რიცხვის ხარისხი: განმარტებები, აღნიშვნა, მაგალითები. ექსპონენციალური ფუნქცია

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, მისი თვისებები.

გამოხატვა a n განისაზღვრება ყველა a და n-სთვის, გარდა შემთხვევისა a=0 n≤0-ისთვის. გაიხსენეთ ასეთი ძალების თვისებები.

ნებისმიერი a, b და ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის m და n, ტოლობები მართალია:

A m *a n = a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n * b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

ასევე გაითვალისწინეთ შემდეგი თვისება:

თუ m>n, მაშინ a m > a n a> 1-ისთვის და a m<а n при 0<а<1.

ამ ქვეთავში ჩვენ განვაზოგადებთ რიცხვის სიმძლავრის ცნებას 2-ის მსგავსი გამონათქვამებისთვის მნიშვნელობის მინიჭებით 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 და ა.შ. ბუნებრივია განმარტების მიცემა ისე, რომ რაციონალური მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს აქვთ იგივე თვისებები (ან მათი ნაწილი მაინც), რაც მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხებს. შემდეგ, კერძოდ, რიცხვის n-ე ხარისხშიტოლი უნდა იყოს aმ . მართლაც, თუ ქონება

(a p) q =a pq

შესრულებულია, მაშინ

ბოლო ტოლობა ნიშნავს (n-ე ძირის განმარტებით) რომ რიცხვიუნდა იყოს a-ს n-ე ფესვიმ .

განმარტება.

a>0-ის ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით r=, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი (n> 1), არის რიცხვი.

ასე რომ, განსაზღვრებით

(1)

0-ის სიმძლავრე განისაზღვრება მხოლოდ დადებითი მაჩვენებლებისთვის; განმარტებით 0 r = 0 ნებისმიერი r>0-სთვის.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.

ირაციონალური რიცხვიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორცრაციონალური რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი: .

იყოს . შემდეგ არის ძალები რაციონალური მაჩვენებლით. შეიძლება დადასტურდეს, რომ ამ ძალების თანმიმდევრობა კონვერგენტულია. ამ მიმდევრობის ზღვარი ე.წ ხარისხი ფუძე და ირაციონალური მაჩვენებლით: .

მოდით დავხატოთ y \u003d 2 ფუნქციის გრაფიკის რამდენიმე წერტილი x მანამდე კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ მნიშვნელობები 2 x ინტერვალზე [-2; 3] 1/4 ნაბიჯით (ნახ. 1, ა), შემდეგ კი 1/8 საფეხურით (ნახ. 1, ბ). გონებრივად იგივე კონსტრუქციების გაგრძელება 1/16, 1/32 ნაბიჯით. და ა.შ., ჩვენ ვხედავთ, რომ მიღებულ წერტილებს შეიძლება დაუკავშირდეს გლუვი მრუდი, რომელიც ბუნებრივია განიხილოს გარკვეული ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც უკვე განსაზღვრულია და იზრდება მთელ რიცხვთა წრფეზე და მივიღებთ მნიშვნელობებს.რაციონალურ წერტილებზე(ნახ. 1, გ). ფუნქციის გრაფიკის საკმარისად დიდი რაოდენობის წერტილების აგება, შეგიძლიათ დარწმუნდეთ, რომ ამ ფუნქციას აქვს მსგავსი თვისებები (განსხვავება ის არის, რომ ფუნქციამცირდება R-ზე).

ეს დაკვირვებები ვარაუდობს, რომ შესაძლებელია რიცხვების 2 განსაზღვრაα და ყოველი ირაციონალური α ისეთი, რომ ფორმულებით მოცემული ფუნქციები y=2 x და იქნება უწყვეტი და ფუნქცია y \u003d 2 x იზრდება და ფუნქციამცირდება მთელი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ.

მოდით აღვწეროთ ზოგადად როგორ რიცხვი a α ირაციონალური α-სთვის a>1-ისთვის. ჩვენ გვინდა დავრწმუნდეთ, რომ ფუნქცია y = a x იზრდებოდა. მაშინ ნებისმიერი რაციონალური რ 1 და r 2 ისეთი, რომ r 1<αუნდა აკმაყოფილებდეს უტოლობა ა r1<а α <а r 1 .

მნიშვნელობების არჩევა r 1 და r2 x-თან მიახლოებით, ჩანს, რომ a-ს შესაბამისი მნიშვნელობები r 1 და a r 2 ცოტათი განსხვავდება. შეიძლება დადასტურდეს, რომ არსებობს და მეტიც, მხოლოდ ერთი რიცხვი y, რომელიც ყველა a-ზე მეტია. r1 ყველა რაციონალური რ 1 და ყველა r 2-ზე ნაკლები ყველა რაციონალური რ 2 . ეს რიცხვი y, განსაზღვრებით, არის a α .

მაგალითად, კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ მნიშვნელობები 2 x წერტილებში x n და x` n , სადაც x n და x` n - რიცხვის ათობითი მიახლოებებივხვდებით, რომ რაც უფრო ახლოს არის x n და x` n-მდე მით უფრო ნაკლებად განსხვავდებიან ისინი 2 x n და 2 x` n .

Მას შემდეგ

და, შესაბამისად,

ანალოგიურად, შემდეგი ათობითი მიახლოებების გათვალისწინებითდეფიციტით და სიჭარბით მივდივართ ურთიერთობებამდე

;

;

;

;

.

მნიშვნელობა კალკულატორზე გათვლილი არის:

.

ნომერი ა α 0-ისთვის<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 ნებისმიერი α და 0α =0 α>0-სთვის.

ექსპონენციალური ფუნქცია.

ზე ა > 0, ა = 1, ფუნქცია განსაზღვრულია y=a x, რომელიც განსხვავდება მუდმივისაგან. ეს ფუნქცია ე.წ ექსპონენციალური ფუნქციაბაზითა.

წ= ა xზე ა> 1:

ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები 0 ფუძით< ა < 1 и ა> 1 ნაჩვენებია სურათზე.

ექსპონენციალური ფუნქციის ძირითადი თვისებები წ= ა x 0-ზე< ა < 1:

• ფუნქციის არეალი არის მთელი რიცხვითი ხაზი.
• ფუნქციის დიაპაზონი - დიაპაზონი (0; + ) .
• ფუნქცია მკაცრად მონოტონურად იზრდება მთელ რიცხვთა წრფეზე, ანუ თუ x 1 < x 2, მაშინ ნაჯახი 1 > a x 2 .
• ზე x= 0 ფუნქციის მნიშვნელობა არის 1.
• თუ x> 0, შემდეგ 0< ა < 1 და თუ x < 0, то ნაჯახი > 1.
ექსპონენციალური ფუნქციის ზოგადი თვისებებისადმი, როგორც at0< a < 1, так и при a > 1 არის:
• ა x 1 ა x 2 = ა x 1 + x 2, ყველასთვის x 1 და x 2.
• ა − x= ( ა x) − 1 = 1 აxვინმესთვის x.
• ნა x= ა

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, მისი თვისებები.

გამოხატვა a n განისაზღვრება ყველა a და n-სთვის, გარდა შემთხვევისა a=0 n≤0-ისთვის. გაიხსენეთ ასეთი ძალების თვისებები.

ნებისმიერი a, b და ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის m და n, ტოლობები მართალია:

A m *a n = a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n * b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

ასევე გაითვალისწინეთ შემდეგი თვისება:

თუ m>n, მაშინ a m > a n a> 1-ისთვის და a m<а n при 0<а<1.

ამ ქვეთავში ჩვენ განვაზოგადებთ რიცხვის სიმძლავრის ცნებას 2-ის მსგავსი გამონათქვამებისთვის მნიშვნელობის მინიჭებით 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 და ა.შ. ბუნებრივია განმარტების მიცემა ისე, რომ რაციონალური მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს აქვთ იგივე თვისებები (ან მათი ნაწილი მაინც), რაც მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხებს. შემდეგ, კერძოდ, რიცხვის n-ე ხარისხშიტოლი უნდა იყოს aმ . მართლაც, თუ ქონება

(a p) q =a pq

შესრულებულია, მაშინ

ბოლო ტოლობა ნიშნავს (n-ე ძირის განმარტებით) რომ რიცხვიუნდა იყოს a-ს n-ე ფესვიმ .

განმარტება.

a>0-ის ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით r=, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი (n> 1), არის რიცხვი.

ასე რომ, განსაზღვრებით

(1)

0-ის სიმძლავრე განისაზღვრება მხოლოდ დადებითი მაჩვენებლებისთვის; განმარტებით 0 r = 0 ნებისმიერი r>0-სთვის.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.

ირაციონალური რიცხვიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორცრაციონალური რიცხვების მიმდევრობის ზღვარი: .

იყოს . შემდეგ არის ძალები რაციონალური მაჩვენებლით. შეიძლება დადასტურდეს, რომ ამ ძალების თანმიმდევრობა კონვერგენტულია. ამ მიმდევრობის ზღვარი ე.წ ხარისხი ფუძე და ირაციონალური მაჩვენებლით: .

მოდით დავხატოთ y \u003d 2 ფუნქციის გრაფიკის რამდენიმე წერტილი x მანამდე კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ მნიშვნელობები 2 x ინტერვალზე [-2; 3] 1/4 ნაბიჯით (ნახ. 1, ა), შემდეგ კი 1/8 საფეხურით (ნახ. 1, ბ). გონებრივად იგივე კონსტრუქციების გაგრძელება 1/16, 1/32 ნაბიჯით. და ა.შ., ჩვენ ვხედავთ, რომ მიღებულ წერტილებს შეიძლება დაუკავშირდეს გლუვი მრუდი, რომელიც ბუნებრივია განიხილოს გარკვეული ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც უკვე განსაზღვრულია და იზრდება მთელ რიცხვთა წრფეზე და მივიღებთ მნიშვნელობებს.რაციონალურ წერტილებზე(ნახ. 1, გ). ფუნქციის გრაფიკის საკმარისად დიდი რაოდენობის წერტილების აგება, შეგიძლიათ დარწმუნდეთ, რომ ამ ფუნქციას აქვს მსგავსი თვისებები (განსხვავება ის არის, რომ ფუნქციამცირდება R-ზე).

ეს დაკვირვებები ვარაუდობს, რომ შესაძლებელია რიცხვების 2 განსაზღვრაα და ყოველი ირაციონალური α ისეთი, რომ ფორმულებით მოცემული ფუნქციები y=2 x და იქნება უწყვეტი და ფუნქცია y \u003d 2 x იზრდება და ფუნქციამცირდება მთელი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ.

მოდით აღვწეროთ ზოგადად როგორ რიცხვი a α ირაციონალური α-სთვის a>1-ისთვის. ჩვენ გვინდა დავრწმუნდეთ, რომ ფუნქცია y = a x იზრდებოდა. მაშინ ნებისმიერი რაციონალური რ 1 და r 2 ისეთი, რომ r 1<αუნდა აკმაყოფილებდეს უტოლობა ა r1<а α <а r 1 .

მნიშვნელობების არჩევა r 1 და r2 x-თან მიახლოებით, ჩანს, რომ a-ს შესაბამისი მნიშვნელობები r 1 და a r 2 ცოტათი განსხვავდება. შეიძლება დადასტურდეს, რომ არსებობს და მეტიც, მხოლოდ ერთი რიცხვი y, რომელიც ყველა a-ზე მეტია. r1 ყველა რაციონალური რ 1 და ყველა r 2-ზე ნაკლები ყველა რაციონალური რ 2 . ეს რიცხვი y, განსაზღვრებით, არის a α .

მაგალითად, კალკულატორის დახმარებით გამოთვალეთ მნიშვნელობები 2 x წერტილებში x n და x` n , სადაც x n და x` n - რიცხვის ათობითი მიახლოებებივხვდებით, რომ რაც უფრო ახლოს არის x n და x` n-მდე მით უფრო ნაკლებად განსხვავდებიან ისინი 2 x n და 2 x` n .

Მას შემდეგ

და, შესაბამისად,

ანალოგიურად, შემდეგი ათობითი მიახლოებების გათვალისწინებითდეფიციტით და სიჭარბით მივდივართ ურთიერთობებამდე

;

;

;

;

.

მნიშვნელობა კალკულატორზე გათვლილი არის:

.

ნომერი ა α 0-ისთვის<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 ნებისმიერი α და 0α =0 α>0-სთვის.

ექსპონენციალური ფუნქცია.

ზე ა > 0, ა = 1, ფუნქცია განსაზღვრულია y=a x, რომელიც განსხვავდება მუდმივისაგან. ეს ფუნქცია ე.წ ექსპონენციალური ფუნქციაბაზითა.

წ= ა xზე ა> 1:

ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები 0 ფუძით< ა < 1 и ა> 1 ნაჩვენებია სურათზე.

ექსპონენციალური ფუნქციის ძირითადი თვისებები წ= ა x 0-ზე< ა < 1:

• ფუნქციის არეალი არის მთელი რიცხვითი ხაზი.
• ფუნქციის დიაპაზონი - დიაპაზონი (0; + ) .
• ფუნქცია მკაცრად მონოტონურად იზრდება მთელ რიცხვთა წრფეზე, ანუ თუ x 1 < x 2, მაშინ ნაჯახი 1 > a x 2 .
• ზე x= 0 ფუნქციის მნიშვნელობა არის 1.
• თუ x> 0, შემდეგ 0< ა < 1 და თუ x < 0, то ნაჯახი > 1.
ექსპონენციალური ფუნქციის ზოგადი თვისებებისადმი, როგორც at0< a < 1, так и при a > 1 არის:
• ა x 1 ა x 2 = ა x 1 + x 2, ყველასთვის x 1 და x 2.
• ა − x= ( ა x) − 1 = 1 აxვინმესთვის x.
• ნა x= ა

ნაწილი II. თავი 6
რიცხვების თანმიმდევრობა

ხარისხის ცნება ირაციონალური მაჩვენებლით

დაე, იყოს დადებითი რიცხვი, ხოლო ირაციონალური.
რა მნიშვნელობა უნდა მიენიჭოს გამოთქმას a*?
პრეზენტაცია უფრო საილუსტრაციოდ რომ გავხადოთ, მას კონკრეტულზე განვახორციელებთ
მაგალითი. კერძოდ, დავდოთ a - 2 და a = 1, 624121121112. . . .
აქ a არის უსასრულო ათობითი წილადი, რომელიც შედგება ასეთის მიხედვით
კანონი: მეოთხე ათწილადიდან დაწყებული, გამოსახულების ა
გამოიყენება მხოლოდ 1 და 2 რიცხვები და ამავე დროს 1 ციფრების რაოდენობა,
ზედიზედ დაწერილი 2 რიცხვის წინ, ყველა დრო იზრდება
ერთი. წილადი a არის არაპერიოდული, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში ციფრების რაოდენობა არის 1,
მის გამოსახულებაში ზედიზედ ჩაწერილი შეზღუდული იქნებოდა.
ამიტომ, a არის ირაციონალური რიცხვი.
მაშ რა აზრი აქვს გამოთქმას
21, in2Sh1Sh1Sh11Sh11Sh. . . რ
ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ჩვენ ვადგენთ მნიშვნელობების თანმიმდევრობას
ხოლო დეფიციტით და ჭარბით (0.1)*-მდე. მიიღეთ
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
ჩვენ ვადგენთ რიცხვ 2-ის უფლებამოსილებების შესაბამის თანმიმდევრობას:
2 მ. 2 მ*; 21*624; 21'62*1; …, (3)
21D. 21"63; 2*»62Vu 21.6Sh; . (4)
თანმიმდევრობა (3) იზრდება, რადგან თანმიმდევრობა
(1) (თეორემა 2 § 6).
თანმიმდევრობა (4) მცირდება, რადგან თანმიმდევრობა
(2).
(3) მიმდევრობის თითოეული წევრი ნაკლებია მიმდევრობის თითოეულ წევრზე
(4) და ამით თანმიმდევრობა (3) შემოსაზღვრულია
ზემოდან, ხოლო თანმიმდევრობა (4) შემოსაზღვრულია ქვემოდან.
მონოტონური შემოსაზღვრული მიმდევრობის თეორემაზე დაყრდნობით
თითოეულ მიმდევრობას (3) და (4) აქვს ზღვარი. თუ

384 ხარისხის ცნება ირაციონალური მაჩვენებლით . .

ახლა, გამოდის, რომ (4) და (3) მიმდევრობათა სხვაობა ერთმანეთს ემთხვევა
ნულამდე, მაშინ მოჰყვება, რომ ორივე ეს თანმიმდევრობა,
აქვს საერთო ზღვარი.
(3) და (4) მიმდევრობების პირველი წევრების განსხვავება
21-7 - 21'* = 2|, (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
მეორე ტერმინების განსხვავება
21'63 - 21,62 = 21,62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
n-ე ტერმინების განსხვავება
0,0000. ..0 1
2>.««…(2"-1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
თეორემა 3 § 6-ზე დაყრდნობით
ლიმი 10" / 2 = 1.
ასე რომ, მიმდევრობებს (3) და (4) აქვთ საერთო ზღვარი. ეს
ლიმიტი არის ერთადერთი რეალური რიცხვი, რომელიც მეტია
(3) მიმდევრობის ყველა წევრი და მიმდევრობის ყველა წევრზე ნაკლები
(4) და მიზანშეწონილია მივიჩნიოთ 2*-ის ზუსტ მნიშვნელობად.
ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ ზოგადად მიზანშეწონილია მიღება
შემდეგი განმარტება:
განმარტება. თუ a > 1, მაშინ a-ს ძალა ირაციონალურთან
მაჩვენებელი a არის ასეთი რეალური რიცხვი,
რაც მეტია ამ რიცხვის ყველა ხარისხზე, რომლის მაჩვენებლებიც არიან
რაციონალური მიახლოებები a მინუსით და ყველა ძალაზე ნაკლები
ეს რიცხვი, რომლის მაჩვენებლებია რაციონალური მიახლოებები a c
ჭარბი.
Თუ<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
იწოდება რეალური რიცხვი, რომელიც ყველა ხარისხზე მეტია
ეს რიცხვი, რომლის მაჩვენებლები რაციონალური მიახლოებებია ა
ჭარბად და ნაკლებია ამ რიცხვის ყველა უფლებამოსილებით, რომლის მაჩვენებლებიც
არის რაციონალური მიახლოებები a ნაკლოვანებით.
.თუ a - 1, მაშინ მისი ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით a
არის 1.
ლიმიტის კონცეფციის გამოყენებით, ეს განმარტება შეიძლება ჩამოყალიბდეს
Ისე:
დადებითი რიცხვის სიმძლავრე ირაციონალური მაჩვენებლით
და ეწოდება ზღვარი, რომლისკენაც მიდრეკილია მიმდევრობა
ამ რიცხვის რაციონალური ძალები, იმ პირობით, რომ თანმიმდევრობა
ამ ხარისხების მაჩვენებლები მიდრეკილია a, ე.ი.
აა = ლიმ აჰ
ბ - *
13 D, K. Fatshcheev, I. S. Sominsky

საინფორმაციო ბუმი ბიოლოგიაში - მიკრობების კოლონიები პეტრის ჭურჭელში კურდღლები ავსტრალიაში ჯაჭვური რეაქციები - ქიმიაში ფიზიკაში - რადიოაქტიური დაშლა, ატმოსფერული წნევის ცვლილება სიმაღლის ცვლილებით, სხეულის გაგრილება. ფიზიკაში - რადიოაქტიური დაშლა, ცვლილება ატმოსფეროში წნევა სიმაღლის ცვლილებით, სხეულის გაგრილებით. სისხლში ადრენალინის გამოყოფა და მისი განადგურება ისინი ასევე აცხადებენ, რომ ინფორმაციის რაოდენობა ყოველ 10 წელიწადში ორმაგდება, ასევე ამტკიცებენ, რომ ინფორმაციის რაოდენობა ორმაგდება ყოველ 10 წელიწადში.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

გამოხატულება 2 x 2 2 = 4 2 5 = = = 1/2 4 = 1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 = 1/2 7= 1/(8 2) = 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1,7 1,73; 1.732;1.73205; 1, ;… თანმიმდევრობა იზრდება 2 1 ; 2 1.7; 2 1.73;2 1.732; 2 1.73205; 2 1, ;… თანმიმდევრობა იზრდება Limited, რაც ნიშნავს, რომ ის გადადის ერთ ლიმიტამდე - მნიშვნელობა 2 3

შეიძლება განისაზღვროს π 0

10 10 18 ფუნქციის თვისებები y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="(!LANG: ფუნქციის თვისებები y = a x n \ n a >10 21

ინფორმაციის რაოდენობა ორმაგდება ყოველ 10 წელიწადში Ox-ის ღერძზე - არითმეტიკული პროგრესიის კანონის მიხედვით: 1,2,3,4…. Oy ღერძზე - გეომეტრიული პროგრესიის კანონის მიხედვით: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკს მას ეძახიან მაჩვენებელს (ლათინური exponere-დან - flaunt)

რიცხვის ხარისხის დადგენის შემდეგ ლოგიკურია საუბარი ხარისხის თვისებები. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ რიცხვის ხარისხის ძირითად თვისებებს, ხოლო შეხებით ყველა შესაძლო მაჩვენებელს. აქ ჩვენ მივცემთ მტკიცებულებებს ხარისხის ყველა თვისების შესახებ და ასევე ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება ეს თვისებები მაგალითების ამოხსნისას.

გვერდის ნავიგაცია.

ხარისხების თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლებით

ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის განმარტებით, n-ის სიმძლავრე არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ამ განმარტებაზე დაყრდნობით და გამოყენებით რეალური რიცხვების გამრავლების თვისებები, შეგვიძლია მივიღოთ და დავასაბუთოთ შემდეგი ხარისხის თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით:

1. a m ·a n =a m+n ხარისხის ძირითადი თვისება, მისი განზოგადება;
2. ერთი და იგივე ფუძის მქონე ნაწილობრივი სიძლიერის თვისება a m:a n =a m−n ;
3. პროდუქტის ხარისხის თვისება (a b) n =a n b n, მისი გაფართოება;
4. კოეფიციენტური თვისება ნატურით (a:b) n =a n:b n ;
5. ექსპონენტაცია (a m) n =a m n, მისი განზოგადება ((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. ხარისხის შედარება ნულთან:
   • თუ a>0, მაშინ a n >0 ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის;
   • თუ a=0, მაშინ a n =0;
   • თუ<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 თუ ა<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. თუ a და b დადებითი რიცხვებია და a
8. თუ m და n ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ m>n, მაშინ 0-ზე 0 უტოლობა a m >a n მართალია.

ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ყველა წერილობითი თანასწორობა არის იდენტურიმითითებულ პირობებში და მათი მარჯვენა და მარცხენა ნაწილების შეცვლა შესაძლებელია. მაგალითად, a m a n = a m + n წილადის მთავარი თვისება გამონათქვამების გამარტივებახშირად გამოიყენება m+n = a m a n სახით.

ახლა მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი დეტალურად.

დავიწყოთ ერთი და იგივე ფუძის მქონე ორი სიმძლავრის ნამრავლის თვისებით, რომელსაც ე.წ ხარისხის მთავარი თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, ტოლობა a m ·a n =a m+n არის ჭეშმარიტი.

მოდით დავამტკიცოთ ხარისხის ძირითადი თვისება. ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით, a m a n ფორმის იგივე ფუძეების მქონე ძალების ნამრავლი შეიძლება ჩაიწეროს ნამრავლად. გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე, მიღებული გამოხატულება შეიძლება დაიწეროს როგორც და ეს ნამრავლი არის a-ს სიმძლავრე m+n ბუნებრივი მაჩვენებლით, ანუ m+n. ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

მოვიყვანოთ მაგალითი, რომელიც ადასტურებს ხარისხის ძირითად თვისებას. ავიღოთ გრადუსები იგივე საფუძვლებით 2 და ბუნებრივი ხარისხებით 2 და 3, ხარისხის ძირითადი თვისების მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . მოდით შევამოწმოთ მისი ვალიდობა, რისთვისაც გამოვთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები 2 2 · 2 3 და 2 5 . ჩვენ გვაქვს ექსპონენტაციის შესრულება 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32და 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, რადგან მიიღება თანაბარი მნიშვნელობები, მაშინ ტოლობა 2 2 2 3 \u003d 2 5 სწორია და ის ადასტურებს ხარისხის მთავარ თვისებას.

გამრავლების თვისებებზე დაფუძნებული ხარისხის ძირითადი თვისება შეიძლება განზოგადდეს სამი ან მეტი ხარისხის ნამრავლზე ერთი და იგივე ფუძეებით და ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ასე რომ, k ნატურალური რიცხვების ნებისმიერი რიცხვისთვის n 1 , n 2 , …, n k ტოლობა a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Მაგალითად, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

შეგიძლიათ გადახვიდეთ გრადუსების შემდეგ თვისებაზე ბუნებრივი მაჩვენებლით - იგივე საფუძვლებით ნაწილობრივი უფლებამოსილებების საკუთრება: ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვისთვის და m და n თვითნებური ნატურალური რიცხვებისთვის, რომლებიც აკმაყოფილებს m>n პირობას, ტოლობა a m:a n =a m−n არის ჭეშმარიტი.

სანამ ამ საკუთრების დამადასტურებელ მტკიცებულებას მივცემთ, განვიხილოთ განცხადებაში დამატებითი პირობების მნიშვნელობა. პირობა a≠0 აუცილებელია, რათა თავიდან ავიცილოთ გაყოფა ნულზე, რადგან 0 n =0 და როცა გავეცანით გაყოფას, შევთანხმდით, რომ ნულზე გაყოფა შეუძლებელია. პირობა m>n შემოტანილია ისე, რომ ბუნებრივ მაჩვენებლებს არ გავცდეთ. მართლაც, m>n-სთვის მაჩვენებლის m−n არის ნატურალური რიცხვი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის იქნება ან ნული (რაც ხდება m−n) ან უარყოფითი რიცხვი (რაც ხდება m-სთვის.

მტკიცებულება. წილადის მთავარი თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობა a m−n a n =a (m−n)+n =a m. მიღებული ტოლობიდან a m−n ·a n =a m და მისგან გამომდინარეობს, რომ m−n არის m და a n ხარისხების კოეფიციენტი. ეს ადასტურებს ნაწილობრივი უფლებამოსილების თვისებას იმავე საფუძვლებით.

ავიღოთ მაგალითი. ავიღოთ ორი გრადუსი ერთი და იგივე ფუძეებით π და ბუნებრივი მაჩვენებლებით 5 და 2, ხარისხის განხილული თვისება შეესაბამება π 5 ტოლობას: π 2 = π 5−3 = π 3.

ახლა განიხილეთ პროდუქტის ხარისხის თვისება: ნებისმიერი ორი რეალური რიცხვის ნამრავლის n ბუნებრივი ხარისხი a და b უდრის a n და b n გრადუსების ნამრავლს, ანუ (a b) n =a n b n .

მართლაც, ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით, ჩვენ გვაქვს . ბოლო პროდუქტი, გამრავლების თვისებებზე დაყრდნობით, შეიძლება გადაიწეროს როგორც , რომელიც უდრის a n b n-ს.

აი მაგალითი: .

ეს თვისება ვრცელდება სამი ან მეტი ფაქტორის პროდუქტის ხარისხზე. ანუ k ფაქტორების ნამრავლის ბუნებრივი სიმძლავრის თვისება n იწერება როგორც (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ამ თვისებას მაგალითით. სამი ფაქტორის ნამრავლისთვის 7-ის ხარისხზე გვაქვს .

შემდეგი ქონება არის ბუნებრივი საკუთრება: a და b , b≠0 რეალური რიცხვების კოეფიციენტი n ნატურალურ ხარისხზე უდრის a n და b n ხარისხების კოეფიციენტს, ანუ (a:b) n =a n:b n .

მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს წინა ქონების გამოყენებით. Ისე (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, და ტოლობა (a:b) n b n =a n გულისხმობს, რომ (a:b) n არის a n-ის კოეფიციენტი გაყოფილი b n-ზე.

მოდით დავწეროთ ეს თვისება კონკრეტული რიცხვების მაგალითის გამოყენებით: .

ახლა მოდით ხმა ექსპონენტაციის თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, a m-ის სიმძლავრე n-ის ხარისხზე უდრის a-ის ხარისხს m·n მაჩვენებლით, ანუ (a m) n =a m·n .

მაგალითად, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

ხარისხში სიმძლავრის თვისების მტკიცებულება არის თანასწორობის შემდეგი ჯაჭვი: .

განხილული ქონება შეიძლება გაფართოვდეს ხარისხამდე ხარისხის ფარგლებში და ა.შ. მაგალითად, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის p, q, r და s, ტოლობა . უფრო მეტი სიცხადისთვის, აქ არის მაგალითი კონკრეტული რიცხვებით: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

რჩება შეჩერება ხარისხების ბუნებრივ მაჩვენებელთან შედარების თვისებებზე.

ჩვენ ვიწყებთ ნულისა და სიმძლავრის შედარების თვისების დამტკიცებით ბუნებრივი მაჩვენებლით.

პირველი, მოდით გავამართლოთ, რომ a n >0 ნებისმიერი a>0-სთვის.

ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, როგორც ჩანს გამრავლების განმარტებიდან. ეს ფაქტი და გამრავლების თვისებები გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ დადებითი რიცხვების ნებისმიერი რაოდენობის გამრავლების შედეგიც დადებითი რიცხვი იქნება. ხოლო a-ს სიმძლავრე n-ის ბუნებრივი მაჩვენებლით, განსაზღვრებით, არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს არგუმენტები საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი ფუძისთვის a n-ის ხარისხი დადებითი რიცხვია. დადასტურებული თვისებით 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 და .

სავსებით აშკარაა, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი n-ისთვის a=0-ით a n-ის ხარისხი არის ნული. მართლაც, 0 n =0·0·…·0=0 . მაგალითად, 0 3 =0 და 0 762 =0.

გადავიდეთ უარყოფით საფუძვლებზე.

დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია, აღვნიშნოთ ის 2 m , სადაც m არის ნატურალური რიცხვი. მერე . a·a ფორმის თითოეული ნამრავლისთვის ტოლია a და a რიცხვების მოდულების ნამრავლის, შესაბამისად, დადებითი რიცხვია. შესაბამისად, პროდუქტიც დადებითი იქნება. და ხარისხი 2 მ. აი მაგალითები: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 და .

დაბოლოს, როდესაც a-ს საფუძველი უარყოფითი რიცხვია და მაჩვენებელი კენტი რიცხვი 2 m−1, მაშინ . ყველა ნამრავლი a·a დადებითი რიცხვია, ამ დადებითი რიცხვების ნამრავლი ასევე დადებითია და მისი გამრავლება დარჩენილ უარყოფით რიცხვზე a იწვევს უარყოფით რიცხვს. ამ თვისების გამო (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

ჩვენ მივმართავთ იმავე ბუნებრივ მაჩვენებლებთან ხარისხების შედარების თვისებას, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმულირება: ორი გრადუსით ერთი და იგივე ბუნებრივი მაჩვენებლებით, n ნაკლებია ვიდრე ის, ვისი ფუძეც ნაკლებია და მეტი, ვისი ფუძეც დიდია. დავამტკიცოთ.

უტოლობა a n უტოლობების თვისებები a n ფორმის დადასტურებული უტოლობა .

რჩება ძალაუფლების ჩამოთვლილი თვისებების ბოლო დამტკიცება ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ჩამოვაყალიბოთ. ორი გრადუსიდან ბუნებრივი მაჩვენებლებით და იგივე დადებითი ბაზებით, ერთზე ნაკლები, ხარისხი მეტია, რომლის მაჩვენებელიც ნაკლებია; და ორი გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთი და იგივე ფუძეებით ერთზე მეტი, ხარისხი, რომლის მაჩვენებელიც დიდია, უფრო დიდია. ჩვენ მივმართავთ ამ ქონების მტკიცებულებას.

დავამტკიცოთ, რომ m>n და 0 0 საწყისი პირობის გამო m>n , აქედან გამომდინარეობს, რომ 0-ზე

რჩება ქონების მეორე ნაწილის დამტკიცება. დავამტკიცოთ, რომ m>n და a>1-ისთვის a m >a n მართალია. სხვაობა a m −a n ფრჩხილებიდან n-ის ამოღების შემდეგ იღებს n ·(a m−n −1) ფორმას. ეს ნამრავლი დადებითია, ვინაიდან a>1-სთვის a n-ის ხარისხი დადებითი რიცხვია, ხოლო სხვაობა a m−n −1 დადებითი რიცხვია, ვინაიდან m−n>0 საწყისი პირობის გამო, ხოლო a>1-ისთვის, m−n-ის ხარისხი ერთზე მეტია. მაშასადამე, a m − a n >0 და a m >a n, რაც დასამტკიცებელი იყო. ეს თვისება ილუსტრირებულია უტოლობით 3 7 >3 2 .

გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით

ვინაიდან დადებითი მთელი რიცხვები ნატურალური რიცხვებია, მაშინ დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლების მქონე ხარისხების ყველა თვისება ზუსტად ემთხვევა წინა აბზაცში ჩამოთვლილ და დადასტურებულ ნატურალური მაჩვენებლების ხარისხების თვისებებს.

ჩვენ განვსაზღვრეთ ხარისხი უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ისევე როგორც ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით, ასე რომ ტოლობებით გამოხატული ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე გრადუსების ყველა თვისება ძალაში რჩება. მაშასადამე, ყველა ეს თვისება მოქმედებს როგორც ნულოვანი მაჩვენებლების, ასევე უარყოფითი მაჩვენებლებისთვის, ხოლო, რა თქმა უნდა, გრადუსების საფუძვლები არ არის ნულოვანი.

ასე რომ, ნებისმიერი რეალური და არანულოვანი რიცხვებისთვის a და b, ისევე როგორც ნებისმიერი მთელი რიცხვი m და n, შემდეგი ჭეშმარიტია გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n;
3. (ა ბ) n = a n b n;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n;
6. თუ n დადებითი მთელი რიცხვია, a და b დადებითი რიცხვებია და a ბ-ნ;
7. თუ m და n მთელი რიცხვებია და m>n, მაშინ 0-ზე 1 უტოლობა a m >a n სრულდება.

a=0-სთვის, a m და a n ხარისხებს აქვთ აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც m და n დადებითი მთელი რიცხვებია, ანუ ნატურალური რიცხვები. ამრიგად, ახლად დაწერილი თვისებები ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც a=0 და რიცხვები m და n დადებითი მთელი რიცხვებია.

ძნელი არ არის თითოეული ამ თვისების დამტკიცება, ამისათვის საკმარისია გამოვიყენოთ ხარისხის განსაზღვრებები ბუნებრივი და მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ასევე რეალური რიცხვებით მოქმედებების თვისებები. მაგალითად, მოდით დავამტკიცოთ, რომ სიმძლავრის თვისება ვრცელდება როგორც დადებით, ასევე არაპოზიტიურ რიცხვებზე. ამისათვის ჩვენ უნდა ვაჩვენოთ, რომ თუ p არის ნული ან ნატურალური რიცხვი და q არის ნული ან ნატურალური რიცხვი, მაშინ ტოლობები (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) და (a−p)−q =a (−p) (−q). Მოდი გავაკეთოთ ეს.

დადებითი p და q-სთვის წინა ქვეთავში დადასტურდა ტოლობა (a p) q =a p·q. თუ p=0, მაშინ გვაქვს (a 0) q =1 q =1 და a 0 q =a 0 =1, საიდანაც (a 0) q =a 0 q . ანალოგიურად, თუ q=0, მაშინ (a p) 0 =1 და a p 0 =a 0 =1, საიდანაც (a p) 0 =a p 0. თუ ორივე p=0 და q=0 , მაშინ (a 0) 0 =1 0 =1 და a 0 0 =a 0 =1, საიდანაც (a 0) 0 =a 0 0 .

ახლა დავამტკიცოთ, რომ (a −p) q =a (−p) q . უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განმარტებით, მაშინ . ხარისხში კოეფიციენტის თვისებით გვაქვს . ვინაიდან 1 p =1·1·…·1=1 და , მაშინ . ბოლო გამონათქვამი, განსაზღვრებით, არის a −(p q) ხარისხოვანი ფორმა, რომელიც გამრავლების წესების მიხედვით შეიძლება დაიწეროს როგორც (−p) q.

ანალოგიურად .

და .

ამავე პრინციპით, ხარისხის ყველა სხვა თვისების დამტკიცება შესაძლებელია ტოლობის სახით დაწერილი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.

ჩაწერილი თვისებებიდან წინაბოლოში ღირს შეჩერება a −n >b −n უტოლობის მტკიცებულებაზე, რომელიც მართალია ნებისმიერი უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის −n და ნებისმიერი დადებითი a და b, რომლისთვისაც არის a პირობა. . ვინაიდან პირობით ა 0 . a n ·b n ნამრავლი ასევე დადებითია, როგორც a n და b n დადებითი რიცხვების ნამრავლი. მაშინ მიღებული წილადი დადებითია როგორც b n − a n და a n b n დადებითი რიცხვების კოეფიციენტი. მაშასადამე, საიდანაც a −n >b −n, რომელიც დასამტკიცებელი იყო.

გრადუსების ბოლო თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით დადასტურებულია ისევე, როგორც გრადუსების ანალოგიური თვისება ბუნებრივ მაჩვენებლებთან.

ძალაუფლების თვისებები რაციონალური მაჩვენებლებით

ჩვენ განვსაზღვრეთ ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, მასზე მთელი რიცხვითი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების გაფართოებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადის მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს აქვთ იგივე თვისებები, რაც ხარისხებს მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით. კერძოდ:

წილადის მაჩვენებლებით გრადუსების თვისებების დადასტურება ემყარება წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრას, მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე გრადუსის თვისებებზე. მოდი მტკიცებულება მივცეთ.

ხარისხის განსაზღვრებით წილადის მაჩვენებლით და , მაშინ . არითმეტიკული ფესვის თვისებები საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ შემდეგი ტოლობები. გარდა ამისა, მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისების გამოყენებით, ვიღებთ , ხოლო მიღებული ხარისხის მაჩვენებლის გარდაქმნა შესაძლებელია შემდეგნაირად: . ეს ასრულებს მტკიცებულებას.

წილადი მაჩვენებლების მქონე ძალების მეორე თვისება ზუსტად იგივე გზით არის დადასტურებული:

დანარჩენი თანასწორობა დასტურდება მსგავსი პრინციპებით:

ჩვენ მივმართავთ შემდეგი ქონების მტკიცებულებას. დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი a და b , a ბ პ . რაციონალურ რიცხვს p ვწერთ m/n-ად, სადაც m არის მთელი რიცხვი და n ნატურალური რიცხვი. პირობები გვ<0 и p>0 ამ შემთხვევაში იქნება m პირობების ექვივალენტი<0 и m>0 შესაბამისად. იყიდება m>0 და a

ანალოგიურად, მ<0 имеем a m >b m, საიდანაც არის, და a p >b p.

რჩება ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. დავამტკიცოთ, რომ რაციონალური რიცხვებისთვის p და q , p>q 0-სთვის 0 – უტოლობა a p >a q . ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია რაციონალური რიცხვები p და q შევამციროთ საერთო მნიშვნელამდე, მივიღოთ ჩვეულებრივი წილადები და სადაც m 1 და m 2 არის მთელი რიცხვები, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. ამ შემთხვევაში, პირობა p>q შეესაბამება m 1 >m 2 პირობას, რომელიც გამომდინარეობს . შემდეგ, ძალაუფლების შედარების თვისებით იგივე ფუძეებით და ბუნებრივი მაჩვენებლებით 0-ზე 1 – უტოლობა a m 1 >a m 2 . ეს უტოლობები ფესვების თვისებების თვალსაზრისით შეიძლება გადაიწეროს, შესაბამისად, როგორც და . და რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრა საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ უტოლობებზე და, შესაბამისად. აქედან გამოვიტანთ საბოლოო დასკვნას: p>q და 0-სთვის 0 – უტოლობა a p >a q .

გრადუსების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით

იმის მიხედვით, თუ როგორ არის განსაზღვრული ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით, შეიძლება დავასკვნათ, რომ მას აქვს რაციონალური მაჩვენებლების მქონე გრადუსების ყველა თვისება. ასე რომ, ნებისმიერი a>0, b>0 და ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q სწორია გრადუსების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით:

1. a p a q = a p + q;
2. a p:a q = a p−q;
3. (ა ბ) p = a p b p;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q;
6. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b , a 0 უტოლობა a p b p ;
7. ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q, p>q 0-ზე 0 – უტოლობა a p >a q .

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ p და q ნებისმიერი რეალური მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს a>0-ისთვის აქვთ იგივე თვისებები.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკის ჟ სახელმძღვანელო 5 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო 9 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).