Prevod grafu.
Slovný popis funkcie.
Grafický spôsob.
Grafický spôsob určenia funkcie je najnázornejší a často sa používa v strojárstve. V matematickej analýze sa ako ilustrácia používa grafický spôsob špecifikácie funkcií.
Graf funkcií f je množina všetkých bodov (x; y) súradnicovej roviny, kde y=f(x) a x „prechádza“ celým definičným oborom danej funkcie.
Podmnožina súradnicovej roviny je graf nejakej funkcie, ak má najviac jeden spoločný bod s akoukoľvek priamkou rovnobežnou s osou Oy.
Príklad. Sú obrázky nižšie grafmi funkcií?
Výhodou grafickej úlohy je jej prehľadnosť. Okamžite vidíte, ako sa funkcia správa, kde sa zvyšuje, kde klesá. Z grafu môžete okamžite zistiť niektoré dôležité charakteristiky funkcie.
Vo všeobecnosti analytické a grafické spôsoby definovania funkcie idú ruka v ruke. Práca so vzorcom pomáha vytvárať graf. A graf často navrhuje riešenia, ktoré si vo vzorci nevšimnete.
Takmer každý študent pozná tri spôsoby, ako definovať funkciu, ktorú sme práve prebrali.
Pokúsme sa odpovedať na otázku: "Existujú iné spôsoby, ako definovať funkciu?"
Existuje taký spôsob.
Funkciu možno celkom jednoznačne definovať slovami.
Napríklad funkcia y=2x môže byť definovaná nasledujúcim slovným popisom: každej skutočnej hodnote argumentu x je priradená jej dvojnásobná hodnota. Pravidlo je nastavené, funkcia je nastavená.
Okrem toho je možné zadať funkciu slovne, čo je mimoriadne ťažké, ak nie nemožné, špecifikovať pomocou vzorca.
Napríklad: každá hodnota prirodzeného argumentu x je spojená so súčtom číslic, ktoré tvoria hodnotu x. Napríklad, ak x=3, potom y=3. Ak x=257, potom y=2+5+7=14. Atď. Je ťažké to zapísať do vzorca. Ale stôl sa dá ľahko vyrobiť.
Metóda slovného opisu je pomerne zriedka používaná metóda. Ale niekedy sa to stane.
Ak existuje zákon o zhode jedna ku jednej medzi x a y, potom existuje funkcia. Aký zákon, v akej forme je vyjadrený – vzorcom, tabuľkou, grafom, slovami – nemení podstatu veci.
Uvažujme funkcie, ktorých definičné oblasti sú symetrické vzhľadom na počiatok súradníc, t.j. pre hocikoho X mimo rozsah číslo (- X) tiež patrí do oblasti definície. Medzi tieto funkcie patrí párne a nepárne.
Definícia. Volá sa funkcia f dokonca, ak k nejakému X mimo svojej domény
Príklad. Zvážte funkciu 
Je dokonca. Poďme si to overiť.
Pre hocikoho X rovnosti
Obidve podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf tejto funkcie.
Definícia. Volá sa funkcia f zvláštny, ak k nejakému X mimo svojej domény 
Príklad. Zvážte funkciu 
Je divná. Poďme si to overiť.
Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická podľa bodu (0; 0).
Pre hocikoho X rovnosti
Obe podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf tejto funkcie.
Grafy zobrazené na prvom a treťom obrázku sú symetrické okolo osi y a grafy zobrazené na druhom a štvrtom obrázku sú symetrické okolo začiatku.
Ktoré z funkcií, ktorých grafy sú zobrazené na obrázkoch, sú párne a ktoré nepárne?
Dokonca aj funkcia.
Dokonca Zavolá sa funkcia, ktorej znamienko sa pri zmene znamienka nemení X.
X rovnosť f(–X) = f(X). Podpísať X neovplyvňuje znamenie r.
Graf párnej funkcie je symetrický podľa súradnicovej osi (obr. 1).
Dokonca príklady funkcií:
r= cos X
r = X 2
r = –X 2
r = X 4
r = X 6
r = X 2 + X
Vysvetlenie:
Zoberme si funkciu r = X 2 alebo r = –X 2 .
Za akúkoľvek hodnotu X funkcia je pozitívna. Podpísať X neovplyvňuje znamenie r. Graf je symetrický okolo súradnicovej osi. Toto je rovnomerná funkcia.
nepárna funkcia.
zvláštny je funkcia, ktorej znamienko sa mení pri zmene znamienka X.
Inými slovami, za akúkoľvek hodnotu X rovnosť f(–X) = –f(X).
Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok (obr. 2).
Príklady nepárnej funkcie:
r= hriech X
r = X 3
r = –X 3
Vysvetlenie:
Vezmite funkciu y = - X 3 .
Všetky hodnoty pri bude mať znamienko mínus. To je znamenie X ovplyvňuje znamenie r. Ak je nezávislá premenná kladné číslo, potom je funkcia kladná, ak je nezávislá premenná záporné číslo, potom je funkcia záporná: f(–X) = –f(X).
Graf funkcie je symetrický podľa počiatku. Toto je zvláštna funkcia.
Vlastnosti párnych a nepárnych funkcií:
POZNÁMKA:
Nie všetky funkcie sú párne alebo nepárne. Sú funkcie, ktoré takejto gradácii nepodliehajú. Napríklad koreňová funkcia pri = √X neplatí pre párne ani nepárne funkcie (obr. 3). Pri uvádzaní vlastností takýchto funkcií by sa mal uviesť vhodný opis: ani párne, ani nepárne.
Periodické funkcie.
Ako viete, periodicita je opakovanie určitých procesov v určitom intervale. Funkcie popisujúce tieto procesy sa nazývajú periodické funkcie. To znamená, že ide o funkcie, v ktorých grafoch sú prvky, ktoré sa opakujú v určitých číselných intervaloch.
Grafy párnych a nepárnych funkcií majú nasledujúce vlastnosti:
Ak je funkcia párna, jej graf je symetrický podľa osi y. Ak je funkcia nepárna, jej graf je symetrický podľa počiatku.
Príklad. Nakreslite funkciu \(y=\vľavo|x \vpravo|\).rozhodnutie. Uvažujme funkciu: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) a dosaďte \(x \) za opačnú \(-x \). V dôsledku jednoduchých transformácií dostaneme: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In inými slovami, ak argument nahradíte opačným znamienkom, funkcia sa nezmení.
To znamená, že táto funkcia je párna a jej graf bude symetrický okolo osi y (vertikálna os). Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku vľavo. To znamená, že pri vykresľovaní grafu môžete zostaviť iba polovicu a druhú časť (naľavo od zvislej osi, kresliť už symetricky na pravú stranu). Určením symetrie funkcie pred začatím vykresľovania jej grafu môžete výrazne zjednodušiť proces konštrukcie alebo štúdia funkcie. Ak je ťažké vykonať kontrolu vo všeobecnej forme, môžete to urobiť jednoduchšie: do rovnice nahraďte rovnaké hodnoty rôznych znakov. Napríklad -5 a 5. Ak sú hodnoty funkcie rovnaké, potom môžeme dúfať, že funkcia bude párna. Z matematického hľadiska tento prístup nie je úplne správny, ale z praktického hľadiska je pohodlný. Ak chcete zvýšiť spoľahlivosť výsledku, môžete nahradiť niekoľko párov takýchto opačných hodnôt.
Príklad. Nakreslite funkciu \(y=x\vľavo|x \vpravo|\).
rozhodnutie. Skontrolujeme to isté ako v predchádzajúcom príklade: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Znamená to, že pôvodná funkcia je nepárna (znamienko funkcie je obrátené).
Záver: funkcia je symetrická vzhľadom na pôvod. Môžete postaviť iba jednu polovicu a druhú polovicu nakresliť symetricky. Táto symetria sa kreslí ťažšie. To znamená, že sa na graf pozeráte z druhej strany hárku a dokonca je obrátený hore nohami. A môžete to urobiť aj takto: vezmite nakreslenú časť a otočte ju okolo začiatku o 180 stupňov proti smeru hodinových ručičiek.
Príklad. Nakreslite funkciu \(y=x^3+x^2\).
rozhodnutie. Vykonajte rovnakú kontrolu zmeny znamienka ako v predchádzajúcich dvoch príkladoch. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ $$f\left( -x \vpravo)\not=f\vľavo(x \vpravo),f\vľavo(-x \vpravo)\not=-f\vľavo(x \vpravo)$$ Čo znamená, že funkcia nie je ani párna, ani nepárna .
Záver: funkcia nie je symetrická ani k počiatku, ani k stredu súradnicového systému. Stalo sa to preto, že ide o súčet dvoch funkcií: párne a nepárne. Rovnaká situácia nastane, ak odpočítate dve rôzne funkcie. Násobenie alebo delenie však povedie k inému výsledku. Napríklad súčin párnej a nepárnej funkcie dáva nepárne. Alebo kvocient dvoch nepárnych vedie k párnej funkcii.
Párne a nepárne funkcie sú jednou z jeho hlavných vlastností a parita zaberá pôsobivú časť školského kurzu matematiky. Do značnej miery určuje charakter správania funkcie a značne uľahčuje konštrukciu zodpovedajúceho grafu.
Definujme paritu funkcie. Všeobecne povedané, skúmaná funkcia sa berie do úvahy aj vtedy, ak pre opačné hodnoty nezávislej premennej (x) umiestnenej v jej doméne sú zodpovedajúce hodnoty y (funkcia) rovnaké.
Uveďme presnejšiu definíciu. Uvažujme nejakú funkciu f (x), ktorá je definovaná v oblasti D. Bude to aj vtedy, ak pre ľubovoľný bod x nachádzajúci sa v oblasti definície:
- -x (opačná bodka) tiež leží v danom rozsahu,
- f(-x) = f(x).
Z vyššie uvedenej definície vyplýva podmienka potrebná pre definičný obor takejto funkcie, a to symetria vzhľadom na bod O, ktorý je počiatkom súradníc, pretože ak nejaký bod b je obsiahnutý v definičnom obore funkcie párna funkcia, potom v tejto doméne leží aj príslušný bod - b. Z uvedeného teda vyplýva záver: párna funkcia má tvar, ktorý je symetrický vzhľadom na zvislú os (Oy).
Ako v praxi určiť paritu funkcie?
Nech je to dané pomocou vzorca h(x)=11^x+11^(-x). Podľa algoritmu, ktorý priamo vyplýva z definície, najprv študujeme jej doménu definície. Je zrejmé, že je definovaný pre všetky hodnoty argumentu, to znamená, že prvá podmienka je splnená.
Ďalším krokom je nahradiť argument (x) jeho opačnou hodnotou (-x).
Dostaneme:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Keďže sčítanie spĺňa komutatívny (posunovací) zákon, je zrejmé, že h(-x) = h(x) a daná funkčná závislosť je párna.
Skontrolujeme párnosť funkcie h(x)=11^x-11^(-x). Podľa rovnakého algoritmu dostaneme h(-x) = 11^(-x) -11^x. V dôsledku toho máme mínus
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Preto je h(x) nepárne.
Mimochodom, treba pripomenúť, že existujú funkcie, ktoré nemožno klasifikovať podľa týchto kritérií, nenazývajú sa ani párne, ani nepárne.
Dokonca aj funkcie majú množstvo zaujímavých vlastností:
- v dôsledku pridania podobných funkcií sa získa párna funkcia;
- ako výsledok odčítania takýchto funkcií sa získa párna;
- dokonca, aj dokonca;
- v dôsledku vynásobenia dvoch takýchto funkcií sa získa párna;
- v dôsledku násobenia nepárnych a párnych funkcií sa získa nepárna funkcia;
- v dôsledku rozdelenia párnej a nepárnej funkcie sa získa nepárna funkcia;
- derivácia takejto funkcie je nepárna;
- Ak odmocníme nepárnu funkciu, dostaneme párnu.
Paritu funkcie možno použiť pri riešení rovníc.
Na vyriešenie rovnice ako g(x) = 0, kde ľavá strana rovnice je párna funkcia, bude stačiť nájsť jej riešenie pre nezáporné hodnoty premennej. Získané korene rovnice musia byť kombinované s opačnými číslami. Jeden z nich podlieha overeniu.
To isté sa úspešne používa na riešenie neštandardných problémov s parametrom.
Existuje napríklad nejaká hodnota pre parameter a, vďaka ktorej by rovnica 2x^6-x^4-ax^2=1 mala tri korene?
Ak vezmeme do úvahy, že premenná vstupuje do rovnice v párnych mocninách, tak je jasné, že nahradenie x za -x nezmení danú rovnicu. Z toho vyplýva, že ak je určité číslo jeho koreňom, potom je jeho koreňom aj číslo opačné. Záver je zrejmý: korene rovnice, iné ako nula, sú zahrnuté v množine jej riešení v „pároch“.
Je jasné, že samotné číslo 0 nie je, to znamená, že počet koreňov takejto rovnice môže byť len párny a prirodzene pre žiadnu hodnotu parametra nemôže mať tri korene.
Ale počet koreňov rovnice 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 môže byť nepárny a pre akúkoľvek hodnotu parametra. V skutočnosti je ľahké skontrolovať, či množina koreňov danej rovnice obsahuje riešenia v „pároch“. Skontrolujeme, či 0 je koreň. Pri dosadení do rovnice dostaneme 2=2. Teda okrem „spárovanej“ 0 je aj koreň, ktorý dokazuje ich nepárny počet.
Ktoré vám boli do istej miery povedomé. Bolo tam tiež poznamenané, že zásoba funkčných vlastností sa bude postupne dopĺňať. V tejto časti sa budú diskutovať o dvoch nových vlastnostiach.
Definícia 1.
Funkcia y \u003d f (x), x є X, sa volá aj vtedy, ak pre akúkoľvek hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) \u003d f (x).
Definícia 2.
Funkcia y \u003d f (x), x є X, sa nazýva nepárna, ak pre akúkoľvek hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) \u003d -f (x).
Dokážte, že y = x 4 je párna funkcia.
rozhodnutie. Máme: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4 . Preto pre ľubovoľné x platí rovnosť f (-x) = f (x), t.j. funkcia je párna.
Podobne sa dá dokázať, že funkcie y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sú párne.
Dokážte, že y = x 3 je nepárna funkcia.
rozhodnutie. Máme: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3 . Preto pre ľubovoľné x platí rovnosť f (-x) \u003d -f (x), t.j. funkcia je nepárna.
Podobne sa dá dokázať, že funkcie y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sú nepárne.
Vy aj ja sme sa viackrát presvedčili, že nové pojmy v matematike majú najčastejšie „pozemský“ pôvod, t.j. dajú sa nejakým spôsobom vysvetliť. To platí pre párne aj nepárne funkcie. Pozri: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sú nepárne funkcie, zatiaľ čo y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sú párne funkcie. A vo všeobecnosti pre akúkoľvek funkciu tvaru y \u003d x "(nižšie budeme konkrétne študovať tieto funkcie), kde n je prirodzené číslo, môžeme dospieť k záveru: ak je n nepárne číslo, potom funkcia y \u003d x “ je nepárne; ak je n párne číslo, potom funkcia y = xn je párna.
Existujú aj funkcie, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takou je napríklad funkcia y \u003d 2x + 3. Skutočne, f (1) \u003d 5 a f (-1) \u003d 1. Ako vidíte, tu teda ani identita f (-x ) \u003d f (x), ani identitu f(-x) = -f(x).
Takže funkcia môže byť párna, nepárna alebo žiadna.
Štúdium otázky, či je daná funkcia párna alebo nepárna, sa zvyčajne nazýva štúdium funkcie pre paritu.
Definície 1 a 2 sa zaoberajú hodnotami funkcie v bodoch x a -x. To predpokladá, že funkcia je definovaná v bode x aj v bode -x. To znamená, že bod -x patrí do definičného oboru funkcie súčasne s bodom x. Ak číselná množina X spolu s každým jej prvkom x obsahuje opačný prvok -x, potom sa X nazýva symetrická množina. Povedzme, že (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sú symetrické množiny, zatiaľ čo )
