Daný rovný kruhový. Priesečník valca a kužeľa

Diagnostická práca pozostáva z dvoch častí vrátane 19 úloh. 1. časť obsahuje 8 úloh základnej úrovne zložitosti s krátkou odpoveďou. 2. časť obsahuje 4 úlohy zvýšenej náročnosti s krátkou odpoveďou a 7 úloh zvýšenej a vysokej náročnosti s podrobnou odpoveďou.
Na vykonávanie diagnostických prác v matematike sú vyčlenené 3 hodiny 55 minút (235 minút).
Odpovede na úlohy 1-12 sa zapisujú ako celé číslo alebo ako posledný desatinný zlomok. Čísla napíšte do kolónok na odpoveď v texte práce a následne ich preneste do odpoveďového hárku č.1. Pri plnení úloh 13-19 je potrebné zapísať kompletné riešenie a odpoveď do odpoveďového hárku č. 2.
Všetky formuláre sú vyplnené jasným čiernym atramentom. Použitie gélových, kapilárnych alebo plniacich pier je povolené.
Pri dokončovaní úloh môžete použiť koncept. Návrhy sa nezapočítavajú do hodnotenia práce.
Body, ktoré získate za splnené úlohy, sa sčítajú.
Prajeme vám úspech!

Podmienky úlohy

1. Nájdite ak
2. Na získanie zväčšeného obrazu žiarovky na obrazovke v laboratóriu sa používa zbiehavá šošovka s hlavnou ohniskovou vzdialenosťou = 30 cm Vzdialenosť od šošovky k žiarovke sa môže meniť od 40 do 65 cm a vzdialenosť od objektívu k obrazovke - v rozsahu od 75 do 100 cm.Obraz na obrazovke bude jasný, ak bude dodržaný pomer. Zadajte najväčšiu vzdialenosť od šošovky, do ktorej je možné umiestniť žiarovku, aby bol jej obraz na obrazovke jasný. Vyjadrite svoju odpoveď v centimetroch.
3. Loď prejde pozdĺž rieky do cieľa 300 km a po zaparkovaní sa vráti do východiskového bodu. Nájdite rýchlosť prúdu, ak je rýchlosť lode v stojatej vode 15 km / h, parkovanie trvá 5 hodín a loď sa vráti do východiskového bodu 50 hodín po opustení. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
4. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie na segmente
5. a) Vyriešte rovnicu b) Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu
6. Daný pravý kruhový kužeľ s vrcholom M. Axiálny rez kužeľa - trojuholník s uhlom 120 ° na vrchole M. Kužeľový generátor je . Cez bodku Mčasť kužeľa je nakreslená kolmo na jeden z generátorov.
   a) Dokážte, že výsledný trojuholník je tupý.
   b) Nájdite vzdialenosť od stredu O základňa kužeľa k rovine rezu.
7. Vyriešte rovnicu
8. Kruh so stredom O dotkne sa strany AB rovnoramenný trojuholník abc, bočné rozšírenia AC a pokračovanie nadácie slnko v bode N. Bodka M- stred základne Slnko.
   a) Dokáž to MN = AC.
   b) Nájsť OS, ak strany trojuholníka ABC sú 5, 5 a 8.
9. Podnikateľský projekt „A“ predpokladá zvýšenie súm do neho investovaných o 34,56 % ročne počas prvých dvoch rokov ao 44 % ročne počas nasledujúcich dvoch rokov. Projekt B predpokladá rast o konštantné celé číslo n percent ročne. Nájdite najmenšiu hodnotu n, v rámci ktorej bude prvé štyri roky projekt „B“ ziskovejší ako projekt „A“.
10. Nájdite všetky hodnoty parametra , , pre každú z nich systém rovníc má jediné riešenie
11. Anya hrá hru: na doske sú napísané dve rôzne prirodzené čísla a , obe sú menšie ako 1 000. Ak sú obe prirodzené čísla, Anya urobí ťah – predchádzajúce nahradí týmito dvoma číslami. Ak aspoň jedno z týchto čísel nie je prirodzené číslo, hra končí.
    a) Môže hra pokračovať presne na tri ťahy?
    b) Existujú dve počiatočné čísla také, aby hra trvala aspoň 9 ťahov?
    c) Anya urobila prvý ťah v hre. Nájdite najväčší možný pomer súčinu získaných dvoch čísel k súčinu

Nech je daný pravý kruhový valec, vodorovná rovina priemetov je rovnobežná s jeho základňou. Keď valec pretína rovina vo všeobecnej polohe (predpokladáme, že rovina nepretína podstavy valca), priesečník je elipsa, samotný rez má tvar elipsy, jeho horizontálny priemet sa zhoduje s priemet základne valca a predná časť má tiež tvar elipsy. Ak však rovina rezu zviera s osou valca uhol rovný 45 °, potom sa časť, ktorá má tvar elipsy, premietne kružnicou na tú rovinu projekcií, ku ktorej je časť súčasne naklonená. uhol.

Ak rovina rezu pretína bočnú plochu valca a jednu z jeho podstav (obr. 8.6), potom má priesečník tvar neúplnej elipsy (časť elipsy). Horizontálny priemet rezu je v tomto prípade súčasťou kružnice (priemet základne) a predná časť je súčasťou elipsy. Rovina môže byť umiestnená kolmo na ľubovoľnú projekčnú rovinu, potom sa rez premietne do tejto projekčnej roviny priamkou (časť stopy sečnej roviny).

Ak valec pretína rovina rovnobežná s tvoriacou čiarou, potom sú priesečníky s bočnou plochou rovné a samotná časť má tvar obdĺžnika, ak je valec rovný, alebo rovnobežníka, ak je valec naklonený.

Ako viete, valec aj kužeľ sú tvorené riadkovanými plochami.

Priesečník (čiara rezu) riadkovanej plochy a roviny je vo všeobecnom prípade určitá krivka, ktorá je zostrojená z priesečníkov generátorov so sečnou rovinou.

Nech je to dané rovný kruhový kužeľ. Pri jej krížení s rovinou môže mať priesečník v závislosti od polohy roviny tvar: trojuholníka, elipsy, kružnice, paraboly, hyperboly (obr. 8.7).

Trojuholník sa získa, keď rovina rezu prechádzajúca kužeľom prechádza jeho vrcholom. Priesečníky s bočnou plochou sú v tomto prípade priame čiary pretínajúce sa na vrchole kužeľa, ktoré spolu s priesečníkom základne tvoria trojuholník premietaný na premietacie roviny s deformáciou. Ak rovina pretína os kužeľa, získame v reze trojuholník, v ktorom bude uhol s vrcholom zhodným s vrcholom kužeľa maximálny pre úseky trojuholníka daného kužeľa. V tomto prípade sa rez premietne na vodorovnú premietaciu rovinu (je rovnobežná so základňou) úsečkou.

Priesečník roviny a kužeľa bude elipsa, ak rovina nie je rovnobežná so žiadnym z generátorov kužeľa. To je ekvivalentné skutočnosti, že rovina pretína všetky generátory (celý bočný povrch kužeľa). Ak je rovina rezu rovnobežná so základňou kužeľa, potom je priesečník kruh, samotný úsek sa premieta na vodorovnú projekčnú rovinu bez skreslenia a na čelnú rovinu - ako úsečka.

Priesečník bude parabola, keď je sečná rovina rovnobežná len s jednou tvoriacou čiarou kužeľa. Ak je rovina rezu rovnobežná s dvoma generátormi súčasne, potom je priesečník hyperbola.

Zrezaný kužeľ sa získa, ak pravý kruhový kužeľ pretína rovina rovnobežná so základňou a kolmá na os kužeľa a horná časť sa zahodí. V prípade, že je horizontálna projekčná rovina rovnobežná so základňami zrezaného kužeľa, sú tieto základne premietnuté do horizontálnej projekčnej roviny bez skreslenia sústrednými kružnicami a nárys je lichobežník. Keď zrezaný kužeľ pretína rovina, v závislosti od jeho polohy môže mať čiara rezu tvar lichobežníka, elipsy, kruhu, paraboly, hyperboly alebo časti jednej z týchto kriviek, ktorých konce sú spojené priamka.

V valec \u003d S hlavný. h

Príklad 2 Daný pravý kruhový kužeľ ABC je rovnostranný, BO = 10. Nájdite objem kužeľa.

Riešenie

Nájdite polomer základne kužeľa. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

Nech OS = a, potom BC = 2 a. Podľa Pytagorovej vety:

odpoveď: .

Príklad 3. Vypočítajte objemy útvarov vytvorených rotáciou plôch ohraničených určenými čiarami.

y2=4x; y=0; x=4.

Hranice integrácie a = 0, b = 4.

V= | = 32π

Úlohy

možnosť 1

1. Osovým rezom valca je štvorec, ktorého uhlopriečka je 4 dm. Nájdite objem valca.

2. Vonkajší priemer dutej gule je 18 cm, hrúbka steny 3 cm Nájdite objem stien gule.

X obrazec ohraničený priamkami y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

Možnosť 2

1. Polomery troch guličiek sú 6 cm, 8 cm, 10 cm Určte polomer gule, ktorej objem sa rovná súčtu objemov týchto guličiek.

2. Plocha základne kužeľa je 9 cm 2, jeho celková plocha je 24 cm 2. Nájdite objem kužeľa.

3. Vypočítajte objem telesa vzniknutého rotáciou okolo osi O X obrazec ohraničený priamkami y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Testovacie otázky:

1. Napíšte vlastnosti objemov telies.

2. Napíšte vzorec na výpočet objemu rotačného telesa okolo osi Oy.

Úvod

Relevantnosť výskumnej témy. Kužeľosečky poznali už matematici starovekého Grécka (napríklad Menechmus, 4. storočie pred Kristom); pomocou týchto kriviek boli vyriešené niektoré konštrukčné problémy (zdvojenie kocky a pod.), ktoré sa ukázali ako nedostupné pri použití najjednoduchších nástrojov na kreslenie - kružidlá a pravítka. V prvých štúdiách, ktoré sa k nám dostali, získali grécki geometri kužeľové rezy nakreslením roviny rezu kolmej na jeden z generátorov, pričom v závislosti od uhla otvorenia v hornej časti kužeľa (t. j. najväčšieho uhla medzi generátormi jednej dutiny) sa priesečník ukázal ako elipsa, ak je tento uhol ostrý, je to parabola, ak je pravý uhol, a hyperbola, ak je tupý. Najkompletnejším dielom venovaným týmto krivkám boli „Kužeľové rezy“ Apollonia z Pergy (asi 200 pred Kristom). Ďalšie pokroky v teórii kužeľosečiek sú spojené s vytvorením v 17. storočí. nové geometrické metódy: projektívne (francúzski matematici J. Desargues, B. Pascal) a najmä súradnicové (francúzski matematici R. Descartes, P. Fermat).

Záujem o kužeľosečky bol vždy podporovaný tým, že tieto krivky sa často vyskytujú v rôznych prírodných javoch a pri ľudskej činnosti. Vo vede nadobudli kužeľosečky mimoriadny význam po tom, čo nemecký astronóm I. Kepler objavil z pozorovaní a anglický vedec I. Newton teoreticky zdôvodnil zákony pohybu planét, z ktorých jeden tvrdí, že planéty a kométy slnečnej sústavy sa pohybujú po kužeľose úseky, v jednom z ohniskov ktorého je Slnko. Nasledujúce príklady sa týkajú určitých typov kužeľosečiek: strela alebo kameň hodený šikmo k horizontu opisuje parabolu (správny tvar krivky je trochu skreslený odporom vzduchu); v niektorých mechanizmoch sa používajú eliptické prevody („eliptické prevody“); hyperbola slúži ako graf nepriamej úmernosti, často pozorovaný v prírode (napríklad Boyleov-Mariottov zákon).

Cieľ:

Štúdium teórie kužeľosečiek.

Téma výskumu:

Kužeľové rezy.

Účel štúdie:

Teoreticky študovať vlastnosti kužeľosečiek.

Predmet štúdia:

Kužeľové rezy.

Predmet štúdia:

Historický vývoj kužeľosečiek.

1. Vznik kužeľosečiek a ich typy

Kužeľové rezy sú čiary, ktoré sa tvoria v reze pravého kruhového kužeľa s rôznymi rovinami.

Všimnite si, že kužeľová plocha je plocha vytvorená pohybom priamky, ktorá celý čas prechádza pevným bodom (vrcholom kužeľa) a pretína po celý čas pevnú krivku – vedenie (v našom prípade kružnicu). ).

Klasifikáciou týchto línií podľa povahy umiestnenia rovín sečných rovín vzhľadom na generátory kužeľa sa získajú tri typy kriviek:

I. Krivky tvorené rezom kužeľa rovinami, ktoré nie sú rovnobežné so žiadnym z generátorov. Takéto krivky budú rôzne kruhy a elipsy. Tieto krivky sa nazývajú eliptické krivky.

II. Krivky tvorené rezom kužeľa rovinami, z ktorých každá je rovnobežná s jednou z tvoriacich osí kužeľa (obr. 1b). Takýmito krivkami budú len paraboly.

III. Krivky tvorené rezom kužeľa rovinami, z ktorých každá je rovnobežná s niektorými dvoma generátormi (obr. 1c). takéto krivky budú hyperboly.

Už nemôžu existovať žiadne krivky typu IV, pretože nemôže existovať rovina rovnobežná s tromi generátormi kužeľa naraz, pretože žiadne tri generátory kužeľa samotné neležia v rovnakej rovine.

Všimnite si, že kužeľ môže byť pretínaný rovinami a tak, že v reze sa získajú dve priame čiary. Na tento účel musia byť sečné roviny nakreslené cez hornú časť kužeľa.

2. Elipsa

Pre štúdium vlastností kužeľosečiek sú dôležité dve vety:

Veta 1. Nech je daný priamy kruhový kužeľ, ktorý je rozložený rovinami b 1, b 2, b 3 kolmými na jeho os. Potom sú všetky segmenty kužeľových generátorov medzi ľubovoľnou dvojicou kružníc (získaných v reze s danými rovinami) navzájom rovnaké, t.j. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d atď. a B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d atď. Veta 2. Ak je daná guľová plocha a nejaký bod S je mimo nej, tak úsečky dotyčníc ťahané z bodu S ku guľovej ploche sa budú navzájom rovnať, t.j. SA 1 = SA 2 = SA 3 atď.

2.1 Základná vlastnosť elipsy

Vyrežeme pravý kruhový kužeľ s rovinou pretínajúcou všetky jeho generátory av reze dostaneme elipsu. Nakreslíme rovinu kolmú na rovinu cez os kužeľa.

Do kužeľa vpíšeme dve guľôčky tak, aby sa každá z nich, keďže sa nachádza na opačných stranách roviny a dotýkala sa kužeľovej plochy, dotýkala roviny v určitom bode.

Nech sa jedna gulička dotkne roviny v bode F 1 a dotkne sa kužeľa pozdĺž kružnice C 1 a druhá v bode F 2 a dotkne sa kužeľa pozdĺž kružnice C 2 .

Vezmite ľubovoľný bod P na elipse.

To znamená, že všetky závery, ktoré sa o tom urobia, budú platiť pre ktorýkoľvek bod elipsy. Narysujme tvoriacu čiaru OR kužeľa a označme body R 1 a R 2, v ktorých sa dotýka zostrojených guľôčok.

Spojte bod P s bodmi F 1 a F 2 . Potom PF 1 = PR 1 a PF 2 = PR 2, keďže PF 1, PR 1 sú dotyčnice ťahané z bodu P k jednej guličke a PF 2, PR 2 sú dotyčnice ťahané z bodu P k inej guličke (veta 2 ) . Pridaním oboch rovností po členoch zistíme

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Tento vzťah ukazuje, že súčet vzdialeností (РF 1 a РF 2) ľubovoľného bodu P elipsy k dvom bodom F 1 a F 2 je konštantná hodnota pre túto elipsu (to znamená, že nezávisí od polohy bodu P na elipse).

Body F 1 a F 2 sa nazývajú ohniská elipsy. Body, v ktorých priamka F 1 F 2 pretína elipsu, sa nazývajú vrcholy elipsy. Úsek medzi vrcholmi sa nazýva hlavná os elipsy.

Segment tvoriacej čiary R1R2 má rovnakú dĺžku ako hlavná os elipsy. Potom je hlavná vlastnosť elipsy formulovaná nasledovne: súčet vzdialeností ľubovoľného bodu P elipsy k jej ohniskám F 1 a F 2 je pre túto elipsu konštantná hodnota rovnajúca sa dĺžke jej hlavnej osi.

Všimnite si, že ak sa ohniská elipsy zhodujú, potom je elipsa kruhová, t.j. kruh je špeciálny prípad elipsy.

2.2 Elipsová rovnica

Aby sme mohli napísať rovnicu elipsy, musíme elipsu považovať za lokus bodov, ktoré majú nejakú vlastnosť, ktorá tento lokus charakterizuje. Zoberme si hlavnú vlastnosť elipsy ako jej definíciu: Elipsa je ťažisko bodov v rovine, pre ktorú súčet vzdialeností dvoch pevných bodov F 1 a F 2 tejto roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota rovná dĺžka jeho hlavnej osi.

Nech je dĺžka segmentu F 1 F 2 \u003d 2c a dĺžka hlavnej osi je 2a. Na odvodenie kanonickej rovnice elipsy zvolíme počiatok O kartézskeho súradnicového systému v strede úsečky F 1 F 2 a nasmerujeme osi Ox a Oy, ako je znázornené na obrázku 5. (Ak sa ohniská zhodujú, potom O sa zhoduje s F1 a F2 a za osou Ox možno brať ako akúkoľvek os prechádzajúcu cez O). Potom vo zvolenom súradnicovom systéme body F 1 (c, 0) a F 2 (-c, 0). Je zrejmé, že 2a > 2c, t.j. a>c. Nech M(x, y) je bod roviny patriacej elipse. Nech МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Podľa definície elipsy, rovnosť

r 1 +r 2 =2a (2) je nevyhnutná a postačujúca podmienka pre umiestnenie bodu M (x, y) na danej elipse. Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi dostaneme

r1=, r2=. Vráťme sa k rovnosti (2):

Presuňme jeden koreň na pravú stranu rovnosti a odmocnime ju:

Znížením dostaneme:

Dáme podobné, znížime o 4 a izolujeme radikál:

Štvorcujeme

Otvorte zátvorky a skráťte na:

odkiaľ sa dostaneme:

(a 2 - c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 - c 2). (3)

Všimnite si, že a2-c2 >0. V skutočnosti r 1 + r 2 je súčet dvoch strán trojuholníka F 1 MF 2 a F 1 F 2 je jeho tretia strana. Preto r 1 + r 2 > F 1 F 2, alebo 2а>2с, t.j. a>c. Označte a 2 -c 2 \u003d b 2. Rovnica (3) bude vyzerať takto: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Urobme transformáciu, ktorá dostane rovnicu elipsy do kanonickej (doslova: prevzatá ako vzorka) tvaru, konkrétne vydelíme obe časti rovnice a 2 b 2:

(4) - kanonická rovnica elipsy.

Keďže rovnica (4) je algebraickým dôsledkom rovnice (2*), potom súradnice x a y ľubovoľného bodu M elipsy budú tiež spĺňať rovnicu (4). Keďže pri algebraických transformáciách spojených s zbavovaním sa radikálov by sa mohli objaviť „extra korene“, je potrebné zabezpečiť, aby sa na tejto elipse nachádzal akýkoľvek bod M, ktorého súradnice spĺňajú rovnicu (4). Na to stačí dokázať, že veličiny r 1 a r 2 pre každý bod spĺňajú vzťah (2). Nech teda súradnice x a y bodu M spĺňajú rovnicu (4). Dosadením hodnoty y 2 z (4) do výrazu r 1 po jednoduchých transformáciách zistíme, že r 1 =. Pretože potom r 1 =. Celkom podobne zistíme, že r 2 =. Teda pre uvažovaný bod M r 1 =, r 2 =, t.j. r 1 + r 2 \u003d 2a, preto sa bod M nachádza na elipse. Veličiny a a b sa nazývajú hlavné a vedľajšie poloosi elipsy.

2.3 Štúdium tvaru elipsy podľa jej rovnice

Stanovme tvar elipsy pomocou jej kanonickej rovnice.

1. Rovnica (4) obsahuje x a y len v párnych mocninách, takže ak bod (x, y) patrí do elipsy, potom body (x, - y), (-x, y), (-x, - y). Z toho vyplýva, že elipsa je symetrická podľa osí Ox a Oy a tiež podľa bodu O (0,0), ktorý sa nazýva stred elipsy.

2. Nájdite priesečníky elipsy so súradnicovými osami. Ak dáme y \u003d 0, nájdeme dva body A 1 (a, 0) a A 2 (-a, 0), v ktorých os Ox pretína elipsu. Ak do rovnice (4) dáme x=0, nájdeme priesečníky elipsy s osou Oy: B 1 (0, b) a. B 2 (0, - b) Body A 1, A 2, B 1, B 2 sa nazývajú vrcholy elipsy.

3. Z rovnice (4) vyplýva, že každý člen na ľavej strane nepresahuje jednotku, t.j. existujú nerovnosti a alebo a. Preto všetky body elipsy ležia vo vnútri obdĺžnika tvoreného priamkami, .

4. V rovnici (4) je súčet nezáporných členov a rovný jednej. Preto, ako jeden člen narastá, druhý bude klesať, t.j. Ak x rastie, potom y klesá a naopak.

Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že elipsa má tvar znázornený na obr. 6 (oválny uzavretý oblúk).

Všimnite si, že ak a = b, potom rovnica (4) bude mať tvar x 2 + y 2 = a 2 . Toto je kruhová rovnica. Elipsu možno získať z kružnice s polomerom a, ak je raz stlačená pozdĺž osi Oy. Pri takejto kontrakcii bod (x; y) prejde do bodu (x; y 1), kde. Dosadením kružnice do rovnice dostaneme rovnicu elipsy: .

Uveďme ešte jednu veličinu, ktorá charakterizuje tvar elipsy.

Excentricita elipsy je pomer ohniskovej vzdialenosti 2c k dĺžke 2a jej hlavnej osi.

Excentricita sa zvyčajne označuje e: e = Pretože c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Z poslednej rovnosti je ľahké získať geometrickú interpretáciu excentricity elipsy. Pre veľmi malé čísla sú a a b takmer rovnaké, to znamená, že elipsa je blízko kruhu. Ak je blízko k jednote, potom je číslo b veľmi malé v porovnaní s číslom a a elipsa je silne pretiahnutá pozdĺž hlavnej osi. Excentricita elipsy teda charakterizuje mieru predĺženia elipsy.

3. Hyperbola

3.1 Hlavná vlastnosť hyperboly

Pri skúmaní hyperboly pomocou konštrukcií podobných konštrukciám vykonaným na štúdium elipsy zistíme, že hyperbola má vlastnosti podobné vlastnostiam elipsy.

Vyrežme rovný kruhový kužeľ rovinou b pretínajúcou obe jeho roviny, t.j. paralelne s dvoma jeho generátormi. Prierez je hyperbola. Prenesme cez os ST kužeľa rovinu ASB, kolmú na rovinu b.

Do kužeľa vpíšme dve guľôčky - jednu do jednej dutiny, druhú do druhej tak, aby sa každá dotýkala kužeľovej plochy a roviny sečnej. Nech sa prvá guľa dotkne roviny b v bode F 1 a dotkne sa kužeľovej plochy pozdĺž kružnice UґVґ. Nech sa druhá guľa dotkne roviny b v bode F 2 a dotkne sa kužeľovej plochy pozdĺž kružnice UV.

Na hyperbole si zvolíme ľubovoľný bod M. Prekreslíme cez ňu tvoriacu čiaru kužeľa MS a označíme body d a D, v ktorých sa dotýka prvej a druhej gule. Bod M spojíme s bodmi F 1, F 2, ktoré budeme nazývať ohniská hyperboly. Potom MF 1 = Md, pretože oba segmenty sú dotyčnice k prvej guľôčke, vedenej z bodu M. Podobne MF 2 = MD. Odčítaním člena po člene od prvej rovnosti nájdeme druhý

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

kde dD je konštantná hodnota (ako tvoriaca čiara kužeľa so základňami UґVґ a UV), nezávislá od výberu bodu M na hyperbole. Označme P a Q body, v ktorých priamka F 1 F 2 pretína hyperbolu. Tieto body P a Q sa nazývajú vrcholy hyperboly. Segment PQ sa nazýva reálna os hyperboly. V priebehu elementárnej geometrie je dokázané, že dD=PQ. Preto MF1-MF2=PQ.

Ak bod M bude na tej vetve hyperboly, blízko ktorej sa nachádza ohnisko F 1, potom MF 2 -MF 1 = PQ. Potom nakoniec dostaneme МF 1 -MF 2 = PQ.

Modul rozdielu medzi vzdialenosťami ľubovoľného bodu M hyperboly od jej ohnísk F 1 a F 2 je konštantná hodnota rovnajúca sa dĺžke reálnej osi hyperboly.

3.2 Rovnica hyperboly

Zoberme si hlavnú vlastnosť hyperboly ako jej definíciu: Hyperbola je ťažisko bodov v rovine, pre ktoré je modul rozdielu vzdialeností dvoch pevných bodov F 1 a F 2 tejto roviny, nazývaných ohniská, konštantný. hodnotu rovnajúcu sa dĺžke jeho reálnej osi.

Nech je dĺžka segmentu F 1 F 2 \u003d 2c a dĺžka skutočnej osi je 2a. Na odvodenie kanonickej rovnice hyperboly zvolíme počiatok O karteziánskeho súradnicového systému v strede segmentu F 1 F 2 a nasmerujeme osi Ox a Oy, ako je znázornené na obrázku 5. Potom vo zvolenom súradnicovom systéme, body F 1 (c, 0) a F 2 ( -s, 0). Zjavne 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) je nevyhnutná a postačujúca podmienka pre umiestnenie bodu M (x, y) na tejto hyperbole. Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi dostaneme

r1=, r2=. Vráťme sa k rovnosti (5):

Odmocnime obe strany rovnice

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Znížením dostaneme:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2-4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Všimnite si, že c2-a2 >0. Označme c2-a2=b2. Rovnica (6) bude vyzerať takto: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Vykonáme transformáciu, ktorá dostane rovnicu hyperboly do kanonického tvaru, konkrétne vydelíme obe časti rovnice a 2 b 2: (7) - kanonickej rovnice hyperboly, veličiny a a b sú reálnou a imaginárnou poloosou hyperboly.

Musíme sa uistiť, že rovnica (7), získaná algebraickými transformáciami rovnice (5*), nezískala nové korene. Na to stačí dokázať, že pre každý bod M, ktorého súradnice x a y spĺňajú rovnicu (7), hodnoty r 1 a r 2 spĺňajú vzťah (5). Vedením argumentov podobných tým, ktoré boli urobené pri odvodzovaní vzorca elipsy, nájdeme nasledujúce výrazy pre r 1 a r 2:

Pre uvažovaný bod M teda platí r 1 -r 2 =2a, a preto sa nachádza na hyperbole.

3.3 Štúdium rovnice hyperboly

Teraz sa pokúsme na základe rovnice (7) získať predstavu o umiestnení hyperboly.
1. V prvom rade rovnica (7) ukazuje, že hyperbola je symetrická podľa oboch osí. Vysvetľuje to skutočnosť, že v rovnici krivky sú zahrnuté iba párne stupne súradníc. 2. Teraz označíme oblasť roviny, kde bude krivka ležať. Rovnica hyperboly vyriešená vzhľadom na y má tvar:

Ukazuje, že y vždy existuje, keď x 2? a 2. To znamená, že pre x? a a pre x? - a súradnica y bude skutočná a pre - a

Ďalej, s rastúcim x (a väčším a) bude stále rásť aj y-ordináta (najmä z toho vidieť, že krivka nemôže byť zvlnená, t. j. taká, že s rastom úsečky x, y-ová zväčšuje alebo zmenšuje) .

3. Stred hyperboly je bod, vzhľadom ku ktorému má každý bod hyperboly na sebe symetrický bod. Bod O(0,0), počiatok, rovnako ako pre elipsu, je stredom hyperboly danej kanonickou rovnicou. To znamená, že každý bod hyperboly má na hyperbole symetrický bod vzhľadom na bod O. Vyplýva to zo symetrie hyperboly vzhľadom na osi Ox a Oy. Akákoľvek tetiva hyperboly prechádzajúca jej stredom sa nazýva priemer hyperboly.

4. Priesečníky hyperboly s priamkou, na ktorej ležia jej ohniská, sa nazývajú vrcholy hyperboly a úsečka medzi nimi sa nazýva reálna os hyperboly. V tomto prípade je skutočnou osou os x. Všimnite si, že skutočná os hyperboly sa často nazýva segment 2a aj samotná priamka (os Ox), na ktorej leží.

Nájdite priesečníky hyperboly s osou Oy. Rovnica osi y je x=0. Dosadením x = 0 do rovnice (7) dostaneme, že hyperbola nemá žiadne priesečníky s osou Oy. Je to pochopiteľné, pretože v páse šírky 2a, ktorý pokrýva os Oy, nie sú žiadne body hyperboly.

Priamka kolmá na skutočnú os hyperboly a prechádzajúca jej stredom sa nazýva imaginárna os hyperboly. V tomto prípade sa zhoduje s osou y. Takže v menovateľoch členov s x 2 a y 2 v rovnici hyperboly (7) sú druhé mocniny skutočných a imaginárnych poloosi hyperboly.

5. Hyperbola pretína priamku y = kx pre k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Dôkaz

Na určenie súradníc priesečníkov hyperboly a priamky y = kx je potrebné vyriešiť sústavu rovníc

Odstránením y dostaneme

alebo Pre b 2 -k 2 a 2 0, teda pre k, výsledná rovnica, a teda sústava riešení, nemá.

Priamky s rovnicami y= a y= - sa nazývajú asymptoty hyperboly.

Pre b 2 -k 2 a 2 >0, teda pre k< система имеет два решения:

Preto každá priamka prechádzajúca počiatkom so sklonom k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Optická vlastnosť hyperboly: optické lúče vychádzajúce z jedného ohniska hyperboly, od nej odrazené, sa zdajú byť vyžarované z druhého ohniska.

Excentricita hyperboly je pomer ohniskovej vzdialenosti 2c k dĺžke 2a jej skutočnej osi?
tie. zo strany jeho konkávnosti.

3.4 Konjugovaná hyperbola

Spolu s hyperbolou (7) sa uvažuje o takzvanej konjugovanej hyperbole vzhľadom na ňu. Konjugovaná hyperbola je definovaná kanonickou rovnicou.

Na obr. 10 ukazuje hyperbolu (7) a jej konjugovanú hyperbolu. Konjugovaná hyperbola má rovnaké asymptoty ako daná, ale F 1 (0, c),

4. Parabola

4.1 Základná vlastnosť paraboly

Poďme zistiť základné vlastnosti paraboly. Vyrežme pravý kruhový kužeľ s vrcholom S rovinou rovnobežnou s jedným z jeho generátorov. V sekcii dostaneme parabolu. Prenesme cez os ST kužeľa rovinu ASB, kolmú na rovinu (obr. 11). V nej ležiaca tvoriaca čiara SA bude rovnobežná s rovinou. Vpíšme do kužeľa guľovú plochu dotýkajúcu sa kužeľa pozdĺž kružnice UV a dotýkajúcu sa roviny v bode F. Nakreslite čiaru cez bod F rovnobežnú s generátorom SA. Bod jej priesečníka s tvoriacou čiarou SB označíme P. Bod F sa nazýva ohnisko paraboly, bod P je jej vrchol a priamka PF prechádzajúca vrcholom a ohniskom (a rovnobežná s tvoriacou čiarou SA ) sa nazýva os paraboly. Parabola nebude mať druhý vrchol – priesečník osi PF s tvoriacou čiarou SA: tento bod „ide do nekonečna“. Smernicu (v preklade znamená „vodiaca“) nazvime priamku q 1 q 2 priesečníka roviny s rovinou, v ktorej leží kružnica UV. Vezmite ľubovoľný bod M na parabole a spojte ho s vrcholom kužeľa S. Priamka MS sa dotýka gule v bode D ležiacom na kružnici UV. Bod M spojíme s ohniskom F a z bodu M spustíme kolmicu MK na smernicu. Potom sa ukáže, že vzdialenosti ľubovoľného bodu M paraboly od ohniska (MF) a od smerovej čiary (MK) sú si navzájom rovné (hlavná vlastnosť paraboly), t.j. MF=MK.

Dôkaz: МF=MD (ako dotyčnice ku guličke z jedného bodu). Označme uhol medzi ktoroukoľvek z tvoriacich os kužeľa a osou ST ako q. Premietnime segmenty MD a MK na os ST. Segment MD tvorí projekciu na os ST, ktorá sa rovná MDcosc, pretože MD leží na tvoriacej priamke kužeľa; segment MK tvorí projekciu na os ST, ktorá sa rovná MKsoc, keďže segment MK je rovnobežný s tvoriacou čiarou SA. (Smernica q 1 q 1 je totiž kolmá na rovinu ASB. Preto priamka PF pretína smernicu v bode L v pravom uhle. Ale priamky MK a PF ležia v rovnakej rovine a MK je tiež kolmá do smerovky). Priemet oboch segmentov MK a MD na os ST sú si navzájom rovné, pretože jeden z ich koncov - bod M - je spoločný a ďalšie dva D a K ležia v rovine kolmej na os ST (obr. ). Potom МDcosц= MKsоsц alebo МD= MK. Preto MF=MK.

Nehnuteľnosť 1.(Fokálna vlastnosť paraboly).

Vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu paraboly do stredu hlavnej tetivy sa rovná jej vzdialenosti od smerovej čiary.

Dôkaz.

Bod F - priesečník úsečky QR a hlavnej tetivy. Tento bod leží na osi symetrie Oy. V skutočnosti sú trojuholníky RNQ a ROF zhodné, rovnako ako pravouhlé trojuholníky

trojuholníky so skorými nohami (NQ=OF, OR=RN). Preto bez ohľadu na to, aký bod N vezmeme, čiara QR zostrojená pozdĺž neho pretína hlavnú tetivu v jej strede F. Teraz je jasné, že trojuholník FMQ je rovnoramenný. V skutočnosti je segment MR stredom aj výškou tohto trojuholníka. To znamená, že MF=MQ.

Nehnuteľnosť 2.(Optická vlastnosť paraboly).

Akákoľvek dotyčnica k parabole zviera rovnaké uhly s ohniskovým polomerom nakresleným k dotyčnicovému bodu a lúčom vychádzajúcim z dotyčnicového bodu a smerujúcim spolu s osou (alebo lúče vychádzajúce z jedného ohniska, odrazené od paraboly, pôjdu rovnobežne s osou).

Dôkaz. Pre bod N ležiaci na samotnej parabole platí rovnosť |FN|=|NH| a pre bod N" ležiaci vo vnútornej oblasti paraboly platí |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, teda bod M" leží vo vonkajšej oblasti paraboly. Takže celá priamka l, okrem bodu M, leží vo vonkajšej oblasti, to znamená, že vnútorná oblasť paraboly leží na jednej strane l, čo znamená, že l je dotyčnica k parabole. To dáva dôkaz o optickej vlastnosti paraboly: uhol 1 sa rovná uhlu 2, pretože l je osou uhla FMK.

4.2 Rovnica paraboly

Na základe hlavnej vlastnosti paraboly formulujeme jej definíciu: parabola je množina všetkých bodov v rovine, z ktorých každý je rovnako vzdialený od daného bodu, nazývaného ohnisko, a daná priamka, nazývaná priamka. . Vzdialenosť od ohniska F k smerovej čiare sa nazýva parameter paraboly a označuje sa p (p > 0).

Na odvodenie rovnice paraboly zvolíme súradnicový systém Oxy tak, že os Ox prechádza ohniskom F kolmo na smerovú čiaru v smere od smerovej čiary k F a počiatok O sa nachádza v strede medzi ohniskom a smerovou čiarou. (obr. 12). Vo vybranom systéme je ohnisko F(, 0) a priamková rovnica má tvar x=- alebo x+=0. Nech m (x, y) je ľubovoľný bod paraboly. Spojte bod M s F. Nakreslite úsečku MH kolmo na smerovú čiaru. Podľa definície paraboly je MF = MH. Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi zistíme:

Preto dostaneme druhú mocninu oboch strán rovnice

tie. (8) Rovnica (8) sa nazýva kanonická rovnica paraboly.

4.3 Štúdium tvarov paraboly podľa jej rovnice

1. V rovnici (8) je premenná y zahrnutá v párnom stupni, čo znamená, že parabola je symetrická okolo osi Ox; os x je osou symetrie paraboly.

2. Keďže c > 0, z (8) vyplýva, že x>0. Preto je parabola umiestnená napravo od osi y.

3. Nech x \u003d 0, potom y \u003d 0. Parabola teda prechádza počiatkom.

4. S neobmedzeným nárastom x sa neobmedzene zvyšuje aj modul y. Parabola y 2 \u003d 2 px má tvar (tvar) znázornený na obrázku 13. Bod O (0; 0) sa nazýva vrchol paraboly, segment FM \u003d r sa nazýva ohniskový polomer bodu M Rovnice y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 = 2 py (p>0) tiež definujú paraboly.

1.5. Vlastnosť adresára kužeľosečiek .

Tu dokážeme, že každú nekruhovú (nedegenerovanú) kužeľosečku možno definovať ako množinu bodov M, ktorých pomer vzdialenosti MF od pevného bodu F ku vzdialenosti MP od pevnej priamky d neprechádzajúcej cez bod F sa rovná konštantnej hodnote e: kde F - ohnisko kužeľosečky, priamka d je priamka a pomer e je excentricita. (Ak bod F patrí úsečke d, potom podmienka určuje množinu bodov, ktorá je dvojicou úsečiek, t.j. degenerovanou kužeľosečkou; pre e = 1 sa táto dvojica úsečiek spája do jednej úsečky. Na dôkaz uvažujme kužeľ vytvorený rotáciou priamky l okolo jej pretínajúcej sa v bode O priamky p, tvoriacej s l uhol b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Do kužeľa, ktorý sa dotýka roviny p v bode F a dotýka sa kužeľa pozdĺž kružnice S, vpíšeme guľu K. Priesečník roviny p s rovinou y kružnice S označíme d.

Spojme teraz ľubovoľný bod M, ležiaci na priamke A priesečníka roviny p a kužeľa, s vrcholom O kužeľa a s bodom F a pustme kolmicu MP z M na priamku d; Označme E aj priesečník generátora MO kužeľa s kružnicou S.

Navyše MF = ME, ako segmenty dvoch dotyčníc gule K, ťahané z jedného bodu M.

Ďalej segment ME tvorí s osou p kužeľa konštantný (t. j. nezávislý od výberu bodu M) uhol 6 a segment MP zviera konštantný uhol P; preto sa projekcie týchto dvoch segmentov na os p rovnajú ME cos b a MP cos c.

Tieto projekcie sa však zhodujú, pretože segmenty ME a MP majú spoločný pôvod M a ich konce ležia v rovine y kolmej na os p.

Preto ME cos b = MP cos c, alebo, keďže ME = MF, MF cos b = MP cos c, z čoho vyplýva, že

Je tiež ľahké ukázať, že ak bod M roviny p nepatrí do kužeľa, potom. Každý úsek pravého kruhového kužeľa teda možno opísať ako množinu bodov v rovine, pre ktoré. Na druhej strane, zmenou hodnôt uhlov b a c môžeme dať excentricite akúkoľvek hodnotu e > 0; Ďalej z úvah o podobnosti nie je ťažké pochopiť, že vzdialenosť FQ od ohniska k smerovej čiare je priamo úmerná polomeru r gule K (alebo vzdialenosti d roviny p od vrcholu O kužeľ). Dá sa ukázať, že vhodným výberom vzdialenosti d môžeme dať vzdialenosti FQ ľubovoľnú hodnotu. Preto každú množinu bodov M, pre ktorú má pomer vzdialeností od M k pevnému bodu F a k pevnej priamke d konštantnú hodnotu, možno opísať ako krivku získanú v reze pravého kruhového kužeľa bodom a lietadlo. To dokazuje, že (nedegenerované) kužeľosečky môžu byť definované aj vlastnosťou diskutovanou v tejto podkapitole.

Táto vlastnosť kužeľosečiek sa im hovorí vlastnosť adresára. Je jasné, že ak c > b, potom e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Na druhej strane je ľahké vidieť, že ak s > 6, potom rovina p pretína kužeľ pozdĺž uzavretej ohraničenej čiary; ak c = b, potom rovina p pretína kužeľ pozdĺž neohraničenej čiary; ak v< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Kužeľová časť, pre ktorú je napr< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 sa nazýva hyperbola. Elipsy obsahujú aj kružnicu, ktorá nemôže byť špecifikovaná vlastnosťou adresára; keďže pre kruh sa pomer zmení na 0 (pretože v tomto prípade β \u003d 90º), podmienečne sa predpokladá, že kruh je kužeľosečka s excentricitou 0.

6. Elipsa, hyperbola a parabola ako kužeľosečky

kužeľosečka elipsa hyperbola

Staroveký grécky matematik Menechmus, ktorý objavil elipsu, hyperbolu a parabolu, ich definoval ako úseky kruhového kužeľa rovinou kolmou na jeden z generátorov. Výsledné krivky nazval rezy kužeľov s ostrým, pravouhlým a tupouhlým uhlom v závislosti od axiálneho uhla kužeľa. Prvá, ako uvidíme nižšie, je elipsa, druhá je parabola, tretia je jedna vetva hyperboly. Názvy „elipsa“, „hyperbola“ a „parabola“ zaviedol Apollonius. Takmer úplne (7 z 8 kníh) sa k nám dostalo dielo Apollonia „O kužeľosečkách“. V tejto práci Apollonius zvažuje obe poschodia kužeľa a pretína kužeľ rovinami, ktoré nemusia byť nevyhnutne kolmé na jeden z generátorov.

Veta. Rez ľubovoľného priameho kruhového kužeľa rovinou (neprechádzajúcou jeho vrcholom) vymedzuje krivku, ktorou môže byť len hyperbola (obr. 4), parabola (obr. 5) alebo elipsa (obr. 6). Navyše, ak rovina pretína iba jednu rovinu kužeľa a pozdĺž uzavretej krivky, potom je táto krivka elipsa; ak rovina pretína iba jednu rovinu pozdĺž otvorenej krivky, potom je táto krivka parabolou; ak rovina rezu pretína obe roviny kužeľa, potom sa v reze vytvorí hyperbola.

Elegantný dôkaz tejto vety navrhol v roku 1822 Dandelin pomocou guľôčok, ktoré sa dnes nazývajú gule Dandelin. Pozrime sa na tento dôkaz.

Vpíšme do kužeľa dve gule dotýkajúce sa roviny rezu П z rôznych strán. Označme F1 a F2 body dotyku medzi touto rovinou a guľami. Zoberme si ľubovoľný bod M na priamke rezu kužeľa rovinou P. Na tvoriacej priamke kužeľa prechádzajúceho cez M označíme body P1 a P2 ležiace na kružnici k1 a k2, pozdĺž ktorých sa gule dotýkajú kužeľ.

Je jasné, že MF1=MP1 ako segmenty dvoch dotyčníc k prvej gule vychádzajúcej z M; podobne, MF2=MP2. Preto MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Dĺžka úsečky P1P2 je pre všetky body M nášho rezu rovnaká: je to tvoriaca čiara zrezaného kužeľa ohraničeného rovnobežnými rovinami 1 a 11, v ktorých ležia kružnice k1 a k2. Preto je čiara rezu kužeľa rovinou P elipsa s ohniskami F1 a F2. Platnosť tejto vety možno stanoviť aj na základe všeobecnej pozície, že priesečník plochy druhého rádu rovinou je priamka druhého rádu.

Literatúra

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometria. Za 2 hodiny.1.časť.Učebnica pre študentov fyziky a matematiky. ped. súdruh-M.: Osveta, 1986.

2. Bazylev V.T. atď Geometria. Proc. príspevok pre študentov 1. ročníka fyziky. - mat. fakty ped. v. - súdruh-M .: Školstvo, 1974.

3. Pogorelov A.V. Geometria. Proc. pre 7-11 buniek. priem. školy - 4. vyd.-M.: Osveta, 1993.

4. Dejiny matematiky od najstarších čias do začiatku 19. storočia. Juškevič A.P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Optické vlastnosti elipsy, hyperboly a paraboly. // Kvantové. - 1975. - č.12. - S. 19 - 23.

6. Efremov N.V. Krátky kurz analytickej geometrie. - M: Nauka, 6. vydanie, 1967. - 267 s.

Podobné dokumenty

Koncept kužeľosečiek. Kužeľosečky - priesečníky rovín a kužeľov. Typy kužeľosečiek. Konštrukcia kužeľosečiek. Kužeľosečka je ťažisko bodov, ktoré spĺňajú rovnicu druhého rádu.

abstrakt, pridaný 05.10.2008


"Kužeľosečky" Apollonia. Odvodenie krivkovej rovnice pre úsek pravouhlého rotačného kužeľa. Odvodenie rovnice pre parabolu, pre elipsu a hyperbolu. Invariantnosť kužeľosečiek. Ďalší rozvoj teórie kužeľosečiek v dielach Apollonia.

abstrakt, pridaný 02.04.2010


Pojem a historické informácie o kuželi, charakteristika jeho prvkov. Vlastnosti tvorby kužeľa a typy kužeľových rezov. Konštrukcia púpavovej gule a jej parametre. Aplikácia vlastností kužeľosečiek. Výpočty plôch plôch kužeľa.

prezentácia, pridané 04.08.2012


Matematický pojem krivky. Všeobecná rovnica krivky druhého rádu. Rovnice kružnice, elipsy, hyperboly a paraboly. Osi symetrie hyperboly. Štúdium tvaru paraboly. Krivky tretieho a štvrtého rádu. Anjesi curl, karteziánsky list.

práca, pridané 14.10.2011


Prehľad a charakterizácia rôznych metód konštrukcie rezov mnohostenov, určenie ich silných a slabých stránok. Metóda pomocných rezov ako univerzálna metóda konštrukcie rezov mnohostenov. Príklady riešenia problémov na výskumnú tému.

prezentácia, pridané 19.01.2014


Všeobecná rovnica krivky druhého rádu. Zostavovanie rovníc elipsy, kružnice, hyperboly a paraboly. Excentricita hyperboly. Ohnisko a smerová čiara paraboly. Transformácia všeobecnej rovnice na kanonickú formu. Závislosť typu krivky od invariantov.

prezentácia, pridaná 10.11.2014


Prvky geometrie trojuholníka: izogonálna a izotomická konjugácia, pozoruhodné body a čiary. Kužeľosečky spojené s trojuholníkom: vlastnosti kužeľosečiek; kužeľosečky opísané okolo trojuholníka a vpísané do neho; aplikácia na riešenie problémov.

semestrálna práca, pridaná 17.06.2012


Elipsa, hyperbola, parabola ako krivky druhého rádu používané vo vyššej matematike. Pojem krivka druhého rádu je priamka na rovine, ktorá je v niektorom karteziánskom súradnicovom systéme určená rovnicou. Pascamlova veta a Brianchonova veta.

abstrakt, pridaný 26.01.2011


O pôvode problému zdvojnásobenia kocky (jeden z piatich slávnych problémov staroveku). Prvý známy pokus o vyriešenie problému, riešenie Archit of Tarentum. Riešenie problémov v starovekom Grécku po Archytasovi. Riešenia využívajúce kužeľosečky Menechma a Eratosthena.

abstrakt, pridaný 13.04.2014


Hlavné typy sekcie kužeľa. Úsek tvorený rovinou prechádzajúcou osou kužeľa (axiálne) a cez jeho vrchol (trojuholník). Vytvorenie rezu rovinou rovnobežnou (parabola), kolmou (kružnica) a nie kolmou (elipsa) k osi.

TEXTOVÉ VYSVETLENIE LEKCIE:

Pokračujeme v štúdiu časti objemovej geometrie "Teleso revolúcie".

Medzi rotačné telesá patria: valce, kužele, gule.

Pripomeňme si definície.

Výška je vzdialenosť od vrchu postavy alebo tela po základňu postavy (tela). V opačnom prípade segment spájajúci hornú a spodnú časť obrázku a kolmo naň.

Pamätajte, že ak chcete nájsť oblasť kruhu, vynásobte pi druhou mocninou polomeru.

Plocha kruhu je rovnaká.

Spomeňte si, ako nájsť oblasť kruhu, keď poznáte priemer? Pretože

dajme to do vzorca:

Kužeľ je tiež rotačné teleso.

Kužeľ (presnejšie kruhový kužeľ) je teleso, ktoré pozostáva z kruhu - základne kužeľa, bodu, ktorý neleží v rovine tohto kruhu - vrcholu kužeľa a všetkých segmentov spájajúcich vrchol kužeľa. kužeľ s hrotmi základne.

Zoznámime sa so vzorcom na zistenie objemu kužeľa.

Veta. Objem kužeľa sa rovná jednej tretine základnej plochy vynásobenej výškou.

Dokážme túto vetu.

Vzhľadom na to: kužeľ, S je plocha jeho základne,

h je výška kužeľa

Dokážte: V=

Dôkaz: Uvažujme kužeľ s objemom V, polomerom základne R, výškou h a vrcholom v bode O.

Predstavme si os Ox cez OM, os kužeľa. Ľubovoľný rez kužeľa rovinou kolmou na os x je kružnica so stredom v bode

M1 - priesečník tejto roviny s osou Ox. Označme polomer tejto kružnice ako R1 a plochu prierezu ako S(x), kde x je úsečka bodu M1.

Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov OM1A1 a OMA (ے OM1A1 = ے OMA - priamky, ےMOA-spoločné, čo znamená, že trojuholníky sú podobné v dvoch uhloch) vyplýva, že

Obrázok ukazuje, že OM1=x, OM=h

alebo odkiaľ podľa vlastnosti pomeru zistíme R1 = .

Keďže rez je kruh, potom S (x) \u003d πR12, namiesto R1 nahradíme predchádzajúci výraz, plocha prierezu sa rovná pomeru súčinu štvorca píera štvorcom x ku štvorcu výšky:

Aplikujme základný vzorec

výpočtom objemov telies s a=0, b=h dostaneme výraz (1)

Pretože základňa kužeľa je kruh, plocha S základne kužeľa sa bude rovnať píerovmu štvorcu

vo vzorci na výpočet objemu telesa nahradíme hodnotu pí er square plochou základne a dostaneme, že objem kužeľa sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky

Veta bola dokázaná.

Dôsledok vety (vzorec pre objem zrezaného kužeľa)

Objem V zrezaného kužeľa, ktorého výška je h, a plochy základní S a S1, sa vypočítajú podľa vzorca

Ve sa rovná jednej tretine popola vynásobenej súčtom plôch základov a druhej odmocniny súčinu plôch základne.

Riešenie problémov

Okolo prepony sa otáča pravouhlý trojuholník s nohami 3 cm a 4 cm. Určte objem výsledného telesa.

Keď sa trojuholník otáča okolo prepony, dostaneme kužeľ. Pri riešení tohto problému je dôležité pochopiť, že sú možné dva prípady. V každom z nich použijeme vzorec na zistenie objemu kužeľa: objem kužeľa sa rovná jednej tretine súčinu základne a výšky

V prvom prípade bude kresba vyzerať takto: je daný kužeľ. Nech polomer r = 4, výška h = 3

Plocha základne sa rovná súčinu π krát štvorec polomeru

Potom sa objem kužeľa rovná jednej tretine súčinu π krát druhá mocnina polomeru krát výška.

Nahradením hodnoty vo vzorci sa ukáže, že objem kužeľa je 16π.

V druhom prípade takto: daný kužeľ. Nech polomer r = 3, výška h = 4

Objem kužeľa sa rovná jednej tretine základnej plochy vynásobenej výškou:

Plocha základne sa rovná súčinu π krát druhá mocnina polomeru:

Potom sa objem kužeľa rovná jednej tretine súčinu π krát druhá mocnina polomeru krát výška:

Nahradením hodnoty vo vzorci sa ukáže, že objem kužeľa je 12π.

Odpoveď: Objem kužeľa V je 16 π alebo 12 π

Úloha 2. Daný pravý kruhový kužeľ s polomerom 6 cm, uhol BCO = 45 .

Nájdite objem kužeľa.

Riešenie: Pre túto úlohu je uvedený hotový výkres.

Napíšme vzorec na zistenie objemu kužeľa:

Vyjadríme to pomocou polomeru základne R:

Nájdeme h \u003d BO podľa konštrukcie, - obdĺžnikové, pretože uhol BOC=90 (súčet uhlov trojuholníka), uhly na základni sú rovnaké, takže trojuholník ΔBOC je rovnoramenný a BO=OC=6 cm.