Sínus, kosínus, tangens a kotangens: definície v trigonometrii, príklady, vzorce. Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens ostrého uhla

Inštrukcia

Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak jeden z jeho uhlov je 90 stupňov. Skladá sa z dvoch nôh a prepony. Prepona je najdlhšia strana tohto trojuholníka. Leží proti pravému uhlu. Nohy sa nazývajú jeho menšie strany. Môžu byť rovnaké alebo mať rôzne veľkosti. Rovnosť nôh, s ktorými pracujete, s pravouhlým trojuholníkom. Jeho krása spočíva v tom, že kombinuje dve postavy: pravouhlý a rovnoramenný trojuholník. Ak nohy nie sú rovnaké, potom je trojuholník ľubovoľný a podľa základného zákona: čím väčší je uhol, tým viac sa otáča ten, ktorý leží oproti nemu.

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť preponu podľa a uhla. Ale pred použitím jedného z nich by ste mali určiť, ktorý a uhol sú známe. Vzhľadom na uhol a nohu priľahlú k nemu je ľahšie nájsť preponu pomocou kosínusu uhla. Kosínus ostrého uhla (cos a) v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy k prepone. To znamená, že prepona (c) sa bude rovnať pomeru susedného ramena (b) ku kosínusu uhla a (cos a). Dá sa to napísať takto: cos a=b/c => c=b/cos a.

Ak je daný uhol a opačná noha, potom by sa malo pracovať. Sínus ostrého uhla (sin a) v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy (a) k prepone (c). Tu je princíp rovnaký ako v predchádzajúcom príklade, len namiesto kosínusovej funkcie sa použije sínus. sin a=a/c => c=a/sin a.

Môžete tiež použiť trigonometrickú funkciu, ako je . Nájsť požadovanú hodnotu je však o niečo zložitejšie. Tangenta ostrého uhla (tg a) v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy (a) k susednej vetve (b). Po nájdení oboch nôh použite Pytagorovu vetu (druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh) a nájde sa väčšia.

Poznámka

Pri práci s Pytagorovou vetou nezabúdajte, že máte do činenia s titulom. Po nájdení súčtu druhých mocnín nôh, aby ste dostali konečnú odpoveď, by ste mali vziať druhú odmocninu.

Zdroje:

• ako nájsť nohu a preponu

Prepona je strana pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti 90 stupňovému uhlu. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jednej z nôh a hodnotu jedného z ostrých uhlov trojuholníka.

Inštrukcia

Pri známom a ostrom pravom uhle je veľkosť prepony pomerom nohy k / tohto uhla, ak je daný uhol opačný / susediaci s ním:

h = Cl(alebo C2)/sina;

h = С1 (alebo С2)/cosα.

Príklad: Nech je ABC dané s preponami AB a C. Nech je uhol B 60 stupňov a uhol A 30 stupňov Dĺžka nohy BC je 8 cm, potrebujete dĺžku prepony AB. Na tento účel môžete použiť ktorúkoľvek z vyššie uvedených metód:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

slovo " nohu“ pochádza z gréckych slov „kolmý“ alebo „zvislý“ – to vysvetľuje, prečo boli obe strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria jeho deväťdesiatstupňový uhol, takto pomenované. Nájdite dĺžku ktoréhokoľvek z nich nohu ov nie je ťažké, ak je známa hodnota uhla priľahlého k nemu a akýkoľvek iný z parametrov, pretože v tomto prípade budú skutočne známe hodnoty všetkých troch uhlov.

Inštrukcia

Ak je okrem hodnoty susedného uhla (β) dĺžka druhého nohu a (b), potom dĺžka nohu a (a) môže byť definovaný ako podiel dĺžky známeho nohu a pod známym uhlom: a=b/tg(β). Vyplýva to z definície tejto trigonometrie. Ak použijete vetu, môžete sa zaobísť bez dotyčnice. Z neho vyplýva, že dĺžka požadovaného k sínusu opačného uhla k pomeru dĺžky známeho nohu ale na sínus známeho uhla. Opak k požadovanému nohu y ostrý uhol môže byť vyjadrený ako známy uhol ako 180°-90°-β = 90°-β, pretože súčet všetkých uhlov akéhokoľvek trojuholníka musí byť 180° a jeden z jeho uhlov sa rovná 90 °. Takže požadovaná dĺžka nohu a môže sa vypočítať podľa vzorca a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Ak je známa veľkosť susedného uhla (β) a dĺžka prepony (c), potom dĺžka nohu a (a) možno vypočítať ako súčin dĺžky prepony a kosínusu známeho uhla: a=c∗cos(β). Vyplýva to z definície kosínusu ako goniometrickej funkcie. Ale môžete použiť, ako v predchádzajúcom kroku, sínusovú vetu a potom požadovanú dĺžku nohu a sa bude rovnať súčinu sínusu medzi 90° a známym uhlom krát pomer dĺžky prepony k sínusu pravého uhla. A keďže sínus 90° je rovný jednej, môžeme ho zapísať takto: a=sin(90°-β)∗c.

Praktické výpočty je možné vykonávať napríklad pomocou softvérovej kalkulačky, ktorá je súčasťou operačného systému Windows. Ak ho chcete spustiť, vyberte položku "Spustiť" v hlavnom menu na tlačidle "Štart", zadajte príkaz calc a kliknite na tlačidlo "OK". Najjednoduchšia verzia rozhrania tohto programu, ktorá sa predvolene otvára, neposkytuje trigonometrické funkcie, preto po jej spustení musíte v ponuke kliknúť na sekciu „Zobraziť“ a vybrať riadok „Vedecké“ alebo „Inžinierstvo“ (v závislosti od na verzii operačného systému, ktorý používate).

Podobné videá

Slovo „katet“ prišlo do ruštiny z gréčtiny. V presnom preklade to znamená olovnica, teda kolmá na povrch zeme. V matematike sa nohy nazývajú strany, ktoré tvoria pravý uhol pravouhlého trojuholníka. Strana opačná k tomuto uhlu sa nazýva prepona. Pojem „noha“ sa používa aj v architektúre a technológii zvárania.

Nakreslite pravouhlý trojuholník ACB. Označte jeho nohy a a b a označte jeho preponu c. Všetky strany a uhly pravouhlého trojuholníka sú navzájom definované. Pomer nohy oproti jednému z ostrých uhlov k prepone sa nazýva sínus tohto uhla. V tomto trojuholníku sinCAB=a/c. Kosínus je pomer k prepone susednej nohy, t.j. cosCAB=b/c. Inverzné vzťahy sa nazývajú sekanta a kosekans.

Sekans tohto uhla sa získa vydelením prepony susednou vetvou, to znamená secCAB=c/b. Ukazuje sa prevrátená hodnota kosínusu, to znamená, že ju možno vyjadriť vzorcom secCAB=1/cosSAB.
Kosekans sa rovná podielu delenia prepony opačnou vetvou a je prevrátenou hodnotou sínusu. Dá sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB=1/sinCAB

Obe nohy sú vzájomne prepojené a kotangentné. V tomto prípade bude dotyčnica pomerom strany a ku strane b, to znamená opačnej vetvy k susednej. Tento pomer možno vyjadriť vzorcom tgCAB=a/b. V súlade s tým bude inverzný pomer kotangens: ctgCAB=b/a.

Pomer medzi veľkosťou prepony a oboch nôh určil starogrécky Pytagoras. Veta, jeho meno, ľudia stále používajú. Hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, to znamená c2 \u003d a2 + b2. Podľa toho sa každá vetva bude rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami prepony a druhej vetvy. Tento vzorec možno zapísať ako b=√(c2-a2).

Dĺžka nohy sa dá vyjadriť aj vzťahmi, ktoré poznáte. Podľa teorémov sínusov a kosínusov sa noha rovná súčinu prepony a jednej z týchto funkcií. Môžete ju vyjadriť a alebo kotangens. Nohu a možno nájsť napríklad podľa vzorca a \u003d b * tan CAB. Presne rovnakým spôsobom, v závislosti od danej dotyčnice alebo , sa určí druhá vetva.

V architektúre sa používa aj pojem „noha“. Aplikuje sa na iónsky kapitál a vedie stredom chrbta. Teda v tomto prípade pod týmto pojmom kolmica na danú priamku.

V technológii zvárania existuje „noha kútového zvaru“. Rovnako ako v iných prípadoch ide o najkratšiu vzdialenosť. Tu hovoríme o medzere medzi jednou z častí, ktoré sa majú zvárať, k okraju švu umiestneného na povrchu druhej časti.

Podobné videá

Zdroje:

• aká je noha a prepona v roku 2019

V živote často musíme čeliť matematickým problémom: v škole, na univerzite a potom pomáhať nášmu dieťaťu s domácimi úlohami. Ľudia určitých profesií sa budú s matematikou stretávať denne. Preto je užitočné zapamätať si alebo pripomenúť si matematické pravidlá. V tomto článku budeme analyzovať jeden z nich: nájdenie nohy pravouhlého trojuholníka.

Čo je pravouhlý trojuholník

Najprv si pripomeňme, čo je pravouhlý trojuholník. Pravouhlý trojuholník je geometrický útvar troch segmentov, ktoré spájajú body, ktoré neležia na rovnakej priamke, a jeden z uhlov tohto obrázku je 90 stupňov. Strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy a strana, ktorá leží oproti pravému uhlu, sa nazýva prepona.

Nájdenie nohy pravouhlého trojuholníka

Existuje niekoľko spôsobov, ako zistiť dĺžku nohy. Chcel by som ich zvážiť podrobnejšie.

Pytagorova veta na nájdenie ramena pravouhlého trojuholníka

Ak poznáme preponu a nohu, potom môžeme zistiť dĺžku neznámej vetvy pomocou Pytagorovej vety. Znie to takto: "Štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh." Vzorec: c²=a²+b², kde c je prepona, a a b sú nohy. Transformujeme vzorec a dostaneme: a²=c²-b².

Príklad. Prepona je 5 cm a noha je 3 cm Transformujeme vzorec: c²=a²+b² → a²=c²-b². Ďalej sa rozhodneme: a²=5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonometrické vzťahy na nájdenie ramena pravouhlého trojuholníka

Je tiež možné nájsť neznámu nohu, ak je známa akákoľvek iná strana a akýkoľvek ostrý uhol pravouhlého trojuholníka. Existujú štyri možnosti nájdenia nohy pomocou goniometrických funkcií: podľa sínusu, kosínusu, dotyčnice, kotangensu. Na vyriešenie problémov nám pomôže nasledujúca tabuľka. Zvážme tieto možnosti.

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou sínusu

Sínus uhla (sin) je pomer opačnej nohy k prepone. Vzorec: sin \u003d a / c, kde a je noha oproti danému uhlu a c je prepona. Ďalej vzorec transformujeme a dostaneme: a=sin*c.

Príklad. Prepona je 10 cm a uhol A je 30 stupňov. Podľa tabuľky vypočítame sínus uhla A, rovná sa 1/2. Potom pomocou transformovaného vzorca riešime: a=sin∠A*c; a = 1/2 x 10; a = 5 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou kosínusu

Kosínus uhla (cos) je pomer priľahlého ramena k prepone. Vzorec: cos \u003d b / c, kde b je noha susediaca s daným uhlom a c je prepona. Transformujme vzorec a získame: b=cos*c.

Príklad. Uhol A je 60 stupňov, prepona je 10 cm.Podľa tabuľky vypočítame kosínus uhla A, rovná sa 1/2. Ďalej riešime: b=cos∠A*c; b = 1/2 x 10, b = 5 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou dotyčnice

Tangenta uhla (tg) je pomer protiľahlej vetvy k susednej. Vzorec: tg \u003d a / b, kde a je noha oproti rohu a b susedí. Transformujme vzorec a získame: a=tg*b.

Príklad. Uhol A je 45 stupňov, prepona 10 cm Podľa tabuľky vypočítame tangens uhla A, rovná sa Riešte: a=tg∠A*b; a = 1 x 10; a = 10 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou kotangensu

Kotangens uhla (ctg) je pomer priľahlého ramena k protiľahlému ramenu. Vzorec: ctg \u003d b / a, kde b je noha susediaca s rohom a je opačná. Inými slovami, kotangens je "obrátená dotyčnica". Dostaneme: b=ctg*a.

Príklad. Uhol A je 30 stupňov, protiľahlá noha je 5 cm Podľa tabuľky je dotyčnica uhla A √3. Vypočítajte: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b = 5°3 (cm).

Takže teraz viete, ako nájsť nohu v pravouhlom trojuholníku. Ako vidíte, nie je to také ťažké, hlavnou vecou je zapamätať si vzorce.

Sinus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer opak katétra do prepony.
Označuje sa takto: hriech α.

Kosínus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone.
Označuje sa takto: cos α.

Tangenta ostrý uhol α je pomer protiľahlého ramena k susednému ramenu.
Označuje sa takto: tg α.

Kotangens ostrý uhol α je pomer priľahlej nohy k protiľahlej.
Označuje sa takto: ctg α.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla závisia len od veľkosti uhla.

pravidlá:

Základné goniometrické identity v pravouhlom trojuholníku:

(α - ostrý uhol oproti nohe b a priľahlé k nohe a . Side s - prepona. β - druhý ostrý uhol).

Keď sa ostrý uhol zväčšujesinα azvýšenie tg α acos α klesá.

Pre akýkoľvek ostrý uhol α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Vysvetľujúci príklad:

Vlož pravouhlý trojuholník ABC
AB = 6,
BC = 3,
uhol A = 30°.

Nájdite sínus uhla A a kosínus uhla B.

Rozhodnutie .

1) Najprv nájdeme hodnotu uhla B. Tu je všetko jednoduché: keďže v pravouhlom trojuholníku je súčet ostrých uhlov 90º, potom uhol B \u003d 60º:

B \u003d 90º – 30º \u003d 60º.

2) Vypočítajte sin A. Vieme, že sínus sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone. Pre uhol A je opačná noha strana BC. Takže:

BC 3 1
hriech A = -- = - = -
AB 6 2

3) Teraz vypočítame cos B. Vieme, že kosínus sa rovná pomeru susednej vetvy k prepone. Pre uhol B je susedná noha rovnaká strana BC. To znamená, že opäť musíme rozdeliť BC na AB - to znamená vykonať rovnaké akcie ako pri výpočte sínusu uhla A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Výsledkom je:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Z toho vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku sa sínus jedného ostrého uhla rovná kosínusu iného ostrého uhla - a naopak. Presne toto znamenajú naše dva vzorce:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Pozrime sa na to znova:

1) Nech α = 60º. Dosadením hodnoty α do sínusového vzorca dostaneme:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Nech α = 30º. Dosadením hodnoty α do kosínusového vzorca dostaneme:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = hriech 30°.

(Viac o trigonometrii nájdete v časti Algebra)

Aký je sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla vám pomôže pochopiť pravouhlý trojuholník.

Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana \ (AC \) ); nohy sú dve zostávajúce strany \ (AB \) a \ (BC \) (tie, ktoré susedia s pravým uhlom), navyše, ak vezmeme nohy do úvahy vzhľadom na uhol \ (BC \) , potom noha \ (AB \) je susedná noha a noha \ (BC \) je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: aké sú sínusové, kosínusové, tangens a kotangens uhla?

Sínus uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

V našom trojuholníku:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosínus uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.

V našom trojuholníku:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k susednej (blízkej).

V našom trojuholníku:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).

V našom trojuholníku:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu čím rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica a kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus a kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:

kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;

Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.

V prvom rade je potrebné si uvedomiť, že sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (pod jedným uhlom). Nedôveruj? Potom sa presvedčte pohľadom na obrázok:

Uvažujme napríklad kosínus uhla \(\beta \) . Podľa definície z trojuholníka \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ale môžeme vypočítať kosínus uhla \(\beta \) z trojuholníka \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.

Ak rozumiete definíciám, pokračujte a opravte ich!

Pre trojuholník \(ABC \) , znázornený na obrázku nižšie, nájdeme \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(pole)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(pole) \)

Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre uhol \(\beta \) .

Odpovede: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jednotkový (trigonometrický) kruh

Pochopením pojmov stupeň a radián sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným \ (1 \) . Takýto kruh sa nazýva slobodný. Je veľmi užitočný pri štúdiu trigonometrie. Preto sa mu budeme venovať trochu podrobnejšie.

Ako vidíte, tento kruh je postavený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi \(x \) (v našom príklade je to polomer \(AB \) ).

Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici pozdĺž osi \(x \) a súradnici pozdĺž osi \(y \) . Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby ste to dosiahli, nezabudnite na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Uvažujme trojuholník \(ACG \) . Je obdĺžnikový, pretože \(CG \) je kolmý na os \(x \).

Čo je \(\cos \ \alpha \) z trojuholníka \(ACG \) ? To je správne \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Okrem toho vieme, že \(AC \) je polomer jednotkovej kružnice, takže \(AC=1 \) . Dosaďte túto hodnotu do nášho kosínusového vzorca. Čo sa stane:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

A čo je \(\sin \ \alpha \) z trojuholníka \(ACG \) ? no, samozrejme, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Dosaďte do tohto vzorca hodnotu polomeru \ (AC \) a získajte:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Môžete mi teda povedať, aké sú súradnice bodu \(C \) , ktorý patrí do kruhu? No, v žiadnom prípade? Čo ak si však uvedomíte, že \(\cos \ \alpha \) a \(\sin \alpha \) sú len čísla? Akej súradnici zodpovedá \(\cos \alpha \)? No, samozrejme, súradnice \(x \) ! A akej súradnici zodpovedá \(\sin \alpha \)? Správne, súradnica \(y \)! Takže pointa \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Čo sú potom \(tg \alpha \) a \(ctg \alpha \) ? Správne, použime príslušné definície tangens a kotangens a získajme to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Čo ak je uhol väčší? Tu, napríklad, ako na tomto obrázku:

Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, opäť sa otočíme do pravouhlého trojuholníka. Uvažujme pravouhlý trojuholník \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : uhol (ako susediaci s uhlom \(\beta \) ). Aká je hodnota sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:

\(\začiatok(pole)(l)\sin \uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\uhol ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(pole) \)

No ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici \ (y \) ; hodnota kosínusu uhla - súradnica \ (x \) ; a hodnoty tangens a kotangens k príslušným pomerom. Tieto vzťahy sú teda použiteľné pre akékoľvek rotácie vektora polomeru.

Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi \(x \). Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej veľkosti, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.

Takže vieme, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je \(360()^\circ \) alebo \(2\pi \) . Je možné otočiť vektor polomeru o \(390()^\circ \) alebo o \(-1140()^\circ \) ? No, samozrejme, že môžete! V prvom prípade \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), takže vektor polomeru vykoná jednu úplnú rotáciu a zastaví sa na \(30()^\circ \) alebo \(\dfrac(\pi )(6) \) .

V druhom prípade \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to znamená, že vektor polomeru vykoná tri úplné otáčky a zastaví sa na pozícii \(-60()^\circ \) alebo \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o \(360()^\circ \cdot m \) alebo \(2\pi \cdot m \) (kde \(m \) je ľubovoľné celé číslo ) zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.

Obrázok nižšie ukazuje uhol \(\beta =-60()^\circ \) . Rovnaký obrázok zodpovedá rohu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom \(\beta +360()^\circ \cdot m \) alebo \(\beta +2\pi \cdot m \) (kde \(m \) je ľubovoľné celé číslo)

\(\begin(pole)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(pole) \)

Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať, čomu sa hodnoty rovnajú:

\(\begin(pole)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(pole) \)

Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:

Nejaké ťažkosti? Potom poďme na to. Takže vieme, že:

\(\begin(pole)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(pole) \)

Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: roh dovnútra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) zodpovedá bodu so súradnicami \(\left(0;1 \right) \), preto:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\šípka doprava \text(tg)\ 90()^\circ \)- neexistuje;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) zodpovedajú bodom so súradnicami \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \vpravo) \), resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.

Odpovede:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\šípka doprava \text(ctg)\ \pi \)- neexistuje

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\šípka doprava \text(tg)\ 270()^\circ \)- neexistuje

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\šípka doprava \text(ctg)\ 2\pi \)- neexistuje

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- neexistuje

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:

Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:

\(\left. \begin(pole)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(pole) \vpravo\)\\text(Treba si zapamätať alebo mať možnosť výstupu!! \) !}

A tu sú hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) v tabuľke nižšie si musíte pamätať:

Netreba sa ľakať, teraz si ukážeme jeden z príkladov celkom jednoduchého zapamätania zodpovedajúcich hodnôt:

Ak chcete použiť túto metódu, je dôležité zapamätať si sínusové hodnoty pre všetky tri miery uhlov ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), ako aj hodnotu dotyčnice uhla v \(30()^\circ \) . Keď poznáte tieto \(4\) hodnoty, je celkom ľahké obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:

\(\begin(pole)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \koniec (pole) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) s vedomím toho je možné obnoviť hodnoty pre \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Čitateľ „\(1 \) “ sa bude zhodovať s \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) a menovateľ „\(\sqrt(\text(3)) \) “ sa bude zhodovať \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami znázornenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si schému so šípkami, bude stačiť zapamätať si iba \(4 \) hodnoty z tabuľky.

Súradnice bodu na kružnici

Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, ak poznáme súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia? No, samozrejme, že môžete! Odvoďme si všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu. Tu máme napríklad taký kruh:

Je nám daný bod \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) je stred kruhu. Polomer kruhu je \(1,5 \) . Je potrebné nájsť súradnice bodu \(P \) získané otočením bodu \(O \) o \(\delta \) stupňov.

Ako vidno z obrázku, súradnica \ (x \) bodu \ (P \) zodpovedá dĺžke úsečky \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Dĺžka segmentu \ (UK \) zodpovedá súradnici \ (x \) stredu kruhu, to znamená, že sa rovná \ (3 \) . Dĺžka segmentu \(KQ \) môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Potom máme pre bod \(P \) súradnicu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Podľa rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod \(P\) . teda

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Vo všeobecnosti sú teda súradnice bodov určené vzorcami:

\(\začiatok(pole)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(pole) \), kde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - súradnice stredu kruhu,

\(r\) - polomer kruhu,

\(\delta \) - uhol natočenia polomeru vektora.

Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sú nulové a polomer sa rovná jednej:

\(\begin(pole)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(pole) \)

Štúdium trigonometrie začíname pravouhlým trojuholníkom. Definujme, čo je sínus a kosínus, ako aj tangens a kotangens ostrého uhla. Toto sú základy trigonometrie.

Pripomeň si to pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom. Inými slovami, polovica rozvinutého rohu.

Ostrý roh- menej ako 90 stupňov.

Tupý uhol- väčší ako 90 stupňov. Vo vzťahu k takémuto uhla nie je "tupé" urážka, ale matematický pojem :-)

Nakreslíme pravouhlý trojuholník. Pravý uhol sa zvyčajne označuje . Všimnite si, že strana oproti rohu je označená rovnakým písmenom, len malým. Takže strana ležiaca oproti uhlu A je označená.

Uhol je označený príslušným gréckym písmenom.

Hypotenzia Pravouhlý trojuholník je strana oproti pravému uhlu.

Nohy- strany oproti ostrým rohom.

Noha oproti rohu sa nazýva opak(vzhľadom na uhol). Druhá noha, ktorá leží na jednej strane rohu, sa nazýva priľahlé.

Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:

Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer priľahlej nohy k prepone:

Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer protiľahlej nohy k susednej:

Iná (ekvivalentná) definícia: dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:

Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer susednej vetvy k opačnej (alebo ekvivalentne pomer kosínusu k sínusu):

Venujte pozornosť základným pomerom pre sínus, kosínus, tangens a kotangens, ktoré sú uvedené nižšie. Budú nám užitočné pri riešení problémov.

Dokážme niektoré z nich.

Dobre, dali sme definície a napísané vzorce. Ale prečo potrebujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens?

My to vieme súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je.

Poznáme vzťah medzi strany správny trojuholník. Toto je Pytagorova veta: .

Ukazuje sa, že keď poznáte dva uhly v trojuholníku, môžete nájsť tretí. Keď poznáte dve strany v pravouhlom trojuholníku, môžete nájsť tretiu. Takže pre uhly - ich pomer, pre strany - ich vlastné. Čo však robiť, ak v pravouhlom trojuholníku je známy jeden uhol (okrem pravého) a jedna strana, no potrebujete nájsť ďalšie strany?

Tomu čelili ľudia v minulosti, keď robili mapy oblasti a hviezdnej oblohy. Koniec koncov, nie je vždy možné priamo merať všetky strany trojuholníka.

Sínus, kosínus a tangenta - nazývajú sa tiež goniometrické funkcie uhla- uveďte pomer medzi strany a rohy trojuholník. Keď poznáte uhol, môžete nájsť všetky jeho trigonometrické funkcie pomocou špeciálnych tabuliek. A keď poznáte sínusy, kosínusy a dotyčnice uhlov trojuholníka a jednej z jeho strán, môžete nájsť zvyšok.

Nakreslíme tiež tabuľku hodnôt sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre „dobré“ uhly od do.

Všimnite si dve červené čiarky v tabuľke. Pre zodpovedajúce hodnoty uhlov tangens a kotangens neexistujú.

Poďme analyzovať niekoľko problémov v trigonometrii z úloh Banky FIPI.

1. V trojuholníku je uhol , . Nájsť .

Problém je vyriešený do štyroch sekúnd.

Pretože , .

2. V trojuholníku je uhol , , . Nájsť .

Hľadajme podľa Pytagorovej vety.

Problém je vyriešený.

Často sú v problémoch trojuholníky s uhlami a alebo s uhlami a . Zapamätajte si pre nich základné pomery naspamäť!

Pre trojuholník s uhlami a protiľahlou nohou je uhol v rovný polovica prepony.

Trojuholník s uhlami a je rovnoramenný. V ňom je prepona krát väčšia ako noha.

Zvažovali sme úlohy na riešenie pravouhlých trojuholníkov – teda na hľadanie neznámych strán alebo uhlov. Ale to nie je všetko! Vo variantoch skúšky z matematiky je veľa úloh, kde sa objavuje sínus, kosínus, tangens alebo kotangens vonkajšieho uhla trojuholníka. Viac o tom v ďalšom článku.