფართობს სეგმენტის ფორმა, რომლის სიგრძე რიცხობრივად უდრის ამ ფართობს.
3. მექანიკაში, თერმოდინამიკაში არის ფიზიკური სიდიდეები, მაგალითად, ნამუშევარი (А=FS, A=PV), რიცხობრივად ტოლია შესაბამის კოორდინატულ სიბრტყეებში აგებული მართკუთხედების ფართობების, შესაბამისად, ამოცანები, სადაც, მაგალითად, საჭიროა სამუშაოს შედარება მართკუთხედების ფართობების მიხედვით, ამის გაკეთება ძალიან მარტივია, თუ ეს უბნები წარმოდგენილია მართკუთხედების ფართობების რიცხობრივად ტოლი სეგმენტების სახით. და სეგმენტების ერთმანეთთან შედარება მარტივია.
4. განხილული კონსტრუქციის მეთოდი საშუალებას გაძლევთ ააგოთ სხვა სეგმენტები, მაგალითად, y=mx-m 3 და y=nx-n 3 განტოლებების სისტემის გამოყენებით შეგიძლიათ ააგოთ სეგმენტები m და n მონაცემებით, როგორიცაა m 2 +mn. +n 2 და mn(m+n), ვინაიდან განტოლებათა ამ სისტემის მიერ მოცემული წრფეების გადაკვეთის A წერტილს აქვს კოორდინატები (m 2 +mn+n 2; mn(m+n), ასევე შეგიძლიათ ააგოთ სეგმენტები n 3 , m 3 და სხვაობა n 3 - m 3 მიღებული OS-ზე უარყოფით რეგიონში X=0-ზე.
ნამუშევრები. ... დახმარება კომპასიდა მმართველები. გაყოფის ალგორითმი სეგმენტი AB შუაზე: 1) ფეხის დადება კომპასი A წერტილამდე; 2) ნაღმტყორცნების დაყენება კომპასი თანაბარისიგრძე სეგმენტი ...
პითაგორას ბიოგრაფია
ბიოგრაფია >> მათემატიკა... შენობარეგულარული გეომეტრიული ფორმები დახმარება კომპასიდა მმართველები. ... დახმარება კომპასიდა მმართველები. Მეტი ვიდრე ორი ... უდრის b/4+p, ერთი ფეხი უდრის b/4 და სხვაბ/2-პ. პითაგორას თეორემით გვაქვს: (b/4+p)=(b/4)+(b/4-p) ან ...
ბრძანება განკუთვნილია მოსახვევებისა და სწორი ხაზების თანმიმდევრული აგებისთვის ისე, რომ წინა ობიექტის დასასრული იყოს შემდეგი ობიექტის დასაწყისი. ამ გზით გეომეტრიის აგება მენიუდანაც არის შესაძლებელი ხელსაწყოები → გეომეტრია →
| Პარამეტრი | აღწერა |
| ეს ღილაკი ასრულებს გეომეტრიული ელემენტების ჯაჭვის შექმნას. ამ შემთხვევაში ამ ელემენტების კონტური იხურება ბოლო გეომეტრიული ელემენტის ჯაჭვის პირველ წერტილთან შეერთებით. ეს ღილაკი აქტიურია, როდესაც შესაძლებელია ჯაჭვის დახურვა. მაგალითად, ჯაჭვი არ იმუშავებს, თუ მხოლოდ 2 სწორი სეგმენტი აგებულია სერიულად - მათი დახურვა შესაძლებელია მხოლოდ 3 სწორი სეგმენტით - მიიღება სამკუთხედი (მინიმალური ფიგურა). მაგრამ ბეზიეს მრუდის შემთხვევაში 2 ქულა საკმარისია მესამე წერტილის დახმარებით კონტურის დასახურავად. | |
| განყოფილება | ბრძანებები სწორი ხაზების შესაქმნელად |
| ეს ღილაკი გამოიყენება არჩეული სწორი ხაზის პარალელურად თვითნებური სწორი ხაზის სეგმენტის დასახაზად. ეს ხაზი შეიძლება იყოს მშენებარე ჯაჭვის გარეთ | |
| ეს ღილაკი გამოიყენება არჩეული სწორი ხაზის პერპენდიკულარული სწორი ხაზის გასახაზავად. ეს ხაზი შეიძლება იყოს მშენებარე ჯაჭვის გარეთ | |
| ეს ღილაკი გამოიყენება არჩეულ მრუდზე ტანგენტის სწორი სეგმენტის დასახაზად. ეს მრუდი უნდა იყოს აშენებული ჯაჭვის გარეთ. ზოგიერთ შემთხვევაში, პროგრამამ შეიძლება შესთავაზოს რამდენიმე ვარიანტი ტანგენტური სეგმენტების ასაგებად. ერთი მათგანის ან ყველა ერთად შესარჩევად გამოიყენეთ წინა ან შემდეგი ობიექტის ღილაკები ან, მიუთითეთ თითოეულ სასურველ ვარიანტზე, დააჭირეთ მაუსის მარცხენა ღილაკს. თუ ველში მიუთითებთ კონკრეტული სეგმენტის სიგრძეს სიგრძე, მაშინ შესაძლებელი ხდება ტანგენსტური სეგმენტის აგება, რომლის მეორე წერტილი შეიძლება არ იყოს არჩეულ მრუდზე | |
| რკალი | Arc შექმნის ბრძანებები |
| ეს ღილაკი გამოიყენება თვითნებური რკალის ასაგებად, სამი წერტილის თანმიმდევრულად მითითებით გრაფიკულ ფანჯარაში ან პარამეტრების ზოლზე. | |
| ეს ღილაკი ხაზავს რკალის ტანგენტს ჯაჭვის წინა ელემენტზე | |
| მრუდი მრუდი | მრუდის შექმნის ბრძანებები |
| ეს ღილაკი გამოიყენება წერტილების სერიაზე დაფუძნებული სლაინის შესაქმნელად. | |
| სპლინი პოლუსების გასწვრივ | ეს ღილაკი გამოიყენება სლაინის შესაქმნელად, რომელიც ეფუძნება ლიმიტის რაოდენობას. ამავე დროს, შეგიძლიათ დააყენოთ წონაქულები და შეკვეთა წონაგანსაზღვრავს მრუდის „მიზიდულობის ძალას“ მრუდის წერტილამდე. რაც უფრო დიდია წონა, მით უფრო ახლოს არის მრუდი წერტილთან. სინამდვილეში, ეს არის მრუდის მრუდის პარამეტრი (რაც უფრო დიდია მრუდი, მით უფრო მცირეა მოსახვევის რადიუსი და პირიქით). Პარამეტრი შეკვეთაგანსაზღვრავს წერტილების მინიმალურ რაოდენობას, რომლითაც აშენდება მრუდი. მინიმალური შეკვეთა 3 - საშუალებას გაძლევთ ააგოთ მრუდი სამი წერტილიდან |
გეომეტრიის აგება ხაზის ხელსაწყოთი
ბრძანება ხაზიგანკუთვნილია სწორი ხაზებისა და რკალების თანმიმდევრული აგებისთვის ისე, რომ წინა ობიექტის დასასრული იყოს შემდეგი ობიექტის დასაწყისი. ამ ბრძანების პარამეტრების ზოლი შეიცავს დეგენერაციულ ბრძანების მენიუს . ამ გზით გეომეტრიის აგება მენიუდანაც არის შესაძლებელი ინსტრუმენტები → გეომეტრია → ხაზი. ამ ღილაკის პარამეტრების პანელი შეიცავს შემდეგ ბრძანებებს:
| Პარამეტრი | აღწერა |
| განყოფილება | ეს ღილაკი გამოიყენება თვითნებური სწორი ხაზის სეგმენტის ასაგებად |
| რკალი | ეს ღილაკი გამოიყენება ჯაჭვის წინა ელემენტზე ტანგენტის რკალის დასახაზად. ამ შემთხვევაში, რკალის შექმნის მიმართულება იცვლება კურსორის გადაადგილებით რკალის საწყისი წერტილიდან საპირისპირო მიმართულებით. |
| ეს ღილაკი ასრულებს გეომეტრიული ელემენტების ჯაჭვის შექმნას. ამის შემდეგ, პროგრამა გადადის ლოდინის რეჟიმში ახალ ჯაჭვში შესვლისთვის. | |
| თუ ეს ღილაკი დაჭერილია, მაშინ ელემენტების ჯაჭვი აგებულია. თუ ეს ღილაკი არ არის მონიშნული, მაშინ ცალკე ელემენტები (ხაზები ან რკალი) შედგენილია. |
მოსახვევებისა და პოლიხაზების აგება
მოსახვევების შექმნა შესაძლებელია მენიუდან ინსტრუმენტები → გეომეტრია → მრუდები. პოლილაინის აგება შესაძლებელია მენიუდან ინსტრუმენტები → გეომეტრია → პოლიხაზი. ბეზიეს მრუდი არის NURBS მრუდის განსაკუთრებული შემთხვევა. ყველა ეს ბრძანება გვხვდება გეომეტრიის ხელსაწყოთა პანელზე. მათი აშენების გზები ჩამოთვლილია ქვემოთ:
ღილაკი სპლაინიშექმნილია იმავე სახელწოდების მრუდის ასაგებად წერტილების სერიიდან. ღილაკები წარმოდგენილია პარამეტრების ზოლში გახსენით ობიექტიდა დახურული ობიექტისაშუალებას გაძლევთ შექმნათ ღია და დახურული მრუდი, შესაბამისად, როდესაც პირველი და ბოლო წერტილები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. დახურული მრუდი ყოველთვის შეიძლება გადავიდეს ღია მრუდზე და პირიქით.
სპლაინს აქვს დამახასიათებელი წერტილების გაფართოებული რედაქტირება. ეს არის ის, რისთვისაც არის ღილაკი. ქულების რედაქტირებაპარამეტრების პანელზე. ასევე, ეს ბრძანება ავტომატურად გამოიძახება, როდესაც ორჯერ დააწკაპუნებთ მაუსის მარცხენა ღილაკზე უკვე აგებულ მრუდზე. ამ შემთხვევაში, მრუდის წერტილებს ავსებენ ტანგენტური სეგმენტები, რომლებიც გადიან მრუდის დამახასიათებელ წერტილებს.
მრუდი შეიძლება დაიყოს ნაწილებად მენიუს ბრძანებების გამოყენებით Split → Curveდა გაყოფა → მრუდი N ნაწილებად. პირველი ბრძანება საშუალებას გაძლევთ გაყოთ არჩეული მრუდი 2 ნაწილად მითითებულ წერტილში. მეორე მრუდი საშუალებას გაძლევთ გაყოთ მრუდი რამდენიმე თანაბარ ნაწილად. ამისათვის შეარჩიეთ ნაწილების რაოდენობა პარამეტრების ზოლში და მიუთითეთ გასაყოფი მრუდი.
დამახასიათებელი წერტილების (კვადრატული წერტილები) და ტანგენტის სეგმენტების ბოლოების (მრგვალი წერტილების) გადაადგილებით მაუსის საშუალებით შეგიძლიათ აკონტროლოთ მრუდის ფორმა. ამ წერტილების გადატანა შეგიძლიათ კლავიატურის ისრებით, ამისათვის გადაიტანეთ კურსორი სასურველ წერტილზე და დააჭირეთ Enter ღილაკს. ამის შემდეგ შესაძლებელი იქნება ისრების გამოყენებით გადაადგილება საფეხურით, რომელიც არის კურსორის მიმდინარე ნაბიჯის ჯერადი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაასრულოთ მოძრაობა Enter ღილაკის დაჭერით. დამახასიათებელი წერტილების გადაადგილების 3 ვარიანტია:
- იმოძრავეთ ნებისმიერი მიმართულებით - თუ კურსორი გამოიყურება ოთხი დიაგონალური ისრის მსგავსი წერტილის თავზე გადაადგილებისას
- გადაადგილება მიმართულებების შეზღუდული დიაპაზონით - თუ კურსორი გამოიყურება ოთხ ორთოგონალურ ისარს, როდესაც მოძრაობს წერტილზე
- კურსორის გადაადგილება იწვევს გეომეტრიის ბრუნვას - თუ კურსორი მბრუნავ ისრებს ჰგავს წერტილზე გადაადგილებისას.
მრუდის წერტილების დაჭერა შესაძლებელია სხვა ობიექტებზე და სხვა მრუდის წერტილებზე გლობალური და ლოკალური სნეპების გამოყენებით. მახასიათებელი წერტილის გადაადგილების პროცესში საჭირო ლოკალური ჩართვის ჩართვა შესაძლებელია მაუსის მარჯვენა ღილაკზე დაჭერით (ან SHIFT + F10) და ჩამოსაშლელი ქვემენიუდან არჩევით. სავალდებულოა.
ღილაკი სპლინი პოლუსების გასწვრივშექმნილია მრუდის ასაგებად - სლაინი წერტილების სერიის გასწვრივ. ამ ტიპის მოსახვევისთვის შეგიძლიათ დააყენოთ წონასთან ერთადქულები და შეკვეთამრუდი პარამეტრების ზოლში. Პარამეტრი წონაგანსაზღვრავს მრუდის „მიზიდულობის ძალას“ მრუდის წერტილამდე. რაც უფრო დიდია წონა, მით უფრო ახლოს არის მრუდი წერტილთან. სინამდვილეში, ეს არის მრუდის მრუდის პარამეტრი (რაც უფრო დიდია მრუდი, მით უფრო მცირეა მოსახვევის რადიუსი და პირიქით). Პარამეტრი შეკვეთაგანსაზღვრავს წერტილების მინიმალურ რაოდენობას, რომლითაც აშენდება მრუდი. მინიმალური შეკვეთა 3 - საშუალებას გაძლევთ შექმნათ მრუდი სამი წერტილის გამოყენებით. ბოძების სლაინი ჰგავს რეგულარულ სლაინს წერტილების რედაქტირების რეჟიმში. თუ მიმდებარე ტანგენციური (ტანგენციალური) სეგმენტების ბოლო წერტილები სლაინთან არის დაკავშირებული, მაშინ მივიღებთ სლაინის მსგავსებას პოლუსების გასწვრივ. ბოძების სპლინი არსებითად უფრო გლუვია, ვიდრე ჩვეულებრივი სპლინი იმის გამო, რომ ბოძის სპლინი უზრუნველყოფს გამრუდების უწყვეტობას.
თუ თქვენ ააგებთ 2 სლაინს ბოძების გასწვრივ, მაშინ შეგიძლიათ დააკავშიროთ მათი ბოლოები ისე, რომ უზრუნველყოფილი იყოს უწყვეტობა („სიგლუვე“) გარდამავალ წერტილში.
ამისათვის თქვენ უნდა ააგოთ დამხმარე ხაზი გარდამავალ წერტილში საჭირო დახრილობით (მაგალითად, ტანგენტური დამხმარე ხაზი ამ გარდამავალ წერტილში) და გადასვლის წერტილიდან მეორე წერტილები მოათავსოთ ამ დამხმარე ხაზზე. ახლა, 3 პუნქტით და ზემოთ გადაადგილებისას (გარდამავალი წერტილიდან დათვალიერებისას), რომელიმე ამ მრუდი შეინარჩუნებს მრუდის უწყვეტობის მდგომარეობას გარდამავალ წერტილში.
თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ დამახასიათებელი წერტილი მრუდის სასურველ მონაკვეთზე მაუსის მარცხენა ღილაკზე დაჭერით.
თქვენ შეგიძლიათ წაშალოთ დამახასიათებელი წერტილი DEL ღილაკის გამოყენებით საჭირო წერტილის არჩევისას. ეს შეცვლის მრუდის ფორმას.
პოლუსებით სპლაინებთან მუშაობის ინტერფეისი მსგავსია ჩვეულებრივ სპლაინებთან მუშაობის ინტერფეისის. პარამეტრების პანელში ასევე შეგიძლიათ შექმნათ გახსენით ობიექტიდა დახურული ობიექტი. თანაც ღილაკით ქულების რედაქტირებათქვენ ასევე შეგიძლიათ შეასწოროთ მრუდის ფორმა საკვანძო წერტილების გადაადგილებით. ისევე, როგორც სნეპები მუშაობს ბეზიეს მოსახვევებთან, წერტილები გადაადგილდება და მრუდი იყოფა ნაწილებად.
ღილაკი გატეხილი ხაზიშექმნილია ურთიერთდაკავშირებული სწორი ხაზების სერიის შესაქმნელად. პოლიხაზი განსხვავდება სწორი სეგმენტების ჩვეულებრივი თანმიმდევრობისგან იმით, რომ რომელიმე ელემენტის ცვლა არ არღვევს ხაზს.
გატეხილი ხაზებით მუშაობის ინტერფეისი მსგავსია მოსახვევებთან მუშაობის ინტერფეისის. პარამეტრების პანელში ასევე შეგიძლიათ შექმნათ გახსენით ობიექტი, და დახურული ობიექტი. თანაც ღილაკით ქულების რედაქტირებათქვენ ასევე შეგიძლიათ შეასწოროთ პოლიხაზის ფორმა საკვანძო წერტილების გადაადგილებით. ისევე, როგორც მოსახვევებში, სნეპები მუშაობს და წერტილები გადაადგილდება. პოლილაინის გამორჩეული თვისება ის არის, რომ ის შეიძლება დაიყოს ცალკეულ ელემენტებად მენიუს ბრძანების გამოყენებით რედაქტორი → განადგურება. ამის შემდეგ, პოლიხაზის ცალკეული ელემენტები შეიძლება გადაადგილდეს ან წაიშალოს სხვა ელემენტებზე გავლენის გარეშე.
თუ სავსებით ბუნებრივია, რომ იარაღების უფრო მრავალფეროვნების დაშვებით, შესაძლებელი აღმოჩნდეს სამშენებლო პრობლემების უფრო დიდი ნაკრების გადაჭრა, მაშინ შეიძლება განჭვრიტოთ, რომ, პირიქით, ინსტრუმენტებზე დაწესებული შეზღუდვებით, გადაჭრის პრობლემების კლასი ვიწროვდება. მით უფრო საყურადღებოა იტალიელი მასკერონის (1750-1800) აღმოჩენა: ყველა გეომეტრიული კონსტრუქცია, რომელიც შეიძლება გაკეთდეს კომპასით და სწორხაზოვნად, შეიძლება გაკეთდეს მხოლოდ კომპასით. რა თქმა უნდა, უნდა განისაზღვროს, რომ ფაქტობრივად შეუძლებელია ორ მოცემულ წერტილში სწორი ხაზის დახატვა სახაზავის გარეშე, ამიტომ ეს ძირითადი კონსტრუქცია არ არის დაფარული მასკერონის თეორიით. ამის ნაცვლად, უნდა ვივარაუდოთ, რომ წრფე მოცემულია, თუ მოცემულია მისი ორი წერტილი. მაგრამ მხოლოდ კომპასის დახმარებით შესაძლებელია ამ გზით მოცემული ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის ან წრეზე წრფის გადაკვეთის წერტილის პოვნა.
მასკერონის აგების ალბათ უმარტივესი მაგალითია მოცემული სეგმენტის გაორმაგება.ამოხსნა უკვე მოცემულია 185-ე გვ. შემდგომში 186-ზე ვისწავლეთ მოცემული სეგმენტის შუაზე გაყოფა. ახლა ვნახოთ, როგორ გავყოთ წრის რკალი O ცენტრით. აქ არის ამ კონსტრუქციის აღწერა. რადიუსით ვხატავთ ორ რკალს ცენტრებით O წერტილიდან ამ რკალებზე ვდებთ ორ ასეთ რკალს და შემდეგ ვპოულობთ რკალის გადაკვეთის წერტილს P ცენტრთან და რადიუსთან და რკალთან ცენტრთან და რადიუსთან. და ბოლოს, სეგმენტის რადიუსად აღებისას, ჩვენ აღვწერთ რკალს P ცენტრით ან სანამ რკალის კვეთა არ იქნება გადაკვეთის წერტილი და იქნება რკალის სასურველი შუა წერტილი. მტკიცებულება სავარჯიშოს სახით მკითხველს უტოვებს.
ბრინჯი. 48. წრისა და ცენტრის არგამტარი ხაზის გადაკვეთა
შეუძლებელი იქნება მასკერონის მთავარი მტკიცების დამტკიცება, ყოველი კონსტრუქციისთვის, რომელიც შეიძლება შესრულდეს კომპასითა და წრფით, როგორ შეიძლება გაკეთდეს ერთი კომპასით: ბოლოს და ბოლოს, არსებობს უსასრულო რაოდენობის შესაძლო კონსტრუქციები. მაგრამ ჩვენ მივაღწევთ იმავე მიზანს, თუ დავადგენთ, რომ თითოეული შემდეგი ძირითადი კონსტრუქცია შესაძლებელია ერთი კომპასით:
1. დახაზეთ წრე, თუ მოცემულია ცენტრი და რადიუსი.
2. იპოვეთ ორი წრის გადაკვეთის წერტილები.
3. იპოვეთ წრფისა და წრის გადაკვეთის წერტილები.
4. იპოვეთ ორი წრფის გადაკვეთის წერტილი.
ნებისმიერი გეომეტრიული კონსტრუქცია (ჩვეულებრივი გაგებით, კომპასისა და წრფის ვარაუდით) შედგება ამ ელემენტარული კონსტრუქციების სასრული მიმდევრობისგან. რომ პირველი ორი მათგანი შესაძლებელია ერთი კომპასით, მაშინვე ნათელია. უფრო რთული კონსტრუქციები 3 და 4 შესრულებულია წინა აბზაცში განხილული ინვერსიის თვისებების გამოყენებით.
მივმართოთ მე-3 კონსტრუქციას: ვიპოვოთ მოცემული C წრის გადაკვეთის წერტილები ამ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზით. ვხატავთ რკალებს ცენტრებით და რადიუსებით, შესაბამისად, ტოლი და O წერტილის გარდა, ისინი იკვეთებიან წერტილში. P. შემდეგ ვაშენებთ P წერტილის საპასუხო წერტილს C წრის მიმართ (იხ. კონსტრუქცია აღწერილია 186 გვერდზე). ბოლოს ვხატავთ წრეს ცენტრით და რადიუსით (ის აუცილებლად გადაიკვეთება C-სთან): მისი გადაკვეთის წერტილები C წრესთან იქნება სასურველი. ამის დასამტკიცებლად საკმარისია დავადგინოთ, რომ თითოეული წერტილი ერთსა და იმავე მანძილზეა (რაც შეეხება წერტილებს, მათი ანალოგიური თვისება მაშინვე გამომდინარეობს კონსტრუქციიდან). მართლაც, საკმარისია მივუთითოთ ის გარემოება, რომ წერტილის შებრუნებული წერტილი გამოყოფილია წერტილებისგან C წრის რადიუსის ტოლი მანძილით (იხ. გვ. 184). აღსანიშნავია, რომ წერტილებში გამავალი წრე არის შებრუნებული წრფე C წრის მიმართ, რადგან ეს წრე და წრფე იკვეთება.
ბრინჯი. 49. ცენტრში გამავალი წრისა და სწორი ხაზის გადაკვეთა
C-ით იმავე წერტილებში. (შებრუნებისას, საბაზისო წრის წერტილები ფიქსირებული რჩება.)
მითითებული კონსტრუქცია შეუძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ხაზი გადის C ცენტრს. მაგრამ გადაკვეთის წერტილები შეიძლება მოიძებნოს 188-ე გვერდზე აღწერილი კონსტრუქციით, როგორც ეს მიიღება, როდესაც ვხატავთ თვითნებურ წრეს B ცენტრით, რომელიც კვეთს C-ს წერტილებში. მეთოდი ორი მოცემული წერტილის დამაკავშირებელ სწორ წრფეზე შებრუნებული წრის დახატვა მაშინვე იძლევა კონსტრუქციას, რომელიც ამოხსნის ამოცანას 4. მოდით, წრფეები მოცემულია წერტილებით (სურ. 50).
ბრინჯი. 50. ორი ხაზის გადაკვეთა
დავხატოთ თვითნებური წრე C და ზემოაღნიშნული მეთოდის გამოყენებით ავაშენოთ წრეები, რომლებიც შებრუნებულია წრფეებთან და ეს წრეები იკვეთება O წერტილში და კიდევ ერთ წერტილში X წერტილი, წერტილის შებრუნება, არის სასურველი გადაკვეთის წერტილი: როგორ მისი აშენება უკვე ახსნილია ზემოთ. რომ X არის სასურველი წერტილი, ცხადია, რომ არსებობს ერთი წერტილი შებრუნებული წერტილის მიმართ, რომელიც ერთდროულად ეკუთვნის ორივე წრფეს და, შესაბამისად, X წერტილს, ინვერსიული უნდა იყოს ერთდროულად და
ეს ორი კონსტრუქცია ავსებს მასკერონის კონსტრუქციებს შორის ეკვივალენტობის მტკიცებულებას, რომლებშიც მხოლოდ კომპასებია დაშვებული და ჩვეულებრივი გეომეტრიული კონსტრუქციები კომპასებითა და სწორხაზებით.
ჩვენ არ გვაინტერესებდა აქ განხილული ინდივიდუალური პრობლემების გადაჭრის ელეგანტურობა, ვინაიდან ჩვენი მიზანი იყო მასკერონის კონსტრუქციების შინაგანი მნიშვნელობის გარკვევა. მაგრამ მაგალითად, ჩვენ ასევე მივუთითებთ რეგულარული ხუთკუთხედის მშენებლობას; უფრო ზუსტად, ჩვენ ვსაუბრობთ წრეზე ხუთი წერტილის პოვნაზე, რომელიც შეიძლება იყოს რეგულარული ჩაწერილი ხუთკუთხედის წვეროები.
ვთქვათ A არის თვითნებური წერტილი K წრეზე. ვინაიდან რეგულარული ჩაწერილი ექვსკუთხედის გვერდი უდრის წრის რადიუსს, რთული არ იქნება K-ზე ისეთი წერტილების გამოყოფა, რომ
