Autorov prístup k tejto téme nie je náhodný. S rovnicami s dvoma premennými sa prvýkrát stretávame v kurze 7. ročníka. Jedna rovnica s dvoma premennými má nekonečný počet riešení. Toto je jasne demonštrované grafom lineárnej funkcie danej ako ax + by=c. V školskom kurze študenti študujú sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými. Výsledkom je, že zo zorného poľa učiteľa, a teda aj žiaka, vypadáva celý rad problémov s obmedzenými podmienkami na koeficient rovnice, ako aj spôsoby ich riešenia.

Hovoríme o riešení rovnice s dvoma neznámymi v celých alebo prirodzených číslach.

V škole sa prirodzené a celé čísla učia v ročníkoch 4-6. V čase, keď odídu zo školy, nie všetci študenti si pamätajú rozdiely medzi súbormi týchto čísel.

Úloha ako „vyriešiť rovnicu v tvare ax + by=c v celých číslach“ je však čoraz bežnejšia pri prijímacích skúškach na univerzitu a v materiáloch USE.

Riešenie neurčitých rovníc rozvíja logické myslenie, vynaliezavosť a pozornosť analyzovať.

Navrhujem vypracovať niekoľko lekcií na túto tému. Nemám jasné odporúčania týkajúce sa načasovania týchto lekcií. Samostatné prvky sa môžu používať v 7. ročníku (pre silnú triedu). Tieto lekcie možno brať ako základ a vypracovať malý voliteľný kurz o predprofilovej príprave v 9. ročníku. A, samozrejme, tento materiál možno použiť v ročníkoch 10-11 na prípravu na skúšky.

Účel lekcie:

• zopakovanie a zovšeobecnenie vedomostí na tému „Rovnice prvého a druhého rádu“
• vzdelávanie kognitívneho záujmu o predmet
• formovanie zručností na analýzu, zovšeobecňovanie, prenos vedomostí do novej situácie

Lekcia 1.

Počas vyučovania.

1) Org. moment.

2) Aktualizácia základných poznatkov.

Definícia. Lineárna rovnica s dvoma premennými je rovnica tvaru

mx + ny = k, kde m, n, k sú čísla, x, y sú premenné.

Príklad: 5x+2y=10

Definícia. Riešením rovnice s dvoma premennými je dvojica hodnôt premenných, ktorá mení túto rovnicu na skutočnú rovnosť.

Rovnice s dvoma premennými s rovnakým riešením sa nazývajú ekvivalentné.

1,5x+2y=12 (2)y=-2,5x+6

Táto rovnica môže mať ľubovoľný počet riešení. Na to stačí vziať ľubovoľnú hodnotu x a nájsť zodpovedajúcu hodnotu y.

Nech x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 = - 4

Dvojice čísel (2;1); (4;-4) - riešenia rovnice (1).

Táto rovnica má nekonečne veľa riešení.

3) Historické pozadie

Neurčité (diofantínové) rovnice sú rovnice obsahujúce viac ako jednu premennú.

V III storočí. AD – Diophantus Alexandrijský napísal „Aritmetiku“, v ktorej rozšíril množinu čísel na racionálne, zaviedol algebraickú symboliku.

Diophantus tiež uvažoval o problémoch riešenia neurčitých rovníc a dal metódy na riešenie neurčitých rovníc druhého a tretieho stupňa.

4) Učenie sa nového materiálu.

Definícia: Nehomogénna diofantická rovnica prvého rádu s dvoma neznámymi x, y je rovnica tvaru mx + ny = k, kde m, n, k, x, y Z k0

Vyhlásenie 1.

Ak voľný člen k v rovnici (1) nie je deliteľný najväčším spoločným deliteľom (GCD) čísel m a n, potom rovnica (1) nemá celočíselné riešenia.

Príklad: 34x – 17r = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 nie je deliteľné 17, neexistuje riešenie v celých číslach.

Nech k je deliteľné gcd(m, n). Vydelením všetkých koeficientov sa dá dosiahnuť, že m a n sa stanú coprime.

Vyhlásenie 2.

Ak m a n rovnice (1) sú prvočísla, potom táto rovnica má aspoň jedno riešenie.

Vyhlásenie 3.

Ak sú koeficienty m a n rovnice (1) relatívne prvočísla, potom táto rovnica má nekonečne veľa riešení:

Kde (; ) je ľubovoľné riešenie rovnice (1), t Z

Definícia. Homogénna diofantická rovnica prvého rádu s dvoma neznámymi x, y je rovnica tvaru mx + ny = 0, kde (2)

Vyhlásenie 4.

Ak sú m a n relatívne prvočísla, potom každé riešenie rovnice (2) má tvar

5) Domáce úlohy. Vyriešte rovnicu v celých číslach:

1. 9x - 18r = 5
2. x+y=xy
3. Niekoľko detí zbieralo jablká. Každý chlapec nazbieral 21 kg a dievča 15 kg. Celkovo nazbierali 174 kg. Koľko chlapcov a koľko dievčat zbieralo jablká?

Komentujte. Táto lekcia neposkytuje príklady riešenia rovníc v celých číslach. Preto deti riešia domácu úlohu na základe tvrdenia 1 a výberu.

2. lekcia

1) Organizačný moment

2) Kontrola domácich úloh

1) 9x - 18r = 5

5 nie je deliteľné 9, neexistujú žiadne riešenia v celých číslach.

Spôsob výberu môže nájsť riešenie

Odpoveď: (0;0), (2;2)

3) Urobme rovnicu:

Nech chlapci x, x Z a dievčatá y, y Z, potom môžeme napísať rovnicu 21x + 15y = 174

Mnoho študentov, ktorí vytvorili rovnicu, ju nebude vedieť vyriešiť.

Odpoveď: 4 chlapci, 6 dievčat.

3) Učenie sa nového materiálu

Tvárou v tvár ťažkostiam pri robení domácich úloh sa študenti presvedčili, že je potrebné študovať ich metódy na riešenie neurčitých rovníc. Uvažujme o niektorých z nich.

I. Spôsob posudzovania zvyškov z delenia.

Príklad. Riešte rovnicu v celých číslach 3x – 4y = 1.

Ľavá strana rovnice je deliteľná 3, preto musí byť deliteľná aj pravá strana. Zoberme si tri prípady.

Odpoveď: kde m Z.

Opísaná metóda je vhodná na použitie, ak čísla m a n nie sú malé, ale rozkladajú sa na jednoduché faktory.

Príklad: Riešte rovnice v celých číslach.

Nech y = 4n, potom 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) je deliteľné 4.

y = 4n+1, potom 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 1) = 16 - 28n - 7 = 9 - 28n nie je deliteľné 4.

y = 4n+2, potom 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 2) = 16 - 28n - 14 = 2 - 28n nie je deliteľné 4.

y = 4n+3, potom 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 3) = 16 - 28n - 21 = -5 - 28n nie je deliteľné 4.

Preto y = 4n

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Odpoveď: , kde n Z.

II. Neurčité rovnice 2. stupňa

Dnes sa v lekcii dotkneme len riešenia diofantických rovníc druhého rádu.

A zo všetkých typov rovníc zvážte prípad, keď môžete použiť vzorec rozdielu štvorcov alebo iný spôsob faktoringu.

Príklad: Riešte rovnicu v celých číslach.

13 je prvočíslo, takže ho možno rozdeliť iba štyrmi spôsobmi: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1) (-13) = (-13) (-1)

Zvážte tieto prípady

Odpoveď: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Domáce úlohy.

Príklady. Vyriešte rovnicu v celých číslach:

(x - y) (x + y) = 4

2x=4	2x=5	2x=5
x=2	x = 5/2	x = 5/2
y=0	nevhodný	nevhodný
2x = -4	nevhodný	nevhodný
x = -2
y=0

Odpoveď: (-2;0), (2;0).

Odpovede: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) (10;-9).

v)

Odpoveď: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Výsledky. Čo to znamená riešiť rovnicu v celých číslach?

Aké metódy riešenia neurčitých rovníc poznáte?

Aplikácia:

Cvičenia na tréning.

1) Riešte v celých číslach.

a) 8x + 12r = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5r = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7r = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2 m, y = 4 + 9 m, m Z
e) 9x - 11r = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, nZ
f) 7x - 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, nZ
g) 19x - 5r = 119	x = 1 + 5 p, y = -20 + 19 p, p Z
h) 28x - 40r = 60	x = 45 + 10 t, y = 30 + 7 t, t Z

2) Nájdite celočíselné nezáporné riešenia rovnice.

Rovnosť f(x; y) = 0 predstavuje rovnicu s dvoma premennými. Riešením takejto rovnice je pár premenných hodnôt, ktoré menia rovnicu dvoch premenných na skutočnú rovnosť.

Ak máme rovnicu s dvoma premennými, potom v jej zázname musíme podľa tradície dať na prvé miesto x a na druhé y.

Zvážte rovnicu x - 3y \u003d 10. Dvojice (10; 0), (16; 2), (-2; -4) sú riešeniami uvažovanej rovnice, zatiaľ čo dvojica (1; 5) nie je riešením .

Na nájdenie ďalších párov riešení tejto rovnice je potrebné vyjadriť jednu premennú pomocou druhej - napríklad x až y. V dôsledku toho dostaneme rovnicu
x = 10 + 3 roky. Vypočítajte hodnoty x výberom ľubovoľných hodnôt y.

Ak y \u003d 7, potom x \u003d 10 + 3 ∙ 7 \u003d 10 + 21 \u003d 31.

Ak y \u003d -2, potom x \u003d 10 + 3 ∙ (-2) \u003d 10 - 6 \u003d 4.

Riešeniami danej rovnice sú teda aj dvojice (31; 7), (4; -2).

Ak majú rovnice s dvoma premennými rovnaké korene, potom sa takéto rovnice nazývajú ekvivalentné.

Pre rovnice s dvoma premennými platia vety o ekvivalentných transformáciách rovníc.

Zoberme si graf rovnice s dvoma premennými.

Nech je daná rovnica s dvoma premennými f(x; y) = 0. Všetky jej riešenia môžu byť reprezentované bodmi na súradnicovej rovine, čím sa získa určitá množina bodov roviny. Táto množina bodov v rovine sa nazýva graf rovnice f(x; y) = 0.

Takže graf rovnice y - x 2 \u003d 0 je parabola y \u003d x 2; graf rovnice y - x \u003d 0 je priamka; graf rovnice y - 3 \u003d 0 je priamka rovnobežná s osou x atď.

Rovnica v tvare ax + by = c, kde x a y sú premenné a a, b a c sú čísla, sa nazýva lineárna; čísla a, b sa nazývajú koeficienty premenných, c je voľný člen.

Graf lineárnej rovnice ax + by = c je:

Zostrojme rovnicu 2x - 3y = -6.

1. Pretože žiadny z koeficientov pre premenné sa nerovná nule, potom bude graf tejto rovnice priamka.

2. Na zostavenie priamky potrebujeme poznať aspoň dva jej body. Dosaďte hodnoty x do rovníc a získajte hodnoty y a naopak:

ak x = 0, potom y = 2; (0 ∙ x - 3 roky \u003d -6);

ak y \u003d 0, potom x \u003d -3; (2x - 3 ∙ 0 \u003d -6).

Získali sme teda dva body grafu: (0; 2) a (-3; 0).

3. Získanými bodmi nakreslíme priamku a získame graf rovnice
2x - 3 roky \u003d -6.

Ak má lineárna rovnica ax + by = c tvar 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, potom musíme zvážiť dva prípady:

1. c \u003d 0. V tomto prípade vyhovuje rovnici ktorýkoľvek pár (x; y), a preto je grafom rovnice celá súradnicová rovina;

2. c ≠ 0. V tomto prípade rovnica nemá riešenie, čo znamená, že jej graf neobsahuje jediný bod.

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy a metódy sčítania.

Program dáva nielen odpoveď na problém, ale poskytuje aj podrobné riešenie s vysvetlením krokov riešenia dvoma spôsobmi: substitučnou metódou a metódou sčítania.

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, pre rodičov na ovládanie riešenia mnohých úloh z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Týmto spôsobom môžete viesť svoje vlastné školenia a/alebo školenia vašich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.

Pravidlá pre zadávanie rovníc

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atď.

Pri zadávaní rovníc môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa rovnice najskôr zjednodušia. Rovnice po zjednodušeniach musia byť lineárne, t.j. tvaru ax+by+c=0 s presnosťou poradia prvkov.
Napríklad: 6x+1 = 5(x+y)+2

V rovniciach môžete použiť nielen celé čísla, ale aj zlomkové čísla vo forme desatinných a obyčajných zlomkov.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch možno oddeliť buď bodkou alebo čiarkou.
Napríklad: 2,1n + 3,5m = 55

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.
Menovateľ nemôže byť záporný.
Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Časť celého čísla je oddelená od zlomku znakom ampersand: &

Príklady.
-1&2/3r + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Vyriešte sústavu rovníc

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

V prehliadači máte vypnutý JavaScript.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Riešenie sústav lineárnych rovníc. Substitučná metóda

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc substitučnou metódou:
1) vyjadriť jednu premennú z niektorej rovnice systému z hľadiska inej;
2) nahradiť výsledný výraz v inej rovnici systému namiesto tejto premennej;

$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Vyjadrime z prvej rovnice y až x: y = 7-3x. Dosadením výrazu 7-3x namiesto y do druhej rovnice dostaneme systém:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Je ľahké ukázať, že prvý a druhý systém majú rovnaké riešenia. V druhom systéme obsahuje druhá rovnica iba jednu premennú. Poďme vyriešiť túto rovnicu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Šípka doprava -5x+14-6x=3 \Šípka doprava -11x=-11 \Šípka doprava x=1 $$

Dosadením čísla 1 namiesto x do rovnice y=7-3x nájdeme zodpovedajúcu hodnotu y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Šípka doprava y=4 $$

Dvojica (1;4) - riešenie sústavy

Nazývame sústavy rovníc v dvoch premenných, ktoré majú rovnaké riešenia ekvivalent. Za ekvivalentné sa považujú aj systémy, ktoré nemajú riešenia.

Riešenie sústav lineárnych rovníc sčítaním

Zvážte iný spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc - metódu sčítania. Pri takomto riešení sústav, ako aj pri riešení substitučnou metódou prechádzame z danej sústavy do inej jemu ekvivalentnej sústavy, v ktorej jedna z rovníc obsahuje len jednu premennú.

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc metódou sčítania:
1) vynásobte rovnice systémového člena členmi, pričom vyberte faktory tak, aby sa koeficienty pre jednu z premenných stali opačnými číslami;
2) pridajte člen po člene ľavú a pravú časť rovníc systému;
3) vyriešiť výslednú rovnicu s jednou premennou;
4) nájdite zodpovedajúcu hodnotu druhej premennej.

Príklad. Poďme vyriešiť sústavu rovníc:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

V rovniciach tohto systému sú koeficienty y opačné čísla. Sčítaním členov po členoch ľavej a pravej časti rovníc dostaneme rovnicu s jednou premennou 3x=33. Jednu z rovníc sústavy, napríklad prvú, nahraďme rovnicou 3x=33. Zoberme si systém
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

Z rovnice 3x=33 zistíme, že x=11. Dosadením tejto hodnoty x do rovnice \(x-3y=38 \) dostaneme rovnicu s premennou y: \(11-3y=38 \). Poďme vyriešiť túto rovnicu:
\(-3y=27 \šípka doprava y=-9 \)

Riešenie systému rovníc sme teda našli pridaním: \(x=11; y=-9 \) alebo \((11; -9) \)

Využijúc fakt, že koeficienty y v rovniciach sústavy sú opačné čísla, zredukovali sme jej riešenie na riešenie ekvivalentnej sústavy (sčítaním oboch častí každej z rovníc pôvodnej symme), v ktorej jedna rovníc obsahuje iba jednu premennú.

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a OGE testy online Hry, hádanky Zostrojovanie grafov funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Adresár ruských škôl Katalóg stredných škôl v Rusku Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh

V kurze matematiky 7. ročníka sa najskôr stretávajú s rovnice s dvoma premennými, ale skúmajú sa len v kontexte sústav rovníc s dvoma neznámymi. To je dôvod, prečo množstvo problémov vypadáva z dohľadu, v ktorých sú na koeficienty rovnice zavedené určité podmienky, ktoré ich obmedzujú. Okrem toho sa ignorujú aj metódy na riešenie problémov ako „Vyriešte rovnicu v prirodzených alebo celých číslach“, hoci s problémami tohto druhu sa stretávame čoraz častejšie v materiáloch USE a na prijímacích skúškach.

Ktorá rovnica sa bude nazývať rovnica s dvoma premennými?

Takže napríklad rovnice 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 alebo xy = 12 sú rovnice s dvoma premennými.

Zvážte rovnicu 2x - y = 1. Premení sa na skutočnú rovnosť pri x = 2 a y = 3, takže táto dvojica premenných hodnôt je riešením uvažovanej rovnice.

Riešením akejkoľvek rovnice s dvoma premennými je teda množina usporiadaných párov (x; y), hodnôt premenných, ktoré táto rovnica premení na skutočnú číselnú rovnosť.

Rovnica s dvoma neznámymi môže:

a) mať jedno riešenie. Napríklad rovnica x 2 + 5y 2 = 0 má jedinečné riešenie (0; 0);

b) mať viacero riešení. Napríklad (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 má 4 riešenia: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

v) nemať riešenia. Napríklad rovnica x 2 + y 2 + 1 = 0 nemá riešenia;

G) má nekonečne veľa riešení. Napríklad x + y = 3. Riešeniami tejto rovnice budú čísla, ktorých súčet je 3. Množinu riešení tejto rovnice môžeme zapísať ako (k; 3 - k), kde k je ľubovoľné reálne číslo.

Hlavnými metódami riešenia rovníc s dvoma premennými sú metódy založené na faktoringových výrazoch, zvýrazňovaní celého štvorca, využívaní vlastností kvadratickej rovnice, ohraničených výrazov a vyhodnocovacích metód. Rovnica sa spravidla prevedie do tvaru, z ktorého možno získať systém na hľadanie neznámych.

Faktorizácia

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: xy - 2 = 2x - y.

rozhodnutie.

Na účely faktoringu zoskupujeme pojmy:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Vyberte spoločný faktor z každej zátvorky:

y(x + 1) – 2 (x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Máme:

y = 2, x je ľubovoľné reálne číslo alebo x = -1, y je ľubovoľné reálne číslo.

teda odpoveďou sú všetky dvojice v tvare (x; 2), x € R a (-1; y), y € R.

Rovnosť nezáporných čísel s nulou

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

rozhodnutie.

Zoskupenie:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Teraz je možné zbaliť každú zátvorku pomocou vzorca štvorcového rozdielu.

(3x - 2) 2 + (2 roky - 3) 2 = 0.

Súčet dvoch nezáporných výrazov je nula, len ak 3x - 2 = 0 a 2y - 3 = 0.

Takže x = 2/3 a y = 3/2.

Odpoveď: (2/3; 3/2).

Metóda hodnotenia

Príklad 3

Vyriešte rovnicu: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

rozhodnutie.

V každej zátvorke vyberte celý štvorec:

((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Odhad význam výrazov v zátvorkách.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 a (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, potom je ľavá strana rovnice vždy aspoň 2. Rovnosť je možná, ak:

(x + 1) 2 + 1 = 1 a (y - 2) 2 + 2 = 2, teda x = -1, y = 2.

Odpoveď: (-1; 2).

Zoznámime sa s ďalšou metódou riešenia rovníc s dvoma premennými druhého stupňa. Táto metóda spočíva v tom, že rovnica sa považuje za štvorec vzhľadom na nejakú premennú.

Príklad 4

Vyriešte rovnicu: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

rozhodnutie.

Riešime rovnicu ako kvadratickú vzhľadom na x. Poďme nájsť diskriminant:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2. Rovnica bude mať riešenie len vtedy, keď D = 0, teda ak y = 4. Do pôvodnej rovnice dosadíme hodnotu y a zistíme, že x = 3.

Odpoveď: (3; 4).

Často v rovniciach s dvoma neznámymi naznač obmedzenia premenných.

Príklad 5

Riešte rovnicu v celých číslach: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

rozhodnutie.

Prepíšme rovnicu v tvare x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Pravá strana výslednej rovnice po delení 5 dáva zvyšok 2. Preto x 2 nie je deliteľné 5. Ale štvorec čísla, ktoré nie je deliteľné 5, dáva zvyšok 1 alebo 4. Rovnosť teda nie je možná a neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 6

Vyriešte rovnicu: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

rozhodnutie.

Vyberme celé štvorce v každej zátvorke:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ľavá strana rovnice je vždy väčšia alebo rovná 3. Rovnosť je možná, ak |x| – 2 = 0 a y + 3 = 0. Teda x = ± 2, y = -3.

Odpoveď: (2; -3) a (-2; -3).

Príklad 7

Pre každý pár záporných celých čísel (x; y), ktoré spĺňajú rovnicu
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, vypočítajte súčet (x + y). Odpovedzte na najmenšie množstvo.

rozhodnutie.

Vyberte celé štvorce:

(x2 - 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Keďže x a y sú celé čísla, ich druhé mocniny sú tiež celé čísla. Súčet druhých mocnín dvoch celých čísel rovný 37 dostaneme, ak spočítame 1 + 36. Preto:

(x - y) 2 = 36 a (y + 2) 2 = 1

(x - y)2 = 1 a (y + 2)2 = 36.

Vyriešením týchto systémov a berúc do úvahy, že x a y sú záporné, nájdeme riešenia: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpoveď: -17.

Nezúfajte, ak máte ťažkosti pri riešení rovníc s dvoma neznámymi. S trochou cviku zvládnete akúkoľvek rovnicu.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť rovnice s dvoma premennými?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Lineárna rovnica s dvoma premennými je akákoľvek rovnica, ktorá má nasledujúci tvar: a*x + b*y =c. Tu sú x a y dve premenné, a,b,c sú nejaké čísla.

Nižšie uvádzame niekoľko príklady lineárnych rovníc.

1. 10*x + 25*y = 150;

Rovnako ako rovnice s jednou neznámou, aj lineárna rovnica s dvoma premennými (neznámymi) má riešenie. Napríklad lineárna rovnica x-y=5 s x=8 a y=3 sa zmení na správnu identitu 8-3=5. V tomto prípade je dvojica čísel x=8 a y=3 považovaná za riešenie lineárnej rovnice x-y=5. Môžete tiež povedať, že dvojica čísel x=8 a y=3 spĺňa lineárnu rovnicu x-y=5.

Riešenie lineárnej rovnice

Riešením lineárnej rovnice a * x + b * y = c je teda ľubovoľná dvojica čísel (x, y), ktorá vyhovuje tejto rovnici, to znamená, že rovnicu s premennými x a y zmení na správnu číselnú hodnotu. rovnosť. Všimnite si, ako sa tu píše dvojica čísel x a y. Takýto záznam je kratší a pohodlnejší. Treba len pripomenúť, že prvé miesto v takomto zázname je hodnota premennej x a druhé je hodnota premennej y.

Upozorňujeme, že čísla x=11 a y=8, x=205 a y=200 x= 4,5 a y= -0,5 tiež spĺňajú lineárnu rovnicu x-y=5, a preto sú riešením tejto lineárnej rovnice.

Riešenie lineárnej rovnice o dvoch neznámych nie je jediný. Každá lineárna rovnica o dvoch neznámych má nekonečne veľa rôznych riešení. To znamená, že existuje nekonečné množstvo rôznych dve čísla x a y, ktoré menia lineárnu rovnicu na skutočnú identitu.

Ak niekoľko rovníc v dvoch premenných má rovnaké riešenia, potom sa takéto rovnice nazývajú ekvivalentné rovnice. Treba poznamenať, že ak rovnice s dvoma neznámymi nemajú riešenia, potom sa tiež považujú za ekvivalentné.

Základné vlastnosti lineárnych rovníc o dvoch neznámych

1. Ktorýkoľvek z členov rovnice je možné preniesť z jednej časti do druhej, pričom je potrebné zmeniť jej znamienko na opačné. Výsledná rovnica bude ekvivalentná pôvodnej.

2. Obidve strany rovnice možno vydeliť ľubovoľným číslom, ktoré nie je nula. Výsledkom je, že dostaneme rovnicu ekvivalentnú tej pôvodnej.