გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი ამოხსნის მაგალითები. ონლაინ კალკულატორი. გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალი (მრუდი ტრაპეციის ფართობი)

როგორ ჩავსვათ მათემატიკური ფორმულები საიტზე?

თუ ოდესმე დაგჭირდებათ ვებ გვერდზე ერთი ან ორი მათემატიკური ფორმულის დამატება, მაშინ ამის გაკეთების უმარტივესი გზაა სტატიაში აღწერილი: მათემატიკური ფორმულები ადვილად ჩასმულია საიტზე სურათების სახით, რომელსაც Wolfram Alpha ავტომატურად ქმნის. გარდა სიმარტივისა, ეს უნივერსალური მეთოდი ხელს შეუწყობს საიტის ხილვადობის გაუმჯობესებას საძიებო სისტემებში. უკვე დიდი ხანია მუშაობს (და მგონი სამუდამოდ იმუშავებს), მაგრამ მორალურად მოძველებულია.

თუ თქვენ მუდმივად იყენებთ მათემატიკის ფორმულებს თქვენს საიტზე, მაშინ გირჩევთ გამოიყენოთ MathJax, სპეციალური JavaScript ბიბლიოთეკა, რომელიც აჩვენებს მათემატიკის აღნიშვნას ვებ ბრაუზერებში MathML, LaTeX ან ASCIIMathML მარკირების გამოყენებით.

MathJax–ის გამოყენების დაწყების ორი გზა არსებობს: (1) მარტივი კოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ სწრაფად დააკავშიროთ MathJax სკრიპტი თქვენს საიტს, რომელიც ავტომატურად ჩაიტვირთება დისტანციური სერვერიდან საჭირო დროს (სერვერების სია); (2) ატვირთეთ MathJax სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან თქვენს სერვერზე და დააკავშირეთ იგი თქვენი საიტის ყველა გვერდზე. მეორე მეთოდი უფრო რთული და შრომატევადია და საშუალებას მოგცემთ დააჩქაროთ თქვენი საიტის გვერდების ჩატვირთვა და თუ მშობელი MathJax სერვერი რაიმე მიზეზით დროებით მიუწვდომელი გახდება, ეს არანაირად არ იმოქმედებს თქვენს საიტზე. მიუხედავად ამ უპირატესობებისა, მე ავირჩიე პირველი მეთოდი, რადგან ის უფრო მარტივია, უფრო სწრაფი და არ საჭიროებს ტექნიკურ უნარებს. მიჰყევით ჩემს მაგალითს და 5 წუთში შეძლებთ MathJax-ის ყველა ფუნქციის გამოყენებას თქვენს საიტზე.

შეგიძლიათ დააკავშიროთ MathJax ბიბლიოთეკის სკრიპტი დისტანციური სერვერიდან კოდის ორი ვარიანტის გამოყენებით, რომელიც აღებულია MathJax-ის მთავარი ვებსაიტიდან ან დოკუმენტაციის გვერდიდან:

კოდის ერთ-ერთი ვარიანტი უნდა იყოს კოპირებული და ჩასმული თქვენი ვებ გვერდის კოდში, სასურველია ტეგებს შორის დაან ტეგის შემდეგ . პირველი ვარიანტის მიხედვით MathJax უფრო სწრაფად იტვირთება და ნაკლებად ანელებს გვერდს. მაგრამ მეორე ვარიანტი ავტომატურად აკონტროლებს და იტვირთება MathJax-ის უახლეს ვერსიებს. თუ პირველ კოდს ჩასვამთ, მაშინ ის პერიოდულად უნდა განახლდეს. თუ მეორე კოდს ჩასვით, მაშინ გვერდები უფრო ნელა იტვირთება, მაგრამ არ დაგჭირდებათ MathJax-ის განახლებების მუდმივი მონიტორინგი.

MathJax-ის დასაკავშირებლად უმარტივესი გზაა Blogger-ში ან WordPress-ში: საიტის მართვის პანელში დაამატეთ ვიჯეტი, რომელიც შექმნილია მესამე მხარის JavaScript კოდის ჩასართავად, დააკოპირეთ მასში ზემოთ ჩატვირთვის კოდის პირველი ან მეორე ვერსია და მოათავსეთ ვიჯეტი უფრო ახლოს. შაბლონის დასაწყისი (სხვათა შორის, ეს საერთოდ არ არის საჭირო, რადგან MathJax სკრიპტი ასინქრონულად იტვირთება). Სულ ეს არის. ახლა ისწავლეთ MathML, LaTeX და ASCIIMathML მარკირების სინტაქსი და მზად ხართ მათემატიკის ფორმულების ჩასართავად თქვენს ვებ გვერდებზე.

ნებისმიერი ფრაქტალი აგებულია გარკვეული წესის მიხედვით, რომელიც თანმიმდევრულად გამოიყენება შეუზღუდავი რაოდენობით. ყოველ ასეთ დროს გამეორებას უწოდებენ.

მენგერის ღრუბლის ასაგებად განმეორებითი ალგორითმი საკმაოდ მარტივია: ორიგინალური კუბი 1-ლი გვერდით იყოფა მისი სახეების პარალელურად სიბრტყეებით 27 თანაბარ კუბებად. მისგან ამოღებულია ერთი ცენტრალური კუბი და მის მიმდებარე 6 კუბი სახეების გასწვრივ. გამოდის ნაკრები, რომელიც შედგება 20 დარჩენილი პატარა კუბისაგან. იგივეს ვაკეთებთ თითოეულ ამ კუბით, მივიღებთ კომპლექტს, რომელიც შედგება 400 პატარა კუბისაგან. ამ პროცესის განუსაზღვრელი ვადით გაგრძელებით, ვიღებთ მენგერის სპონგს.

ამ სტატიაში თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა იპოვოთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენებით. პირველად ასეთი პრობლემის ფორმულირებას ვხვდებით უმაღლეს სკოლაში, როცა გარკვეული ინტეგრალების შესწავლა ახლახან დასრულდა და დროა დავიწყოთ მიღებული ცოდნის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია პრაქტიკაში.

ასე რომ, რა არის საჭირო ინტეგრალების გამოყენებით ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის წარმატებით გადასაჭრელად:

• ნახატების სწორად დახატვის უნარი;
• განსაზღვრული ინტეგრალის ამოხსნის უნარი ცნობილი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით;
• უფრო მომგებიანი გადაწყვეტის „დანახვის“ უნარი - ე.ი. რომ გავიგოთ, როგორ იქნება ამა თუ იმ შემთხვევაში ინტეგრაციის განხორციელება უფრო მოსახერხებელი? x-ღერძის გასწვრივ (OX) თუ y-ღერძი (OY)?
• კარგი, სად სწორი გამოთვლების გარეშე?) ეს მოიცავს იმის გაგებას, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ სხვა ტიპის ინტეგრალები და სწორი რიცხვითი გამოთვლები.

ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი:

1. ჩვენ ვქმნით ნახატს. მიზანშეწონილია ამის გაკეთება გალიაში ქაღალდზე, დიდი მასშტაბით. ფანქრით ვაწერთ ხელს ყოველი გრაფიკის ზემოთ ამ ფუნქციის სახელს. გრაფიკების ხელმოწერა კეთდება მხოლოდ შემდგომი გამოთვლების მოხერხებულობისთვის. სასურველი ფიგურის გრაფიკის მიღების შემდეგ, უმეტეს შემთხვევაში, მაშინვე გაირკვევა, თუ რომელი ინტეგრაციის ლიმიტები იქნება გამოყენებული. ამრიგად, ჩვენ პრობლემას გრაფიკულად ვხსნით. თუმცა, ეს ხდება, რომ საზღვრების მნიშვნელობები არის წილადი ან ირაციონალური. ამიტომ, შეგიძლიათ გააკეთოთ დამატებითი გამოთვლები, გადადით მეორე ეტაპზე.

2. თუ ინტეგრაციის ლიმიტები ცალსახად არ არის დაყენებული, მაშინ ჩვენ ვპოულობთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილებს ერთმანეთთან და ვნახავთ, შეესაბამება თუ არა ჩვენი გრაფიკული ამოხსნა ანალიტიკურს.

3. შემდეგი, თქვენ უნდა გააანალიზოთ ნახაზი. იმისდა მიხედვით, თუ როგორ მდებარეობს ფუნქციების გრაფიკები, არსებობს სხვადასხვა მიდგომა ფიგურის ფართობის პოვნისთვის. განვიხილოთ ფიგურის ფართობის პოვნის სხვადასხვა მაგალითები ინტეგრალის გამოყენებით.

3.1. პრობლემის ყველაზე კლასიკური და მარტივი ვერსიაა, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ მრგვალი ტრაპეციის ფართობი. რა არის მრუდი ტრაპეცია? ეს არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება x ღერძით (y=0), სწორი x = a, x = bდა ნებისმიერი მრუდი უწყვეტი ინტერვალზე აადრე ბ. ამავდროულად, ეს მაჩვენებელი არაუარყოფითია და მდებარეობს x-ღერძზე დაბალი არ არის. ამ შემთხვევაში, მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით გამოთვლილ განსაზღვრულ ინტეგრალს:

მაგალითი 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

რა ხაზები განსაზღვრავს ფიგურას? ჩვენ გვაქვს პარაბოლა y = x2 - 3x + 3, რომელიც მდებარეობს ღერძის ზემოთ ოჰ, არაუარყოფითია, რადგან ამ პარაბოლის ყველა წერტილი დადებითია. შემდეგი, მოცემულია სწორი ხაზები x = 1და x = 3რომლებიც გადიან ღერძის პარალელურად OU, არის ფიგურის შეზღუდვის ხაზები მარცხნივ და მარჯვნივ. კარგად y = 0ის არის x-ღერძი, რომელიც ზღუდავს ფიგურას ქვემოდან. შედეგად მიღებული ფიგურა დაჩრდილულია, როგორც ეს ჩანს მარცხნივ სურათზე. ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაიწყოთ პრობლემის მოგვარება. ჩვენს წინაშეა მრუდი ტრაპეციის მარტივი მაგალითი, რომელსაც შემდეგ ვხსნით ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით.

3.2. წინა 3.1 პარაგრაფში გაანალიზებულია შემთხვევა, როდესაც მრუდი ტრაპეცია მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ. ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც პრობლემის პირობები იგივეა, გარდა იმისა, რომ ფუნქცია x-ღერძის ქვეშ დევს. ნიუტონ-ლაიბნიცის სტანდარტულ ფორმულას ემატება მინუსი. როგორ მოვაგვაროთ ასეთი პრობლემა, ჩვენ განვიხილავთ შემდგომ.

მაგალითი 2 . გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

ამ მაგალითში გვაქვს პარაბოლა y=x2+6x+2, რომელიც სათავეს იღებს ღერძის ქვეშ ოჰ, სწორი x=-4, x=-1, y=0. Აქ y = 0ზღუდავს სასურველ ფიგურას ზემოდან. პირდაპირი x = -4და x = -1ეს ის საზღვრებია, რომლებშიც გამოითვლება განსაზღვრული ინტეგრალი. ფიგურის ფართობის პოვნის პრობლემის გადაჭრის პრინციპი თითქმის მთლიანად ემთხვევა მაგალითს 1. ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ მოცემული ფუნქცია არ არის დადებითი და ასევე უწყვეტია ინტერვალზე. [-4; -1] . რას არ ნიშნავს პოზიტიური? როგორც ნახატიდან ჩანს, მოცემულ x-ში მოთავსებულ ფიგურას აქვს ექსკლუზიურად „უარყოფითი“ კოორდინატები, რაც უნდა დავინახოთ და დავიმახსოვროთ პრობლემის გადაჭრისას. ჩვენ ვეძებთ ფიგურის ფართობს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, მხოლოდ დასაწყისში მინუს ნიშნით.

სტატია არ არის დასრულებული.

ახლა ჩვენ მივმართავთ ინტეგრალური გაანგარიშების აპლიკაციების განხილვას. ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ტიპურ და ყველაზე გავრცელებულ დავალებას. ბრტყელი ფიგურის ფართობის გამოთვლა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. და ბოლოს, ყველა, ვინც ეძებს მნიშვნელობას უმაღლეს მათემატიკაში - შეიძლება იპოვონ იგი. Არასოდეს იცი. რეალურ ცხოვრებაში მოგიწევთ საზაფხულო კოტეჯის მიახლოება ელემენტარული ფუნქციებით და მისი ფართობის პოვნა გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით.

მასალის წარმატებით დასაუფლებლად, თქვენ უნდა:

1) განუსაზღვრელი ინტეგრალის გაგება საშუალო დონეზე მაინც. ამრიგად, დუიმებმა ჯერ უნდა წაიკითხონ გაკვეთილი არა.

2) შეძლოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება და განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა. თქვენ შეგიძლიათ დაამყაროთ თბილი მეგობრული ურთიერთობა ცალკეულ ინტეგრალებთან გვერდზე განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითები. ამოცანა "გამოთვალეთ ფართობი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით" ყოველთვის მოიცავს ნახაზის აგებასმაშასადამე, თქვენი ცოდნა და ხატვის უნარები ასევე გადაუდებელი საკითხი იქნება. მინიმუმ, ადამიანს უნდა შეეძლოს სწორი ხაზის, პარაბოლის და ჰიპერბოლის აგება.

დავიწყოთ მრუდი ტრაპეციით. მრუდი ტრაპეცია არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია გარკვეული ფუნქციის გრაფიკით წ = ვ(x), ღერძი ოქსიდა ხაზები x = ა; x = ბ.

მრუდი ტრაპეციის ფართობი რიცხობრივად უდრის გარკვეულ ინტეგრალს

ნებისმიერ განსაზღვრულ ინტეგრალს (რომელიც არსებობს) აქვს ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა. საკლასო ოთახში განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითებიჩვენ ვთქვით, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი. ახლა კი დროა განვაცხადოთ კიდევ ერთი სასარგებლო ფაქტი. გეომეტრიის თვალსაზრისით, განსაზღვრული ინტეგრალი არის AREA. ანუ განსაზღვრული ინტეგრალი (თუ ის არსებობს) გეომეტრიულად შეესაბამება რომელიმე ფიგურის ფართობს. განვიხილოთ განსაზღვრული ინტეგრალი

ინტეგრანდ

განსაზღვრავს მრუდს სიბრტყეზე (სურვილის შემთხვევაში მისი დახატვა შესაძლებელია), ხოლო თავად განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

მაგალითი 1

, , , .

ეს არის ტიპიური დავალების განცხადება. გადაწყვეტილების ყველაზე მნიშვნელოვანი წერტილი არის ნახაზის აგება. უფრო მეტიც, ნახატი უნდა აშენდეს უფლება.

გეგმის შექმნისას გირჩევთ შემდეგი თანმიმდევრობით: პირველიუმჯობესია ავაშენოთ ყველა ხაზი (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) და მხოლოდ შემდეგ- პარაბოლები, ჰიპერბოლები, სხვა ფუნქციების გრაფიკები. წერტილი-პუნქტის მშენებლობის ტექნიკა შეგიძლიათ იხილოთ საცნობარო მასალაში ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები. იქ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მასალა, რომელიც ძალიან სასარგებლოა ჩვენს გაკვეთილთან დაკავშირებით - როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა.

ამ პრობლემაში გამოსავალი შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს.

მოდით გავაკეთოთ ნახაზი (გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება წ= 0 განსაზღვრავს ღერძს ოქსი):

მრუდე ტრაპეციას არ გამოვჩეჩავთ, გასაგებია რომელ არეალზეა აქ საუბარი. გამოსავალი ასე გრძელდება:

ინტერვალზე [-2; 1] ფუნქციის გრაფიკი წ = x 2 + 2 მდებარეობს ღერძზეოქსი, ამიტომაც:

პასუხი: .

ვისაც უჭირს განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენება

,

მიმართეთ ლექციას განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტის მაგალითები. დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, "თვალით" ჩვენ ვითვლით ნახატში უჯრედების რაოდენობას - კარგად, დაახლოებით 9 დაიბეჭდება, როგორც ჩანს, მართალია. სავსებით გასაგებია, რომ თუ გვქონდა, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი xy = 4, x = 2, x= 4 და ღერძი ოქსი.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მრგვალი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშოქსი?

მაგალითი 3

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი წ = e-x, x= 1 და საკოორდინაციო ღერძები.

გამოსავალი: მოდით დავხატოთ ნახატი:

თუ მრუდი ტრაპეცია მთლიანად ღერძის ქვეშ ოქსი , მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

Ამ შემთხვევაში:

.

ყურადღება! ორი ტიპის დავალება არ უნდა იყოს აღრეული:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ მხოლოდ განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ის შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა განლაგებულია როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში და, შესაბამისად, უმარტივესი სკოლის პრობლემებიდან გადავდივართ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 4

იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით წ = 2x – x 2 , წ = -x.

გამოსავალი: ჯერ უნდა გააკეთოთ ნახატი. ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. იპოვეთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები წ = 2x – x 2 და სწორი წ = -x. ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური. ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ასე რომ, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი ა= 0, ინტეგრაციის ზედა ზღვარი ბ= 3. ხშირად უფრო მომგებიანი და სწრაფია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა, თითქოს "თვითონ". მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი მაინც ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადური ან ირაციონალური). ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს ამოცანას: უფრო რაციონალურია ჯერ სწორი ხაზის აგება და მხოლოდ ამის შემდეგ პარაბოლა. მოდით დავხატოთ ნახატი:

ჩვენ ვიმეორებთ, რომ წერტილის მშენებლობაში, ინტეგრაციის საზღვრები ყველაზე ხშირად ირკვევა "ავტომატურად".

ახლა კი სამუშაო ფორმულა:

თუ სეგმენტზე [ ა; ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია ვ(x) მეტი ან ტოლიგარკვეული უწყვეტი ფუნქცია გ(x), მაშინ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

აქ აღარ არის საჭირო ფიქრი სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, მაგრამ მნიშვნელობა აქვს რომელი დიაგრამაა ზემოთ(სხვა გრაფიკთან შედარებით), და რომელია ქვემოთ.

განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, 2-დან x – x 2 უნდა გამოკლდეს - x.

გადაწყვეტის დასრულება შეიძლება ასე გამოიყურებოდეს:

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება პარაბოლით წ = 2x – x 2 ზედა და სწორი წ = -xქვემოდან.

მე-2 სეგმენტზე x – x 2 ≥ -x. შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი: .

ფაქტობრივად, ქვედა ნახევარსიბრტყეში მრუდი ტრაპეციის ფართობის სკოლის ფორმულა (იხ. მაგალითი No3) არის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა.

.

ვინაიდან ღერძი ოქსიმოცემულია განტოლებით წ= 0 და ფუნქციის გრაფიკი გ(x) მდებარეობს ღერძის ქვემოთ ოქსი, მაშინ

.

ახლა კი რამდენიმე მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად

მაგალითი 5

მაგალითი 6

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

გარკვეული ინტეგრალის გამოყენებით ტერიტორიის გამოსათვლელად ამოცანების გადაჭრის პროცესში ზოგჯერ ხდება სასაცილო ინციდენტი. ნახატი სწორად იყო შესრულებული, გათვლები იყო სწორი, მაგრამ, უყურადღებობის გამო, ... იპოვა არასწორი ფიგურის ფართობი.

მაგალითი 7

ჯერ დავხატოთ:

ფიგურა, რომლის ფართობიც უნდა ვიპოვოთ, ლურჯად არის დაჩრდილული.(ყურადღებით დააკვირდით მდგომარეობას - რამდენად შეზღუდულია ფიგურა!). მაგრამ პრაქტიკაში, უყურადღებობის გამო, ისინი ხშირად წყვეტენ, რომ მათ უნდა იპოვონ ფიგურის ფართობი, რომელიც დაჩრდილულია მწვანეში!

ეს მაგალითი ასევე სასარგებლოა იმით, რომ მასში ფიგურის ფართობი გამოითვლება ორი განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით. ნამდვილად:

1) სეგმენტზე [-1; 1] ღერძის ზემოთ ოქსიგრაფიკი სწორია წ = x+1;

2) ღერძის ზემოთ სეგმენტზე ოქსიმდებარეობს ჰიპერბოლის გრაფიკი წ = (2/x).

აშკარაა, რომ ტერიტორიები შეიძლება (და უნდა) დაემატოს, ამიტომ:

პასუხი:

მაგალითი 8

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

განტოლებები წარმოვადგინოთ „სკოლის“ სახით

და გააკეთე ხაზის ნახაზი:

ნახაზიდან ჩანს, რომ ჩვენი ზედა ზღვარი "კარგია": ბ = 1.

მაგრამ რა არის ქვედა ზღვარი? გასაგებია, რომ ეს არ არის მთელი რიცხვი, მაგრამ რა?

Შესაძლოა, ა=(-1/3)? მაგრამ სად არის გარანტია, რომ ნახატი შესრულებულია სრულყოფილი სიზუსტით, შეიძლება აღმოჩნდეს ეს ა=(-1/4). რა მოხდება, თუ ჩვენ საერთოდ არ მივიღეთ გრაფიკი სწორად?

ასეთ შემთხვევებში საჭიროა დამატებითი დროის დახარჯვა და ინტეგრაციის საზღვრების ანალიტიკური დახვეწა.

იპოვეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები

ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

.

შესაბამისად, ა=(-1/3).

შემდგომი გამოსავალი ტრივიალურია. მთავარია, ჩანაცვლებებსა და ნიშნებში არ დაიბნეთ. გამოთვლები აქ არ არის ყველაზე მარტივი. სეგმენტზე

, ,

შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

გაკვეთილის დასასრულს განვიხილავთ ორ ამოცანას უფრო რთულად.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი

ამოხსნა: დახაზეთ ეს ფიგურა ნახაზზე.

ნახაზის დახატვის წერტილად, თქვენ უნდა იცოდეთ სინუსოიდის გარეგნობა. ზოგადად, სასარგებლოა ყველა ელემენტარული ფუნქციის გრაფიკის ცოდნა, ასევე სინუსების ზოგიერთი მნიშვნელობის ცოდნა. ისინი შეგიძლიათ იხილოთ მნიშვნელობების ცხრილში ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ზოგიერთ შემთხვევაში (მაგალითად, ამ შემთხვევაში) დასაშვებია სქემატური ნახაზის აგება, რომელზედაც გრაფიკები და ინტეგრაციის ლიმიტები პრინციპულად სწორად უნდა იყოს ნაჩვენები.

აქ ინტეგრაციის ლიმიტებთან არანაირი პრობლემა არ არის, ისინი პირდაპირ გამომდინარეობენ მდგომარეობიდან:

- "x" იცვლება ნულიდან "pi". ჩვენ ვიღებთ შემდგომ გადაწყვეტილებას:

სეგმენტზე, ფუნქციის გრაფიკი წ= ცოდვა 3 xმდებარეობს ღერძის ზემოთ ოქსი, ამიტომაც:

(1) გაკვეთილზე შეგიძლიათ ნახოთ, როგორ არის ინტეგრირებული სინუსები და კოსინუსები კენტ ძალებში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები. ჩვენ ვჭრით ერთ სინუსს.

(2) ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობას ფორმაში

(3) მოდით შევცვალოთ ცვლადი ტ= cos x, შემდეგ: მდებარეობს ღერძის ზემოთ, ასე რომ:

.

.

Შენიშვნა:გაითვალისწინეთ, როგორ არის აღებული კუბში ტანგენსის ინტეგრალი, აქ გამოყენებულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობის შედეგი

.

წინა განყოფილებაში, რომელიც მიეძღვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობის ანალიზს, მივიღეთ რამდენიმე ფორმულა მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოსათვლელად:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x უწყვეტი და არაუარყოფითი ფუნქციისთვის y = f (x) სეგმენტზე [a ; ბ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x უწყვეტი და არადადებითი ფუნქციისთვის y = f (x) სეგმენტზე [a; ბ] .

ეს ფორმულები გამოიყენება შედარებით მარტივი პრობლემების გადასაჭრელად. სინამდვილეში, ხშირად გვიწევს მუშაობა უფრო რთულ ფორმებთან. ამასთან დაკავშირებით, ჩვენ ამ განყოფილებას მივუძღვნით ფიგურების ფართობის გამოთვლის ალგორითმების ანალიზს, რომლებიც შეზღუდულია ფუნქციებით აშკარა ფორმით, ე.ი. როგორიცაა y = f(x) ან x = g(y) .

თეორემა

მოდით y = f 1 (x) და y = f 2 (x) ფუნქციები განსაზღვრული და უწყვეტი იყოს [a; b ] , და f 1 (x) ≤ f 2 (x) ნებისმიერი x მნიშვნელობისთვის [a-დან; ბ] . შემდეგ ფიგურის G ფართობის გამოთვლის ფორმულა, რომელიც შემოსაზღვრულია x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) და y \u003d f 2 (x) ხაზებით გამოიყურება S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

მსგავსი ფორმულა გამოყენებული იქნება ფიგურის ფართობისთვის, რომელიც შემოსაზღვრულია y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) და x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

მტკიცებულება

ჩვენ გავაანალიზებთ სამ შემთხვევას, რომლებისთვისაც ფორმულა მოქმედი იქნება.

პირველ შემთხვევაში, ფართობის დანამატის თვისების გათვალისწინებით, თავდაპირველი ფიგურის G და მრუდი ტრაპეციის G 1 ფართობების ჯამი უდრის ფიგურის G 2 ფართობს. Ეს ნიშნავს, რომ

ამიტომ, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ ბოლო გადასვლა განსაზღვრული ინტეგრალის მესამე თვისების გამოყენებით.

მეორე შემთხვევაში, ტოლობა მართალია: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

გრაფიკული ილუსტრაცია ასე გამოიყურება:

თუ ორივე ფუნქცია არაპოზიტიურია, მივიღებთ: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x. გრაფიკული ილუსტრაცია ასე გამოიყურება:

გადავიდეთ ზოგადი შემთხვევის განხილვაზე, როდესაც y = f 1 (x) და y = f 2 (x) კვეთენ O x ღერძს.

გადაკვეთის წერტილებს აღვნიშნავთ x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . ეს წერტილები არღვევენ სეგმენტს [a; b ] n ნაწილად x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n , სადაც α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

შესაბამისად,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ბოლო გადასვლა განსაზღვრული ინტეგრალის მეხუთე თვისების გამოყენებით.

მოდით გამოვხატოთ ზოგადი შემთხვევა გრაფიკზე.

ფორმულა S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x შეიძლება ჩაითვალოს დადასტურებულად.

ახლა კი მოდით გადავიდეთ ფიგურების ფართობის გამოთვლის მაგალითების ანალიზზე, რომლებიც შემოიფარგლება y \u003d f (x) და x \u003d g (y) ხაზებით.

რომელიმე მაგალითის გათვალისწინებით, ჩვენ დავიწყებთ გრაფიკის აგებით. გამოსახულება საშუალებას მოგვცემს წარმოვადგინოთ რთული ფორმები, როგორც მარტივი ფორმების კომბინაციები. თუ მათზე გრაფიკების და ფორმების დახატვა გაგიჭირდებათ, შეგიძლიათ შეისწავლოთ განყოფილება ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების, ფუნქციების გრაფიკების გეომეტრიული ტრანსფორმაციის შესახებ, ასევე ფუნქციის შესწავლისას.

მაგალითი 1

აუცილებელია განისაზღვროს ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება პარაბოლით y \u003d - x 2 + 6 x - 5 და სწორი ხაზებით y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d. 1, x \u003d 4.

გადაწყვეტილება

დავხატოთ ხაზები გრაფიკზე დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

ინტერვალზე [1; 4] პარაბოლის გრაფიკი y = - x 2 + 6 x - 5 მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ y = - 1 3 x - 1 2 . ამასთან დაკავშირებით, პასუხის მისაღებად ვიყენებთ ადრე მიღებულ ფორმულას, ასევე განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის მეთოდს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

პასუხი: S (G) = 13

მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითს.

მაგალითი 2

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y = x + 2, y = x, x = 7 ხაზებით.

გადაწყვეტილება

ამ შემთხვევაში x-ღერძის პარალელურად მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი გვაქვს. ეს არის x = 7. ეს მოითხოვს, რომ ჩვენ თვითონ ვიპოვოთ ინტეგრაციის მეორე ლიმიტი.

ავაშენოთ გრაფიკი და დავდოთ მასზე ამოცანის პირობით მოცემული ხაზები.

ჩვენს თვალწინ გრაფა რომ გვქონდეს, ჩვენ მარტივად შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი იქნება გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა სწორი ხაზით y \u003d x და ნახევრად პარაბოლა y \u003d x + 2. აბსცისის საპოვნელად ვიყენებთ ტოლობებს:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

გამოდის, რომ გადაკვეთის წერტილის აბსციზა არის x = 2.

თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ იმ ფაქტს, რომ ნახაზის ზოგად მაგალითში წრფეები y = x + 2 , y = x იკვეთება (2 ; 2) წერტილში, ამიტომ ასეთი დეტალური გამოთვლები შეიძლება ზედმეტი ჩანდეს. ჩვენ მივაწოდეთ ასეთი დეტალური გადაწყვეტა აქ მხოლოდ იმიტომ, რომ უფრო რთულ შემთხვევებში გამოსავალი შეიძლება არც ისე აშკარა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ უმჯობესია ხაზების გადაკვეთის კოორდინატები ყოველთვის ანალიზურად გამოვთვალოთ.

ინტერვალზე [2; 7 ] y = x ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს y = x + 2 ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ. ფართობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ფორმულა:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

პასუხი: S (G) = 59 6

მაგალითი 3

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y \u003d 1 x და y \u003d - x 2 + 4 x - 2 ფუნქციების გრაფიკებით.

გადაწყვეტილება

დავხატოთ ხაზები გრაფიკზე.

მოდით განვსაზღვროთ ინტეგრაციის საზღვრები. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ ხაზების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს გამონათქვამების 1 x და - x 2 + 4 x - 2 ტოლობით. იმ პირობით, რომ x არ არის ნულის ტოლი, ტოლობა 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 ხდება მესამე ხარისხის განტოლების ექვივალენტი - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით . თქვენ შეგიძლიათ განაახლოთ მეხსიერების ალგორითმი ასეთი განტოლებების გადასაჭრელად განყოფილებაში "კუბური განტოლებების ამოხსნა".

ამ განტოლების ფესვი არის x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

გამოთქმა - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 x - 1 ორობითად გავყოფთ, მივიღებთ: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ დარჩენილი ფესვები განტოლებიდან x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

ჩვენ ვიპოვეთ x ∈ 1 ინტერვალი; 3 + 13 2, სადაც G მოთავსებულია ლურჯი ხაზის ზემოთ და წითელი ხაზის ქვემოთ. ეს გვეხმარება ფორმის ფართობის დადგენაში:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

პასუხი: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

მაგალითი 4

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება მრუდებით y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 და x ღერძი.

გადაწყვეტილება

მოდით დავდოთ ყველა ხაზი გრაფიკზე. ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ y = - log 2 x + 1 ფუნქციის გრაფიკი y = log 2 x გრაფიკიდან, თუ მას სიმეტრიულად მოვათავსებთ x ღერძზე და ავწევთ ერთი ერთეულით ზემოთ. x-ღერძის განტოლება y \u003d 0.

აღვნიშნოთ წრფეების გადაკვეთის წერტილები.

როგორც ნახატიდან ჩანს, y \u003d x 3 და y \u003d 0 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (0; 0) წერტილში. ეს იმიტომ ხდება, რომ x \u003d 0 არის განტოლების ერთადერთი რეალური ფესვი x 3 \u003d 0.

x = 2 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი - log 2 x + 1 = 0 , ამიტომ y = - log 2 x + 1 და y = 0 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (2 ; 0) წერტილში.

x = 1 არის განტოლების ერთადერთი ფესვი x 3 = - log 2 x + 1 . ამასთან დაკავშირებით, y \u003d x 3 და y \u003d - log 2 x + 1 ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება (1; 1) წერტილში. ბოლო განცხადება შეიძლება არ იყოს აშკარა, მაგრამ განტოლებას x 3 \u003d - log 2 x + 1 არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ფესვი, რადგან ფუნქცია y \u003d x 3 მკაცრად იზრდება, ხოლო ფუნქცია y \u003d - log 2 x +1 მკაცრად კლებულობს.

შემდეგი ნაბიჯი მოიცავს რამდენიმე ვარიანტს.

ვარიანტი ნომერი 1

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ფიგურა G, როგორც ორი მრუდი ტრაპეციის ჯამი, რომლებიც მდებარეობს აბსცისის ღერძის ზემოთ, რომელთაგან პირველი მდებარეობს x ∈ 0 სეგმენტზე შუა ხაზის ქვემოთ; 1, ხოლო მეორე არის x ∈ 1 სეგმენტზე წითელი ხაზის ქვემოთ; 2 . ეს ნიშნავს, რომ ფართობი ტოლი იქნება S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

ვარიანტი ნომერი 2

ფიგურა G შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ფიგურის სხვაობით, რომელთაგან პირველი მდებარეობს x ღერძის ზემოთ და ლურჯი ხაზის ქვემოთ x ∈ 0 სეგმენტზე; 2, ხოლო მეორე არის x ∈ 1 სეგმენტზე წითელ და ლურჯ ხაზებს შორის; 2 . ეს საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ასეთი ტერიტორია:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

ამ შემთხვევაში, ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. სინამდვილეში, ხაზები, რომლებიც აკავშირებენ ფორმას, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს y არგუმენტის ფუნქციებად.

მოდით ამოხსნათ განტოლებები y = x 3 და - log 2 x + 1 x-ის მიმართ:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - ჟურნალი 2 x + 1 ⇒ ჟურნალი 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

ჩვენ ვიღებთ საჭირო ფართობს:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

პასუხი: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

მაგალითი 5

აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 ხაზებით.

გადაწყვეტილება

დახაზეთ ხაზი სქემაზე წითელი ხაზით, რომელიც მოცემულია y = x ფუნქციით. დახაზეთ ხაზი y = - 1 2 x + 4 ლურჯად და მონიშნეთ ხაზი y = 2 3 x - 3 შავით.

ყურადღება მიაქციეთ გადაკვეთის წერტილებს.

იპოვეთ y = x და y = - 1 2 x + 4 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i არის განტოლების ამონახსნი x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 არის განტოლების ამონახსნი ⇒ (4 ; 2) გადაკვეთის წერტილი i y = x და y = - 1 2 x + 4

იპოვეთ y = x და y = 2 3 x - 3 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილი:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 შემოწმება: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 არის ⇒ (9; 3) განტოლების ამონახსნი y = x და y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 არ არის განტოლების ამონახსნი

იპოვეთ y = - 1 2 x + 4 და y = 2 3 x - 3 წრფეების გადაკვეთის წერტილი:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) გადაკვეთის წერტილი y = - 1 2 x + 4 და y = 2 3 x - 3

მეთოდი ნომერი 1

ჩვენ წარმოვადგენთ სასურველი ფიგურის ფართობს, როგორც ცალკეული ფიგურების ფართობების ჯამს.

მაშინ ფიგურის ფართობია:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

მეთოდი ნომერი 2

ორიგინალური ფიგურის ფართობი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც დანარჩენი ორი ფიგურის ჯამი.

შემდეგ ჩვენ ვხსნით ხაზოვან განტოლებას x-სთვის და მხოლოდ ამის შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად.

y = x ⇒ x = y 2 წითელი ხაზი y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 შავი ხაზი y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

ასე რომ, ტერიტორია არის:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

როგორც ხედავთ, მნიშვნელობები ემთხვევა.

პასუხი: S (G) = 11 3

შედეგები

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მოცემული ხაზებით, უნდა დავხატოთ ხაზები სიბრტყეზე, ვიპოვოთ მათი გადაკვეთის წერტილები და გამოვიყენოთ ფორმულა ფართობის საპოვნელად. ამ განყოფილებაში ჩვენ განვიხილეთ ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ვარიანტები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ა)

გადაწყვეტილება.

გადაწყვეტილების პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი მომენტი არის ნახატის აგება.

მოდით დავხატოთ ნახატი:

განტოლება y=0 ადგენს x-ღერძს;

- x=-2 და x=1 - სწორი, ღერძის პარალელურად OU;

- y \u003d x 2 +2 - პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, წვეროთი (0;2) წერტილში.

კომენტარი.პარაბოლის ასაგებად საკმარისია ვიპოვოთ მისი გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან, ე.ი. აყენებს x=0 იპოვნეთ კვეთა ღერძთან OU და შესაბამისი კვადრატული განტოლების ამოხსნით იპოვეთ ღერძთან კვეთა ოჰ .

პარაბოლას წვერო შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით:

შეგიძლიათ დახაზოთ ხაზები და წერტილი-პუნქტი.

[-2;1] ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი y=x 2 +2 მდებარე ღერძზე ოქსი , ამიტომაც:

პასუხი: ს \u003d 9 კვადრატული ერთეული

დავალების დასრულების შემდეგ ყოველთვის სასარგებლოა ნახატის დათვალიერება და იმის გარკვევა, არის თუ არა პასუხი რეალური. ამ შემთხვევაში, "თვალით" ვითვლით ნახატზე უჯრედების რაოდენობას - კარგად, დაახლოებით 9 იქნება აკრეფილი, როგორც ჩანს, მართალია. სავსებით გასაგებია, რომ თუ გვქონდა, ვთქვათ, პასუხი: 20 კვადრატული ერთეული, მაშინ, ცხადია, სადღაც შეცდომა დაუშვა - 20 უჯრედი აშკარად არ ჯდება მოცემულ ფიგურაში, მაქსიმუმ ათეული. თუ პასუხი უარყოფითი აღმოჩნდა, მაშინ ამოცანაც არასწორად გადაწყდა.

რა უნდა გააკეთოს, თუ მრგვალი ტრაპეცია მდებარეობს ღერძის ქვეშ ოჰ?

ბ)გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y=-e x , x=1 და საკოორდინაციო ღერძები.

გადაწყვეტილება.

მოდით დავხატოთ ნახატი.

თუ მრუდი ტრაპეცია მთლიანად ღერძის ქვეშ ოჰ , მაშინ მისი ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

პასუხი: S=(e-1) კვ. ერთეული" 1,72 კვ. ერთეული

ყურადღება! არ აურიოთ ორი ტიპის დავალება:

1) თუ თქვენ გთხოვენ ამოხსნათ მხოლოდ განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველგვარი გეომეტრიული მნიშვნელობის გარეშე, მაშინ ის შეიძლება იყოს უარყოფითი.

2) თუ გთხოვენ ფიგურის ფართობის პოვნა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაშინ ფართობი ყოველთვის დადებითია! ამიტომ მინუსი ჩნდება ახლახან განხილულ ფორმულაში.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად ფიგურა მდებარეობს როგორც ზედა, ასევე ქვედა ნახევარ სიბრტყეში.

თან)იპოვეთ სიბრტყე ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ხაზებით y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

გადაწყვეტილება.

ჯერ ნახატი უნდა გააკეთოთ. ზოგადად რომ ვთქვათ, ფართობის ამოცანებში ნახატის აგებისას ჩვენ ყველაზე მეტად გვაინტერესებს ხაზების გადაკვეთის წერტილები. იპოვეთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები და პირდაპირი ეს შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით. პირველი გზა არის ანალიტიკური.

ჩვენ ვხსნით განტოლებას:

ასე რომ, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი a=0 , ინტეგრაციის ზედა ზღვარი b=3 .

ვაშენებთ მოცემულ ხაზებს: 1. პარაბოლა - წვერო (1;1); ღერძის კვეთა ოჰ -ქულები (0;0) და (0;2). 2. სწორი ხაზი - მე-2 და მე-4 კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი. ახლა კი ყურადღება! თუ სეგმენტზე [ ა;ბ] ზოგიერთი უწყვეტი ფუნქცია f(x)მეტი ან ტოლი რომელიმე უწყვეტ ფუნქციაზე g(x), მაშინ შესაბამისი ფიგურის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით: . და არ აქვს მნიშვნელობა სად მდებარეობს ფიგურა - ღერძის ზემოთ თუ ღერძის ქვემოთ, მაგრამ მნიშვნელოვანია, რომელი დიაგრამაა უფრო მაღალი (სხვა დიაგრამასთან შედარებით), და რომელი არის ქვემოთ. განხილულ მაგალითში აშკარაა, რომ სეგმენტზე პარაბოლა მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ და, შესაბამისად, აუცილებელია გამოკლება

შესაძლებელია ხაზების აგება წერტილი-პუნქტით, ხოლო ინტეგრაციის საზღვრები ისე ირკვევა, თითქოს „თავისთავად“. მიუხედავად ამისა, ლიმიტების პოვნის ანალიტიკური მეთოდი მაინც ზოგჯერ უნდა იქნას გამოყენებული, თუ, მაგალითად, გრაფიკი საკმარისად დიდია, ან ხრახნიანი კონსტრუქცია არ ავლენს ინტეგრაციის საზღვრებს (ისინი შეიძლება იყოს წილადური ან ირაციონალური).

სასურველი ფიგურა შემოიფარგლება ზემოდან პარაბოლით და ქვემოდან სწორი ხაზით.

სეგმენტზე შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი: ს \u003d 4.5 კვ. ერთეული