Úsečka spájajúca stred kruhu a body na jeho obvode sa nazýva polomer. V tomto prípade sú v každom kruhu všetky polomery navzájom rovnaké. Priemer kružnice je priamka, ktorá spája dva body na kružnici a prechádza jej stredom. To všetko potrebujeme na správny výpočet plochy kruhu. Okrem toho sa táto hodnota vypočíta pomocou čísla Pi.

Ako vypočítať plochu kruhu

Napríklad máme kruh s polomerom štyri centimetre. Vypočítajme jej plochu: S=(3,14)*4^2=(3,14)*16=50,24. Plocha kruhu je teda 50,24 centimetrov štvorcových.

Existuje tiež špeciálny vzorec na výpočet plochy kruhu cez priemer: S=(pi/4) d^2.

Pozrime sa na príklad takéhoto výpočtu kruhu cez jeho priemer, pričom poznáme polomer obrázku. Napríklad máme kruh s polomerom štyri centimetre. Najprv musíte nájsť priemer, ktorý je dvojnásobkom samotného polomeru: d=2R, d=2*4=8.

Teraz by ste mali použiť získané údaje na výpočet plochy kruhu pomocou vyššie uvedeného vzorca: S=((3.14)/4)*8^2=0.785*64=50.24.

Ako vidíte, nakoniec dostaneme rovnakú odpoveď ako v prvom prípade.

Znalosť vyššie opísaných štandardných vzorcov pre správny výpočet plochy kruhu vám pomôže ľahko nájsť chýbajúce hodnoty a určiť plochu sektorov.

Vieme teda, že vzorec na výpočet plochy kruhu sa vypočíta vynásobením konštantnej hodnoty Pi druhou mocninou polomeru samotného kruhu. Samotný polomer možno vyjadriť skutočným obvodom dosadením výrazu obvodom do vzorca. To znamená: R=l/2pi.

Teraz musíme túto rovnicu nahradiť vzorcom na výpočet plochy kruhu a výsledkom je vzorec na nájdenie plochy tohto geometrického útvaru cez obvod: S=pi((l/2pi) ))^2=l^2/(4pi).

Napríklad dostaneme kruh, ktorého obvod je osem centimetrov. Hodnotu dosadíme do uvažovaného vzorca: S=(8^2)/(4*3,14)=64/(12,56)=5. A dostaneme plochu kruhu rovnajúcu sa piatim štvorcovým centimetrom.

Kruhová kalkulačka je služba špeciálne navrhnutá na online výpočet geometrických rozmerov obrazcov. Vďaka tejto službe môžete ľahko určiť ľubovoľný parameter postavy na základe kruhu. Napríklad: Poznáte objem gule, ale potrebujete získať jej plochu. Nie je nič jednoduchšie! Vyberte príslušnú možnosť, zadajte číselnú hodnotu a kliknite na tlačidlo Vypočítať. Služba zobrazuje nielen výsledky výpočtov, ale poskytuje aj vzorce, podľa ktorých boli vykonané. Pomocou našej služby môžete ľahko vypočítať polomer, priemer, obvod (obvod kruhu), plochu kruhu a lopty a objem lopty.

Vypočítajte polomer

Úloha výpočtu hodnoty polomeru je jednou z najbežnejších. Dôvod je pomerne jednoduchý, pretože so znalosťou tohto parametra môžete ľahko určiť hodnotu akéhokoľvek iného parametra kruhu alebo lopty. Naša stránka je postavená presne na takejto schéme. Bez ohľadu na to, ktorý počiatočný parameter zvolíte, najprv sa vypočíta hodnota polomeru a na nej sa zakladajú všetky nasledujúce výpočty. Pre väčšiu presnosť výpočtov stránka používa číslo Pi zaokrúhlené na 10 desatinné miesto.

Vypočítajte priemer

Výpočet priemeru je najjednoduchší typ výpočtu, ktorý môže naša kalkulačka vykonať. Získanie hodnoty priemeru nie je vôbec ťažké a manuálne, preto sa vôbec nemusíte uchýliť k pomoci internetu. Priemer sa rovná hodnote polomeru vynásobenej 2. Priemer je najdôležitejším parametrom kruhu, ktorý sa mimoriadne často používa v každodennom živote. Správne vypočítať a použiť by si to mal vedieť úplne každý. Pomocou možností našej stránky vypočítate priemer s veľkou presnosťou za zlomok sekundy.

Zistite obvod kruhu

Ani si neviete predstaviť, koľko okrúhlych predmetov je okolo nás a akú dôležitú úlohu zohrávajú v našom živote. Schopnosť vypočítať obvod je potrebná pre každého, od bežného vodiča až po popredného dizajnéra. Vzorec na výpočet obvodu je veľmi jednoduchý: D=2Pr. Výpočet sa dá ľahko vykonať na kuse papiera aj pomocou tohto internetového asistenta. Výhodou druhého je, že bude ilustrovať všetky výpočty pomocou výkresov. A čo sa týka všetkého ostatného, ​​druhá metóda je oveľa rýchlejšia.

Vypočítajte obsah kruhu

Oblasť kruhu - rovnako ako všetky parametre uvedené v tomto článku, je základom modernej civilizácie. Schopnosť vypočítať a poznať plochu kruhu je užitočná pre všetky segmenty obyvateľstva bez výnimky. Je ťažké si predstaviť oblasť vedy a techniky, v ktorej by nebolo potrebné poznať oblasť kruhu. Vzorec na výpočet opäť nie je ťažký: S=PR 2 . Tento vzorec a naša online kalkulačka vám pomôžu nájsť oblasť akéhokoľvek kruhu bez námahy. Naša stránka garantuje vysokú presnosť výpočtov a ich bleskové prevedenie.

Vypočítajte plochu gule

Vzorec na výpočet plochy lopty nie je komplikovanejší ako vzorce opísané v predchádzajúcich odsekoch. S=4Pr2. Táto jednoduchá sada písmen a čísel dáva ľuďom možnosť presne vypočítať plochu gule už mnoho rokov. Kde sa dá uplatniť? Áno, všade! Napríklad viete, že plocha zemegule je 510 100 000 kilometrov štvorcových. Je zbytočné vypisovať, kde sa dá znalosť tohto vzorca uplatniť. Rozsah vzorca na výpočet plochy lopty je príliš široký.

Vypočítajte objem gule

Na výpočet objemu gule použite vzorec V=4/3(Pr 3). Bol použitý na vytvorenie našej online služby. Stránka umožňuje vypočítať objem lopty v priebehu niekoľkých sekúnd, ak poznáte niektorý z nasledujúcich parametrov: polomer, priemer, obvod, plocha kruhu alebo plocha lopty. Môžete ho použiť aj na inverzné výpočty, napríklad na zistenie objemu lopty, získanie hodnoty jej polomeru alebo priemeru. Ďakujeme, že ste stručne zhodnotili možnosti našej kalkulačky kôl. Dúfame, že sa vám u nás páčilo a už ste si stránku pridali medzi svoje záložky.

Kruh je viditeľný súbor mnohých bodov, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od stredu. Ak chcete nájsť jeho plochu, musíte vedieť, aký je polomer, priemer, číslo π a obvod.

Množstvo zapojené do výpočtu plochy kruhu

Vzdialenosť ohraničená stredovým bodom kruhu a ktorýmkoľvek z bodov kruhu sa nazýva polomer tohto geometrického útvaru. Dĺžky všetkých polomerov jedného kruhu sú rovnaké. Úsečka medzi ľubovoľnými 2 bodmi na kruhu, ktorá prechádza stredovým bodom, sa nazýva priemer. Dĺžka priemeru sa rovná dĺžke polomeru vynásobenej 2.

Na výpočet plochy kruhu sa používa hodnota čísla π. Táto hodnota sa rovná pomeru obvodu k dĺžke priemeru kruhu a má konštantnú hodnotu. Π = 3,1415926. Obvod sa vypočíta podľa vzorca L=2πR.

Nájdite oblasť kruhu pomocou polomeru

Preto sa plocha kruhu rovná súčinu čísla π a polomeru kruhu zvýšeného na 2. mocninu. Ako príklad si vezmime dĺžku polomeru kruhu 5 cm. Potom sa plocha kruhu S bude rovnať 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 metrov štvorcových. cm.

Oblasť kruhu z hľadiska priemeru

Plochu kruhu je možné vypočítať aj na základe znalosti priemeru kruhu. V tomto prípade S = (π/4)*d^2, kde d je priemer kruhu. Vezmime si rovnaký príklad, kde je polomer 5 cm. Potom bude jeho priemer 5*2=10 cm. Plocha kruhu je S=3,14/4*10^2=78,5 cm2. Výsledok, ktorý sa rovná súčtu výpočtov v prvom príklade, potvrdzuje správnosť výpočtov v oboch prípadoch.

Plocha kruhu z hľadiska obvodu

Ak je polomer kruhu znázornený cez obvod, vzorec bude vyzerať takto: R=(L/2)π. Dosaďte tento výraz do vzorca pre oblasť kruhu a ako výsledok dostaneme S=(L^2)/4π. Zoberme si príklad, v ktorom je obvod 10 cm. Potom je plocha kruhu S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 metrov štvorcových. cm.

Plocha kruhu z hľadiska dĺžky strany vpísaného štvorca

Ak je štvorec vpísaný do kruhu, potom sa dĺžka priemeru kruhu rovná dĺžke uhlopriečky štvorca. Keď poznáte veľkosť strany štvorca, môžete ľahko nájsť priemer kruhu podľa vzorca: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Inými slovami, priemer na mocninu 2 sa rovná strane štvorca s mocninou 2 krát 2.

Po vypočítaní hodnoty dĺžky priemeru kruhu môžete tiež zistiť jeho polomer a potom použiť jeden zo vzorcov na určenie plochy kruhu.

Sektorová oblasť kruhu

Sektor je časť kruhu ohraničená 2 polomermi a oblúkom medzi nimi. Ak chcete zistiť jeho oblasť, musíte zmerať uhol sektora. Potom je potrebné zostaviť zlomok, v čitateli ktorého bude hodnota uhla sektora a v menovateli - 360. Na výpočet plochy sektora sa použije hodnota získaný v dôsledku delenia frakcie sa musí vynásobiť plochou kruhu vypočítanou pomocou jedného z vyššie uvedených vzorcov.

Kruhy vyžadujú opatrnejší prístup a sú oveľa menej bežné v úlohách B5. Zároveň je všeobecná schéma riešenia ešte jednoduchšia ako v prípade mnohouholníkov (pozri lekciu „Oblasti mnohouholníkov na súradnicovej sieti“).

Všetko, čo je potrebné v takýchto úlohách, je nájsť polomer kružnice R. Potom môžete vypočítať plochu kruhu pomocou vzorca S = πR 2 . Z tohto vzorca tiež vyplýva, že pre riešenie stačí nájsť R2.

Na nájdenie uvedených hodnôt stačí na kružnici označiť bod ležiaci v priesečníku čiar mriežky. A potom použite Pytagorovu vetu. Zvážte konkrétne príklady výpočtu polomeru:

Úloha. Nájdite polomery troch kruhov znázornených na obrázku:

Vykonajte ďalšie konštrukcie v každom kruhu:

V každom prípade je bod B zvolený na kružnici tak, aby ležal v priesečníku čiar mriežky. Bod C v kruhoch 1 a 3 dopĺňa obrazec na pravouhlý trojuholník. Zostáva nájsť polomery:

Uvažujme trojuholník ABC v prvom kruhu. Podľa Pytagorovej vety: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Pre druhý kruh je všetko zrejmé: R = AB = 2.

Tretí prípad je podobný prvému. Z trojuholníka ABC podľa Pytagorovej vety: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Teraz vieme, ako nájsť polomer kruhu (alebo aspoň jeho štvorec). Preto môžeme nájsť oblasť. Existujú úlohy, pri ktorých je potrebné nájsť oblasť sektora a nie celý kruh. V takýchto prípadoch je ľahké zistiť, ktorá časť kruhu je tento sektor, a tak nájsť oblasť.

Úloha. Nájdite oblasť S tieňovaného sektora. Vo svojej odpovedi uveďte S / π.

Je zrejmé, že sektor je jedna štvrtina kruhu. Preto S = 0,25 S kruhu.

Zostáva nájsť S kruhu - oblasť kruhu. Za týmto účelom vykonáme dodatočnú konštrukciu:

Trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník. Podľa Pytagorovej vety máme: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Teraz nájdeme oblasť kruhu a sektora: S kruhu = πR 2 = 8π; S = 0,25 S kruh = 2π.

Nakoniec sa požadovaná hodnota rovná S /π = 2.

Oblasť sektora s neznámym polomerom

Ide o úplne nový typ úloh, v rokoch 2010-2011 nič podobné nebolo. Podmienkou nám je daný kruh určitej oblasti (konkrétne oblasť, nie polomer!). Potom sa v tomto kruhu pridelí sektor, ktorého oblasť je potrebné nájsť.

Dobrou správou je, že tieto úlohy sú najjednoduchšie zo všetkých úloh v štvorci, ktoré sú na skúške z matematiky. Okrem toho sú kruh a sektor vždy umiestnené na súradnicovej sieti. Preto, aby ste sa naučili, ako riešiť takéto problémy, stačí sa pozrieť na obrázok:

Nech má pôvodný kruh plochu S kruhu = 80. Potom ho môžeme rozdeliť na dva sektory s plochou S = 40 každý (pozri krok 2). Podobne každý z týchto "polovičných" sektorov možno opäť rozdeliť na polovicu - dostaneme štyri sektory s plochou S = 20 každý (pozri krok 3). Nakoniec môžete každý z týchto sektorov rozdeliť na ďalšie dva - dostaneme 8 sektorov - "malé kúsky". Plocha každého z týchto „kúskov“ bude S = 10.

Poznámka: V žiadnej úlohe USE v matematike neexistuje menšie rozdelenie! Algoritmus na riešenie problému B-3 je teda nasledujúci:

1. Pôvodný kruh rozrežte na 8 sektorov - "kúskov". Plocha každého z nich je presne 1/8 plochy celého kruhu. Napríklad, ak má kruh podľa podmienky obsah kruhu S = 240, potom „hrudky“ majú obsah S = 240: 8 = 30;
2. Zistite, koľko „hrudkov“ sa zmestí do pôvodného sektora, do oblasti, ktorú chcete nájsť. Napríklad, ak náš sektor obsahuje 3 „hrudky“ s plochou 30, potom je plocha požadovaného sektora S = 3 30 = 90. Toto bude odpoveď.

To je všetko! Problém sa rieši prakticky ústne. Ak stále niečomu nerozumiete, kúpte si pizzu a nakrájajte ju na 8 kúskov. Každý takýto kus bude rovnaký sektor - "chunk", ktorý možno spojiť do väčších kusov.

A teraz sa pozrime na príklady zo skúšobnej skúšky:

Úloha. Na kockovaný papier je nakreslený kruh s plochou 40. Nájdite oblasť tieňovaného obrázku.

Takže plocha kruhu je 40. Rozdeľte ho na 8 sektorov - každý s plochou S = 40: 5 = 8. Získame:

Je zrejmé, že tieňovaný sektor pozostáva z presne dvoch „malých“ sektorov. Preto je jeho plocha 2 5 = 10. To je celé riešenie!

Úloha. Na kockovaný papier je nakreslený kruh s plochou 64. Nájdite oblasť tieňovaného obrázku.

Opäť rozdeľte celý kruh na 8 rovnakých sektorov. Je zrejmé, že oblasť jedného z nich stačí nájsť. Preto je jeho plocha S = 64: 8 = 8.

Úloha. Na kockovaný papier je nakreslený kruh s plochou 48. Nájdite oblasť tieňovaného obrázku.

Opäť rozdeľte kruh na 8 rovnakých sektorov. Plocha každého z nich sa rovná S = 48: 8 = 6. V požadovanom sektore sú umiestnené presne tri sektory - „malé“ (pozri obrázok). Preto je plocha požadovaného sektora 3 6 = 18.