Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas doby, počas ktorej Achilles prebehne túto vzdialenosť, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.
Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vo vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.
Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzického hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomalí až úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.
Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.
Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:
Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, prebehne Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.
Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme ešte študovať, prehodnotiť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.
Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:
Letiaci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.
V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp v každom okamihu spočíva na rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z toho istého bodu v rôznych časových okamihoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov v priestore súčasne, ale nemôžete z nich určiť skutočnosť pohybu (prirodzene stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria). Chcem poukázať najmä na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú dve rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.
Streda 4. júla 2018
Veľmi dobre sú rozdiely medzi množinou a multimnožinou opísané vo Wikipédii. Pozeráme sa.
Ako vidíte, „súprava nemôže mať dva rovnaké prvky“, ale ak sú v súprave rovnaké prvky, takáto súprava sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto logiku absurdity. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, v ktorých myseľ chýba pri slove „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné myšlienky.
Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, počas skúšok mosta v člne pod mostom. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.
Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za frázu „pozor, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich nerozlučne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Aplikujme matematickú teóriu množín na samotných matematikov.
Učili sme sa veľmi dobre matematiku a teraz sedíme v pokladni a platíme mzdy. Tu si k nám príde matematik pre svoje peniaze. Spočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický platový set“. Vysvetlíme matematiku, že zvyšok účtov dostane až vtedy, keď preukáže, že množina bez identických prvkov sa nerovná množine s identickými prvkami. Tu začína zábava.
V prvom rade zafunguje poslanecká logika: "na ostatných to môžeš aplikovať, ale na mňa nie!" Ďalej sa začnú ubezpečovať, že na bankovkách rovnakej nominálnej hodnoty sú rôzne čísla bankoviek, čo znamená, že ich nemožno považovať za identické prvky. No plat počítame v minciach – na minciach nie sú čísla. Matematik tu bude horúčkovito spomínať na fyziku: rôzne mince majú rôzne množstvo nečistôt, kryštálová štruktúra a usporiadanie atómov pre každú mincu je jedinečné ...
A teraz mám najzaujímavejšiu otázku: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje - o všetkom rozhodujú šamani, veda tu nie je ani zďaleka.
Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plocha polí je rovnaká, čo znamená, že máme multiset. Ale ak vezmeme do úvahy názvy rovnakých štadiónov, dostaneme veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je zároveň množinou aj multimnožinou. Ako správne? A tu matematik-šaman-šuller vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.
Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.
Nedeľa 18. marca 2018
Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale na to sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.
Potrebujete dôkaz? Otvorte Wikipédiu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, pomocou ktorého by ste našli súčet číslic akéhokoľvek čísla. Čísla sú predsa grafické symboly, ktorými čísla píšeme a v reči matematiky znie úloha takto: „Nájdi súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém vyriešiť nedokážu, ale šamani to elementárne dokážu.
Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic daného čísla. Povedzme, že máme číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.
1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na číselný grafický symbol. Toto nie je matematická operácia.
2. Jeden prijatý obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich samostatné čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.
3. Preveďte jednotlivé grafické znaky na čísla. Toto nie je matematická operácia.
4. Výsledné čísla spočítajte. Teraz je to matematika.
Súčet číslic čísla 12345 je 15. Ide o „kurzy strihania a šitia“ od šamanov, ktoré používajú matematici. To však nie je všetko.
Z hľadiska matematiky je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych číselných sústavách bude súčet číslic toho istého čísla rôzny. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. Pri veľkom čísle 12345 si nechcem oklamať hlavu, zvážte číslo 26 z článku o. Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme zvažovať každý krok pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.
Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla odlišný. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to ako keby ste našli plochu obdĺžnika v metroch a centimetroch, čo by vám dalo úplne iné výsledky.
Nula vo všetkých číselných sústavách vyzerá rovnako a nemá žiadny súčet číslic. Toto je ďalší argument v prospech skutočnosti, že . Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje to, čo nie je číslo? Čo pre matematikov neexistuje nič iné ako čísla? Pre šamanov to môžem dovoliť, ale pre vedcov nie. Realita nie je len o číslach.
Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú po ich porovnaní k rôznym výsledkom, potom to nemá nič spoločné s matematikou.
Čo je skutočná matematika? Je to vtedy, keď výsledok matematickej akcie nezávisí od hodnoty čísla, použitej mernej jednotky a od toho, kto túto akciu vykoná.
Ou! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium neurčitej svätosti duší pri vzostupe do neba! Nimbus navrchu a šípka hore. Aký iný záchod?
Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole je muž.
Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát za deň,
Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:
Osobne sa na sebe snažím vidieť u kakajúceho človeka mínus štyri stupne (jeden obrázok) (zloženie viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A toto dievča nepovažujem za blázna, ktorý nepozná fyziku. Má len oblúkový stereotyp vnímania grafických obrazov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.
1A nie je "mínus štyri stupne" alebo "jeden a". Toto je „kakajúci muž“ alebo číslo „dvadsaťšesť“ v hexadecimálnej číselnej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.
Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Koncept NOC
Privedenie zlomkov k rovnakému menovateľovi
Ako sčítať celé číslo a zlomok
1 Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa rovnakého, napríklad:
Ak chcete odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi, odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechajte menovateľa rovnakého, napríklad:
Ak chcete pridať zmiešané frakcie, musíte oddelene pridať ich celé časti a potom pridať ich zlomkové časti a zapísať výsledok ako zmiešanú frakciu,
Ak sa pri sčítaní zlomkových častí získa nesprávny zlomok, vyberieme z neho celočíselnú časť a pripočítame ju k celočíselnej časti, napríklad:
2 Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Ak chcete sčítať alebo odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najskôr priviesť k rovnakému menovateľovi a potom postupovať tak, ako je uvedené na začiatku tohto článku. Spoločným menovateľom viacerých zlomkov je LCM (najmenší spoločný násobok). Pre čitateľa každého zo zlomkov sa ďalšie faktory nájdu vydelením LCM menovateľom tohto zlomku. Na príklad sa pozrieme neskôr, keď zistíme, čo je LCM.
3 Najmenší spoločný násobok (LCM)
Najmenší spoločný násobok dvoch čísel (LCM) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné oboma týmito číslami. Niekedy možno LCM nájsť ústne, ale častejšie, najmä pri práci s veľkými číslami, musíte LCM nájsť písomne pomocou nasledujúceho algoritmu:
Ak chcete nájsť LCM niekoľkých čísel, potrebujete:
- Rozložte tieto čísla na prvočísla
- Vezmite najväčšiu expanziu a zapíšte tieto čísla ako súčin
- Vyberte v ďalších rozšíreniach čísla, ktoré sa nevyskytujú v najväčšom rozšírení (alebo sa v ňom vyskytujú menejkrát), a pridajte ich k súčinu.
- Vynásobte všetky čísla v produkte, toto bude LCM.
Napríklad, nájdime LCM čísel 28 a 21:
4 Redukovanie zlomkov na rovnakého menovateľa
Vráťme sa k sčítaniu zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Keď zlomky zredukujeme na rovnakého menovateľa, ktorý sa rovná LCM oboch menovateľov, musíme vynásobiť čitateľov týchto zlomkov číslom dodatočné multiplikátory. Môžete ich nájsť vydelením LCM menovateľom zodpovedajúceho zlomku, napríklad:
Preto, aby ste zlomky priviedli k jednému indikátoru, musíte najprv nájsť LCM (t. j. najmenšie číslo, ktoré je deliteľné oboma menovateľmi) menovateľov týchto zlomkov a potom do čitateľov zlomkov vložiť ďalšie faktory. Nájdete ich vydelením spoločného menovateľa (LCD) menovateľom príslušného zlomku. Potom musíte vynásobiť čitateľa každého zlomku ďalším faktorom a ako menovateľa uviesť LCM.
5Ako sčítať celé číslo a zlomok
Ak chcete pridať celé číslo a zlomok, stačí pridať toto číslo pred zlomok a dostanete napríklad zmiešaný zlomok.
Uvažujme zlomok $\frac63$. Jeho hodnota je 2, pretože $\frac63 =6:3 = 2$. Čo sa stane, ak sa čitateľ a menovateľ vynásobia 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Je zrejmé, že hodnota zlomku sa nezmenila, takže $\frac(12)(6)$ sa tiež rovná 2 ako y. vynásobte čitateľa a menovateľa o 3 a získate $\frac(18)(9)$ alebo o 27 a získate $\frac(162)(81)$ alebo o 101 a získate $\frac(606)(303)$. V každom z týchto prípadov je hodnota zlomku, ktorý dostaneme delením čitateľa menovateľom, 2. To znamená, že sa nezmenila.
Rovnaký vzor je pozorovaný v prípade iných frakcií. Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(120)(60)$ (rovná sa 2) vydelí 2 (výsledok $\frac(60)(30)$) alebo 3 (výsledok $\ frac(40)(20) $), alebo o 4 (výsledok $\frac(30)(15)$) atď., potom v každom prípade zostane hodnota zlomku nezmenená a rovná sa 2.
Toto pravidlo platí aj pre zlomky, ktoré sa nerovnajú. celé číslo.
Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(1)(3)$ vynásobí 2, dostaneme $\frac(2)(6)$, teda hodnota zlomku sa nezmenila. A v skutočnosti, ak tortu rozdelíte na 3 časti a jednu z nich odoberiete, alebo ju rozdelíte na 6 častí a odoberiete 2 časti, dostanete v oboch prípadoch rovnaké množstvo koláča. Preto sú čísla $\frac(1)(3)$ a $\frac(2)(6)$ totožné. Sformulujme všeobecné pravidlo.
Čitateľ a menovateľ ľubovoľného zlomku možno vynásobiť alebo vydeliť rovnakým číslom a hodnota zlomku sa nemení.
Toto pravidlo je veľmi užitočné. Napríklad umožňuje v niektorých prípadoch, ale nie vždy, vyhnúť sa operáciám s veľkým počtom.
Napríklad, môžeme vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(126)(189)$ číslom 63 a dostaneme zlomok $\frac(2)(3)$, ktorý sa počíta oveľa jednoduchšie. Ešte jeden príklad. Čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(155)(31)$ môžeme vydeliť 31 a dostaneme zlomok $\frac(5)(1)$ alebo 5, keďže 5:1=5.
V tomto príklade sme sa prvýkrát stretli zlomok, ktorého menovateľ je 1. Takéto zlomky zohrávajú dôležitú úlohu vo výpočtoch. Malo by sa pamätať na to, že akékoľvek číslo možno deliť 1 a jeho hodnota sa nezmení. To znamená, že $\frac(273)(1)$ sa rovná 273; $\frac(509993)(1)$ sa rovná 509993 a tak ďalej. Preto nemusíme deliť čísla , pretože každé celé číslo môže byť reprezentované ako zlomok s menovateľom 1.
S takýmito zlomkami, ktorých menovateľ sa rovná 1, môžete vykonávať rovnaké aritmetické operácie ako so všetkými ostatnými zlomkami: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Možno sa pýtate, na čo slúži reprezentácia celého čísla ako zlomku, ktorý bude mať pod čiarou jednotku, pretože je pohodlnejšie pracovať s celým číslom. Faktom však je, že reprezentácia celého čísla ako zlomku nám dáva príležitosť vykonávať rôzne akcie efektívnejšie, keď sa zaoberáme celými aj zlomkovými číslami súčasne. Napríklad učiť sa pridať zlomky s rôznymi menovateľmi. Predpokladajme, že potrebujeme pridať $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(5)$.
Vieme, že môžete sčítať iba zlomky, ktorých menovatelia sa rovnajú. Musíme sa teda naučiť, ako priviesť zlomky do takejto formy, keď sú ich menovatelia rovnakí. V tomto prípade opäť potrebujeme skutočnosť, že môžete vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom bez toho, aby ste zmenili jeho hodnotu.
Najprv vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(1)(3)$ 5. Dostaneme $\frac(5)(15)$, hodnota zlomku sa nezmenila. Potom vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(1)(5)$ 3. Dostaneme $\frac(3)(15)$, opäť sa hodnota zlomku nezmenila. Preto $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Teraz sa pokúsime použiť tento systém na sčítanie čísel obsahujúcich celé číslo aj zlomkové časti.
Musíme pridať $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Najprv prevedieme všetky pojmy na zlomky a dostaneme: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Teraz musíme priviesť všetky zlomky k spoločnému menovateľovi, preto vynásobíme čitateľa a menovateľa prvého zlomku 12, druhého 4 a tretieho 3. Výsledkom je $\frac(36 )(12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$, čo sa rovná $\frac(55)(12)$. Ak sa chcete zbaviť nesprávny zlomok, možno ho premeniť na číslo pozostávajúce z celého čísla a zlomkovej časti: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ alebo $4\frac( 7) (12) $.
Všetky pravidlá, ktoré to umožňujú operácie so zlomkami, ktoré sme práve študovali, platia aj v prípade záporných čísel. Takže -1: 3 možno zapísať ako $\frac(-1)(3)$ a 1: (-3) ako $\frac(1)(-3)$.
Keďže delenie záporného čísla kladným číslom aj delenie kladného čísla záporným výsledkom v záporných číslach, v oboch prípadoch dostaneme odpoveď v tvare záporného čísla. Teda
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ alebo $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znamienko mínus, ak je napísané týmto spôsobom, sa vzťahuje na celý zlomok ako celok, a nie samostatne na čitateľa alebo menovateľa.
Na druhej strane, (-1) : (-3) možno zapísať ako $\frac(-1)(-3)$, a keďže delenie záporného čísla záporným číslom dáva kladné číslo, potom $\frac (-1 )(-3)$ možno zapísať ako $+\frac(1)(3)$.
Sčítanie a odčítanie negatívnych zlomkov sa vykonáva rovnakým spôsobom ako sčítanie a odčítanie pozitívnych zlomkov. Napríklad, čo je $ 1-1\frac13$? Predstavme obe čísla ako zlomky a získajme $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Zredukujeme zlomky na spoločného menovateľa a získame $\frac(1 \krát 3)(1 \krát 3)-\frac(4)(3)$, t.j. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ alebo $-\frac(1)(3)$.
Ako viete z matematiky, zlomkové číslo sa skladá z čitateľa a menovateľa. Čitateľ je hore a menovateľ dole.
Je celkom jednoduché vykonávať matematické operácie sčítania alebo odčítania zlomkových veličín s rovnakým menovateľom. Stačí byť schopný sčítať alebo odčítať čísla v čitateli (hore) a rovnaké spodné číslo zostane nezmenené.
Zoberme si napríklad zlomkové číslo 7/9:
- číslo „sedem“ navrchu je čitateľ;
- číslo „deväť“ nižšie je menovateľom.
Príklad 1. Doplnenie:
5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.
Príklad 2. Odčítanie:
6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.
Odčítanie jednoduchých zlomkových hodnôt, ktoré majú iného menovateľa
Ak chcete vykonať matematickú operáciu na odčítanie hodnôt, ktoré majú iného menovateľa, musíte ich najprv priviesť k spoločnému menovateľovi. Pri plnení tejto úlohy je potrebné dodržať pravidlo, že tento spoločný menovateľ musí byť najmenší zo všetkých možných možností.
Príklad 3
Dané dve jednoduché veličiny s rôznymi menovateľmi (nižšie čísla): 7/8 a 2/9.
Odpočítajte druhú od prvej hodnoty.
Riešenie pozostáva z niekoľkých krokov:
1. Nájdite spoločné nižšie číslo, t.j. to, čo je deliteľné nižšou hodnotou prvého zlomku aj druhého. Toto bude číslo 72, keďže ide o násobok čísel „osem“ a „deväť“.
2. Spodná číslica každého zlomku sa zvýšila:
- číslo "osem" v zlomku 7/8 sa zvýšilo deväťkrát - 8*9=72;
- číslo "deväť" v zlomku 2/9 sa zvýšilo osemkrát - 9*8=72.
3. Ak sa zmenil menovateľ (dolné číslo), musí sa zmeniť aj čitateľ (horné číslo). Podľa existujúceho matematického pravidla musí byť horná číslica zvýšená presne o rovnakú hodnotu ako dolná. To je:
- čitateľ "sedem" v prvom zlomku (7/8) sa vynásobí číslom "deväť" - 7*9=63;
- čitateľ "dva" v druhom zlomku (2/9) sa vynásobí číslom "osem" - 2*8=16.
4. Výsledkom akcií sme získali dve nové hodnoty, ktoré sú však totožné s pôvodnými.
- prvý: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
- sekunda: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.
5. Teraz je dovolené odčítať jedno zlomkové číslo od druhého:
7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?
6. Vykonaním tejto akcie sa vrátime k téme odčítania zlomkov s rovnakými nižšími číslami (menovateľmi). A to znamená, že akcia odčítania sa vykoná zhora v čitateli a nižšia hodnota sa prenesie bez zmien.
63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.
7/8−2/9 = 47/72.
Príklad 4
Skomplikujme problém tak, že na vyriešenie vezmeme niekoľko zlomkov s rôznymi, ale viacerými číslicami naspodku.
Uvedené hodnoty: 5/6; 1/3; 1/12; 24. 7.
V tomto poradí musia byť od seba odobraté.
1. Zlomky uvedeným spôsobom privedieme k spoločnému menovateľovi, ktorým bude číslo „24“:
- 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
- 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
- 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.
7/24 - túto poslednú hodnotu necháme nezmenenú, keďže menovateľom je celkové číslo "24".
2. Odčítajte všetky hodnoty:
20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.
3. Keďže čitateľ a menovateľ výsledného zlomku sú deliteľné jedným číslom, možno ich zmenšiť delením číslom „tri“:
3:3 / 24:3 = 1/8.
4. Odpoveď zapíšeme takto:
5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.
Príklad 5
Dané tri zlomky s nie viacnásobným menovateľom: 3/4; 2/7; 1/13.
Treba nájsť rozdiel.
1. Prvé dve čísla privedieme k spoločnému menovateľovi, bude to číslo „28“:
- ¾ \u003d 3 * 7 / 4 * 7 \u003d 21/28;
- 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.
2. Odčítajte prvé dva zlomky medzi sebou:
¾-2/7 = 21/28-8/28 = (21-8) / 28 = 13/28.
3. Od výslednej hodnoty odčítajte tretí daný zlomok:
4. Čísla privedieme na spoločného menovateľa. Ak nie je možné zvoliť rovnakého menovateľa jednoduchším spôsobom, potom stačí vykonať kroky vynásobením všetkých menovateľov v sérii navzájom, pričom nezabudnite zvýšiť hodnotu čitateľa o rovnaké číslo. V tomto príklade urobíme toto:
- 13/28 \u003d 13 * 13/28 * 13 \u003d 169/364, kde 13 je spodná číslica od 5/13;
- 5/13 \u003d 5 * 28 / 13 * 28 \u003d 140/364, kde 28 je spodná číslica od 13/28.
5. Odčítajte výsledné zlomky:
13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.
Odpoveď: ¾-2/7-5/13 = 29/364.
Zmiešané zlomkové čísla
Vo vyššie diskutovaných príkladoch boli použité iba správne frakcie.
Ako príklad:
- 8/9 je správny zlomok;
- 9/8 je nesprávne.
Nevlastný zlomok je nemožné premeniť na riadny zlomok, ale je možné ho premeniť zmiešané. Prečo je horné číslo (čitateľ) delené spodným číslom (menovateľ), aby sme dostali číslo so zvyškom. Celé číslo vyplývajúce z delenia sa zapíše takto, zvyšok sa zapíše do čitateľa hore a menovateľ, ktorý je dole, zostane rovnaký. Aby to bolo jasnejšie, zvážte konkrétny príklad:
Príklad 6
Nevlastný zlomok 9/8 prevedieme na správny.
Aby sme to dosiahli, rozdelíme číslo „deväť“ na „osem“, v dôsledku čoho dostaneme zmiešaný zlomok s celým číslom a zvyškom:
9: 8 = 1 a 1/8 (iným spôsobom sa dá zapísať ako 1 + 1/8), kde:
- číslo 1 je celé číslo vyplývajúce z delenia;
- ďalšie číslo 1 - zvyšok;
- číslo 8 je menovateľ, ktorý zostal nezmenený.
Celé číslo sa nazýva aj prirodzené číslo.
Zvyšok a menovateľ sú novým, ale už správnym zlomkom.
Pri písaní čísla 1 sa píše pred správny zlomok 1/8.
Odčítanie zmiešaných čísel s rôznymi menovateľmi
Z vyššie uvedeného uvádzame definíciu zmiešaného zlomkového čísla: „Zmiešané číslo - ide o hodnotu, ktorá sa rovná súčtu celého čísla a riadneho obyčajného zlomku. V tomto prípade sa nazýva celá časť prirodzené číslo, a číslo, ktoré je vo zvyšku, je jeho zlomková časť».
Príklad 7
Dané: dve zmiešané zlomkové množstvá pozostávajúce z celého čísla a vlastného zlomku:
- prvá hodnota je 9 a 4/7, teda (9 + 4/7);
- druhá hodnota je 3 a 5/21, teda (3+5/21).
Je potrebné nájsť rozdiel medzi týmito hodnotami.
1. Ak chcete odpočítať 3+5/21 od 9+4/7, musíte najprv navzájom odpočítať celočíselné hodnoty:
4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.
3. Výsledok rozdielu dvoch zmiešaných čísel bude pozostávať z prirodzeného (celého) čísla 6 a vlastného zlomku 7/21 = 1/3:
(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.
Matematici všetkých krajín sa zhodli, že znamienko „+“ pri písaní zmiešaných veličín možno vynechať a ponechať len celé číslo pred zlomkom bez znamienka.
Obyčajné zlomkové čísla sa prvýkrát stretávajú so školákmi v 5. ročníku a sprevádzajú ich po celý život, pretože v každodennom živote je často potrebné zvážiť alebo použiť nejaký predmet nie úplne, ale oddelene. Začiatok štúdia tejto témy - zdieľanie. Akcie sú rovnaké diely do ktorých je objekt rozdelený. Koniec koncov, nie je vždy možné vyjadriť napríklad dĺžku alebo cenu produktu ako celé číslo, treba brať do úvahy časti alebo podiely akejkoľvek miery. Slovo "zlomok" sa v ruštine objavilo v 8. storočí zo slovesa "rozdrviť" - rozdeliť na časti a má arabské korene.
Zlomkové výrazy sa dlho považovali za najťažšiu časť matematiky. V 17. storočí, keď sa objavili prvé učebnice matematiky, sa im hovorilo „lomené čísla“, čo bolo veľmi ťažké zobraziť v chápaní ľudí.
Modernú formu jednoduchých frakčných zvyškov, ktorých časti sú presne oddelené vodorovnou čiarou, prvýkrát presadil Fibonacci - Leonardo z Pisy. Jeho spisy pochádzajú z roku 1202. Účelom tohto článku je však jednoducho a jasne vysvetliť čitateľovi, ako dochádza k násobeniu zmiešaných zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Spočiatku je potrebné určiť odrody frakcií:
- správne;
- nesprávne;
- zmiešané.
Ďalej si musíte pamätať, ako sa násobia zlomkové čísla s rovnakými menovateľmi. Samotné pravidlo tohto procesu sa dá ľahko formulovať nezávisle: výsledkom násobenia jednoduchých zlomkov s rovnakými menovateľmi je zlomkový výraz, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov týchto zlomkov. . To znamená, že v skutočnosti je novým menovateľom druhá mocnina jedného z existujúcich.
Pri násobení jednoduché zlomky s rôznymi menovateľmi pre dva alebo viac faktorov sa pravidlo nemení:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Jediný rozdiel je v tom, že utvorené číslo pod zlomkovou čiarou bude súčinom rôznych čísel a, samozrejme, nemožno ho nazvať druhou mocninou jedného číselného výrazu.
Stojí za to zvážiť násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi pomocou príkladov:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Príklady používajú spôsoby redukcie zlomkových výrazov. Číslami menovateľa môžete zmenšiť iba čísla čitateľa, susediace faktory nad alebo pod zlomkovou čiarou nie je možné zmenšiť.
Spolu s jednoduchými zlomkovými číslami existuje aj koncept zmiešaných zlomkov. Zmiešané číslo pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti, to znamená, že je to súčet týchto čísel:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Ako funguje násobenie?
Na zváženie je uvedených niekoľko príkladov.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Príklad používa násobenie čísla číslom obyčajná zlomková časť, pravidlo pre túto akciu môžete zapísať podľa vzorca:
a* b/c = a*b /c.
V skutočnosti je takýto súčin súčtom rovnakých zlomkových zvyškov a počet členov označuje toto prirodzené číslo. Špeciálny prípad:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Existuje ďalšia možnosť riešenia násobenia čísla zlomkovým zvyškom. Stačí vydeliť menovateľa týmto číslom:
d* e/f = e/f: d.
Je užitočné použiť túto techniku, keď je menovateľ delený prirodzeným číslom bezo zvyšku alebo, ako sa hovorí, úplne.
Preveďte zmiešané čísla na nesprávne zlomky a získajte produkt vyššie opísaným spôsobom:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Tento príklad zahŕňa spôsob, ako reprezentovať zmiešaný zlomok ako nesprávny zlomok, môže byť tiež reprezentovaný ako všeobecný vzorec:
a bc = a*b+ c / c, kde menovateľ nového zlomku vznikne vynásobením celočíselnej časti menovateľom a jeho pripočítaním k čitateľovi pôvodného zlomkového zvyšku, pričom menovateľ zostáva rovnaký.
Tento proces funguje aj opačne. Ak chcete vybrať časť celého čísla a zlomkový zvyšok, musíte rozdeliť čitateľa nesprávneho zlomku jeho menovateľom pomocou „rohu“.
Násobenie nesprávnych zlomkov vyrábané bežným spôsobom. Keď sa záznam dostane pod jednu zlomkovú čiaru, ak je to potrebné, musíte zlomky zmenšiť, aby ste znížili čísla pomocou tejto metódy a je jednoduchšie vypočítať výsledok.
Na internete je množstvo pomocníkov na riešenie aj zložitých matematických úloh v rôznych programových variáciách. Dostatočný počet takýchto služieb ponúka svoju pomoc pri výpočte násobenia zlomkov s rôznymi číslami v menovateľoch – takzvané online kalkulačky na počítanie zlomkov. Sú schopní nielen násobiť, ale aj vykonávať všetky ostatné jednoduché aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami. Nie je ťažké s ním pracovať, príslušné polia sú vyplnené na stránke webu, vyberie sa znamienko matematickej akcie a stlačí sa „vypočítať“. Program počíta automaticky.
Téma aritmetických operácií so zlomkovými číslami je aktuálna počas celého vzdelávania žiakov stredných a vysokých škôl. Na strednej škole už neuvažujú nad najjednoduchším druhom, ale celočíselné zlomkové výrazy, ale znalosti pravidiel pre transformáciu a výpočty, získané skôr, sa uplatňujú v pôvodnej podobe. Dobre naučené základné vedomosti dávajú plnú dôveru v úspešné riešenie najzložitejších úloh.
Na záver má zmysel citovať slová Leva Tolstého, ktorý napísal: „Človek je zlomok. Nie je v silách človeka zväčšovať svojho čitateľa – svoje zásluhy, ale ktokoľvek môže svojho menovateľa – svoj názor na seba zmenšiť, a týmto zmenšením sa priblížiť k svojej dokonalosti.
