Najbežnejšia forma je v tvare kocky, na ktorej každej strane sú zobrazené čísla od jedna do šesť. Hráč, ktorý ho hodí na rovný povrch, vidí výsledok na hornej strane. Kosti sú skutočnou hlásnou trúbou náhody, šťastia alebo smoly.
Nehoda.
Kocky (kosti) existujú už dlho, ale šesťhranná forma, ktorá sa stala tradičnou, bola získaná okolo roku 2600 pred Kristom. e. Starovekí Gréci radi hrali kocky a v ich legendách sa ako ich vynálezca spomína hrdina Palamedes, ktorého Odyseus neprávom obvinil zo zrady. Podľa legendy vymyslel túto hru, aby zabavil vojakov, ktorí obliehali Tróju, zajatú vďaka obrovskému drevenému koňovi. Rimania v časoch Júlia Caesara sa tiež zabávali rôznymi hrami s kockami. V latinčine sa kocka nazývala datum, čo znamená „daná“.
zákazy.
V stredoveku, približne v 12. storočí, sa kocky stali v Európe veľmi populárne: kocky, ktoré si môžete vziať všade so sebou, sú obľúbené u bojovníkov aj roľníkov. Hovorí sa, že rôznych hier bolo vyše šesťsto! Výroba kociek sa stáva samostatnou profesiou. Kráľ Ľudovít IX. (1214-1270), ktorý sa vrátil z križiackej výpravy, neschvaľoval hazardné hry a nariadil zákaz výroby kociek v celom kráľovstve. Viac ako hra samotná boli úrady nespokojné s nepokojmi s ňou spojenými – vtedy sa hrávalo najmä v krčmách a zábavy sa často končili bitkami a popichovaním. Ale žiadne zákazy nebránili kockám prežiť čas a prežiť dodnes.
Kosti s "nábojom"!
Výsledok hodu kockou je vždy určený náhodou, ale niektorí podvodníci sa to snažia zmeniť. Vyvŕtaním otvoru do matrice a naliatím olova alebo ortuti do nej je možné zabezpečiť, aby zvitok poskytoval zakaždým rovnaký výsledok. Takáto kocka sa nazýva „nabitá“. Vyrobené z rôznych materiálov, či už je to zlato, kameň, krištáľ, kosť, kocky môžu mať rôzne tvary. Malé kocky v tvare pyramídy (štvorstenu) sa našli v hrobkách egyptských faraónov, ktorí stavali veľké pyramídy! V rôznych časoch sa kosti vyrábali s 8, 10, 12, 20 a dokonca 100 stranami. Zvyčajne sa na ne aplikujú čísla, ale na ich mieste sa môžu objaviť aj písmená alebo obrázky, čo dáva priestor fantázii.
Ako hádzať kockou.
Kocky majú nielen rôzne tvary, ale aj rôzne spôsoby hrania. Pravidlá niektorých hier vyžadujú, aby sa hod hádzal určitým spôsobom, zvyčajne s cieľom vyhnúť sa vypočítanému hodu alebo zabrániť tomu, aby sa kocka zastavila v naklonenej polohe. Niekedy je k nim pripevnené špeciálne sklo, aby sa zabránilo podvádzaniu alebo pádu z hracieho stola. V anglickej hre crepe musia všetky tri kocky nevyhnutne zasiahnuť hrací stôl alebo stenu, aby podvodníci nemohli napodobniť hod jednoduchým pohybom kocky, ale nie jej otáčaním.
Náhodnosť a pravdepodobnosť.
Kocka vždy dáva náhodný výsledok, ktorý nemožno predvídať. S jednou kockou má hráč práve toľko šancí hodiť 1 ako 6 – všetko je určené náhodou. Na druhej strane, pri dvoch kockách sa miera náhodnosti znižuje, keďže hráč má viac informácií o výsledku: napríklad pri dvoch kockách možno číslo 7 získať viacerými spôsobmi - hodom 1 a 6, 5 a 2, alebo 4 a 3 ... Ale možnosť získať číslo 2 je len jedna: hodiť dvakrát 1. Pravdepodobnosť, že dostanete 7 je teda vyššia ako 2! Volá sa to teória pravdepodobnosti. S týmto princípom je spojených veľa hier, najmä cash games.
O používaní kociek.
Kocky môžu byť samostatnou hrou bez ďalších prvkov. Jediné, čo prakticky neexistuje, sú hry pre jednu kocku. Pravidlá vyžadujú aspoň dve (napr. krep). Ak chcete hrať kockový poker, potrebujete päť kociek, pero a papier. Cieľom je vyplniť kombinácie podobné kombináciám kartovej hry s rovnakým názvom a zaznamenať za ne body do špeciálnej tabuľky. Kocka je navyše veľmi obľúbenou súčasťou stolových hier, ktorá umožňuje presúvať žetóny alebo rozhodovať o výsledku herných súbojov.
Kocka je hodená.
V roku 49 pred Kr. e. mladý Julius Caesar dobyl Galiu a vrátil sa do Pompejí. Jeho moci sa ale báli senátori, ktorí sa rozhodli rozpustiť jeho armádu skôr, ako sa vráti. Budúci cisár sa po príchode na hranice republiky rozhodne porušiť rozkaz tým, že ho prekročí s armádou. Pred prekročením Rubikonu (rieky, ktorá bola hranicou) povedal svojim legionárom „Alea jacta est“ („kocka je hodená“). Toto porekadlo sa stalo hláškou, ktorej význam je, že podobne ako v hre, po nejakých rozhodnutiach už nie je možné ustúpiť.
Spôsob hudobnej kompozície s voľným zvukovým textom; ako samostatný spôsob komponovania hudby sa formoval v 20. storočí. A. znamená úplné alebo čiastočné vzdanie sa prísnej kontroly skladateľa nad hudobným textom, či dokonca vylúčenie samotnej kategórie skladateľ-autor v tradičnom zmysle. Inovácia A. spočíva v korelácii stabilne ustálených zložiek hudobného textu s vedome zavedenou náhodnosťou, svojvoľnou pohyblivosťou hudobnej hmoty. Pojem A. sa môže vzťahovať tak na celkové rozloženie častí kompozície (na formu), ako aj na štruktúru jej tkaniny. Zbohom. Denisov, interakcia medzi stabilitou a pohyblivosťou látky a formy dáva 4 hlavné typy kombinácií, z ktorých tri - 2., 3. a 4. - sú aleatorické: 1. Stabilná látka - stabilná forma (zvyčajná tradičná kompozícia, opus perfectum et absolutum; as, napríklad 6 symfónií od Čajkovského); 2. Stabilná tkanina - mobilná forma; podľa V. Lutoslavsa „A. formy“ (P. Boulez, 3. sonáta pre klavír, 1957); 3. Mobilná tkanina - tvarovo stabilná; alebo podľa Lutoslavského „A. textúry“ (Lutoslavskij, Sláčikové kvarteto, 1964, Hlavná časť); 4. Mobilná tkanina - mobilná forma; alebo „A. klietka"(s kolektívnou improvizáciou viacerých interpretov). Sú to uzlové body metódy A., okolo ktorých existuje veľa rôznych špecifických typov a prípadov štruktúr, rôzne stupne ponorenia do A.; okrem toho sú prirodzené aj metaboly („modulácie“) - prechod od jedného typu alebo typu k druhému, tiež k stabilnému textu alebo z neho.
A. sa rozšírila od 50. rokov 20. storočia a objavila sa (spolu s sonoriká), najmä ako reakcia na extrémne zotročenie hudobnej štruktúry v multiparametrovom serializme (pozri: dodekafónia). Medzitým má princíp slobody štruktúry tak či onak dávne korene. V podstate prúd zvuku, a nie jedinečne štruktúrovaný opus, je ľudová hudba. Preto tá nestálosť, „neopus“ ľudovej hudby, variácie, variácie a improvizácia v nej. Nepredvídateľnosť, improvizácia formy sú charakteristické pre tradičnú hudbu Indie, národov Ďalekého východu a Afriky. Preto sa predstavitelia A. aktívne a vedome opierajú o podstatné princípy orientálnej a ľudovej hudby. Prvky šípov existovali aj v európskej klasickej hudbe. Napríklad medzi viedenskými klasikmi, ktorí eliminovali princíp generálneho basu a úplne ustálili hudobný text (symfónie a kvartetá I. Haydna), bola ostrým kontrastom „kadenza“ v podobe inštrumentálneho koncertu – a. virtuózne sólo, ktorého časť skladateľ nezložil, ale poskytol podľa uváženia interpreta (prvok A. forma). Komické „aleatorické“ metódy skladania jednoduchých hier (menuetov) kombinovaním hudobných skladieb na hranie kociek (Würfelspiel) sú známe už za čias Haydna a Mozarta (pojednanie I. F. Kirnbergera „Vždy hotový skladateľ polonéz a menuetov Berlín, 1757).
V XX storočí. princíp „individuálneho projektu“ vo forme začal naznačovať prípustnosť textových verzií diela (t. j. A.). V roku 1907 americký skladateľ C. Ives skomponoval klavírny kvintet „Hallwe“ en (= „Predvečer všetkých svätých“), ktorého text by sa pri koncerte mal hrať inak štyrikrát za sebou. D. klietka zložený v roku 1951 „Music of Changes“ pre klavír, ktorej text zostavil „manipuláciou náhod“ (slová skladateľa), pričom na to použil čínsku „Knihu premien“. Classi-
príklad A. - "Klavírna skladba XI" od K. Stockhausen, 1957. Na hárku papiera cca. 0,5 m2 v náhodnom poradí je 19 hudobných fragmentov. Klavirista začne s ktorýmkoľvek z nich a hrá ich v náhodnom poradí, sleduje náhodný pohľad; na konci predchádzajúcej pasáže je napísané v akom tempe a s akou hlasitosťou hrať ďalšiu. Keď sa klaviristovi zdá, že už takto zahral všetky fragmenty, mali by byť prehrané druhýkrát znova v rovnakom náhodnom poradí, ale v jasnejšej zvučnosti. Po druhom kole sa hra končí. Pre väčší efekt sa odporúča aleatorické dielo zopakovať na jednom koncerte – poslucháč uvidí ďalšiu skladbu z rovnakého materiálu. Metóda A. je široko používaná modernými skladateľmi (Boulez, Stockhausen, Lutoslavskij, A. Volkonskij, Denisov, Schnittke atď.).
Predpokladom pre A. v 20. storočí. prišli nové zákony harmónia a z nich prameniace tendencie hľadať nové formy, ktoré zodpovedajú novému stavu hudobného materiálu a sú charakteristické predvoj. Aleatorická textúra bola pred emancipáciou úplne nemysliteľná disonancia rozvoj atonálnej hudby (pozri: dodekafónia). Zástanca „obmedzeného a kontrolovaného“ A. Lutoslavského v tom vidí nepochybnú hodnotu: „A. otvoril mi nové a nečakané výhľady. V prvom rade - obrovské bohatstvo rytmu, nedosiahnuteľné pomocou iných techník. Denisov, ktorý ospravedlňuje „zavedenie náhodných prvkov do hudby“, tvrdí, že „nám dáva veľkú slobodu pri práci s hudobnou hmotou a umožňuje nám získať nové zvukové efekty.<...>, ale myšlienky mobility môžu priniesť dobré výsledky len vtedy, ak<... >ak deštruktívne tendencie skryté v mobilite nezničia konštruktívnosť nevyhnutnú pre existenciu akejkoľvek formy umenia.
Niektoré ďalšie metódy a formy hudby sa prelínajú s A. V prvom rade sú to: 1. improvizácia - prevedenie diela zloženého počas hry; 2. grafická hudba, ktoré interpret improvizuje podľa vizuálnych obrazov kresby, ktorú má pred sebou (napr. I. Brown, Folio, 1952), prevádza ich do zvukových obrazov, alebo podľa hudobnej aleatorickej grafiky, ktorú vytvoril skladateľ z diel hudobný text na hárku papiera (S. Bussotti, „Vášeň pre záhradu“, 1966); 3. deje- improvizovaná (v tomto zmysle aleatorická) akcia (propagácia) za účasti hudby s ľubovoľnou (kvázi) zápletkou (napr. happening A. Volkonského „Replika“ súboru Madrigal v sezóne 1970/71); 4. otvorené formy hudby – teda tie, ktorých text nie je stabilne zafixovaný, ale získava sa zakaždým v procese predstavenia. Ide o typy skladieb, ktoré nie sú zásadne uzavreté a umožňujú nekonečné pokračovanie (napríklad s každým novým predstavením), angl. Prebiehajúca práca. Pre P. Bouleza jedným z podnetov, ktoré ho obrátili k otvorenej forme, bola práca J. Joyce(„Ulysses“) a S. Mallarmé („Le Livre“). Príkladom otvorenej skladby je „Available Forms II“ Earla Browna pre 98 nástrojov a dvoch dirigentov (1962). Brown sám poukazuje na prepojenie svojej otvorenej formy s „mobilmi“ vo výtvarnom umení (pozri: kinetické umenie) najmä A. Calder ("Calder Piece" pre 4 bubeníkov a Calderov mobil, 1965). Napokon, akcia „Gesamtkunst“ je presiaknutá aleatorickými princípmi (pozri: Gezamtkunstwerk). 5. Multimédiá, ktorých špecifikom je synchronizácia inštalácie viaceré druhy umenia (napríklad: koncert + výstava maľby a sochárstva + večer poézie v akejkoľvek kombinácii umeleckých foriem a pod.). Podstatou A. je teda zosúladenie tradične zavedeného umeleckého poriadku a osviežujúceho kvasu nepredvídateľnosti, náhodnosti – tendencia charakteristická pre umelecká kultúra XX storočia. vo všeobecnosti a neklasická estetika.
Lit .: Denisov E.V. Stabilné a mobilné prvky hudobnej formy a ich interakcia// Teoretické problémy hudobných foriem a žánrov. M., 1971; Kohoutek C. Technika kompozície v hudbe XX storočia. M., 1976; Lutoslavsky V.Články, napr.
šedivé vlasy, spomienky. M., 1995; Boulez P. Alea// Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate// Tamže, III. 1960; Schaffer B. Nowa muzika (1958). Krakov, 1969; Schaffer B. Malý informátor hudby XX wieku (1958). Krakov, 1975; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.
Kocky ľudia používajú už tisíce rokov.
V 21. storočí vám nové technológie umožňujú hádzať kockou v akomkoľvek vhodnom čase a ak máte prístup na internet, na vhodnom mieste. Kocky sú vždy s vami doma alebo na cestách.
Generátor kociek vám umožňuje hádzať online 1 až 4 kocky.
Hoďte kockou online poctivo
Pri použití skutočných kociek je možné použiť šikovnosť alebo špeciálne vyrobené kocky s výhodou jednej zo strán. Môžete napríklad otočiť kocku pozdĺž jednej z osí a potom sa rozdelenie pravdepodobnosti zmení. Funkciou našich virtuálnych kociek je použitie softvérového generátora pseudonáhodných čísel. To vám umožňuje poskytnúť skutočne náhodný variant tohto alebo toho výsledku.
A ak si túto stránku uložíte do záložiek, vaše online kocky sa nikde nestratia a budú vždy po ruke v správnom čase!
Niektorí ľudia sa prispôsobili používaniu online kociek na veštenie alebo vytváranie predpovedí a horoskopov.
Veselá nálada, dobrý deň a veľa šťastia!
Napísal dizajnér Tyler Sigman na "Gamasutre". S láskou o ňom hovorím ako o článku „vlasy v nozdrách orka“, ale celkom dobre pokrýva základy pravdepodobnosti v hrách.
Téma tohto týždňa
Až do dnešného dňa bolo takmer všetko, o čom sme hovorili, deterministické a minulý týždeň sme sa bližšie pozreli na tranzitívnu mechaniku a rozobrali sme ju tak podrobne, ako to viem vysvetliť. Ale doteraz sme nevenovali pozornosť obrovskému aspektu mnohých hier, a to nedeterministickým aspektom, inými slovami - náhodnosti. Pochopenie podstaty náhodnosti je pre herných dizajnérov veľmi dôležité, pretože vytvárame systémy, ktoré ovplyvňujú zážitok hráča v danej hre, takže musíme vedieť, ako tieto systémy fungujú. Ak je v systéme náhodnosť, musíte to pochopiť prírody túto náhodnosť a ako ju zmeniť, aby sme dosiahli požadované výsledky.
Kocky
Začnime niečím jednoduchým: hádzaním kockami. Keď väčšina ľudí myslí na kocky, predstaví si šesťstennú kocku známu ako d6. Väčšina hráčov však videla mnoho iných kociek: štvorstrannú (d4), osemstrannú (d8), dvanásťstrannú (d12), dvadsaťstrannú (d20) ... a ak reálny geek, možno máš niekde 30- alebo 100-hrannú kocku. Ak nie ste oboznámení s touto terminológiou, „d“ znamená kocka a číslo po nej je to, koľko má tvárí. Ak predtým„d“ znamená číslo, znamená to číslo kocky pri hode. Napríklad v hre Monopoly hádžete 2k6.
Takže v tomto prípade je fráza „kocky“ konvenčným označením. Existuje obrovské množstvo iných generátorov náhodných čísel, ktoré nemajú tvar plastového bloku, ale plnia rovnakú funkciu generovania náhodného čísla od 1 do n. Obyčajnú mincu si možno predstaviť aj ako dihedrálnu d2 kocku. Videl som dva návrhy sedemstennej kocky: jeden vyzeral ako kocka a druhý vyzeral skôr ako sedemstenná drevená ceruzka. Tetraedrický dreidel (tiež známy ako titotum) je analógom tetraedrickej kosti. Hracie pole s rotujúcou šípkou v hre „Chutes & Ladders“, kde výsledok môže byť od 1 do 6, zodpovedá šesťstennej kocke. Generátor náhodných čísel v počítači môže vytvoriť ľubovoľné číslo od 1 do 19, ak návrhár zadá takýto príkaz, hoci počítač nemá 19-hrannú kocku (vo všeobecnosti budem hovoriť viac o pravdepodobnosti, že čísla padnú na počítač pri Ďalšie týždeň). Hoci všetky tieto položky vyzerajú odlišne, v skutočnosti sú ekvivalentné: máte rovnakú šancu získať jeden z niekoľkých výsledkov.
Kocky majú niekoľko zaujímavých vlastností, o ktorých musíme vedieť. Po prvé, pravdepodobnosť, že sa objaví niektorá z tvárí, je rovnaká (predpokladám, že hádžete správnou kockou, nie nesprávnou geometriou). Takže ak chcete vedieť priemerná hodnota hod (medzi pravdepodobnostami tiež známy ako „matematické očakávanie“), sčítajte hodnoty všetkých hrán a vydeľte tento súčet číslo tváre. Priemerná hodnota hodu pre štandardnú šesťstennú kocku je 1+2+3+4+5+6 = 21, vydelená počtom plôch (6) a dostaneme priemernú hodnotu 21/6 = 3,5. Toto je špeciálny prípad, pretože predpokladáme, že všetky výsledky sú rovnako pravdepodobné.
Čo ak máte špeciálne kocky? Videl som napríklad hru so šesťhrannou kockou so špeciálnymi nálepkami na tvárach: 1, 1, 1, 2, 2, 3, takže sa správa ako zvláštna trojstranná kocka, ktorá skôr hodí číslo 1 ako 2 a 2 ako 3. Aká je priemerná hodnota hodu pre túto kocku? Takže 1+1+1+2+2+3 = 10 delené 6 sa rovná 5/3 alebo približne 1,66. Ak teda máte túto konkrétnu kocku a hráči hodia tromi kockami a potom sčítajú výsledky, viete, že približný súčet ich hodov bude asi 5 a na základe tohto predpokladu môžete hru vybalansovať.
Kocky a nezávislosť
Ako som už povedal, vychádzame z predpokladu, že vypadnutie každej tváre je rovnako pravdepodobné. Nezáleží na tom, koľko kociek hodíte. Každý hod kockou bez ohľadu na to, čo znamená, že predchádzajúce hody neovplyvňujú výsledky nasledujúcich hodov. S dostatočným počtom testov určite áno upozorniť„séria“ čísel, ako je hádzanie väčšinou vyšších alebo nižších hodnôt, alebo iné funkcie, a o tom si povieme neskôr, ale to neznamená, že sú kocky „horúce“ alebo „studené“. Ak hodíte štandardnou šesťstennou kockou a číslo 6 padne dvakrát za sebou, pravdepodobnosť, že ďalší hod bude mať za následok 6, je tiež 1/6. Pravdepodobnosť sa nezvýši tým, že kocka je „zahriata“. Pravdepodobnosť sa neznižuje, pretože číslo 6 už vypadlo dvakrát za sebou, čo znamená, že teraz vypadne ďalšia tvár. (Samozrejme, ak hodíte kockou dvadsaťkrát a zakaždým padne číslo 6, šanca, že číslo 6 padne dvadsiaty prvý raz, je dosť vysoká... pretože to môže znamenať, že máte nesprávnu kocku !) Ale ak máte správnu kocku, pravdepodobnosť vypadnutia z každej z tvárí je rovnaká, bez ohľadu na výsledky ostatných hodov. Môžete si tiež predstaviť, že zakaždým, keď meníme kocku, takže ak číslo 6 hodilo dvakrát za sebou, odstráňte „horúcu“ kocku z hry a nahraďte ju novou šesťstennou kockou. Ospravedlňujem sa, ak o tom niekto z vás už vedel, ale potreboval som to objasniť, kým sa pohnem ďalej.
Ako urobiť hod kockou viac-menej náhodne
Poďme si povedať, ako dosiahnuť rôzne výsledky na rôznych kockách. Ak hodíte kockou iba raz alebo viackrát, hra sa bude zdať náhodnejšia, ak bude mať kocka viac hrán. Čím viackrát hodíte kockou, alebo čím viac kociek hodíte, tým viac sa výsledky približujú k priemeru. Ak napríklad hodíte 1k6+4 (t.j. štandardná šesťstenná kocka raz a k výsledku pridáte 4), priemer bude číslo medzi 5 a 10. Ak hodíte 5k2, priemer bude tiež číslo medzi 5 a 10. Ale pri hode šesťstennou kockou je pravdepodobnosť získania čísel 5, 8 alebo 10 rovnaká. Výsledkom hodu 5d2 budú väčšinou čísla 7 a 8, menej často iné hodnoty. Rovnaká séria, dokonca rovnaký priemer (7,5 v oboch prípadoch), ale charakter náhodnosti je odlišný.
Počkaj minútu. Nepovedal som práve, že kocky sa nezohrievajú ani nechladia? A teraz hovorím, že ak hodíte veľa kociek, výsledky hodov sú bližšie k priemeru? prečo?
Nechaj ma vysvetliť. Ak hádžete jeden kocky, pravdepodobnosť vypadnutia z každej z tvárí je rovnaká. To znamená, že ak hodíte veľa kociek, časom sa každá tvár objaví približne rovnako. Čím viac kociek hodíte, tým viac sa bude celkový výsledok približovať k priemeru. Nie je to preto, že hodené číslo "spôsobí" ďalšie číslo, ktoré ešte nepadlo. Pretože malá séria 6 s (alebo 20 s alebo čokoľvek iné) sa nakoniec nestane veľkým problémom, ak hodíte kockou ešte desaťtisíckrát a väčšinou sa objaví v strede...možno teraz budete mať niekoľko čísel s vysokou hodnotou, ale možno neskôr pár čísel s nízkou hodnotou a časom sa priblížia k priemernej hodnote. Nie preto, že by predchádzajúce hody ovplyvnili kocky (vážne, kocka je vyrobená z plast, nemá mozog na to, aby si myslela „och, už je to dávno, čo sa objavila dvojka“), ale preto, že sa to zvyčajne stáva pri mnohých hodoch kockami. Malá séria opakujúcich sa čísel bude vo veľkom počte výsledkov takmer neviditeľná.
Je teda celkom jednoduché vypočítať pre jeden náhodný hod kockou, aspoň pokiaľ ide o výpočet priemernej hodnoty hodu. Existujú aj spôsoby, ako vypočítať „ako je niečo náhodné“, spôsob, ako povedať, že výsledky hodu 1k6+4 budú „náhodnejšie“ ako 5d2, pri hode 5d2 bude rozdelenie výsledkov hodov rovnomernejšie, zvyčajne na to vypočítate smerodajnú odchýlku a čím väčšia hodnota, tým náhodnejšie budú výsledky, ale to si vyžaduje viac výpočtov, ako by som dnes rád uviedol (túto tému vysvetlím neskôr). Jediná vec, o ktorú vás žiadam, aby ste vedeli, je, že vo všeobecnosti platí, že čím menej hodených kociek, tým viac náhodných. A ešte jeden dodatok k tejto téme: čím viac strán má kocka, tým viac náhodnosti, keďže máte viac možností.
Ako vypočítať pravdepodobnosť pomocou počítania
Možno máte otázku: ako môžeme vypočítať presnú pravdepodobnosť konkrétneho výsledku? To je v skutočnosti dosť dôležité pre mnoho hier, pretože ak hodíte kockou, je pravdepodobné, že na začiatku bude nejaký optimálny výsledok. Odpoveď znie: musíme vypočítať dve hodnoty. Najprv vypočítajte maximálny počet výsledkov pri hode kockou (bez ohľadu na to, aký bude výsledok). Potom spočítajte počet priaznivých výsledkov. Vydelením druhej hodnoty prvou získate požadovanú pravdepodobnosť. Ak chcete získať percento, vynásobte výsledok 100.
Príklady:
Tu je veľmi jednoduchý príklad. Chcete hodiť 4 alebo vyššie a raz hodiť šesťstennou kockou. Maximálny počet výsledkov je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Z toho 3 výsledky (4, 5, 6) sú priaznivé. Na výpočet pravdepodobnosti teda vydelíme 3 x 6 a dostaneme 0,5 alebo 50 %.
Tu je príklad, ktorý je trochu komplikovanejší. Chcete párne číslo pri hode 2k6. Maximálny počet výsledkov je 36 (6 pre každú kocku a keďže jedna kocka neovplyvňuje druhú, vynásobíme 6 výsledkov číslom 6 a dostaneme 36). Problém s týmto typom otázok je, že je ľahké počítať dvakrát. Napríklad v skutočnosti existujú dva možné výsledky 3 pri hode 2k6: 1+2 a 2+1. Vyzerajú rovnako, rozdiel je však v tom, aké číslo je zobrazené na prvej kocke a aké na druhej. Môžete si tiež predstaviť, že kocky sú rôznych farieb, takže napríklad v tomto prípade je jedna kocka červená a druhá modrá. Potom spočítajte počet možností na získanie párneho čísla: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Ukazuje sa, že existuje 18 možností priaznivého výsledku z 36, rovnako ako v predchádzajúcom prípade bude pravdepodobnosť 0,5 alebo 50%. Možno nečakané, ale celkom presné.
Simulácia Monte Carlo
Čo ak máte na tento výpočet príliš veľa kociek? Napríklad, chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že pri hode 8k6 hodíte celkovo 15 alebo viac. Existuje MNOHO rôznych individuálnych skóre pre osem kociek a ich ručné vypočítanie by trvalo veľmi dlho. Aj keď nájdeme nejaké dobré riešenie na zoskupenie rôznych sérií hodov kockami, počítanie bude trvať veľmi dlho. V tomto prípade najjednoduchší spôsob výpočtu pravdepodobnosti nie je počítať ručne, ale použiť počítač. Existujú dva spôsoby, ako vypočítať pravdepodobnosť na počítači.
Prvý spôsob môže získať presnú odpoveď, ale zahŕňa trochu programovania alebo skriptovania. Počítač v podstate prejde každú možnosť, vyhodnotí a spočíta celkový počet iterácií a počet iterácií, ktoré zodpovedajú požadovanému výsledku a následne poskytne odpovede. Váš kód môže vyzerať asi takto:
int wincount=0, totalcount=0;
pre (int i=1; i<=6; i++) {
pre (int j=1; j<=6; j++) {
pre (int k=1; k<=6; k++) {
… // sem vložte viac slučiek
ak (i+j+k+… >= 15) (
pravdepodobnosť float = wincount/totalcount;
Ak nie ste programátor a chcete len nepresnú, no približnú odpoveď, môžete si túto situáciu nasimulovať v Exceli, kde pár tisíckrát hodíte 8d6 a dostanete odpoveď. Ak chcete hodiť 1d6 v Exceli, použite nasledujúci vzorec:
PODLAŽIE(RAND()*6)+1
Existuje názov pre situáciu, keď nepoznáte odpoveď a len to mnohokrát skúšate - Simulácia Monte Carlo, a je to skvelé riešenie, ku ktorému sa môžete vrátiť, keď sa pokúšate vypočítať pravdepodobnosť a je to príliš komplikované. Skvelé je, že v tomto prípade nemusíme rozumieť tomu, ako matematika funguje, a vieme, že odpoveď bude „celkom dobrá“, pretože ako už vieme, čím viac hodov, tým viac sa výsledok približuje priemerná hodnota.
Ako skombinovať nezávislé pokusy
Ak sa pýtate na viacero opakovaných, ale nezávislých pokusov, potom výsledok jedného hodu neovplyvní výsledok ostatných hodov. Pre túto situáciu existuje ešte jedno jednoduchšie vysvetlenie.
Ako rozlíšiť medzi niečím závislým a nezávislým? V zásade, ak môžete izolovať každý hod kockou (alebo sériu hodov) ako samostatnú udalosť, potom je nezávislý. Napríklad, ak chceme hodiť celkom 15 hodom 8k6, tento prípad nemožno rozdeliť na niekoľko nezávislých hodov kockou. Keďže pre výsledok počítate súčet hodnôt všetkých kociek, výsledok, ktorý je hodený na jednej kocke, ovplyvňuje výsledky, ktoré by mali byť hodené na iných kockách, pretože iba sčítaním všetkých hodnôt získate požadovaný výsledok.
Tu je príklad nezávislých hodov: hráte hru s kockami a niekoľkokrát hodíte kockami so šiestimi stenami. Ak chcete zostať v hre, musíte pri prvom hode hodiť 2 alebo viac. Pre druhú rolku 3 alebo vyššie. Tretí vyžaduje 4 alebo viac, štvrtý vyžaduje 5 alebo viac, piaty vyžaduje 6. Ak je všetkých päť hodov úspešných, vyhrávate. V tomto prípade sú všetky hody nezávislé. Áno, ak jeden hod zlyhá, ovplyvní to výsledok celej hry, ale jeden hod neovplyvní ďalší hod. Napríklad, ak je váš druhý hod kockou veľmi úspešný, neovplyvňuje to pravdepodobnosť, že ďalšie hody budú rovnako úspešné. Preto môžeme zvážiť pravdepodobnosť každého hodu kockou samostatne.
Ak máte samostatné, nezávislé pravdepodobnosti a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že Všetci udalosti prídu, určíte každú jednotlivú pravdepodobnosť a vynásobíte ich. Iný spôsob: ak použijete spojenie „a“ na opísanie niekoľkých podmienok (napríklad, aká je pravdepodobnosť výskytu nejakej náhodnej udalosti a nejaká iná nezávislá náhodná udalosť?), vypočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a vynásobte ich.
Nezáleží na tom, čo si myslíte nikdy nesčítajte nezávislé pravdepodobnosti. Toto je častý omyl. Aby ste pochopili, prečo je to nesprávne, predstavte si situáciu, keď hodíte mincou 50/50 a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy dvakrát za sebou. Každá strana má 50% šancu, že príde, takže ak spočítate tieto dve pravdepodobnosti, získate 100% šancu, že sa objaví, ale vieme, že to nie je pravda, pretože môžu prísť dva po sebe idúce chvosty. Ak namiesto toho vynásobíte tieto dve pravdepodobnosti, dostanete 50 % * 50 % = 25 %, čo je správna odpoveď na výpočet pravdepodobnosti získania hláv dvakrát za sebou.
Príklad
Vráťme sa k hre so šiestimi kockami, kde je potrebné najprv hodiť číslo vyššie ako 2, potom vyššie ako 3 atď. až 6. Aké sú šance, že v danej sérii 5 hodov budú všetky výsledky priaznivé?
Ako už bolo spomenuté vyššie, ide o nezávislé pokusy, preto vypočítame pravdepodobnosť pre každý jednotlivý hod a potom ich vynásobíme. Pravdepodobnosť, že výsledok prvého hodu bude priaznivý, je 5/6. Druhý - 4.6. Tretia - 3.6. Štvrtý - 2/6, piaty - 1/6. Vynásobením všetkých týchto výsledkov dostaneme približne 1,5 %... Výhra v tejto hre je teda pomerne vzácna, takže ak do svojej hry pridáte tento prvok, budete potrebovať dosť veľký jackpot.
Negácia
Tu je ďalšia užitočná rada: niekedy je ťažké vypočítať pravdepodobnosť, že k udalosti dôjde, ale je ľahšie určiť, aká je pravdepodobnosť, že k udalosti dôjde. nepríde.
Predpokladajme napríklad, že máme inú hru a vy hodíte 6k6 a ak aspoň raz hodí 6, vyhrávate. Aká je pravdepodobnosť výhry?
V tomto prípade je potrebné zvážiť veľa možností. Snáď vypadne jedno číslo 6, t.j. jedna z kociek bude hádzať 6 a ostatní budú hádzať 1 až 5 a je 6 možností, ktorá z kociek padne 6. Potom môžete hodiť 6 na dve kocky, tri, alebo aj viac, a zakaždým, keď potrebujeme urobiť samostatný výpočet, takže je ľahké sa zmiasť.
Existuje však aj iný spôsob, ako tento problém vyriešiť, pozrime sa na to z druhej strany. vy stratiť ak žiadny z kocky nevypadne číslo 6. V tomto prípade máme šesť nezávislých pokusov, pravdepodobnosť každého z nich je 5/6 (na kocke môže padnúť akékoľvek iné číslo ako 6). Vynásobte ich a dostanete približne 33%. Pravdepodobnosť prehry je teda 1 ku 3.
Preto je pravdepodobnosť výhry 67 % (alebo 2 ku 3).
Z tohto príkladu je zrejmé, že ak počítate pravdepodobnosť, že k udalosti nedôjde, odpočítajte výsledok od 100 %. Ak je pravdepodobnosť výhry 67 %, potom pravdepodobnosť stratiť — 100% mínus 67% alebo 33%. A naopak. Ak je ťažké vypočítať jednu pravdepodobnosť, ale ľahko vypočítať opačnú, vypočítajte opak a potom odpočítajte od 100 %.
Podmienky pripojenia pre jeden nezávislý test
O niečo skôr som povedal, že by ste nikdy nemali sčítať pravdepodobnosti v nezávislých skúškach. Sú nejaké prípady, kedy môcť zrátať pravdepodobnosti? Áno, v jednej konkrétnej situácii.
Ak chcete vypočítať pravdepodobnosť viacerých, nesúvisiacich, priaznivých výsledkov v tej istej štúdii, spočítajte pravdepodobnosti každého priaznivého výsledku. Napríklad pravdepodobnosť hodenia 4, 5 alebo 6 na 1k6 je súčet pravdepodobnosť hodenia 4, pravdepodobnosť hodenia 5 a pravdepodobnosť hodenia 6. Túto situáciu si môžete predstaviť aj takto: ak v otázke o pravdepodobnosti použijete spojku „alebo“ (napríklad čo je pravdepodobnosť alebo rozdielny výsledok jednej náhodnej udalosti?), vypočítajte jednotlivé pravdepodobnosti a spočítajte ich.
Všimnite si, že keď sčítate všetky možné výsledky hru, súčet všetkých pravdepodobností musí byť rovný 100%. Ak sa súčet nerovná 100 %, váš výpočet bol vykonaný nesprávne. Je to dobrý spôsob, ako skontrolovať svoje výpočty. Napríklad ste analyzovali pravdepodobnosť získania všetkých kombinácií v pokri, ak spočítate všetky výsledky, mali by ste dostať presne 100 % (alebo aspoň hodnotu blízku 100 %, ak používate kalkulačku, môžete mať malá chyba zaokrúhľovania, ale ak spočítate presné čísla ručne, všetko by sa malo sčítať). Ak súčet nekonverguje, potom ste s najväčšou pravdepodobnosťou nebrali do úvahy niektoré kombinácie alebo ste nesprávne vypočítali pravdepodobnosti niektorých kombinácií a potom musíte svoje výpočty znova skontrolovať.
Nerovnaké pravdepodobnosti
Doteraz sme predpokladali, že každá strana kocky vypadáva s rovnakou frekvenciou, pretože takto kocka funguje. Ale niekedy sa stretnete so situáciou, keď sú možné rôzne výsledky rôzne zahodiť šance. Napríklad v jednom z rozšírení kartovej hry „Nuclear War“ je hracie pole so šípkou, ktorá určuje výsledok odpálenia rakety: v podstate spôsobí normálne poškodenie, väčšie alebo menšie poškodenie, ale niekedy je poškodenie zdvojnásobí alebo strojnásobí, alebo raketa vybuchne na odpaľovacej rampe a ublíži vám, alebo dôjde k inej udalosti. Na rozdiel od hracej plochy so šípkami v hre „Chutes & Ladders“ alebo „A Game of Life“ sú výsledky šachovnice v hre „Nuclear War“ nerovnaké. Niektoré úseky hracieho poľa sú väčšie a šíp sa na nich zastavuje oveľa častejšie, iné zase veľmi malé a šíp sa na nich zastaví len zriedka.
Na prvý pohľad teda kosť vyzerá asi takto: 1, 1, 1, 2, 2, 3; už sme o tom hovorili, je to niečo ako vážený 1d3, preto musíme všetky tieto časti rozdeliť na rovnaké časti, nájsť najmenšiu mernú jednotku, ktorá je jej násobkom, a potom znázorniť situáciu ako d522 (resp. niektoré iné ), kde sada tvárí kocky zobrazí rovnakú situáciu, ale s väčším počtom výsledkov. A toto je jeden zo spôsobov, ako vyriešiť problém, a je to technicky možné, ale existuje aj jednoduchší spôsob.
Vráťme sa k našej štandardnej šesťstennej kocke. Povedali sme, že ak chcete vypočítať priemernú hodnotu hodu pre normálnu kocku, musíte sčítať hodnoty na všetkých tvárach a vydeliť ich počtom tvárí, ale ako presne tak prebieha výpočet? Môžete to vyjadriť rôzne. Pre šesťstennú kocku je pravdepodobnosť, že každá padne, presne 1/6. Teraz sa množíme Exodus každý okraj na pravdepodobnosť tento výsledok (v tomto prípade 1/6 pre každú tvár), potom spočítajte výsledné hodnoty. Takže sčítanie (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6), dostaneme rovnaký výsledok (3.5) ako vo výpočte vyššie. V skutočnosti to počítame zakaždým: každý výsledok vynásobíme pravdepodobnosťou tohto výsledku.
Môžeme urobiť rovnaký výpočet pre šípku na hracom poli v hre „Nuclear War“? Samozrejme, že môžeme. A ak zrátame všetky zistené výsledky, dostaneme priemernú hodnotu. Všetko, čo musíme urobiť, je vypočítať pravdepodobnosť každého výsledku pre šípku na ihrisku a vynásobiť výsledkom.
Ďalší príklad
Tento spôsob výpočtu priemeru vynásobením každého výsledku jeho individuálnou pravdepodobnosťou je vhodný aj vtedy, ak sú výsledky rovnako pravdepodobné, ale majú iné výhody, napríklad ak hodíte kockou a vyhráte na niektorých stranách viac ako na iných. Vezmime si napríklad hru, ktorá sa odohráva v kasíne: vsadíte a hodíte 2k6. Ak padnú tri čísla s nízkou hodnotou (2, 3, 4) alebo štyri čísla s vysokou hodnotou (9, 10, 11, 12), vyhráte sumu rovnajúcu sa vašej stávke. Čísla s najnižšou a najvyššou hodnotou sú špeciálne: ak 2 alebo 12 hodov, vyhrávate dva krát toľko než vaša ponuka. Ak padne akékoľvek iné číslo (5, 6, 7, 8), svoju stávku prehráte. Toto je celkom jednoduchá hra. Aká je však pravdepodobnosť výhry?
Začnime spočítaním, koľkokrát môžete vyhrať:
- Maximálny počet výsledkov pri hode 2k6 je 36. Aký je počet priaznivých výsledkov?
- Je 1 možnosť, že vypadnú dvaja a 1 možnosť, že vypadne dvanásť.
- Existujú 2 možnosti pre hodenie tri a jedenásť.
- K dispozícii sú 3 možnosti pre hod štvorkou a 3 možnosti pre hod desiatkou.
- K dispozícii sú 4 možnosti pre deväť.
- Zhrnutím všetkých možností dostaneme počet priaznivých výsledkov 16 z 36.
Za normálnych podmienok teda vyhráte 16-krát z 36 možných...pravdepodobnosť výhry je o niečo menšia ako 50%.
Ale v dvoch prípadoch z tých 16 vyhráte dvakrát toľko, t.j. je to ako vyhrať dvakrát! Ak hráte túto hru 36-krát, pričom zakaždým vsadíte 1 dolár a každý z možných výsledkov príde raz, vyhráte spolu 18 $ (v skutočnosti vyhráte 16-krát, ale dva z týchto prípadov sa počítajú ako dve výhry). Ak hráte 36-krát a vyhráte 18 $, neznamená to, že je to vyrovnaná šanca?
Neponáhľaj sa. Ak spočítate, koľkokrát môžete prehrať, dostanete 20, nie 18. Ak hráte 36-krát, pričom zakaždým vsadíte 1 dolár, vyhráte spolu 18 dolárov so všetkými valenými kurzami... ale prehráte celková suma 20 dolárov za všetkých 20 zlých výsledkov! V dôsledku toho budete mierne pozadu: za každých 36 odohraných hier prehráte v priemere 2 doláre netto (môžete tiež povedať, že prehráte v priemere 1/18 dolára za deň). Teraz vidíte, aké ľahké je v tomto prípade urobiť chybu a nesprávne vypočítať pravdepodobnosť!
Permutácia
Doteraz sme vychádzali z toho, že pri hode kockou nezáleží na poradí, v akom sú čísla hodené. Hod 2+4 je rovnaký ako hod 4+2. Vo väčšine prípadov manuálne počítame počet priaznivých výsledkov, ale niekedy je táto metóda nepraktická a je lepšie použiť matematický vzorec.
Príklad takejto situácie je z hry s kockami „Farkle“. Za každé nové kolo hodíte 6k6. Ak budete mať šťastie a prídu všetky možné výsledky 1-2-3-4-5-6 (Priamo), získate veľký bonus. Aká je pravdepodobnosť, že sa tak stane? V tomto prípade existuje veľa možností pre stratu tejto kombinácie!
Riešenie je nasledovné: jedna z kociek (a iba jedna) musí hodiť číslo 1! Koľko spôsobov získať číslo 1 na jednej kocke? Šesť, pretože kociek je 6 a ktorákoľvek z nich môže dostať číslo 1. Podľa toho vezmite jednu kocku a odložte ju. Teraz by na jednej zo zostávajúcich kociek malo padnúť číslo 2. Na to je päť možností. Vezmite ďalšiu kocku a odložte ju. Potom nasleduje, že štyri zo zostávajúcich kociek môžu hodiť 3, tri zo zostávajúcich kociek môžu hodiť 4, dve zo zostávajúcich kociek môžu hodiť 5 a skončíte s jednou kockou, ktorá musí hodiť 6 (v druhom prípade v prípade je len jedna kocka a nie je na výber). Aby sme vypočítali počet priaznivých výsledkov pre priamu kombináciu, vynásobíme všetky rôzne, nezávislé možnosti: 6x5x4x3x2x1 = 720 – zdá sa, že existuje pomerne veľa možností pre túto kombináciu.
Aby sme vypočítali pravdepodobnosť získania rovnej kombinácie, musíme vydeliť 720 počtom všetkých možných výsledkov pre hod 6k6. Aký je počet všetkých možných výsledkov? Každá kocka môže pristáť 6 tvárí, takže vynásobíme 6x6x6x6x6x6 = 46656 (oveľa vyššie číslo!). Vydelíme 720/46656 a dostaneme pravdepodobnosť rovnajúcu sa približne 1,5 %. Ak by ste navrhovali túto hru, bolo by pre vás užitočné to vedieť, aby ste si mohli vytvoriť vhodný systém bodovania. Teraz chápeme, prečo v hre „Farkle“ získate taký veľký bonus, ak získate kombináciu „priamo“, pretože táto situácia je pomerne zriedkavá!
Výsledok je zaujímavý aj z iného dôvodu. Príklad ukazuje, ako zriedkavo v krátkom čase skutočne vypadne výsledok zodpovedajúci pravdepodobnosti. Samozrejme, ak by sme hodili niekoľko tisíc kociek, rôzne strany kocky by sa objavovali pomerne často. Ale keď hodíme len šiestimi kockami, takmer nikdy nestane sa, že by každá z tvárí vypadla! Vychádzajúc z toho je jasné, že je hlúpe očakávať, že teraz vypadne iná tvár, ktorá ešte nevypadla, „lebo sme už dlho nevypustili číslo 6, čiže vypadne teraz. “
Pozri, tvoj generátor náhodných čísel je pokazený...
To nás privádza k bežnej mylnej predstave o pravdepodobnosti: predpokladu, že všetky výsledky prichádzajú s rovnakou frekvenciou. v krátkom časovom období, čo v skutočnosti nie je pravda. Ak hodíme kockou niekoľkokrát, frekvencia každej z tvárí nebude rovnaká.
Ak ste už niekedy pracovali na online hre s nejakým druhom generátora náhodných čísel, s najväčšou pravdepodobnosťou ste sa stretli so situáciou, keď hráč napísal na technickú podporu, že váš generátor náhodných čísel je pokazený a nezobrazuje náhodné čísla a dospel k tomuto záveru, pretože práve zabil 4 príšery za sebou a dostal 4 presne tie isté odmeny a tieto odmeny by mali klesnúť iba o 10 % prípadov, takže toto Takmer nikdy nemal by konať, čo to znamená samozrejmeže váš generátor náhodných čísel je nefunkčný.
Robíte matematiku. 1/10*1/10*1/10*1/10 sa rovná 1 z 10 000, čo znamená, že je to dosť zriedkavé. A to sa vám hráč snaží povedať. Je v tomto prípade problém?
Všetko závisí od okolností. Koľko hráčov je teraz na vašom serveri? Predpokladajme, že máte pomerne populárnu hru a každý deň ju hrá 100 000 ľudí. Koľko hráčov zabije štyri príšery za sebou? Všetko je možné, niekoľkokrát za deň, ale predpokladajme, že polovica z nich len obchoduje s rôznymi predmetmi na aukciách alebo chatuje na RP serveroch, alebo sa venuje iným herným aktivitám, takže len polovica z nich v skutočnosti loví príšery. Aká je pravdepodobnosť, že niekto vypadne rovnaká odmena? V tejto situácii môžete očakávať, že rovnaká odmena môže klesnúť niekoľkokrát denne, aspoň!
Mimochodom, preto sa to zdá minimálne každých pár týždňov niekto vyhrá v lotérii, aj keď ten niekto nikdy vy alebo vaši priatelia neprídete. Ak bude každý týždeň hrať dostatok ľudí, je pravdepodobné, že ich bude minimálne jedenšťastie... ale keby vy Ak hráte v lotérii, je menej pravdepodobné, že vyhráte prácu v Infinity Ward.
Mapy a závislosť
Diskutovali sme o nezávislých udalostiach, ako je hádzanie kockou, a teraz poznáme mnoho výkonných nástrojov na analýzu náhodnosti v mnohých hrách. Výpočet pravdepodobnosti je trochu komplikovanejší pri ťahaní kariet z balíčka, pretože každá karta, ktorú si vytiahneme, ovplyvňuje zvyšné karty v balíčku. Ak máte štandardný balíček 52 kariet a vytiahnete si napríklad 10 sŕdc a chcete vedieť, aká je pravdepodobnosť, že ďalšia karta bude rovnakej farby, pravdepodobnosť sa zmenila, pretože ste už jednu srdiečkovú kartu odstránili. paluba. Každá karta, ktorú odstránite, zmení pravdepodobnosť ďalšej karty v balíčku. Keďže v tomto prípade predchádzajúca udalosť ovplyvňuje nasledujúcu, nazývame to pravdepodobnosť závislý.
Upozorňujeme, že keď hovorím „karty“, myslím tým akýkoľvek herné mechanizmy, v ktorých je sada predmetov a jeden z predmetov odstránite bez toho, aby ste ho vymenili, „balík kariet“ je v tomto prípade obdobou vrecúška žetónov, z ktorého vyberiete jeden žetón a nenahradíte ho, resp. urnu, z ktorej odstránite farebné guľôčky (v skutočnosti som nikdy nevidel hru, v ktorej by bola vytiahnutá urna s farebnými guľôčkami, ale zdá sa, že učitelia pravdepodobnosti z nejakého dôvodu uprednostňujú tento príklad).
Vlastnosti závislosti
Chcel by som objasniť, že pokiaľ ide o karty, predpokladám, že si karty potiahnete, pozriete sa na ne a odstránite ich z balíčka. Každá z týchto akcií je dôležitou vlastnosťou.
Ak by som mal balíček povedzme so šiestimi kartami očíslovanými 1 až 6 a zamiešal by som ich a vytiahol jednu kartu a potom znova zamiešal všetkých šesť kariet, bolo by to rovnaké ako hádzanie šesťstennou kockou; jeden výsledok neovplyvňuje ďalší. Iba ak si potiahnem karty a nevymením ich, výsledok ťahania karty s číslom 1 zvýši pravdepodobnosť, že nabudúce si vytiahnem kartu s číslom 6 (pravdepodobnosť sa bude zvyšovať, kým si nakoniec nevytiahnem túto kartu alebo kým zamiešam karty).
Skutočnosť, že my pozeráme na kartách je tiež dôležité. Ak vyberiem kartu z balíčka a nepozerám sa na ňu, nemám žiadne ďalšie informácie a pravdepodobnosť sa v skutočnosti nemení. Môže to znieť nelogicky. Ako môže jednoduché otočenie karty magicky zmeniť šance? Ale je to možné, pretože pravdepodobnosť pre neznáme položky môžete vypočítať iba z toho, že vy vieš. Ak napríklad zamiešate štandardný balíček kariet, odhalíte 51 kariet a žiadna z nich nie je klubová kráľovná, budete so 100% istotou vedieť, že zvyšná karta je klubová kráľovná. Ak zamiešate štandardný balíček kariet a potiahnete 51 kariet, napriek tomu na nich, potom pravdepodobnosť, že zostávajúca karta je kráľovnou palíc, bude stále 1/52. Po otvorení každej karty získate ďalšie informácie.
Výpočet pravdepodobnosti pre závislé udalosti sa riadi rovnakými princípmi ako pre nezávislé udalosti, až na to, že je to o niečo zložitejšie, keďže pri odkrytí kariet sa pravdepodobnosti menia. Preto musíte vynásobiť veľa rôznych hodnôt namiesto násobenia rovnakej hodnoty. V skutočnosti to znamená, že musíme spojiť všetky výpočty, ktoré sme urobili, do jednej kombinácie.
Príklad
Zamiešate štandardný balíček 52 kariet a potiahnete dve karty. Aká je pravdepodobnosť, že si vyberiete pár? Existuje niekoľko spôsobov, ako vypočítať túto pravdepodobnosť, ale možno najjednoduchší je nasledovný: aká je pravdepodobnosť, že ak vytiahnete jednu kartu, nebudete môcť ťahať pár? Táto pravdepodobnosť je nulová, takže v podstate nezáleží na tom, ktorú prvú kartu si vytiahnete, pokiaľ sa zhoduje s druhou. Bez ohľadu na to, ktorú kartu vytiahneme ako prvú, stále máme šancu vytiahnuť pár, takže pravdepodobnosť, že po vytiahnutí prvej karty vytiahneme pár, je 100%.
Aká je pravdepodobnosť, že sa druhá karta zhoduje s prvou? V balíčku zostáva 51 kariet a 3 z nich sa zhodujú s prvou kartou (v skutočnosti by to boli 4 z 52, ale jednu zo zodpovedajúcich kariet ste už odstránili pri ťahaní prvej karty!), takže pravdepodobnosť je 1 /17. (Takže keď nabudúce chlapík pri stole, ktorý hrá Texas Hold'em, povie: "Super, ďalší pár? Dnes mám šťastie," budete vedieť, že je dosť vysoká šanca, že blafuje.)
Čo ak pridáme dvoch žolíkov a teraz máme v balíčku 54 kariet a chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť ťahania páru? Prvou kartou môže byť žolík a potom bude balíček obsahovať iba jeden kartu, nie tri, ktoré sa budú zhodovať. Ako zistiť pravdepodobnosť v tomto prípade? Rozdelíme pravdepodobnosti a každú možnosť vynásobíme.
Naša prvá karta môže byť žolík alebo iná karta. Pravdepodobnosť vytiahnutia žolíka je 2/54, pravdepodobnosť vytiahnutia inej karty je 52/54.
Ak je prvá karta žolík (2/54), potom pravdepodobnosť, že sa druhá karta bude zhodovať s prvou, je 1/53. Násobenie hodnôt (môžeme ich vynásobiť, pretože sú to samostatné udalosti a my to chceme oboje udalosti) a dostaneme 1/1431 – menej ako jednu desatinu percenta.
Ak najprv vytiahnete inú kartu (52/54), pravdepodobnosť, že sa zhoduje s druhou kartou, je 3/53. Vynásobíme hodnoty a dostaneme 78/1431 (o niečo viac ako 5,5%).
Čo urobíme s týmito dvoma výsledkami? Nepretínajú sa a my chceme poznať pravdepodobnosť všetci z nich, tak zhrnieme hodnoty! Dostaneme konečný výsledok 79/1431 (stále asi 5,5%).
Ak by sme si chceli byť istí presnosťou odpovede, mohli by sme vypočítať pravdepodobnosť všetkých ostatných možných výsledkov: vytiahnuť žolíka a nezhodovať sa s druhou kartou, alebo vytiahnuť inú kartu a nezhodovať sa s druhou kartou, a všetky ich sčítať. s pravdepodobnosťou výhry by sme dostali presne 100%. Nebudem tu uvádzať matematiku, ale môžete skúsiť matematiku pre kontrolu.
Paradox Monty Hall
To nás privádza k pomerne známemu paradoxu, ktorý mnohých často mätie, paradoxu Monty Hall. Paradox je pomenovaný po Montym Hallovi, moderátorovi televíznej show Let's Make a Deal. Ak ste túto reláciu nikdy nevideli, bola to opak televíznej relácie „The Price Is Right“. Na „The Price Is Right“ je hostiteľ (predtým Bob Barker, teraz je to...Drew Carey? Každopádne...) váš priateľ. On chce aby ste mohli vyhrať peniaze alebo skvelé ceny. Snaží sa vám poskytnúť každú príležitosť na výhru, pokiaľ dokážete odhadnúť, akú skutočnú hodnotu majú sponzorované predmety.
Monty Hall sa zachoval inak. Bol ako zlé dvojča Boba Barkera. Jeho cieľom bolo, aby ste v národnej televízii vyzerali ako idiot. Ak ste boli na šou, bol to váš súper, hrali ste proti nemu a šance boli v jeho prospech. Možno som drsný, ale keď sa zdá, že šanca byť vybraný za súpera je priamo úmerná tomu, či máte na sebe smiešny kostým alebo nie, dochádzam k podobným záverom.
Ale jeden z najslávnejších mémov seriálu bol tento: pred vami boli tri dvere a volali sa Dvere číslo 1, Dvere číslo 2 a Dvere číslo 3. Môžete si vybrať ľubovoľné jedny dvere... zadarmo! Za jednými z týchto dverí sa skrývala veľkolepá cena, napríklad nové auto. Za ostatnými dverami neboli žiadne ceny, tieto dvoje dvere nemali žiadnu hodnotu. Ich cieľom bolo vás ponížiť a tak to nie je tak, že za nimi vôbec nič nebolo, bolo za nimi niečo, čo vyzeralo hlúpo, ako koza za nimi alebo obrovská tuba zubnej pasty, alebo niečo ... niečo, čo presne bolo nie nové auto.
Vybrali ste si jedny z dverí a Monty sa ich chystal otvoriť, aby vám dal vedieť, či ste vyhrali alebo nie... ale počkajte, než sa dozvieme pozrime sa na jeden z tie dvere ty nie je zvolený. Keďže Monty vie, za ktorými dverami je cena, a je len jedna cena a dva dvere, ktoré ste si nevybrali, bez ohľadu na to, vždy môže otvoriť dvere, ktoré nemajú za sebou cenu. „Vyberáte si dvere číslo 3? Potom otvorme Dvere 1, aby sme ukázali, že za nimi nie je žiadna cena.“ A teraz vám zo štedrosti ponúka možnosť vymeniť svoje zvolené dvere č. 3 za dvere za dverami č. 2. Tu vstupuje do hry otázka pravdepodobnosti: zvyšuje alebo znižuje schopnosť vybrať si iné dvere šanca na výhru, alebo zostane rovnaká? Ako si myslíte, že?
Správna odpoveď: možnosť vybrať si iné dvere zvyšuje pravdepodobnosť výhry od 1/3 do 2/3. To je nelogické. Ak ste sa s týmto paradoxom ešte nestretli, pravdepodobne si hovoríte: počkajte, otvoríte jedny dvere, magicky sme zmenili pravdepodobnosť? Ale ako sme videli v príklade mapy vyššie, je to tak presne takčo sa stane, keď dostaneme viac informácií. Je zrejmé, že pravdepodobnosť výhry pri prvom výbere je 1/3 a na tom sa hádam zhodnú všetci. Keď sa otvoria jedny dvere, vôbec to nemení pravdepodobnosť výhry pre prvú voľbu, pravdepodobnosť je stále 1/3, ale to znamená, že pravdepodobnosť, že ďalší dvere správne sú teraz 2/3.
Pozrime sa na tento príklad z druhej strany. Vyberiete si dvere. Pravdepodobnosť výhry je 1/3. Navrhujem zmeniť dva iné dvere, čo Monty Hall v skutočnosti navrhuje urobiť. Samozrejme, otvorí jedny z dverí, aby ukázal, že za nimi nie je žiadna cena, ale on vždy môže to urobiť, takže to v skutočnosti nič nemení. Samozrejme, že si budete chcieť vybrať iné dvere!
Ak tejto problematike celkom nerozumiete a potrebujete presvedčivejšie vysvetlenie, kliknite na tento odkaz a prejdete na skvelú malú Flash aplikáciu, ktorá vám umožní podrobnejšie preskúmať tento paradox. Môžete začať s približne 10 dverami a potom postupne prejsť na hru s tromi dverami; je tu aj simulátor, kde si môžete vybrať ľubovoľný počet dverí od 3 do 50 a hrať alebo spustiť niekoľko tisíc simulácií a uvidíte, koľkokrát by ste vyhrali, keby ste hrali.
Poznámka od učiteľa vyššej matematiky a špecialistu na rovnováhu hier Maxima Soldatova, ktorý, samozrejme, Schreiber nemal, ale bez ktorého je dosť ťažké pochopiť túto magickú transformáciu:
Vyberte si dvere, jedny z troch, pravdepodobnosť "výhry" 1/3. Teraz máte 2 stratégie: zmeniť výber po otvorení nesprávnych dverí alebo nie. Ak nezmeníte svoj výber, pravdepodobnosť zostane 1/3, pretože výber je len v prvej fáze a musíte okamžite uhádnuť, ale ak zmeníte, môžete vyhrať, ak si najskôr vyberiete nesprávne dvere ( potom otvoria ďalšie nesprávne, zostanú pravdivé, zmeníte rozhodnutie, jednoducho ho urobte)
Pravdepodobnosť výberu nesprávnych dverí na začiatku je 2/3, takže sa ukazuje, že zmenou svojho rozhodnutia zvyšujete pravdepodobnosť výhry 2-krát
Opätovná návšteva paradoxu Monty Hall
Čo sa týka samotnej show, Monty Hall to vedel, pretože aj keď jeho súperi neboli dobrí v matematike, on dobre jej rozumie. Tu je to, čo urobil, aby trochu zmenil hru. Ak ste si vybrali dvere, za ktorými bola výhra, ktorých pravdepodobnosť je 1/3, je vždy vám ponúkol možnosť výberu iných dverí. Pretože ste si vybrali auto a potom ho zmeníte na kozu a vyzeráte dosť hlúpo, čo je presne to, čo potrebuje, pretože je to nejaký zlý chlap. Ale ak si vyberiete dvere za ktorými nebude žiadna cena iba polovicu v takých prípadoch vás vyzve, aby ste si vybrali iné dvere, v iných prípadoch vám jednoducho ukáže vašu novú kozu a vy opustíte scénu. Poďme analyzovať túto novú hru, kde môže Monty Hall vybrať ponúknuť vám možnosť vybrať si iné dvere alebo nie.
Predpokladajme, že postupuje podľa tohto algoritmu: ak si vyberiete dvere s cenou, vždy vám ponúkne možnosť vybrať si iné dvere, inak je pravdepodobnosť, že vám ponúkne iné dvere alebo vám dá kozu, 50/50. Aká je pravdepodobnosť vašej výhry?
V jednej z troch možností si hneď vyberiete dvere, za ktorými sa nachádza výhra, a hostiteľ vás vyzve, aby ste si vybrali iné dvere.
Zo zostávajúcich dvoch možností z troch (na začiatku si vyberiete dvere bez ceny), polovicu času vás hostiteľ požiada, aby ste si vybrali iné dvere, a druhú polovicu času nie. Polovica z 2/3 je 1/3, t.j. v jednom prípade z troch dostanete kozu, v jednom prípade z troch vyberiete nesprávne dvere a hostiteľ vás vyzve, aby ste si vybrali iné a v jednom prípade z troch si vyberiete pravé dvere a vyzve vás, aby ste si vybrali iné dvere.
Ak hostiteľ navrhne vybrať si iné dvere, už vieme, že jeden z troch prípadov, keď nám dá kozu a odchádzame, sa nestal. Je to užitočná informácia, pretože to znamená, že naše šance na výhru sa zmenili. Dvakrát z troch máme na výber, v jednom prípade to znamená, že sme uhádli správne a v druhom prípade to znamená, že sme uhádli nesprávne, takže ak nám vôbec ponúkli výber, znamená to, že pravdepodobnosť našej výhry je 50 / 50 a nie je tam žiadny matematický výhody, zostaňte pri výbere alebo si vyberte iné dvere.
Rovnako ako poker je to teraz psychologická hra, nie matematická. Monty ti ponúkol na výber, pretože si myslí, že si hlupák, ktorý nevie, že vybrať si iné dvere je to „správne“ rozhodnutie a že zostaneš pri svojej voľbe, pretože psychologicky je situácia taká, keď si vyberieš auto, a potom stratil to, ťažšie? Alebo si myslí, že ste múdri a vyberiete si iné dvere, a ponúkne vám túto šancu, pretože vie, že ste to na prvý raz uhádli správne a že budete uväznení? Alebo možno je k sebe netypicky láskavý a tlačí vás, aby ste urobili niečo vo vašom osobnom záujme, pretože už dlho nedaroval auto a jeho producenti mu povedali, že publikum sa začína nudiť a radšej by mal čoskoro dať veľkú cenu. aby hodnotenia neklesali?
Montymu sa teda darí ponúknuť na výber (niekedy) a celková pravdepodobnosť výhry zostáva 1/3. Pamätajte, že pravdepodobnosť, že okamžite prehráte, je 1/3. Je tu 1/3 šanca, že uhádnete hneď a 50 % z nich vyhráte (1/3 x 1/2 = 1/6). Pravdepodobnosť, že najskôr uhádnete zle, ale potom máte šancu vybrať si iné dvere, je 1/3 a v 50 % z týchto prípadov vyhráte (tiež 1/6). Sčítajte dve nezávislé výherné možnosti a dostanete pravdepodobnosť 1/3, takže či už zostanete na svojom výbere alebo si vyberiete iné dvere, celková pravdepodobnosť vašej výhry počas celej hry je 1/3... pravdepodobnosť sa nezvýši než v situácii, keď by ste uhádli dvere a hostiteľ by vám ukázal, čo je za týmito dverami, bez možnosti vybrať si iné dvere! Zmyslom ponuky možnosti vybrať si iné dvere teda nie je zmeniť pravdepodobnosť, ale urobiť rozhodovací proces zábavnejším sledovaním v televízii.
Mimochodom, toto je jeden z dôvodov, prečo môže byť poker taký zaujímavý: vo väčšine formátov medzi kolami, keď sa uzatvárajú stávky (napríklad flop, turn a river v Texas Hold'em), sa karty postupne odkrývajú , a ak na začiatku hry máte jednu pravdepodobnosť výhry, tak po každom kole stávok, keď je otvorených viac kariet, sa táto pravdepodobnosť zmení.
Paradox chlapca a dievčaťa
To nás privádza k ďalšiemu dobre známemu paradoxu, ktorý má tendenciu zmiasť každého, paradoxu chlapca a dievčaťa. Jediná vec, o ktorej dnes píšem, nesúvisí priamo s hrami (aj keď to hádam znamená len to, že by som vás mal dotlačiť k vytvoreniu relevantných herných mechanizmov). Toto je skôr hádanka, ale zaujímavá, a aby ste ju vyriešili, musíte pochopiť podmienenú pravdepodobnosť, o ktorej sme hovorili vyššie.
Úloha: Mám priateľa s dvoma deťmi, aspoň jeden dieťa je dievča. Aká je pravdepodobnosť, že druhé dieťa tiež dievča? Predpokladajme, že v každej rodine je šanca mať dievča alebo chlapca 50/50 a to platí pre každé dieťa (v skutočnosti niektorí muži majú v spermiách viac spermií s chromozómom X alebo chromozómom Y, takže pravdepodobnosť sa mierne zmení, ak viete, že jedno dieťa je dievča, pravdepodobnosť, že budete mať dievča, je o niečo vyššia, okrem toho existujú ďalšie podmienky, napríklad hermafroditizmus, ale pri riešení tohto problému to nebudeme brať do úvahy a predpokladáme, že narodenie dieťaťa je nezávislou udalosťou a pravdepodobnosť narodenia chlapca alebo dievčat je rovnaká).
Keďže hovoríme o 1/2 šanci, intuitívne očakávame, že odpoveď bude pravdepodobne 1/2 alebo 1/4, alebo nejaké iné okrúhle číslo, ktoré je násobkom 2. Ale odpoveď je: 1/3 . počkať prečo?
Problémom v tomto prípade je, že informácie, ktoré máme, znižujú počet možností. Predpokladajme, že rodičia sú fanúšikmi Sesame Street a bez ohľadu na to, či sa dieťa narodilo ako chlapec alebo dievča, pomenovali svoje deti A a B. Za normálnych okolností existujú štyri rovnako pravdepodobné možnosti: A a B sú dvaja chlapci, A a B sú dve dievčatá, A je chlapec a B je dievča, A je dievča a B je chlapec. Keďže to vieme aspoň jeden dieťa je dievča, môžeme vylúčiť, že A a B sú dvaja chlapci, čím nám ostávajú tri (stále rovnako pravdepodobné) možnosti. Ak sú všetky možnosti rovnako pravdepodobné a sú tri, vieme, že pravdepodobnosť každej z nich je 1/3. Len v jednej z týchto troch možností sú obe deti dve dievčatá, takže odpoveď je 1/3.
A opäť o paradoxe chlapca a dievčaťa
Riešenie problému sa stáva ešte nelogickejším. Predstavte si, že vám poviem, že môj priateľ má dve deti a jedno dieťa - dievča narodené v utorok. Predpokladajme, že za normálnych podmienok je pravdepodobnosť mať dieťa v jeden zo siedmich dní v týždni rovnaká. Aká je pravdepodobnosť, že aj druhé dieťa bude dievča? Možno si myslíte, že odpoveď bude stále 1/3; Aký význam má utorok? Ale v tomto prípade nás intuícia zlyháva. odpoveď: 13/27 čo nie je len intuitívne, je to veľmi zvláštne. Čo sa deje v tomto prípade?
V skutočnosti utorok mení pravdepodobnosť, pretože nevieme ktoré dieťa sa narodilo v utorok alebo príp dve deti sa narodili v utorok. V tomto prípade používame rovnakú logiku ako vyššie, počítame všetky možné kombinácie, keď je aspoň jedno dieťa dievča, ktoré sa narodilo v utorok. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, predpokladajme, že deti majú mená A a B, kombinácie sú nasledovné:
- A je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B je chlapec (v tejto situácii je 7 možností, jedna na každý deň v týždni, kedy by sa mohol narodiť chlapec).
- B je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, A je chlapec (tiež 7 možností).
- A je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, B je dievča, ktoré sa narodilo dňa ďalší deň v týždni (6 možností).
- B je dievča, ktoré sa narodilo v utorok, A je dievča, ktoré sa nenarodilo v utorok (tiež 6 pravdepodobností).
- A a B sú dve dievčatá, ktoré sa narodili v utorok (1 možnosť, treba si na to dať pozor, aby sa to nerátalo dvakrát).
Zrátame a dostaneme 27 rôznych rovnako možných kombinácií narodenia detí a dní s aspoň jednou možnosťou, že sa v utorok narodí dievčatko. Z toho 13 možností je, keď sa narodia dve dievčatá. Vyzerá to tiež úplne nelogicky a zdá sa, že táto úloha bola vytvorená len preto, aby spôsobila bolesť hlavy. Ak ste stále zmätení týmto príkladom, herný teoretik Jesper Juhl má na svojej webovej stránke dobré vysvetlenie.
Ak práve pracujete na hre...
Ak je v hre, ktorú navrhujete, náhoda, je to skvelá príležitosť na jej analýzu. Vyberte ľubovoľný prvok, ktorý chcete analyzovať. Najprv si položte otázku, aká je pravdepodobnosť tohto prvku podľa vašich predstáv, aká by mala byť podľa vás v kontexte hry. Ak napríklad tvoríte RPG a uvažujete o tom, aká by mala byť pravdepodobnosť, že hráč dokáže poraziť monštrum v boji, položte si otázku, aké percento výhier sa vám zdá správne. Zvyčajne pri hraní konzolových RPG sú hráči veľmi frustrovaní, keď prehrajú, takže je lepšie, aby neprehrávali často... možno 10% času alebo menej? Ak ste dizajnér RPG, pravdepodobne to viete lepšie ako ja, ale musíte mať základnú predstavu o tom, aká by mala byť pravdepodobnosť.
Potom sa opýtajte sami seba, či je to niečo závislý(ako karty) resp nezávislý(ako kocky). Diskutujte o všetkých možných výsledkoch a ich pravdepodobnosti. Uistite sa, že súčet všetkých pravdepodobností je 100 %. Nakoniec, samozrejme, porovnajte svoje výsledky s vašimi očakávaniami. Či už je hod kockou alebo sú karty ťahané tak, ako ste zamýšľali, alebo vidíte, že je potrebné upraviť hodnoty. A samozrejme ak ty Nájsťčo je potrebné upraviť, môžete pomocou rovnakých výpočtov určiť, ako veľmi niečo upraviť!
Domáca úloha
Vaša „domáca úloha“ tento týždeň vám pomôže zdokonaliť vaše pravdepodobnostné schopnosti. Tu sú dve hry s kockami a kartová hra, ktoré budete analyzovať pomocou pravdepodobnosti, ako aj zvláštny herný mechanizmus, ktorý som kedysi vyvinul a na ktorom budete testovať metódu Monte Carlo.
Hra #1 - Dračie kosti
Toto je hra s kockami, ktorú sme s kolegami kedysi vymysleli (vďaka Jebovi Havensovi a Jessemu Kingovi!), a ktorá svojimi pravdepodobnosťami zámerne ohúri ľudí. Ide o jednoduchú kasínovú hru s názvom „Dragon Bones“ a ide o hazardnú súťaž v kocke medzi hráčom a zariadením. Dostanete obyčajnú kocku 1k6. Cieľom hry je hodiť o číslo vyššie ako je domček. Tom dostane neštandardnú 1k6 - rovnakú ako vy, ale namiesto jednej na jednej strane - obrázok draka (takže kasíno má kocku Dragon-2-3-4-5-6). Ak inštitúcia získa draka, automaticky vyhráva a vy prehrávate. Ak obaja dostanete rovnaké číslo, je to nerozhodné a znova hodíte kockou. Vyhráva ten, kto hodí najvyššie číslo.
Samozrejme, všetko nedopadne celkom v prospech hráča, pretože kasíno má výhodu v podobe dračí tváre. Ale je to naozaj tak? Musíte si to spočítať. Predtým však skontrolujte svoju intuíciu. Povedzme, že výhra je 2 ku 1. Ak teda vyhráte, ponecháte si svoju stávku a získate dvojnásobok sumy. Ak napríklad vsadíte 1 dolár a vyhráte, tento dolár si ponecháte a navrch získate o 2 doláre viac, spolu teda 3 doláre. Ak prehráte, stratíte iba svoju stávku. Hrali by ste? Máte teda intuitívne pocit, že pravdepodobnosť je väčšia ako 2 ku 1, alebo si stále myslíte, že je menšia? Inými slovami, v priemere počas 3 hier očakávate, že vyhráte viac ako raz, alebo menej, alebo raz?
Keď sa vysporiadate so svojou intuíciou, použite matematiku. Pre obe kocky je len 36 možných pozícií, takže ich všetky ľahko spočítate. Ak si nie ste istí touto ponukou 2:1, zvážte toto: Povedzme, že ste hru hrali 36-krát (vždy ste stavili 1 dolár). Za každú výhru dostanete 2 doláre, za každú stratu 1 dolár a remíza nič nemení. Spočítajte všetky svoje pravdepodobné výhry a prehry a rozhodnite sa, či nejaké doláre stratíte alebo získate. Potom sa opýtajte sami seba, ako správna sa ukázala vaša intuícia. A potom – uvedomte si, aký som darebák.
A áno, ak ste sa už zamysleli nad touto otázkou – zámerne vás mätiem skresľovaním skutočných mechanizmov kockových hier, ale som si istý, že túto prekážku dokážete prekonať len dobrou myšlienkou. Skúste tento problém vyriešiť sami. Všetky odpovede sem zverejním budúci týždeň.
Hra #2 - Roll of Luck
Toto je hra s kockami s názvom Lucky Roll (tiež nazývaná Birdcage, pretože niekedy sa kocky nehádžu, ale umiestnia sa do veľkej drôtenej klietky podobnej klietke Bingo). Je to jednoduchá hra, ktorá vyzerá asi takto: Stavte, povedzme, 1 dolár na číslo medzi 1 a 6. Potom hodíte 3k6. Za každú kocku, ktorá zasiahne vaše číslo, získate 1 dolár (a ponecháte si pôvodnú stávku). Ak vaše číslo nepadne na žiadnu z kociek, kasíno dostane váš dolár a vy nedostanete nič. Ak teda vsadíte na 1 a trikrát dostanete 1, získate 3 doláre.
Intuitívne sa zdá, že v tejto hre sú šance vyrovnané. Každá kocka je individuálna šanca na výhru 1 ku 6, takže súčet všetkých troch je 3 ku 6. Pamätajte však, samozrejme, že pridávate tri samostatné kocky a môžete pridať iba vtedy, ak hovoríme o samostatné výherné kombinácie rovnakých kociek. Niečo, čo budete musieť znásobiť.
Po spočítaní všetkých možných výsledkov (pravdepodobne je to jednoduchšie urobiť v Exceli ako ručne, je ich 216), hra na prvý pohľad stále vyzerá párne-nepárne. V skutočnosti je však stále pravdepodobnejšie, že kasíno vyhrá – o koľko viac? Konkrétne, koľko peňazí očakávate, že priemerne stratíte za kolo hry? Všetko, čo musíte urobiť, je sčítať výhry a prehry všetkých 216 výsledkov a potom ich vydeliť 216, čo by malo byť celkom jednoduché... Ale ako vidíte, existuje niekoľko pascí, do ktorých sa môžete dostať, a preto vám hovorím : Ak si myslíte, že táto hra má rovnakú šancu na výhru, mýlili ste sa.
Hra #3 - 5 Card Stud
Ak ste sa už zohriali pri predchádzajúcich hrách, pozrime sa, čo vieme o podmienenej pravdepodobnosti pomocou tejto kartovej hry ako príkladu. Konkrétne si predstavme poker s balíčkom 52 kariet. Predstavme si tiež 5 card stud, kde každý hráč dostane len 5 kariet. Nemôžete odhodiť kartu, nemôžete si ťahať novú, žiadny spoločný balíček – dostanete iba 5 kariet.
Royal flush je 10-J-Q-K-A v jednej kombinácii, celkovo štyri, takže existujú štyri možné spôsoby, ako získať kráľovskú farbu. Vypočítajte pravdepodobnosť, že dostanete jednu z týchto kombinácií.
Musím vás varovať pred jednou vecou: nezabudnite, že týchto päť kariet môžete ťahať v akomkoľvek poradí. To znamená, že najprv si môžete vytiahnuť eso alebo desiatku, na tom nezáleží. Takže pri výpočte majte na pamäti, že v skutočnosti existujú viac ako štyri spôsoby, ako získať kráľovskú farbu, za predpokladu, že karty boli rozdané v poradí!
Hra č. 4 - Lotéria IMF
Štvrtú úlohu nebude tak ľahké vyriešiť metódami, o ktorých sme dnes hovorili, ale situáciu môžete jednoducho nasimulovať pomocou programovania alebo Excelu. Na príklade tohto problému môžete vypracovať metódu Monte Carlo.
Už som spomenul hru „Chron X“, na ktorej som kedysi pracoval, a bola tam jedna veľmi zaujímavá karta – lotéria MMF. Fungovalo to takto: použili ste ho v hre. Po skončení kola sa karty prerozdelili a existovala 10% šanca, že karta bude mimo hry a náhodný hráč dostane 5 kusov z každého druhu suroviny, ktorá mala na tejto karte žetón. Karta bola vložená do hry bez jediného žetónu, ale zakaždým, keď zostala v hre na začiatku ďalšieho kola, dostala jeden žetón. Bola teda 10% šanca, že to dáte do hry, kolo sa skončí, karta opustí hru a nikto nič nezíska. Ak sa tak nestane (s 90% šancou), je 10% šanca (v skutočnosti 9%, keďže to je 10% z 90%), že opustí hru v ďalšom kole a niekto získa 5 surovín. Ak karta opustí hru po jednom kole (10% z 81% dostupných, takže 8,1% šanca), niekto dostane 10 jednotiek, ďalšie kolo - 15, ďalší 20 atď. Otázka: Aká je očakávaná hodnota počtu zdrojov, ktoré získate z tejto karty, keď konečne opustí hru?
Zvyčajne by sme sa pokúsili vyriešiť tento problém nájdením možnosti každého výsledku a vynásobením počtom všetkých výsledkov. Existuje teda 10% šanca, že dostanete 0 (0,1*0 = 0). 9%, že získate 5 zdrojov (9%*5 = 0,45 zdrojov). 8,1 % z toho, čo získate, je 10 (8,1 %*10 = 0,81 celkových zdrojov, očakávaná hodnota). A tak ďalej. A potom by sme to všetko zhrnuli.
A teraz je problém pre vás zrejmý: vždy existuje šanca, že karta nie opustí hru, aby mohla zostať v hre navždy, na nekonečný počet kôl, aby boli možnosti výpočtu akúkoľvek možnosť neexistuje. Metódy, ktoré sme sa dnes naučili, nám neumožňujú vypočítať nekonečnú rekurziu, takže ju budeme musieť vytvoriť umelo.
Ak ste dostatočne dobrí v programovaní, napíšte program, ktorý bude túto kartu simulovať. Mali by ste mať časovú slučku, ktorá privedie premennú do počiatočnej polohy nula, zobrazí náhodné číslo a s 10% pravdepodobnosťou premenná opustí slučku. V opačnom prípade pridá 5 do premennej a cyklus sa opakuje. Keď konečne opustí slučku, zvýšte celkový počet testov o 1 a celkový počet zdrojov (o koľko závisí od toho, kde sa premenná zastavila). Potom premennú resetujte a začnite odznova. Spustite program niekoľko tisíckrát. Nakoniec vydeľte celkové zdroje celkovým počtom jázd a toto je vaša očakávaná hodnota Monte Carlo. Spustite program niekoľkokrát, aby ste sa uistili, že získané čísla sú približne rovnaké; ak je rozptyl stále veľký, zvýšte počet opakovaní vo vonkajšej slučke, kým nezačnete dostávať zápalky. Môžete si byť istí, že akékoľvek čísla, s ktorými skončíte, budú približne správne.
Ak ste v programovaní nováčik (alebo aj keď ste), tu je malé cvičenie na zahriatie vašich zručností v Exceli. Ak ste herný dizajnér, zručnosti Excelu nie sú nikdy zbytočné.
Teraz budú pre vás veľmi užitočné funkcie IF a RAND. RAND nevyžaduje hodnoty, len vytvára náhodné desatinné číslo medzi 0 a 1. Zvyčajne ho kombinujeme s FLOOR a plusmi a mínusmi, aby sme simulovali hod kockou, čo som už spomenul. V tomto prípade však ponechávame len 10% šancu, že karta opustí hru, takže môžeme len skontrolovať, či je hodnota RAND menšia ako 0,1 a už sa o to nestarať.
IF má tri významy. V poradí podmienka, ktorá je buď pravdivá alebo nie, potom hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka pravdivá, a hodnota, ktorá sa vráti, ak je podmienka nepravdivá. Takže nasledujúca funkcia vráti 5 % času a 0 ostatných 90 % času:
=IF(RAND()<0.1,5,0)
Existuje mnoho spôsobov, ako nastaviť tento príkaz, ale použil by som tento vzorec pre bunku, ktorá predstavuje prvé kolo, povedzme, že je to bunka A1:
IF(RAND()<0.1,0,-1)
Tu používam zápornú premennú, ktorá znamená „táto karta neopustila hru a zatiaľ neposkytla žiadne zdroje“. Ak sa teda prvé kolo skončilo a karta je mimo hry, A1 je 0; inak je -1.
Pre nasledujúcu bunku predstavujúcu druhé kolo:
IF(A1>-1; A1, IF(RAND()<0.1,5,-1))
Ak sa teda prvé kolo skončilo a karta okamžite opustila hru, A1 je 0 (počet zdrojov) a táto bunka túto hodnotu jednoducho skopíruje. V opačnom prípade je A1 -1 (karta ešte neopustila hru) a táto bunka sa naďalej náhodne pohybuje: 10% času vráti 5 jednotiek zdrojov, zvyšok času bude jej hodnota stále - 1. Ak použijeme tento vzorec na ďalšie bunky, získame ďalšie kolá a podľa toho, s ktorou bunkou skončíte, dostanete konečný výsledok (alebo -1, ak karta neopustila hru po všetkých odohraných kolách).
Vezmite tento rad buniek, čo je jediné kolo s touto kartou, a skopírujte a vložte niekoľko stoviek (alebo tisícov) riadkov. Možno sa nám to nepodarí nekonečné test pre Excel (v tabuľke je obmedzený počet buniek), ale aspoň dokážeme pokryť väčšinu prípadov. Potom vyberte jednu bunku, do ktorej vložíte priemer výsledkov všetkých kôl (Excel na to láskavo poskytuje funkciu AVERAGE()).
V systéme Windows môžete aspoň stlačením klávesu F9 prepočítať všetky náhodné čísla. Ako predtým, urobte to niekoľkokrát a zistite, či sú hodnoty, ktoré získate, rovnaké. Ak je rozptyl príliš veľký, zdvojnásobte počet cyklov a skúste to znova.
Nevyriešené problémy
Ak máte náhodou titul z pravdepodobnosti a vyššie uvedené problémy sa vám zdajú príliš jednoduché, tu sú dva problémy, nad ktorými som si lámal hlavu už roky, ale, bohužiaľ, nie som dobrý v matematike, aby som ich vyriešil. Ak zrazu poznáte riešenie, napíšte ho sem do komentárov, rád si ho prečítam.
Nevyriešený problém č. 1: LotériaMMF
Prvým nevyriešeným problémom je predchádzajúca domáca úloha. Môžem ľahko použiť metódu Monte Carlo (pomocou C++ alebo Excel) a byť si istý odpoveďou na otázku „koľko zdrojov hráč dostane“, ale neviem presne, ako presne matematicky poskytnúť presnú preukázateľnú odpoveď (toto je nekonečný rad). Ak poznáte odpoveď, napíšte ju sem... po tom, ako si ju Monte Carlo skontroluje, samozrejme.
Nevyriešený problém č. 2: Tvarové sekvencie
Túto úlohu (a opäť ďaleko presahuje úlohy riešené v tomto blogu) mi dal známy hráč pred viac ako 10 rokmi. Pri hraní blackjacku vo Vegas si všimol jednu zaujímavú vlastnosť: keď vytiahol karty z 8-balíkovej topánky, videl desať figúrky v rade (figúrka, resp. karta figúrky - 10, Žolík, Kráľ alebo Kráľovná, teda v štandardnom balíčku 52 kariet ich je 16, takže v topánke 416 kariet je ich 128). Aká je pravdepodobnosť, že v tejto obuvi najmenej jedna sekvencia desiatich alebo viac postavy? Predpokladajme, že boli zamiešané poctivo, v náhodnom poradí. (Alebo, ak chcete, aká je pravdepodobnosť, že nikde nenájdené sekvencia desiatich alebo viacerých číslic?)
Úlohu si môžeme zjednodušiť. Tu je sekvencia 416 častí. Každá časť je 0 alebo 1. V sekvencii je náhodne roztrúsených 128 jednotiek a 288 núl. Koľkými spôsobmi je možné náhodne preložiť 128 1 s 288 0 a koľkokrát bude týmto spôsobom existovať aspoň jedna skupina desiatich alebo viacerých jednotiek?
Zakaždým, keď som túto úlohu prijal, zdalo sa mi to ľahké a samozrejmé, no akonáhle som sa zahĺbil do detailov, zrazu sa to rozpadlo a zdalo sa mi to jednoducho nemožné. Neponáhľajte sa preto vysloviť odpoveď: sadnite si, dobre si premyslite, preštudujte si podmienky problému, skúste zapojiť reálne čísla, pretože všetci ľudia, s ktorými som o tomto probléme hovoril (vrátane niekoľkých postgraduálnych študentov pracujúcich v tejto oblasti) reagoval takmer rovnakým spôsobom: "Je to celkom zrejmé... oh nie, počkajte, vôbec to nie je zrejmé." Toto je presne ten prípad, pre ktorý nemám metódu na výpočet všetkých možností. Určite by som mohol brutálne vynútiť problém pomocou počítačového algoritmu, ale bolo by oveľa zaujímavejšie poznať matematický spôsob riešenia tohto problému.
Preklad - Y. Tkachenko, I. Mikheeva
