Dihedrálne prvky. Dihedrálny uhol

Koncept dihedrálneho uhla

Aby sme predstavili pojem dihedrálneho uhla, najprv si pripomenieme jednu z axióm stereometrie.

Ľubovoľnú rovinu možno rozdeliť na dve polroviny priamky $a$ ležiacej v tejto rovine. V tomto prípade sú body ležiace v rovnakej polrovine na tej istej strane priamky $a$ a body ležiace v rôznych polrovinách sú na opačných stranách priamky $a$ (obr. 1). ).

Obrázok 1.

Na tejto axióme je založený princíp konštrukcie dihedrálneho uhla.

Definícia 1

Postava sa volá dihedrálny uhol ak sa skladá z priamky a dvoch polrovín tejto priamky, ktoré nepatria do tej istej roviny.

V tomto prípade sa nazývajú polroviny dihedrálneho uhla tváre a priamka oddeľujúca polroviny - dihedrálny okraj(obr. 1).

Obrázok 2. Dihedrálny uhol

Miera stupňa dihedrálneho uhla

Definícia 2

Zvolíme si ľubovoľný bod $A$ na hrane. Uhol medzi dvoma priamkami ležiacimi v rôznych polrovinách, kolmých na hranu a pretínajúcimi sa v bode $A$, sa nazýva lineárny uhol dihedrálny uhol(obr. 3).

Obrázok 3

Je zrejmé, že každý dihedrálny uhol má nekonečný počet lineárnych uhlov.

Veta 1

Všetky lineárne uhly jedného dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné.

Dôkaz.

Uvažujme dva lineárne uhly $AOB$ a $A_1(OB)_1$ (obr. 4).

Obrázok 4

Keďže lúče $OA$ a $(OA)_1$ ležia v rovnakej polrovine $\alpha $ a sú kolmé na jednu priamku, sú kosmerné. Keďže lúče $OB$ a $(OB)_1$ ležia v rovnakej polrovine $\beta $ a sú kolmé na jednu priamku, sú kosmerné. V dôsledku toho

\[\uhol AOB=\uhol A_1(OB)_1\]

Vzhľadom na svojvoľnosť výberu lineárnych uhlov. Všetky lineárne uhly jedného dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné.

Veta bola dokázaná.

Definícia 3

Miera stupňa dihedrálneho uhla je miera stupňa lineárneho uhla dihedrálneho uhla.

Príklady úloh

Príklad 1

Dajme nám dve nekolmé roviny $\alpha $ a $\beta $, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky $m$. Bod $A$ patrí rovine $\beta $. $AB$ je kolmica na priamku $m$. $AC$ je kolmá na rovinu $\alpha $ (bod $C$ patrí $\alpha $). Dokážte, že uhol $ABC$ je lineárnym uhlom dihedrálneho uhla.

Dôkaz.

Nakreslíme obrázok podľa stavu problému (obr. 5).

Obrázok 5

Aby sme to dokázali, pripomíname si nasledujúcu vetu

Veta 2: Priamka prechádzajúca základňou naklonenej, kolmá na ňu, je kolmá na jej priemet.

Pretože $AC$ je kolmica na rovinu $\alpha $, potom bod $C$ je priemetom bodu $A$ do roviny $\alpha $. Preto $BC$ je projekcia šikmej $AB$. Podľa vety 2 je $BC$ kolmý na hranu dihedrálneho uhla.

Potom uhol $ABC$ spĺňa všetky požiadavky na definovanie lineárneho uhla dihedrálneho uhla.

Príklad 2

Dihedrálny uhol je $30^\circ$. Na jednej z plôch leží bod $A$, ktorý je od druhej plochy vo vzdialenosti $4$ cm. Nájdite vzdialenosť od bodu $A$ k okraju uhla klinu.

rozhodnutie.

Pozrime sa na obrázok 5.

Podľa predpokladu máme $AC=4\ cm$.

Podľa definície stupňovej miery dihedrálneho uhla máme, že uhol $ABC$ sa rovná $30^\circ$.

Trojuholník $ABC$ je pravouhlý trojuholník. Podľa definície sínusu ostrého uhla

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Účel lekcie: zavedenie pojmu dihedrálny uhol a jeho lineárny uhol.

Úlohy:

Vzdelávacie: zvážiť úlohy na aplikáciu týchto konceptov, vytvoriť konštruktívnu zručnosť nájsť uhol medzi rovinami;

vyvíja sa: rozvoj tvorivého myslenia žiakov, osobnostný sebarozvoj žiakov, rozvoj reči žiakov;

Vzdelávacie: výchova kultúry duševnej práce, komunikatívnej kultúry, reflektívnej kultúry.

Typ lekcie: lekciu osvojovania si nových vedomostí

Vyučovacie metódy: vysvetľujúce a názorné

Vybavenie: počítač, interaktívna tabuľa.

Literatúra:

Geometria. Ročníky 10-11: učebnica. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev a ďalší] - 18. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 255 s.

Plán lekcie:

Organizačný moment (2 min)

Aktualizácia vedomostí (5 min)

Učenie sa nového materiálu (12 min.)

Konsolidácia študovaného materiálu (21 min)

domáca úloha (2 minúty)

Zhrnutie (3 minúty)

Počas tried:

1. Organizačný moment.

Zahŕňa pozdrav učiteľa triedy, prípravu miestnosti na hodinu, kontrolu neprítomných.

2. Aktualizácia základných poznatkov.

učiteľ: Na poslednej lekcii ste napísali samostatnú prácu. Vo všeobecnosti bola práca napísaná dobre. Teraz si to trochu zopakujme. Čo sa nazýva uhol v rovine?

študent: Uhol v rovine je obrazec tvorený dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu.

učiteľ: Ako sa nazýva uhol medzi čiarami v priestore?

študent: Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami v priestore je najmenší z uhlov, ktoré zvierajú lúče týchto čiar s vrcholom v bode ich priesečníka.

študent: Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami je uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami, respektíve rovnobežnými s údajmi.

učiteľ: Ako sa nazýva uhol medzi priamkou a rovinou?

študent: Uhol medzi čiarou a rovinouAkýkoľvek uhol medzi priamkou a jej priemetom do tejto roviny sa nazýva.

3. Štúdium nového materiálu.

učiteľ: V stereometrii sa spolu s takýmito uhlami uvažuje o inom type uhlov - dihedrálnych uhloch. Pravdepodobne ste už uhádli, aká je téma dnešnej hodiny, tak si otvorte zošity, zapíšte si dnešný dátum a tému hodiny.

Písanie na tabuľu a do zošitov:

10.12.14.

Dihedrálny uhol.

učiteľ : Na zavedenie konceptu dihedrálneho uhla je potrebné pripomenúť, že akákoľvek priamka nakreslená v danej rovine rozdeľuje túto rovinu na dve polroviny.(obr. 1a)

učiteľ : Predstavte si, že sme rovinu ohli pozdĺž priamky tak, že dve polroviny s hranicou už neležia v tej istej rovine (obr. 1, b). Výsledný údaj je dihedrálny uhol. Dihedrálny uhol je útvar tvorený priamkou a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou, ktoré nepatria do tej istej roviny. Polroviny, ktoré zvierajú dihedrálny uhol, sa nazývajú jeho steny. Dihedrálny uhol má dve strany, odtiaľ názov - dihedrálny uhol. Priamka - spoločná hranica polrovín - sa nazýva hrana dihedrálneho uhla. Napíšte definíciu do zošita.

Dihedrálny uhol je útvar tvorený priamkou a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou, ktoré nepatria do tej istej roviny.

učiteľ : V každodennom živote sa často stretávame s predmetmi, ktoré majú tvar uholníka. Uveďte príklady.

Študent : Napoly otvorený priečinok.

Študent : Stena miestnosti spolu s podlahou.

Študent : Sedlové strechy budov.

učiteľ : Správne. A takýchto príkladov je veľa.

učiteľ : Ako viete, uhly na rovine sa merajú v stupňoch. Pravdepodobne máte otázku, ale ako sa merajú dihedrálne uhly? Toto sa vykonáva nasledujúcim spôsobom.Označíme nejaký bod na hrane dihedrálneho uhla a v každej ploche z tohto bodu nakreslíme lúč kolmý na hranu. Uhol tvorený týmito lúčmi sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla. Urobte si kresbu do svojich zošitov.

Písanie na tabuľu a do zošitov.

O ∈ a, AO ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- dihedrálny uhol,∠ AOBje lineárny uhol dihedrálneho uhla.

učiteľ : Všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú rovnaké. Urobte si niečo takéto.

učiteľ : Poďme to dokázať. Zvážte dva lineárne uhly AOB aPQR. Lúče OA aQPležia na rovnakej tvári a sú kolméOQ, čo znamená, že sú zarovnané. Podobne aj lúče OB aQRspolurežírovaný. znamená,∠ AOB= ∠ PQR(ako uhly so súosmernými stranami).

učiteľ : No, teraz je odpoveď na našu otázku, ako sa meria uhol klinu.Miera stupňa dihedrálneho uhla je miera stupňa jeho lineárneho uhla. Prekreslite nákresy ostrého, pravého a tupého dihedrálneho uhla z učebnice na strane 48.

4. Konsolidácia študovaného materiálu.

učiteľ : Vytvárajte kresby pre úlohy.

№ 1 . Dané: ΔABC, AC = BC, AB leží v rovineα, CD ⊥ a, C∉ a. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhlaCABD.

Študent : Rozhodnutie:CM ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - želaný.

№ 2. Dané: ΔABC, ∠ C= 90°, BC leží v rovinea, AO⊥ α, A∈ α.

Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhlaAVSO.

Študent : Rozhodnutie:AB ⊥ BC, JSC⊥ Sun znamená OS⊥ Slnko.∠ ACO - želaný.

№ 3 . Dané: ΔABC, ∠ C \u003d 90 °, AB leží v rovineα, CD⊥ a, C∉ a. Stavaťlineárny dihedrálny uholDABC.

Študent : Rozhodnutie: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB znamená∠ DKC - želaný.

№ 4 . Vzhľadom na to:DABC- štvorsten,DO⊥ ABC.Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhlaA B C D.

Študent : Rozhodnutie:DM ⊥ slnko,DO ⊥ BC znamená OM⊥ slnko;∠ OMD - želaný.

5. Zhrnutie.

učiteľ: Čo nové ste sa dnes naučili na lekcii?

Študenti : Čo sa nazýva dihedrálny uhol, lineárny uhol, ako sa meria dihedrálny uhol.

učiteľ : Čo si opakoval?

Študenti : Čo sa nazýva uhol na rovine; uhol medzi čiarami.

6. Domáce úlohy.

Zapíšte si na tabuľu a do denníkov: položka 22, č.167, č.170.

TEXTOVÉ VYSVETLENIE LEKCIE:

V planimetrii sú hlavnými objektmi čiary, segmenty, lúče a body. Lúče vychádzajúce z jedného bodu tvoria jeden z ich geometrických tvarov – uhol.

Vieme, že lineárny uhol sa meria v stupňoch a radiánoch.

V stereometrii sa k objektom pridáva rovina. Útvar tvorený priamkou a a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou a, ktoré geometriou nepatria do rovnakej roviny, sa nazýva dihedrálny uhol. Polovičné roviny sú plochy dihedrálneho uhla. Priamka a je hrana dihedrálneho uhla.

Dihedrálny uhol, podobne ako lineárny uhol, možno pomenovať, zmerať, postaviť. Toto sa dozvieme v tejto lekcii.

Nájdite dihedrálny uhol na modeli štvorstenu ABCD.

Dihedrálny uhol s hranou AB sa nazýva CABD, kde body C a D patria rôznym stranám uhla a hrana AB sa nazýva v strede.

Okolo nás je veľa predmetov s prvkami v tvare dihedrálneho uhla.

V mnohých mestách sú v parkoch inštalované špeciálne lavičky na zmierenie. Lavička je vyrobená vo forme dvoch naklonených rovín zbiehajúcich sa smerom k stredu.

Pri stavbe domov sa často používa takzvaná sedlová strecha. Strecha tohto domu je vyrobená vo forme šikmého uhla 90 stupňov.

Dihedrálny uhol sa tiež meria v stupňoch alebo radiánoch, ale ako ho merať.

Zaujímavosťou je, že strechy domov ležia na krokve. A prepravka krokiev tvorí dva strešné svahy pod daným uhlom.

Prenesieme obrázok na výkres. Na nákrese sa na nájdenie uhlu klinu vyznačí na jeho okraji bod B. Z tohto bodu sa kolmo na hranu uhla nakreslia dva nosníky BA a BC. Uhol ABC vytvorený týmito lúčmi sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla.

Miera stupňa dihedrálneho uhla sa rovná miere stupňa jeho lineárneho uhla.

Zmeriame uhol AOB.

Miera stupňa daného dihedrálneho uhla je šesťdesiat stupňov.

Lineárne uhly pre dihedrálny uhol môžu byť nakreslené v nekonečnom počte, je dôležité vedieť, že sú všetky rovnaké.

Zvážte dva lineárne uhly AOB a A1O1B1. Lúče OA a O1A1 ležia v rovnakej ploche a sú kolmé na priamku OO1, takže sú spolu nasmerované. Lúče OB a O1B1 sú tiež spoluriadené. Preto sa uhol AOB rovná uhlu A101B1 ako uhol so súosmernými stranami.

Takže dihedrálny uhol je charakterizovaný lineárnym uhlom a lineárne uhly sú ostré, tupé a pravé. Zvážte modely dihedrálnych uhlov.

Tupý uhol je taký, ktorého lineárny uhol je medzi 90 a 180 stupňami.

Pravý uhol, ak je jeho lineárny uhol 90 stupňov.

Ostrý uhol, ak je jeho lineárny uhol medzi 0 a 90 stupňami.

Dokážme jednu z dôležitých vlastností lineárneho uhla.

Rovina lineárneho uhla je kolmá na hranu dihedrálneho uhla.

Nech uhol AOB je lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. Podľa konštrukcie sú lúče AO a OB kolmé na priamku a.

Rovina AOB prechádza dvomi pretínajúcimi sa priamkami AO a OB podľa vety: Rovina prechádza dvomi pretínajúcimi sa priamkami a navyše iba jednou.

Priamka a je kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v tejto rovine, čo znamená, že znamienkom kolmosti priamky a roviny je priamka a kolmá na rovinu AOB.

Na riešenie problémov je dôležité vedieť zostaviť lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou AB pre štvorsten ABCD.

Hovoríme o dihedrálnom uhle, ktorý je tvorený jednak hranou AB, jednou fazetou ABD, druhou fazetou ABC.

Tu je jeden spôsob, ako stavať.

Z bodu D nakreslíme kolmicu na rovinu ABC, bod M označíme ako základňu kolmice. Pripomeňme, že v štvorstene sa základňa kolmice zhoduje so stredom vpísanej kružnice v základni štvorstenu.

Nakreslite sklon z bodu D kolmo na hranu AB, označte bod N ako základňu svahu.

V trojuholníku DMN bude úsečka NM priemety šikmej DN do roviny ABC. Podľa vety o troch kolmičkách bude hrana AB kolmá na priemet NM.

To znamená, že strany uhla DNM sú kolmé na hranu AB, čo znamená, že zostrojený uhol DNM je požadovaný lineárny uhol.

Zvážte príklad riešenia problému výpočtu dihedrálneho uhla.

Rovnoramenný trojuholník ABC a pravidelný trojuholník ADB neležia v rovnakej rovine. Úsek CD je kolmý na rovinu ADB. Nájdite dihedrálny uhol DABC, ak AC=CB=2cm, AB=4cm.

Dihedrálny uhol DABC sa rovná jeho lineárnemu uhlu. Postavme tento roh.

Narysujme si šikmý SM kolmo na hranu AB, keďže trojuholník ACB je rovnoramenný, potom sa bod M bude zhodovať so stredom hrany AB.

Priamka CD je kolmá na rovinu ADB, čo znamená, že je kolmá na priamku DM ležiacu v tejto rovine. A segment MD je priemetom šikmého SM do roviny ADB.

Priamka AB je konštrukciou kolmá na šikmú CM, čo znamená, že podľa vety o troch kolmičkách je kolmá na priemet MD.

Na hranu AB teda nájdeme dve kolmice CM a DM. Tak tvoria lineárny uhol СMD dihedrálneho uhla DABC. A zostáva nám to nájsť z pravouhlého trojuholníka СDM.

Keďže úsečka SM je stred a výška rovnoramenného trojuholníka ASV, potom podľa Pytagorovej vety je noha SM 4 cm.

Z pravouhlého trojuholníka DMB sa podľa Pytagorovej vety noha DM rovná dvom koreňom z troch.

Kosínus uhla z pravouhlého trojuholníka sa rovná pomeru susednej vetvy MD k prepone CM a rovná sa trom odmocninám tri krát dva. Takže uhol CMD je 30 stupňov.

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

DOUBLE ANGLE Učiteľ matematiky GOU stredná škola №10 Eremenko M.A.

Hlavné ciele lekcie: Predstaviť koncept dihedrálneho uhla a jeho lineárneho uhla Zvážte úlohy na aplikáciu týchto konceptov

Definícia: Dihedrálny uhol je útvar tvorený dvoma polrovinami so spoločnou hraničnou čiarou.

Hodnota dihedrálneho uhla je hodnota jeho lineárneho uhla. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB je lineárny uhol dihedrálneho uhla ACD B

Dokážme, že všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné. Uvažujme dva lineárne uhly AOB a A1OB1. Lúče OA a OA 1 ležia na rovnakej ploche a sú kolmé na OO 1, takže sú spolu nasmerované. Lúče OB a OB 1 sú tiež spoluriadené. Preto ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (ako uhly so súosmernými stranami).

Príklady dihedrálnych uhlov:

Definícia: Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami je najmenší z uhlov, ktoré zvierajú tieto roviny.

Úloha 1: V kocke A ... D 1 nájdite uhol medzi rovinami ABC a CDD 1 . Odpoveď: 90o.

Úloha 2: V kocke A ... D 1 nájdite uhol medzi rovinami ABC a CDA 1 . Odpoveď: 45o.

Úloha 3: V kocke A ... D 1 nájdite uhol medzi rovinami ABC a BDD 1 . Odpoveď: 90o.

Úloha 4: V kocke A ... D 1 nájdite uhol medzi rovinami ACC 1 a BDD 1 . Odpoveď: 90o.

Úloha 5: V kocke A ... D 1 nájdite uhol medzi rovinami BC 1 D a BA 1 D . Riešenie: Nech O je stred B D. A 1 OC 1 je lineárny uhol dihedrálneho uhla A 1 B D C 1 .

Úloha 6: V štvorstene DABC sú všetky hrany rovnaké, bod M je stredom hrany AC. Dokážte, že ∠ DMB je lineárny uhol dihedrálneho uhla BACD.

Riešenie: Trojuholníky ABC a ADC sú pravidelné, takže BM ⊥ AC a DM ⊥ AC a teda ∠ DMB je lineárny uhol dihedrálneho uhla DACB .

Úloha 7: Z vrcholu B trojuholníka ABC, ktorého strana AC leží v rovine α, je nakreslená kolmica BB 1 na túto rovinu. Nájdite vzdialenosť od bodu B k priamke AC a k rovine α, ak AB=2, ∠BAC=150 0 a uhol vzpriamenia BACB 1 je 45 0 .

Riešenie: ABC je tupý trojuholník s tupým uhlom A, takže základňa výšky BK leží na predĺžení strany AC. VC je vzdialenosť z bodu B do AC. BB 1 - vzdialenosť od bodu B k rovine α

2) Keďže AS ⊥VK, tak AS⊥KV 1 (podľa vety konvertujte na vetu o troch odvesniciach). Preto ∠VKV 1 je lineárny uhol dihedrálneho uhla BACB 1 a ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA sin 30 0, VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d