სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი: განმარტებები ტრიგონომეტრიაში, მაგალითები, ფორმულები. კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი

ინსტრუქცია

სამკუთხედს მართკუთხა სამკუთხედს უწოდებენ, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე 90 გრადუსია. იგი შედგება ორი ფეხისა და ჰიპოტენუზისგან. ჰიპოტენუზა ამ სამკუთხედის ყველაზე გრძელი გვერდია. ის დევს სწორი კუთხით. ფეხებს, შესაბამისად, მის პატარა მხარეებს უწოდებენ. ისინი შეიძლება იყოს ერთმანეთის ტოლი ან განსხვავებული ზომები. მართკუთხა სამკუთხედით რომ მუშაობთ ფეხების ტოლობა. მისი სილამაზე ის არის, რომ აერთიანებს ორ ფიგურას: მართკუთხა და ტოლფერდა სამკუთხედს. თუ ფეხები არ არის თანაბარი, მაშინ სამკუთხედი არის თვითნებური და ძირითადი კანონის მიხედვით: რაც უფრო დიდია კუთხე, მით უფრო ტრიალებს მის მოპირდაპირედ მყოფი.

ჰიპოტენუზის და კუთხით პოვნის რამდენიმე გზა არსებობს. მაგრამ სანამ რომელიმე მათგანს გამოიყენებთ, უნდა დაადგინოთ რომელი და კუთხე ცნობილია. კუთხის და მის მიმდებარე ფეხის გათვალისწინებით, უფრო ადვილია ჰიპოტენუზის პოვნა კუთხის კოსინუსით. მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის (cos a) კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. ეს გულისხმობს, რომ ჰიპოტენუზა (c) ტოლი იქნება მიმდებარე ფეხის (b) შეფარდება a (cos a) კუთხის კოსინუსთან. ეს შეიძლება დაიწეროს ასე: cos a=b/c => c=b/cos a.

თუ კუთხე და საპირისპირო ფეხია მოცემული, მაშინ მუშაობა უნდა გაკეთდეს. მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის (sin a) სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის (a) თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან (c). აქ პრინციპი იგივეა, რაც წინა მაგალითში, კოსინუს ფუნქციის ნაცვლად აღებულია მხოლოდ სინუსი. sin a=a/c => c=a/sin a.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, როგორიცაა . მაგრამ სასურველი მნიშვნელობის პოვნა ოდნავ უფრო რთულია. მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის (tg a) ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის (a) თანაფარდობა მეზობელზე (b). ორივე ფეხის პოვნის შემდეგ გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა (ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს) და იპოვით უფრო დიდს.

შენიშვნა

პითაგორას თეორემასთან მუშაობისას არ დაგავიწყდეთ, რომ საქმე გაქვთ ხარისხთან. ფეხის კვადრატების ჯამის აღმოჩენის შემდეგ, საბოლოო პასუხის მისაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ კვადრატული ფესვი.

წყაროები:

• როგორ მოვძებნოთ ფეხი და ჰიპოტენუზა

ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მოპირდაპირეა 90 გრადუსიანი კუთხით. მისი სიგრძის გამოსათვლელად საკმარისია ვიცოდეთ ერთ-ერთი ფეხის სიგრძე და სამკუთხედის ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მნიშვნელობა.

ინსტრუქცია

ცნობილი და მწვავე მართი კუთხით, მაშინ ჰიპოტენუზის ზომა არის ფეხის თანაფარდობა ამ კუთხით / ამ კუთხით, თუ მოცემული კუთხე არის საპირისპირო / მის გვერდით:

h = C1(ან C2)/sinα;

h = С1(ან С2)/cosα.

მაგალითი: მოდით ABC მოცემულია ჰიპოტენუზა AB და C. დავუშვათ კუთხე B იყოს 60 გრადუსი და კუთხე A 30 გრადუსი BC ფეხის სიგრძეა 8 სმ. თქვენ გჭირდებათ AB ჰიპოტენუზის სიგრძე. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზემოთ შემოთავაზებული ნებისმიერი მეთოდი:

AB=BC/cos60=8 სმ.

AB = BC/sin30 = 8 სმ.

სიტყვა " ფეხი” მომდინარეობს ბერძნული სიტყვებიდან ”პერპენდიკულარული” ან ”ვერტიკალური” - ეს განმარტავს, თუ რატომ ეწოდა მართკუთხა სამკუთხედის ორივე გვერდი, რომლებიც ქმნიან მის ოთხმოცდაათ გრადუსიან კუთხეს. იპოვეთ რომელიმეს სიგრძე ფეხი ov არ არის რთული, თუ ცნობილია მის მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობა და ნებისმიერი სხვა პარამეტრი, რადგან ამ შემთხვევაში სამივე კუთხის მნიშვნელობები რეალურად გახდება ცნობილი.

ინსტრუქცია

თუ მიმდებარე კუთხის (β) მნიშვნელობის გარდა, მეორის სიგრძე ფეხი a (b), შემდეგ სიგრძე ფეხიდა (a) შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ცნობილის სიგრძის კოეფიციენტი ფეხიხოლო ცნობილი კუთხით: a=b/tg(β). ეს გამომდინარეობს ამ ტრიგონომეტრიის განმარტებიდან. შეგიძლიათ გააკეთოთ ტანგენტის გარეშე, თუ იყენებთ თეორემას. მისგან გამომდინარეობს, რომ სასურველის სიგრძე საპირისპირო კუთხის სინუსამდე ცნობილის სიგრძის თანაფარდობასთან ფეხიმაგრამ ცნობილი კუთხის სინუსამდე. სასურველის საპირისპიროდ ფეხი y მწვავე კუთხე შეიძლება გამოისახოს ცნობილი კუთხით, როგორც 180°-90°-β = 90°-β, ვინაიდან ნებისმიერი სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი უნდა იყოს 180°, ხოლო მისი ერთი კუთხე უდრის 90-ს. °. ასე რომ, სასურველი სიგრძე ფეხიდა შეიძლება გამოითვალოს a=sin(90°-β)∗b/sin(β) ფორმულით.

თუ ცნობილია მიმდებარე კუთხის (β) სიდიდე და ჰიპოტენუზის (c) სიგრძე, მაშინ სიგრძე ფეხიდა (a) შეიძლება გამოითვალოს ჰიპოტენუზისა და ცნობილი კუთხის კოსინუსის სიგრძის ნამრავლად: a=c∗cos(β). ეს გამომდინარეობს კოსინუსის, როგორც ტრიგონომეტრიული ფუნქციის განმარტებიდან. მაგრამ შეგიძლიათ გამოიყენოთ, როგორც წინა ეტაპზე, სინუსების თეორემა და შემდეგ სასურველის სიგრძე ფეხი a იქნება ტოლი სინუსის ნამრავლის 90°-სა და ცნობილ კუთხეს გამრავლებული ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა მართი კუთხის სინუსთან. და რადგან 90°-ის სინუსი ერთის ტოლია, ის შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: a=sin(90°-β)∗c.

პრაქტიკული გამოთვლები შეიძლება განხორციელდეს, მაგალითად, Windows ოპერაციულ სისტემაში შემავალი პროგრამული უზრუნველყოფის კალკულატორის გამოყენებით. მის გასაშვებად შეგიძლიათ მთავარ მენიუში „Start“ ღილაკზე აირჩიოთ „Run“ პუნქტი, ჩაწეროთ calc ბრძანება და დააჭიროთ ღილაკს „OK“. ამ პროგრამის ინტერფეისის უმარტივესი ვერსია, რომელიც იხსნება ნაგულისხმევად, არ იძლევა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, ამიტომ, მისი გაშვების შემდეგ, მენიუში უნდა დააჭიროთ განყოფილებას "ნახვა" და აირჩიოთ "სამეცნიერო" ან "საინჟინრო" ხაზი (დამოკიდებულია ოპერაციული სისტემის ვერსიაზე, რომელსაც იყენებთ).

Მსგავსი ვიდეოები

სიტყვა "კატეტი" რუსულად ბერძნულიდან შემოვიდა. ზუსტი თარგმანით, ეს ნიშნავს ქლიავის ხაზს, ანუ დედამიწის ზედაპირზე პერპენდიკულარულს. მათემატიკაში ფეხებს უწოდებენ გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედის სწორ კუთხეს. ამ კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება. ტერმინი "ფეხი" ასევე გამოიყენება არქიტექტურასა და შედუღების ტექნოლოგიაში.

დახაზეთ მართკუთხა სამკუთხედი ACB. მონიშნეთ მისი ფეხები a და b, და დაასახელეთ მისი ჰიპოტენუზა c. მართკუთხა სამკუთხედის ყველა გვერდი და კუთხე ერთმანეთის მიმართ არის განსაზღვრული. ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობას ჰიპოტენუზასთან ეწოდება ამ კუთხის სინუსი. ამ სამკუთხედში sinCAB=a/c. კოსინუსი არის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხის ჰიპოტენუზასთან, ანუ cosCAB=b/c. ინვერსიულ მიმართებებს უწოდებენ სეკანტურ და კოსეკანტურს.

ამ კუთხის სეკანტი მიიღება ჰიპოტენუზის მიმდებარე ფეხზე გაყოფით, ანუ secCAB=c/b. გამოდის კოსინუსის ორმხრივი, ანუ შეიძლება გამოისახოს ფორმულით secCAB=1/cosSAB.
კოსეკანტი უდრის ჰიპოტენუზის საპირისპირო ფეხზე გაყოფის კოეფიციენტს და არის სინუსის ორმხრივი. მისი გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით cosecCAB=1/sinCAB

ორივე ფეხი ურთიერთდაკავშირებული და კოტანგენტურია. ამ შემთხვევაში, ტანგენტი იქნება a მხარის თანაფარდობა b მხარესთან, ანუ მოპირდაპირე ფეხი მეზობელთან. ეს თანაფარდობა შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით tgCAB=a/b. შესაბამისად, შებრუნებული თანაფარდობა იქნება კოტანგენსი: ctgCAB=b/a.

ჰიპოტენუზისა და ორივე ფეხის ზომებს შორის თანაფარდობა განისაზღვრა ძველი ბერძნული პითაგორას მიერ. თეორემა, მისი სახელი, ხალხი ჯერ კიდევ იყენებს. ნათქვამია, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს, ანუ c2 \u003d a2 + b2. შესაბამისად, თითოეული ფეხი ტოლი იქნება ჰიპოტენუზისა და მეორე ფეხის კვადრატებს შორის სხვაობის კვადრატული ფესვის. ეს ფორმულა შეიძლება დაიწეროს როგორც b=√(c2-a2).

ფეხის სიგრძე ასევე შეიძლება გამოიხატოს თქვენთვის ცნობილი ურთიერთობებით. სინუსებისა და კოსინუსების თეორემების მიხედვით, ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზისა და ერთ-ერთი ამ ფუნქციის ნამრავლის. შეგიძლიათ გამოხატოთ ის და ან კოტანგენტი. ფეხი a შეგიძლიათ იპოვოთ, მაგალითად, ფორმულით a \u003d b * tan CAB. ზუსტად ანალოგიურად, მოცემული ტანგენტის ან , მეორე ფეხი განისაზღვრება.

არქიტექტურაში ასევე გამოიყენება ტერმინი „ფეხი“. იგი გამოიყენება იონურ კაპიტალზე და ზურგის შუაში. ანუ, ამ შემთხვევაში, ამ ვადით, მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია.

შედუღების ტექნოლოგიაში არის "ფილე შედუღების ფეხი". როგორც სხვა შემთხვევებში, ეს არის უმოკლესი მანძილი. აქ საუბარია უფსკრულის შესახებ შედუღებამდე ერთ ნაწილს შორის მეორე ნაწილის ზედაპირზე მდებარე ნაკერის საზღვარზე.

Მსგავსი ვიდეოები

წყაროები:

• რა არის ფეხი და ჰიპოტენუზა 2019 წელს

ცხოვრებაში ხშირად გვიწევს მათემატიკური პრობლემების წინაშე: სკოლაში, უნივერსიტეტში, შემდეგ კი შვილს საშინაო დავალების შესრულებაში დახმარება. გარკვეული პროფესიის ადამიანები მათემატიკას ყოველდღიურად ხვდებიან. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა მათემატიკური წესების დამახსოვრება ან გახსენება. ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ ერთ-ერთ მათგანს: მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის პოვნას.

რა არის მართკუთხა სამკუთხედი

ჯერ გავიხსენოთ რა არის მართკუთხა სამკუთხედი. მართკუთხა სამკუთხედი არის სამი სეგმენტის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც აკავშირებს წერტილებს, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და ამ ფიგურის ერთ-ერთი კუთხე 90 გრადუსია. გვერდებს, რომლებიც ქმნიან მართ კუთხეს, ეწოდება ფეხები, ხოლო მხარეს, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ, ეწოდება ჰიპოტენუზა.

მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის პოვნა

ფეხის სიგრძის გასარკვევად რამდენიმე გზა არსებობს. მსურს უფრო დეტალურად განვიხილო ისინი.

პითაგორას თეორემა მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის მოსაძებნად

თუ ვიცით ჰიპოტენუზა და ფეხი, მაშინ შეგვიძლია ვიპოვოთ უცნობი ფეხის სიგრძე პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ასე ჟღერს: „ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს“. ფორმულა: c²=a²+b², სადაც c არის ჰიპოტენუზა, a და b არის ფეხები. ჩვენ გარდაქმნით ფორმულას და ვიღებთ: a²=c²-b².

მაგალითი. ჰიპოტენუზა არის 5 სმ, ფეხი კი 3 სმ. ჩვენ გარდაქმნით ფორმულას: c²=a²+b² → a²=c²-b². შემდეგი, ჩვენ ვწყვეტთ: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (სმ).

ტრიგონომეტრიული მიმართებები მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის მოსაძებნად

ასევე შესაძლებელია უცნობი ფეხის პოვნა, თუ ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედის ნებისმიერი სხვა გვერდი და ნებისმიერი მწვავე კუთხე. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით ფეხის პოვნის ოთხი ვარიანტი არსებობს: სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის, კოტანგენტის მიხედვით. პრობლემების გადაჭრაში დაგვეხმარება ქვემოთ მოცემული ცხრილი. განვიხილოთ ეს ვარიანტები.

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი სინუსის გამოყენებით

კუთხის სინუსი (ცოდვა) არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. ფორმულა: sin \u003d a / c, სადაც a არის ფეხი მოცემული კუთხის საპირისპიროდ და c არის ჰიპოტენუზა. შემდეგი, ჩვენ გარდაქმნით ფორმულას და ვიღებთ: a=sin*c.

მაგალითი. ჰიპოტენუზა არის 10 სმ და კუთხე A 30 გრადუსია. ცხრილის მიხედვით ვიანგარიშებთ A კუთხის სინუსს, ის უდრის 1/2-ს. შემდეგ ტრანსფორმირებული ფორმულის გამოყენებით ვხსნით: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (სმ).

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი კოსინუსის გამოყენებით

კუთხის კოსინუსი (cos) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. ფორმულა: cos \u003d b / c, სადაც b არის მოცემული კუთხის მიმდებარე ფეხი და c არის ჰიპოტენუზა. გადავცვალოთ ფორმულა და მივიღოთ: b=cos*c.

მაგალითი. A კუთხე არის 60 გრადუსი, ჰიპოტენუზა 10 სმ ცხრილის მიხედვით ვიანგარიშებთ A კუთხის კოსინუსს, ის უდრის 1/2-ს. შემდეგ ვხსნით: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (სმ).

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი ტანგენტის გამოყენებით

კუთხის ტანგენსი (tg) არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან. ფორმულა: tg \u003d a / b, სადაც a არის ფეხი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს, ხოლო b არის მიმდებარე. გადავცვალოთ ფორმულა და მივიღოთ: a=tg*b.

მაგალითი. A კუთხე არის 45 გრადუსი, ჰიპოტენუზა 10 სმ ცხრილის მიხედვით ვიანგარიშებთ A კუთხის ტანგენტს, ის უდრის ამოხსნას: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (სმ).

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი კოტანგენტის გამოყენებით

კუთხის კოტანგენსი (ctg) არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ. ფორმულა: ctg \u003d b / a, სადაც b არის ფეხი კუთხის მიმდებარედ და საპირისპიროა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კოტანგენსი არის "შებრუნებული ტანგენსი". ვიღებთ: b=ctg*a.

მაგალითი. კუთხე A არის 30 გრადუსი, მოპირდაპირე ფეხი 5 სმ ცხრილის მიხედვით A კუთხის ტანგენსი არის √3. გამოთვალეთ: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (სმ).

ასე რომ, ახლა თქვენ იცით, როგორ იპოვოთ ფეხი მართკუთხა სამკუთხედში. როგორც ხედავთ არც ისე რთულია, მთავარია ფორმულების დამახსოვრება.

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხე α არის თანაფარდობა საწინააღმდეგოკათეტერი ჰიპოტენუზაში.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: sin α.

კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედის α მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: cos α.

ტანგენტიმწვავე კუთხე α არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მიმდებარე ფეხთან.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: tg α.

კოტანგენსიმწვავე კუთხე α არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის მიმართ.
იგი აღინიშნება შემდეგნაირად: ctg α.

კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის სიდიდეზე.

წესები:

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები მართკუთხა სამკუთხედში:

(α - მწვავე კუთხე ფეხის მოპირდაპირედ ბ და ფეხის მიმდებარედ ა . მხარე თან - ჰიპოტენუზა. β - მეორე მწვავე კუთხე).

როგორც მწვავე კუთხე იზრდებასინა დაtg α ზრდა დაcos α მცირდება.

ნებისმიერი მწვავე კუთხისთვის α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

განმარტებითი მაგალითი:

ჩავდოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC
AB = 6,
BC = 3,
კუთხე A = 30º.

იპოვეთ A კუთხის სინუსი და B კუთხის კოსინუსი.

გადაწყვეტილება .

1) ჯერ ვიპოვით B კუთხის მნიშვნელობას. აქ ყველაფერი მარტივია: რადგან მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხეების ჯამი არის 90º, შემდეგ კუთხე B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) გამოთვალეთ ცოდვა A. ჩვენ ვიცით, რომ სინუსი ტოლია მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებასა და ჰიპოტენუზას. A კუთხისთვის მოპირდაპირე ფეხი არის BC მხარე. Ისე:

ძვ.წ 3 1
ცოდვა A = -- = - = -
AB 6 2

3) ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ cos B. ჩვენ ვიცით, რომ კოსინუსი უდრის მიმდებარე ფეხის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. B კუთხისთვის, მიმდებარე ფეხი არის იგივე მხარე BC. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ კვლავ უნდა დავყოთ BC AB-ად - ანუ შეასრულოთ იგივე მოქმედებები, როგორც A კუთხის სინუსის გამოთვლისას:

ძვ.წ 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

შედეგი არის:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ერთი მახვილი კუთხის სინუსი უდრის სხვა მახვილი კუთხის კოსინუსს - და პირიქით. ეს არის ზუსტად ის, რასაც ჩვენი ორი ფორმულა ნიშნავს:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

მოდით კიდევ ერთხელ შევამოწმოთ:

1) მოდით α = 60º. α-ს მნიშვნელობის სინუს ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
ცოდვა (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) მოდით α = 30º. α-ს მნიშვნელობის ჩანაცვლებით კოსინუსების ფორმულაში მივიღებთ:
cos (90° - 30º) = ცოდვა 30º.
cos 60° = ცოდვა 30º.

(ტრიგონომეტრიის შესახებ მეტი იხილეთ ალგებრას განყოფილება)

რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი, დაგეხმარებათ მართკუთხა სამკუთხედის გაგებაში.

რა ჰქვია მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს? ასეა, ჰიპოტენუზა და ფეხები: ჰიპოტენუზა არის ის მხარე, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ (ჩვენს მაგალითში ეს არის გვერდი \ (AC \) ); ფეხები არის ორი დარჩენილი მხარე \ (AB \) და \ (BC \) (ისინი, რომლებიც გვერდით არიან მართი კუთხით), უფრო მეტიც, თუ გავითვალისწინებთ ფეხებს კუთხის \ (BC \) მიმართ, მაშინ ფეხი \ (AB \) არის მიმდებარე ფეხი, ხოლო ფეხი \ (BC \) საპირისპიროა. ახლა მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: რა არის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?

კუთხის სინუსი- ეს არის საპირისპირო (შორს) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

ჩვენს სამკუთხედში:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

კუთხის კოსინუსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

ჩვენს სამკუთხედში:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

კუთხის ტანგენსი- ეს არის საპირისპირო (შორს) ფეხის თანაფარდობა მიმდებარე (ახლო) მიმართ.

ჩვენს სამკუთხედში:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

კუთხის კოტანგენსი- ეს არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა საპირისპირო (შორს).

ჩვენს სამკუთხედში:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

ეს განმარტებები აუცილებელია გახსოვდეს! იმისთვის, რომ გაგიადვილდეთ დაიმახსოვროთ რომელი ფეხი რაზე უნდა გაიყოთ, ნათლად უნდა გესმოდეთ ეს ტანგენსიდა კოტანგენსიმხოლოდ ფეხები ზის და ჰიპოტენუზა ჩნდება მხოლოდ შიგნით სინუსიდა კოსინუსი. შემდეგ კი შეგიძლიათ ასოციაციების ჯაჭვის შექმნა. მაგალითად, ეს:

კოსინუსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე;

კოტანგენსი→შეხება→შეხება→მიმდებარე.

უპირველეს ყოვლისა, უნდა გვახსოვდეს, რომ სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი, როგორც სამკუთხედის გვერდების შეფარდება, არ არის დამოკიდებული ამ გვერდების სიგრძეზე (ერთი კუთხით). Არ ენდო? შემდეგ დარწმუნდით, რომ სურათს შეხედეთ:

განვიხილოთ, მაგალითად, კუთხის კოსინუსი \(\beta \) . განმარტებით, სამკუთხედიდან \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), მაგრამ შეგვიძლია გამოვთვალოთ \(\beta \) კუთხის კოსინუსი სამკუთხედიდან \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ხედავთ, გვერდების სიგრძე განსხვავებულია, მაგრამ ერთი კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა იგივეა. ამრიგად, სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის მნიშვნელობები დამოკიდებულია მხოლოდ კუთხის სიდიდეზე.

თუ გესმით განმარტებები, მაშინ გააგრძელეთ და გაასწორეთ ისინი!

სამკუთხედისთვის \(ABC \) , რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში, ჩვენ ვპოულობთ \(\sin \\alpha,\ \cos \\alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(მასივი)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\ბოლო(მასივი) \)

აბა, გაიგე? შემდეგ სცადეთ თავად: გამოთვალეთ იგივე კუთხე \(\beta \) .

პასუხები: \(\sin \\beta =0.6;\ \cos \\beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

ერთეული (ტრიგონომეტრიული) წრე

ხარისხისა და რადიანის ცნებების გაგებით, ჩვენ განვიხილეთ წრე, რომლის რადიუსი ტოლია \ (1 \) . ასეთ წრეს ე.წ მარტოხელა. ძალიან სასარგებლოა ტრიგონომეტრიის შესწავლაში. ამიტომ, ჩვენ მასზე ცოტა უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ.

როგორც ხედავთ, ეს წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. წრის რადიუსი უდრის ერთს, ხოლო წრის ცენტრი დევს საწყისზე, რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია ფიქსირდება \(x\) ღერძის დადებითი მიმართულებით (ჩვენს მაგალითში ეს არის რადიუსი \(AB \) ).

წრის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ორი რიცხვი: კოორდინატი \(x\) ღერძის გასწვრივ და კოორდინატი \(y\) ღერძის გასწვრივ. რა არის ეს კოორდინატთა რიცხვები? და საერთოდ, რა შუაშია ისინი განსახილველ თემასთან? ამისათვის დაიმახსოვრეთ განხილული მართკუთხა სამკუთხედი. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი მთელი მართკუთხა სამკუთხედი. განვიხილოთ სამკუთხედი \(ACG \) . ის მართკუთხაა, რადგან \(CG \) პერპენდიკულარულია \(x\) ღერძზე.

რა არის \(\cos \\alpha\) სამკუთხედიდან \(ACG \)? Სწორია \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ \(AC \) არის ერთეული წრის რადიუსი, ამიტომ \(AC=1 \) . ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს კოსინუს ფორმულაში. აი რა ხდება:

\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

და რა არის \(\sin \\alpha\) სამკუთხედიდან \(ACG\) ? Რა თქმა უნდა, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! ჩაანაცვლეთ რადიუსის \ (AC \) მნიშვნელობა ამ ფორმულაში და მიიღეთ:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

მაშ, შეგიძლიათ მითხრათ, რა არის წერტილის კოორდინატები \(C \) , რომელიც მიეკუთვნება წრეს? ისე, არანაირად? მაგრამ რა მოხდება, თუ გააცნობიერებთ, რომ \(\cos \\alpha \) და \(\sin \alpha \) მხოლოდ რიცხვებია? რომელ კოორდინატს შეესაბამება \(\cos \alpha\)? რა თქმა უნდა, კოორდინატი \(x\) ! და რომელ კოორდინატს შეესაბამება \(\sin \alpha \)? მართალია, \(y \) კოორდინატი! ასე რომ, წერტილი \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

მაშინ რა არის \(tg \alpha \) და \(ctg \alpha \) ? ასეა, მოდით გამოვიყენოთ ტანგენსის და კოტანგენტის შესაბამისი განმარტებები და მივიღოთ ეს \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), ა \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).

რა მოხდება, თუ კუთხე უფრო დიდია? აი, მაგალითად, როგორც ამ სურათზე:

რა შეიცვალა ამ მაგალითში? მოდი გავარკვიოთ. ამისათვის ჩვენ კვლავ მივმართავთ მართკუთხა სამკუთხედს. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : კუთხე (როგორც კუთხის მიმდებარედ \(\beta \) ). რა მნიშვნელობა აქვს სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტს და კოტანგენტს კუთხისთვის \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? მართალია, ჩვენ ვიცავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესაბამის განმარტებებს:

\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)\sin \კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\კუთხე ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\კუთხე ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\ბოლო(მასივი) \)

ისე, როგორც ხედავთ, კუთხის სინუსის მნიშვნელობა მაინც შეესაბამება \ (y \) კოორდინატს; კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა - კოორდინატი \ (x \) ; და ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობები შესაბამის თანაფარდობებთან. ამრიგად, ეს ურთიერთობები გამოიყენება რადიუსის ვექტორის ნებისმიერ ბრუნზე.

უკვე აღინიშნა, რომ რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია არის \(x\) ღერძის დადებითი მიმართულებით. აქამდე ჩვენ ვატრიალებთ ამ ვექტორს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაგრამ რა მოხდება, თუ მას საათის ისრის მიმართულებით მოვატრიალებთ? არაფერი განსაკუთრებული, თქვენც მიიღებთ გარკვეული ზომის კუთხეს, მაგრამ მხოლოდ ის იქნება უარყოფითი. ამრიგად, რადიუსის ვექტორის მობრუნებისას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ვიღებთ დადებითი კუთხეებიდა საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვისას - უარყოფითი.

ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ რადიუსის ვექტორის მთელი რევოლუცია წრის გარშემო არის \(360()^\circ \) ან \(2\pi \) . შესაძლებელია თუ არა რადიუსის ვექტორის როტაცია \(390()^\circ \) ან \(-1140()^\circ \)-ით? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! პირველ შემთხვევაში, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ასე რომ, რადიუსის ვექტორი გააკეთებს ერთ სრულ ბრუნს და შეჩერდება \(30()^\circ \) ან \(\dfrac(\pi )(6) \) ზე.

მეორე შემთხვევაში, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ანუ რადიუსის ვექტორი გააკეთებს სამ სრულ ბრუნს და შეჩერდება \(-60()^\circ \) ან \(-\dfrac(\pi )(3) \) პოზიციაზე.

ამრიგად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ კუთხეები, რომლებიც განსხვავდება \(360()^\circ \cdot m\) ან \(2\pi \cdot m\)-ით (სადაც \(m\) არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი) შეესაბამება რადიუსის ვექტორის იგივე პოზიციას.

ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა აჩვენებს კუთხეს \(\beta =-60()^\circ \) . იგივე სურათი შეესაბამება კუთხეს \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)და ა.შ. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს კუთხე შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმულით \(\beta +360()^\circ \cdot m \)ან \(\beta +2\pi \cdot m\) (სადაც \(m\) არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი)

\(\begin(მასივი)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\ 300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(მაივი) \)

ახლა, იცოდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და ერთეული წრის გამოყენებით, შეეცადეთ უპასუხოთ, თუ რას უდრის მნიშვნელობები:

\(\begin(მასივი)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\ტექსტი(ctg)\ 450()^\circ =?\ბოლო(მასივი) \)

აქ არის ერთეულის წრე, რომელიც დაგეხმარებათ:

რაიმე სირთულე? მერე გავარკვიოთ. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ:

\(\begin(მასივი)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\ბოლო(მასივი) \)

აქედან ჩვენ განვსაზღვრავთ კუთხის გარკვეული ზომების შესაბამისი წერტილების კოორდინატებს. კარგი, დავიწყოთ თანმიმდევრობით: კუთხეში \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით \(\left(0;1 \right) \) , შესაბამისად:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\მარჯვენა arrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- არ არსებობს;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

გარდა ამისა, იმავე ლოგიკის დაცვით, აღმოვაჩენთ, რომ კუთხეები შედიან \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )შეესაბამება წერტილებს კოორდინატებით \(\left(-1;0 \მარჯვნივ),\ტექსტი()\left(0;-1 \მარჯვნივ),\ტექსტი( )\left(1;0 \მარჯვნივ),\ტექსტი( )\მარცხნივ(0 ;1 \მარჯვნივ) \), შესაბამისად. ამის ცოდნა ადვილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების დადგენა შესაბამის წერტილებში. ჯერ თვითონ სცადე და მერე გადაამოწმე პასუხები.

პასუხები:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \\pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\მარჯვენა arrow \text(ctg)\ \pi \)- არ არსებობს

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- არ არსებობს

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- არ არსებობს

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- არ არსებობს

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

ამრიგად, შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ცხრილი:

არ არის საჭირო ყველა ამ მნიშვნელობის დამახსოვრება. საკმარისია გავიხსენოთ შესაბამისობა ერთეულ წრეზე წერტილების კოორდინატებსა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს შორის:

\(\ მარცხნივ. \begin(მასივი)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(მასივი) \right\)\ \text(უნდა დაიმახსოვროთ ან შეძლოთ გამომავალი!! \) !}

და აქ არის კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები და \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4) \)ქვემოთ მოცემულ ცხრილში, თქვენ უნდა გახსოვდეთ:

არ არის საჭირო შეშინება, ახლა ჩვენ გაჩვენებთ შესაბამისი მნიშვნელობების საკმაოდ მარტივი დამახსოვრების ერთ-ერთ მაგალითს:

ამ მეთოდის გამოსაყენებლად, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს სინუსური მნიშვნელობები სამივე კუთხის ზომებისთვის ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi ) (3) \)), ასევე კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა \(30()^\circ \)-ში. ამ \(4\) მნიშვნელობების ცოდნით, საკმაოდ მარტივია მთელი ცხრილის აღდგენა - კოსინუსების მნიშვნელობები გადადის ისრების შესაბამისად, ანუ:

\(\begin(მასივი)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ბოლო(მასივი) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)ამის ცოდნით, შესაძლებელია მნიშვნელობების აღდგენა \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). მრიცხველი "\(1 \) " ემთხვევა \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) , ხოლო მნიშვნელი "\(\sqrt(\text(3)) \)" ემთხვევა \ (\text (tg)\ 60()^\circ \\) . კოტანგენტების მნიშვნელობები გადაიცემა ნახატზე ნაჩვენები ისრების შესაბამისად. თუ გესმით ეს და გახსოვთ სქემა ისრებით, მაშინ საკმარისი იქნება ცხრილიდან მხოლოდ \(4 \) მნიშვნელობების დამახსოვრება.

წერტილის კოორდინატები წრეზე

შესაძლებელია თუ არა წრეზე წერტილის (მისი კოორდინატების) პოვნა, წრის ცენტრის კოორდინატების, მისი რადიუსის და ბრუნვის კუთხის ცოდნა? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! გამოვიტანოთ წერტილის კოორდინატების საპოვნელ ზოგადი ფორმულა. აი, მაგალითად, გვაქვს ასეთი წრე:

ჩვენ გვაქვს ეს წერტილი \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი არის \(1,5 \) . აუცილებელია ვიპოვოთ \(P \) წერტილის კოორდინატები, რომლებიც მიიღება \(O \) წერტილის \(\დელტა \) გრადუსით შებრუნებით.

როგორც ნახატიდან ჩანს, \ (P \) წერტილის კოორდინატი \ (x \) შეესაბამება \ (TP=UQ=UK+KQ \) სეგმენტის სიგრძეს. \ (UK \) სეგმენტის სიგრძე შეესაბამება წრის ცენტრის კოორდინატს \ (x\), ანუ ის უდრის \ (3 \) . \(KQ\) სეგმენტის სიგრძე შეიძლება გამოიხატოს კოსინუსის განმარტებით:

\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

შემდეგ გვაქვს, რომ \(P \) წერტილისთვის კოორდინატია \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =3+1,5\cdot \cos \\delta \).

ამავე ლოგიკით ვპოულობთ y კოორდინატის მნიშვნელობას \(P\) წერტილისთვის. ამრიგად,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

ასე რომ, ზოგადად, წერტილების კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(მაივი) \), სად

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - წრის ცენტრის კოორდინატები,

\(r\) - წრის რადიუსი,

\(\დელტა \) - ვექტორის რადიუსის ბრუნვის კუთხე.

როგორც ხედავთ, ჩვენ განხილული ერთეული წრისთვის ეს ფორმულები მნიშვნელოვნად შემცირებულია, რადგან ცენტრის კოორდინატები ნულია, ხოლო რადიუსი უდრის ერთს:

\(\ დასაწყისი(მასივი)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \\delta \end(მასივი) \)

ჩვენ ვიწყებთ ტრიგონომეტრიის შესწავლას მართკუთხა სამკუთხედით. მოდით განვსაზღვროთ რა არის სინუსი და კოსინუსი, ასევე მახვილი კუთხის ტანგენსი და კოტანგენსი. ეს არის ტრიგონომეტრიის საფუძვლები.

გავიხსენოთ რომ სწორი კუთხეარის 90 გრადუსის ტოლი კუთხე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გაშლილი კუთხის ნახევარი.

მკვეთრი კუთხე- 90 გრადუსზე ნაკლები.

ბუნდოვანი კუთხე- 90 გრადუსზე მეტი. ასეთ კუთხესთან მიმართებაში „ბლატი“ შეურაცხყოფა კი არა, მათემატიკური ტერმინია :-)

დავხატოთ მართკუთხა სამკუთხედი. მართი კუთხე ჩვეულებრივ აღინიშნება. გაითვალისწინეთ, რომ კუთხის მოპირდაპირე მხარე აღინიშნება იგივე ასოთი, მხოლოდ მცირე. ასე რომ, A კუთხის საპირისპიროდ მდებარე გვერდი აღინიშნება.

კუთხე აღინიშნება შესაბამისი ბერძნული ასოთი.

ჰიპოტენუზამართკუთხა სამკუთხედი არის მართი კუთხის მოპირდაპირე მხარე.

ფეხები- მხარეები მკვეთრი კუთხეების მოპირდაპირე მხარეს.

კუთხის მოპირდაპირე ფეხი ე.წ საწინააღმდეგო(კუთხის მიმართ). მეორე ფეხი, რომელიც კუთხის ერთ მხარეს დევს, ე.წ მიმდებარე.

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

კოსინუსიმწვავე კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

ტანგენტიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან:

კიდევ ერთი (ექვივალენტური) განმარტება: მახვილი კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:

კოტანგენსიმახვილი კუთხე მართკუთხა სამკუთხედში - მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა საპირისპიროსთან (ან, ექვივალენტურად, კოსინუსისა და სინუსების თანაფარდობა):

ყურადღება მიაქციეთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების ძირითად თანაფარდობებს, რომლებიც მოცემულია ქვემოთ. ისინი გამოგვადგება პრობლემების გადაჭრაში.

მოდით დავამტკიცოთ ზოგიერთი მათგანი.

კარგი, ჩვენ მივეცით განმარტებები და დაწერილი ფორმულები. მაგრამ რატომ გვჭირდება სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი?

ჩვენ ეს ვიცით ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის.

ჩვენ ვიცით შორის ურთიერთობა პარტიებიმართკუთხა სამკუთხედი. ეს არის პითაგორას თეორემა: .

გამოდის, რომ სამკუთხედში ორი კუთხის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. იცოდეთ ორი გვერდი მართკუთხა სამკუთხედში, შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე. ასე რომ, კუთხეებისთვის - მათი თანაფარდობა, გვერდებისთვის - საკუთარი. მაგრამ რა უნდა გააკეთოს, თუ მართკუთხა სამკუთხედში ცნობილია ერთი კუთხე (გარდა მართკუთხა) და ერთი გვერდი, მაგრამ თქვენ უნდა იპოვოთ სხვა გვერდები?

ეს არის ის, რასაც ადამიანები წარსულში ხვდებოდნენ, ამზადებდნენ ტერიტორიისა და ვარსკვლავური ცის რუქებს. ყოველივე ამის შემდეგ, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი სამკუთხედის ყველა გვერდის პირდაპირ გაზომვა.

სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი - მათ ასევე უწოდებენ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები- მიეცით თანაფარდობა შორის პარტიებიდა კუთხეებისამკუთხედი. კუთხის ცოდნით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია სპეციალური ცხრილების გამოყენებით. და იცოდეთ სამკუთხედის და მისი ერთ-ერთი კუთხის კუთხის სინუსები, კოსინუსები და ტანგენტები, შეგიძლიათ იპოვოთ დანარჩენი.

ჩვენ ასევე დავხატავთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობების ცხრილს "კარგი" კუთხისთვის.

ყურადღება მიაქციეთ ცხრილში ორ წითელ ტირეს. კუთხეების შესაბამისი მნიშვნელობებისთვის ტანგენსი და კოტანგენსი არ არსებობს.

მოდით გავაანალიზოთ ტრიგონომეტრიის რამდენიმე პრობლემა FIPI-ის ბანკის ამოცანებიდან.

1. სამკუთხედში კუთხე არის , . იპოვე .

პრობლემა მოგვარებულია ოთხ წამში.

Იმიტომ რომ , .

2. სამკუთხედში კუთხე არის , , . იპოვე .

მოდი ვიპოვოთ პითაგორას თეორემით.

პრობლემა მოგვარებულია.

ხშირად პრობლემებში არის სამკუთხედები კუთხეებით და ან კუთხეებით და . დაიმახსოვრეთ მათთვის ძირითადი კოეფიციენტები ზეპირად!

სამკუთხედისთვის კუთხით და კუთხის მოპირდაპირე ფეხი ტოლია ჰიპოტენუზის ნახევარი.

სამკუთხედი კუთხეებით და არის ტოლფერდა. მასში ჰიპოტენუზა ჯერ უფრო დიდია ვიდრე ფეხი.

ჩვენ განვიხილეთ ამოცანები მართკუთხა სამკუთხედების ამოსახსნელად - ანუ უცნობი გვერდების ან კუთხის საპოვნელად. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! მათემატიკაში გამოცდის ვარიანტებში არის მრავალი დავალება, სადაც ჩნდება სამკუთხედის გარე კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ან კოტანგენსი. მეტი ამის შესახებ შემდეგ სტატიაში.