§ 129. Predbežné objasnenia.
Človek sa neustále zaoberá najrôznejšími veličinami. Zamestnanec a robotník sa snažia dostať do služby, do práce do určitého času, chodec sa ponáhľa na určité miesto najkratšou cestou, zdroj parného kúrenia sa obáva, že teplota v kotle pomaly stúpa, obchodný manažér robí plány na zníženie výrobných nákladov atď.
Takýchto príkladov by sa dalo uviesť ľubovoľné množstvo. Čas, vzdialenosť, teplota, náklady – to všetko sú rôzne veličiny. V prvej a druhej časti tejto knihy sme sa zoznámili s niektorými obzvlášť bežnými veličinami: plocha, objem, hmotnosť. Pri štúdiu fyziky a iných vied sa stretávame s mnohými veličinami.
Predstavte si, že ste vo vlaku. Z času na čas sa pozriete na hodinky a všimnete si, ako dlho ste už na ceste. Hovoríte napríklad, že od odchodu vášho vlaku uplynulo 2, 3, 5, 10, 15 hodín atď.. Tieto čísla označujú rôzne časové úseky; nazývajú sa hodnotami tejto veličiny (čas). Alebo sa pozriete z okna a budete sledovať cestné stĺpy na vzdialenosť, ktorú váš vlak prejde. Pred vami blikajú čísla 110, 111, 112, 113, 114 km. Tieto čísla označujú rôzne vzdialenosti, ktoré vlak prešiel od miesta odchodu. Nazývajú sa aj hodnoty, tentoraz s inou hodnotou (cesta alebo vzdialenosť medzi dvoma bodmi). Jedna hodnota, napríklad čas, vzdialenosť, teplota, teda môže nadobudnúť ľubovoľnú rôzne hodnoty.
Venujte pozornosť tomu, že človek takmer nikdy nezvažuje iba jednu hodnotu, ale vždy ju spája s niektorými inými hodnotami. Musí sa súčasne zaoberať dvomi, tromi a viacerými veličinami. Predstavte si, že potrebujete prísť do školy o deviatej. Pozriete sa na hodinky a uvidíte, že máte 20 minút. Potom sa rýchlo rozhodnete, či pôjdete električkou, alebo stihnete prejsť do školy pešo. Po premýšľaní sa rozhodnete ísť pešo. Všimnite si, že v čase, keď ste premýšľali, ste riešili nejaký problém. Táto úloha sa stala jednoduchou a známou, keďže takéto problémy riešite každý deň. V ňom ste rýchlo porovnali niekoľko hodnôt. Boli ste to vy, kto sa pozrel na hodiny, čo znamená, že ste vzali do úvahy čas, potom ste si v duchu predstavili vzdialenosť z domu do školy; nakoniec ste porovnali dve veličiny: rýchlosť vášho kroku a rýchlosť električky a dospeli ste k záveru, že za daný čas (20 minút) stihnete prejsť. Z tohto jednoduchého príkladu môžete vidieť, že v našej praxi sú niektoré veličiny vzájomne prepojené, to znamená, že navzájom závisia
V dvanástej kapitole sa hovorilo o pomere homogénnych veličín. Napríklad, ak je jeden segment 12 m a druhý 4 m, potom bude pomer týchto segmentov 12: 4.
Povedali sme, že je to pomer dvoch homogénnych veličín. Inými slovami, je to pomer dvoch čísel jedno meno.
Teraz, keď sme sa bližšie zoznámili s veličinami a zaviedli sme pojem hodnoty veličiny, môžeme definíciu vzťahu uviesť novým spôsobom. V skutočnosti, keď sme zvažovali dva segmenty 12 m a 4 m, hovorili sme o jednej hodnote - dĺžke a 12 m a 4 m boli iba dve rôzne hodnoty tejto hodnoty.
Preto v budúcnosti, keď začneme hovoriť o pomere, budeme brať do úvahy dve hodnoty jednej z niektorých veličín a pomer jednej hodnoty množstva k inej hodnote toho istého množstva sa bude nazývať kvocientom delenia. prvá hodnota druhou.
§ 130. Množstvá sú priamo úmerné.
Zvážte problém, ktorého stav zahŕňa dve veličiny: vzdialenosť a čas.
Úloha 1. Teleso sa pohybuje po priamke a rovnomerne prejde 12 cm za sekundu Určte dráhu, ktorú teleso prejde za 2, 3, 4, ..., 10 sekúnd.
Urobme si tabuľku, pomocou ktorej by bolo možné sledovať zmenu času a vzdialenosti.
Tabuľka nám dáva možnosť porovnať tieto dva rady hodnôt. Vidíme z toho, že keď sa hodnoty prvej veličiny (času) postupne zvýšia 2, 3, ..., 10-krát, potom sa hodnoty druhej veličiny (vzdialenosti) tiež zvýšia o 2, 3, ..., 10 krát. Keď sa teda hodnoty jednej veličiny zvýšia niekoľkokrát, hodnoty inej veličiny sa zvýšia o rovnakú hodnotu, a keď sa hodnoty jednej veličiny niekoľkokrát znížia, hodnoty druhej veličiny sa znížia o rovnaké množstvo.
Uvažujme teraz o probléme, ktorý zahŕňa dve takéto veličiny: množstvo hmoty a jej cenu.
Úloha 2. 15 m látky stojí 120 rubľov. Vypočítajte cenu tejto tkaniny pre niekoľko ďalších množstiev metrov uvedených v tabuľke.
Z tejto tabuľky vidíme, ako postupne rastie hodnota komodity v závislosti od nárastu jej množstva. Napriek tomu, že sa v tomto probléme objavujú úplne iné veličiny (v prvom probléme - čas a vzdialenosť a tu - množstvo tovaru a jeho náklady), predsa len možno nájsť v správaní týchto veličín veľkú podobnosť.
V hornom riadku tabuľky sú totiž čísla označujúce počet metrov látky, pod každým z nich je napísané číslo vyjadrujúce náklady na zodpovedajúce množstvo tovaru. Aj letmý pohľad na túto tabuľku ukazuje, že čísla v hornom aj dolnom riadku sa zvyšujú; pri pozornejšom preskúmaní tabuľky a porovnaní jednotlivých stĺpcov sa zistí, že vo všetkých prípadoch sa hodnoty druhej veličiny zvýšia rovnako ako hodnoty prvého zvýšenia, teda ak sa zvýšila hodnota prvej veličiny, povedzme 10-krát, potom sa hodnota druhej hodnoty tiež zvýšila 10-krát.
Ak sa pozrieme na tabuľku sprava doľava, zistíme, že uvedené hodnoty množstiev sa znížia o rovnaký počet krát. V tomto zmysle existuje bezpodmienečná podobnosť medzi prvou a druhou úlohou.
Dvojice veličín, s ktorými sme sa stretli v prvej a druhej úlohe, sa nazývajú priamo úmerné.
Ak sú teda dve veličiny prepojené tak, že s niekoľkonásobným zvýšením (poklesom) hodnoty jednej z nich sa o rovnakú hodnotu zvýši (zníži) hodnota druhej, potom sa takéto veličiny nazývajú priamo úmerné.
O takých veličinách hovoria aj to, že sú navzájom prepojené priamo úmernou závislosťou.
V prírode a v živote okolo nás je takýchto množstiev veľa. Tu je niekoľko príkladov:
1. čas prácu (deň, dva dni, tri dni atď.) a zárobky dostávali v tomto čase za dennú mzdu.
2. Objem akýkoľvek predmet vyrobený z homogénneho materiálu a hmotnosť táto položka.
§ 131. Vlastnosť priamo úmerných veličín.
Zoberme si úlohu, ktorá zahŕňa nasledujúce dve veličiny: pracovný čas a zárobok. Ak je denný zárobok 20 rubľov, potom zárobok za 2 dni bude 40 rubľov atď. Najvýhodnejšie je zostaviť tabuľku, v ktorej bude určitý zárobok zodpovedať určitému počtu dní.
Pri pohľade na túto tabuľku vidíme, že obe veličiny nadobudli 10 rôznych hodnôt. Každá hodnota prvej hodnoty zodpovedá určitej hodnote druhej hodnoty, napríklad 40 rubľov zodpovedá 2 dňom; 5 dní zodpovedá 100 rubľov. V tabuľke sú tieto čísla zapísané pod sebou.
Už vieme, že ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom sa každá z nich v procese svojej zmeny zväčší o rovnakú hodnotu, ako sa zväčší druhá. Okamžite z toho vyplýva: ak vezmeme pomer akýchkoľvek dvoch hodnôt prvého množstva, potom sa bude rovnať pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt druhého množstva. Naozaj:
Prečo sa to deje? Ale pretože tieto hodnoty sú priamo úmerné, to znamená, že keď sa jedna z nich (čas) zvýšila 3-krát, potom sa druhá (zárobky) zvýšila 3-krát.
Dospeli sme teda k nasledovnému záveru: ak vezmeme akékoľvek dve hodnoty prvej veľkosti a rozdelíme ich jednu druhou a potom vydelíme jednu k druhej hodnoty druhej veľkosti, ktoré im zodpovedajú, potom v v oboch prípadoch sa získa jedno a to isté číslo, t. j. rovnaký vzťah. To znamená, že dva vzťahy, ktoré sme napísali vyššie, môžeme spojiť znakom rovnosti, t.j.
Niet pochýb o tom, že keby sme nebrali tieto vzťahy, ale iné, a nie v tomto poradí, ale v opačnom smere, získali by sme aj rovnosť vzťahov. V skutočnosti zvážime hodnoty našich množstiev zľava doprava a vezmeme tretiu a deviatu hodnotu:
60:180 = 1 / 3 .
Môžeme teda napísať:
Z toho vyplýva nasledujúci záver: ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom sa pomer dvoch ľubovoľne prijatých hodnôt prvej veličiny rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.
§ 132. Vzorec priamej úmernosti.
Urobme tabuľku nákladov na rôzne množstvá sladkostí, ak 1 kg z nich stojí 10,4 rubľov.
Teraz to urobme takto. Vezmime ľubovoľné číslo druhého radu a vydelíme ho zodpovedajúcim číslom prvého radu. Napríklad:
Vidíte, že v kvociente sa získava stále to isté číslo. Preto je pre danú dvojicu priamo úmerných veličín podiel delenia ľubovoľnej hodnoty jednej veličiny zodpovedajúcou hodnotou inej veličiny konštantné číslo (teda nemení sa). V našom príklade je tento kvocient 10,4. Toto konštantné číslo sa nazýva faktor proporcionality. V tomto prípade vyjadruje cenu za mernú jednotku, teda jeden kilogram tovaru.
Ako nájsť alebo vypočítať faktor proporcionality? Aby ste to dosiahli, musíte vziať akúkoľvek hodnotu jednej veličiny a rozdeliť ju zodpovedajúcou hodnotou inej.
Označme túto ľubovoľnú hodnotu jednej veličiny písmenom pri , a zodpovedajúca hodnota inej veličiny - písm X , potom koeficient proporcionality (označujeme ho Komu) nájdite delením:
V tejto rovnosti pri - deliteľný X - rozdeľovač a Komu- podiel, a keďže podľa vlastnosti delenia sa dividenda rovná deliteľovi vynásobenému podielom, môžeme napísať:
y= K X
Výsledná rovnosť je tzv vzorec priamej úmernosti. Pomocou tohto vzorca môžeme vypočítať ľubovoľný počet hodnôt jednej z priamo úmerných veličín, ak poznáme zodpovedajúce hodnoty druhej veličiny a koeficient úmernosti.
Príklad. Z fyziky vieme, že váha R akéhokoľvek telesa sa rovná jeho špecifickej hmotnosti d vynásobený objemom tohto telesa V, t.j. R = d V.
Vezmite päť železných ingotov rôznych veľkostí; ak poznáme špecifickú hmotnosť železa (7.8), môžeme vypočítať hmotnosti týchto polotovarov pomocou vzorca:
R = 7,8 V.
Porovnanie tohto vzorca so vzorcom pri = Komu X , to vidíme y= R, x = V a koeficient proporcionality Komu= 7,8. Vzorec je rovnaký, iba písmená sú iné.
Pomocou tohto vzorca urobme tabuľku: objem prvého polotovaru nech je 8 metrov kubických. cm, potom je jeho hmotnosť 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Objem 2. prírezu je 27 metrov kubických. cm. Jeho hmotnosť je 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Tabuľka bude vyzerať takto:
Čísla, ktoré v tejto tabuľke chýbajú, vypočítajte sami pomocou vzorca R= d V.
§ 133. Iné spôsoby riešenia úloh s priamo úmernými veličinami.
V predchádzajúcom odseku sme riešili problém, ktorého podmienka zahŕňala priamo úmerné veličiny. Na tento účel sme predtým odvodili vzorec priamej úmernosti a potom sme tento vzorec použili. Teraz si ukážeme ďalšie dva spôsoby riešenia podobných problémov.
Urobme si problém podľa číselných údajov uvedených v tabuľke predchádzajúceho odseku.
Úloha. Blank s objemom 8 metrov kubických. cm váži 62,4 g Koľko bude vážiť prírez s objemom 64 metrov kubických? cm?
rozhodnutie. Hmotnosť železa, ako viete, je úmerná jeho objemu. Ak 8 cu. cm váži 62,4 g, potom 1 cu. cm bude vážiť 8x menej, t.j.
62,4:8 = 7,8 (g).
Prírez s objemom 64 metrov kubických. cm bude vážiť 64-krát viac ako polotovar s objemom 1 cu. cm, t.j.
7,8 64 = 499,2 (g).
Náš problém sme vyriešili zredukovaním na jednotu. Význam tohto názvu je odôvodnený tým, že na jeho vyriešenie sme v prvej otázke museli nájsť hmotnosť jednotky objemu.
2. Spôsob proporcie. Vyriešme rovnaký problém pomocou proporčnej metódy.
Keďže hmotnosť železa a jeho objem sú priamo úmerné veličiny, pomer dvoch hodnôt jednej veličiny (objemu) sa rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt inej veličiny (hmotnosti), t.j.
(list R označili sme neznámu hmotnosť polotovaru). Odtiaľ:
(G).
Problém je vyriešený metódou proporcií. To znamená, že na jeho vyriešenie bola časť tvorená číslami zahrnutými v podmienke.
§ 134. Množstvá sú nepriamo úmerné.
Zvážte nasledujúci problém: „Päť murárov dokáže postaviť tehlové steny domu za 168 dní. Určte, za koľko dní by 10, 8, 6 atď. murári mohli vykonávať rovnakú prácu.
Ak by 5 murárov položilo múry domu za 168 dní, tak by to (pri rovnakej produktivite práce) 10 murárov zvládlo dvakrát rýchlejšie, keďže v priemere 10 ľudí urobí dvakrát toľko práce ako 5 ľudí.
Urobme si tabuľku, podľa ktorej by bolo možné sledovať zmenu počtu pracovných hodín a pracovných hodín.
Ak chcete napríklad zistiť, koľko dní to trvá 6 pracovníkom, musíte najprv vypočítať, koľko dní to potrebuje jeden pracovník (168 5 = 840) a potom šesť pracovníkov (840: 6 = 140). Pri pohľade na túto tabuľku vidíme, že obe veličiny nadobudli šesť rôznych hodnôt. Každá hodnota prvej veličiny zodpovedá určitejšie; hodnota druhej hodnoty, napríklad 10 zodpovedá 84, číslo 8 - číslo 105 atď.
Ak vezmeme do úvahy hodnoty oboch hodnôt zľava doprava, uvidíme, že hodnoty hornej hodnoty sa zvyšujú a hodnoty dolnej hodnoty klesajú. Na zvýšenie a zníženie sa vzťahuje nasledujúci zákon: hodnoty počtu pracovníkov sa zvyšujú toľkokrát, koľkokrát klesajú hodnoty stráveného pracovného času. Ešte jednoduchšie možno túto myšlienku vyjadriť takto: čím viac pracovníkov je zamestnaných v akomkoľvek podniku, tým menej času potrebujú na vykonanie určitej práce. Dve veličiny, s ktorými sme sa stretli v tomto probléme, sa nazývajú nepriamo úmerné.
Ak sú teda dve veličiny prepojené tak, že s niekoľkonásobným zvýšením (poklesom) hodnoty jednej z nich sa o rovnakú hodnotu zníži (zvýši) hodnota druhej, potom sa takéto veličiny nazývajú nepriamo úmerné.
Takých vecí je v živote veľa. Uveďme si príklady.
1. Ak za 150 rubľov. musíte si kúpiť niekoľko kilogramov sladkostí, potom bude počet sladkostí závisieť od ceny jedného kilogramu. Čím vyššia cena, tým menej tovaru sa dá za tieto peniaze kúpiť; to vidno z tabuľky:
S niekoľkonásobným zvýšením ceny sladkostí sa o rovnakú sumu zníži počet kilogramov sladkostí, ktoré sa dajú kúpiť za 150 rubľov. V tomto prípade sú tieto dve veličiny (váha produktu a jeho cena) nepriamo úmerné.
2. Ak je vzdialenosť medzi dvoma mestami 1 200 km, potom sa dá prejsť v rôznych časoch v závislosti od rýchlosti pohybu. Existujú rôzne spôsoby dopravy: pešo, na koni, na bicykli, loďou, autom, vlakom, lietadlom. Čím nižšia je rýchlosť, tým viac času trvá pohyb. Toto je možné vidieť z tabuľky:
S niekoľkonásobným zvýšením rýchlosti sa čas pohybu zníži o rovnakú hodnotu. Za daných podmienok sú teda rýchlosť a čas nepriamo úmerné.
§ 135. Vlastnosť nepriamo úmerných veličín.
Zoberme si druhý príklad, o ktorom sme uvažovali v predchádzajúcom odseku. Tam sme riešili dve veličiny – rýchlosť pohybu a čas. Ak vezmeme do úvahy hodnoty týchto veličín zľava doprava v tabuľke, uvidíme, že hodnoty prvej veličiny (rýchlosti) sa zvyšujú a hodnoty druhej (času) klesajú a rýchlosť sa zvyšuje rovnakým faktorom, ako sa znižuje čas. Je ľahké zistiť, že ak napíšete pomer niektorých hodnôt jednej veličiny, nebude sa rovnať pomeru zodpovedajúcich hodnôt inej veličiny. V skutočnosti, ak vezmeme pomer štvrtej hodnoty hornej hodnoty k siedmej hodnote (40: 80), nebude sa rovnať pomeru štvrtej a siedmej hodnoty spodnej hodnoty (30: 15 ). Dá sa to napísať takto:
40:80 sa nerovná 30:15 alebo 40:80 =/= 30:15.
Ale ak namiesto jedného z týchto pomerov vezmeme opak, potom dostaneme rovnosť, t.j. z týchto pomerov bude možné vytvoriť pomer. Napríklad:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Na základe vyššie uvedeného môžeme vyvodiť nasledujúci záver: ak sú dve veličiny nepriamo úmerné, potom sa pomer dvoch ľubovoľne prijatých hodnôt jednej veličiny rovná inverznému pomeru zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.
§ 136. Vzorec obrátenej úmernosti.
Zvážte problém: „Existuje 6 kusov hodvábnej tkaniny rôznych veľkostí a rôznych tried. Všetky kusy sú za rovnakú cenu. V jednom kuse 100 m látky za cenu 20 rubľov. na meter. Koľko metrov je v každom zo zvyšných piatich kusov, ak meter látky v týchto kusoch stojí 25, 40, 50, 80, 100 rubľov? Na vyriešenie tohto problému vytvoríme tabuľku:
Musíme vyplniť prázdne bunky v hornom riadku tejto tabuľky. Skúsme najprv určiť, koľko metrov je v druhom kuse. Dá sa to urobiť nasledujúcim spôsobom. Zo stavu problému je známe, že cena všetkých kusov je rovnaká. Náklady na prvý kus je ľahké určiť: má 100 m a každý meter stojí 20 rubľov, čo znamená, že v prvom kuse hodvábu za 2 000 rubľov. Keďže druhý kus hodvábu obsahuje rovnaký počet rubľov, potom sa delí 2 000 rubľov. pri cene jedného metra, teda pri 25, zistíme hodnotu druhého kusu: 2 000 : 25 = 80 (m). Rovnakým spôsobom zistíme veľkosť všetkých ostatných kusov. Tabuľka bude vyzerať takto:
Je ľahké vidieť, že medzi počtom metrov a cenou existuje inverzný vzťah.
Ak si potrebné výpočty urobíte sami, všimnete si, že zakaždým musíte deliť číslo 2 000 cenou 1 m. Naopak, ak teraz začnete násobiť veľkosť kusu v metroch cenou 1 m, vždy dostane číslo 2 000. a to sa dalo čakať, keďže každý kus stojí 2 000 rubľov.
Z toho môžeme vyvodiť nasledujúci záver: pre danú dvojicu nepriamo úmerných veličín je súčin akejkoľvek hodnoty jednej veličiny so zodpovedajúcou hodnotou inej veličiny konštantné číslo (t. j. nemení sa).
V našom probléme je tento súčin rovný 2 000. Skontrolujte, či v predchádzajúcom probléme, kde sa hovorilo o rýchlosti pohybu a čase potrebnom na presun z jedného mesta do druhého, bolo pre daný problém aj konštantné číslo (1 200 ).
Ak vezmeme do úvahy všetko, čo bolo povedané, je ľahké odvodiť vzorec inverznej úmernosti. Označte nejakú hodnotu jednej veličiny písmenom X , a zodpovedajúca hodnota inej hodnoty - písmeno pri . Potom na základe vyššie uvedenej práce X na pri sa musí rovnať nejakej konštantnej hodnote, ktorú označujeme písmenom Komu, t.j.
x y = Komu.
V tejto rovnosti X - multiplikátor, pri - multiplikátor a K- práca. Podľa vlastnosti násobenia sa násobiteľ rovná súčinu deleného násobiteľom. znamená,
Toto je vzorec inverznej proporcionality. Pomocou neho môžeme vypočítať ľubovoľný počet hodnôt jednej z nepriamo úmerných veličín, pričom poznáme hodnoty druhej a konštantné číslo Komu.
Zamyslite sa nad ďalším problémom: „Autor jednej eseje vypočítal, že keby bola jeho kniha v bežnom formáte, mala by 96 strán, ale keby bola vreckového, mala by 300 strán. Skúšal rôzne možnosti, začal s 96 stranami a potom dostal 2 500 písmen na stranu. Potom vzal počet strán uvedený v tabuľke nižšie a znova vypočítal, koľko písmen bude na stránke.
Skúsme si spočítať, koľko písmen bude na jednej strane, ak má kniha 100 strán.
V celej knihe je 240 000 písmen, keďže 2 500 96 = 240 000.
Berúc do úvahy túto skutočnosť, používame vzorec inverznej úmernosti ( pri - počet písmen na stranu X - počet strán):
V našom príklade Komu= 240 000, teda
Na stránke je teda 2 400 písmen.
Podobne sa dozvieme, že ak má kniha 120 strán, počet písmen na strane bude:
Naša tabuľka bude vyzerať takto:
Doplňte zvyšok buniek sami.
§ 137. Iné spôsoby riešenia úloh s nepriamo úmernými veličinami.
V predchádzajúcom odseku sme riešili problémy, ktoré obsahovali nepriamo úmerné veličiny. Predtým sme odvodili vzorec inverznej proporcionality a potom sme tento vzorec použili. Teraz si ukážeme dva ďalšie spôsoby riešenia takýchto problémov.
1. Metóda redukcie na jednotu.
Úloha. 5 sústružníkov zvládne nejakú prácu za 16 dní. Za koľko dní zvládne túto prácu 8 sústružníkov?
rozhodnutie. Medzi počtom sústružníkov a pracovným časom existuje inverzný vzťah. Ak prácu vykoná 5 sústružníkov za 16 dní, tak na to bude jeden človek potrebovať 5x viac času, t.j.
5 sústružníkov vykoná prácu za 16 dní,
1 sústružník to zvládne za 16 5 = 80 dní.
Problém sa pýta, za koľko dní dokončí prácu 8 sústružníkov. Je zrejmé, že prácu urobia 8-krát rýchlejšie ako 1 sústružník, t.j
80 : 8 = 10 (dni).
Toto je riešenie problému metódou redukcie na jednotu. Tu bolo v prvom rade potrebné určiť čas na výkon práce jedným pracovníkom.
2. Spôsob proporcie. Vyriešme ten istý problém druhým spôsobom.
Keďže medzi počtom robotníkov a pracovným časom je nepriamo úmerný vzťah, môžeme napísať: trvanie práce 5 sústružníkov nový počet sústružníkov (8) trvanie práce 8 sústružníkov predchádzajúci počet sústružníkov ( 5) Označme požadované trvanie práce písmenom X a nahradiť v pomere vyjadrenom slovami potrebné čísla:
Rovnaký problém je vyriešený metódou proporcií. Aby sme to vyriešili, museli sme urobiť pomernú časť čísel zahrnutých v podmienke problému.
Poznámka. V predchádzajúcich odsekoch sme sa zaoberali otázkou priamej a nepriamej úmernosti. Príroda a život nám dáva mnoho príkladov priamej a nepriamej úmernosti veličín. Treba si však uvedomiť, že tieto dva typy závislosti sú len tie najjednoduchšie. Spolu s nimi existujú aj ďalšie, zložitejšie vzťahy medzi veličinami. Okrem toho by sme si nemali myslieť, že ak sa akékoľvek dve veličiny zvýšia súčasne, potom medzi nimi nevyhnutne existuje priama úmernosť. To ani zďaleka nie je pravda. Napríklad cestovné po železnici rastie so vzdialenosťou: čím ďalej cestujeme, tým viac platíme, ale to neznamená, že cestovné je úmerné vzdialenosti.
Pojem priamej úmernosti
Predstavte si, že uvažujete o kúpe vášho obľúbeného cukríka (alebo čohokoľvek, čo máte naozaj radi). Sladkosti v obchode majú svoju cenu. Predpokladajme, že 300 rubľov za kilogram. Čím viac cukríkov si kúpite, tým viac peňazí zaplatíte. To znamená, že ak chcete 2 kilogramy - zaplaťte 600 rubľov a ak chcete 3 kilogramy - dajte 900 rubľov. Zdá sa, že s tým je všetko jasné, však?
Ak áno, tak už je vám jasné, čo je priama úmernosť – ide o pojem, ktorý popisuje pomer dvoch veličín, ktoré na sebe závisia. A pomer týchto veličín zostáva nezmenený a konštantný: o koľko dielov sa jedna z nich zväčšuje alebo zmenšuje, o rovnaký počet dielov sa úmerne zvyšuje alebo znižuje druhá.
Priama úmernosť môže byť opísaná nasledujúcim vzorcom: f(x) = a*x a a v tomto vzorci je konštantná hodnota (a = const). V našom cukríkovom príklade je cena stála, stála. Nezvyšuje sa ani neznižuje, bez ohľadu na to, koľko sladkostí sa rozhodnete kúpiť. Nezávislá premenná (argument) x je koľko kilogramov sladkostí sa chystáte kúpiť. A závislá premenná f(x) (funkcia) vyjadruje, koľko peňazí nakoniec zaplatíte za svoj nákup. Takže môžeme dosadiť čísla vo vzorci a dostať: 600 r. = 300 r. * 2 kg.
Medzizáver je tento: ak argument rastie, funkcia sa tiež zvyšuje, ak argument klesá, funkcia tiež klesá
Funkcia a jej vlastnosti
Priama úmerná funkcia je špeciálny prípad lineárnej funkcie. Ak je lineárna funkcia y = k*x + b, tak pre priamu úmernosť to vyzerá takto: y = k*x, kde k sa nazýva súčiniteľ úmernosti a je to vždy nenulové číslo. Výpočet k je jednoduchý – nájdeme ho ako podiel funkcie a argumentu: k = y/x.
Aby to bolo jasnejšie, uveďme si ďalší príklad. Predstavte si, že sa auto pohybuje z bodu A do bodu B. Jeho rýchlosť je 60 km/h. Ak predpokladáme, že rýchlosť pohybu zostáva konštantná, potom ju možno považovať za konštantnú. A potom napíšeme podmienky v tvare: S \u003d 60 * t a tento vzorec je podobný funkcii priamej úmernosti y \u003d k * x. Nakreslíme paralelu ďalej: ak k \u003d y / x, potom je možné vypočítať rýchlosť auta so znalosťou vzdialenosti medzi A a B a času stráveného na ceste: V \u003d S / t.
A teraz, od aplikovanej aplikácie poznatkov o priamej úmernosti, sa vráťme späť k jej funkcii. Medzi vlastnosti ktorých patrí:
jeho definičným oborom je množina všetkých reálnych čísel (ako aj jej podmnožina);
funkcia je nepárna;
zmena premenných je priamo úmerná celej dĺžke číselného radu.
Priama úmernosť a jej graf
Graf priamoúmernej funkcie je priamka, ktorá pretína počiatočný bod. Na jej postavenie stačí označiť už len jeden bod navyše. A spojte to a pôvod linky.
V prípade grafu je k sklon. Ak je sklon menší ako nula (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf a os x zvierajú ostrý uhol a funkcia sa zvyšuje.
A ešte jedna vlastnosť grafu funkcie priamej úmernosti priamo súvisí so sklonom k. Predpokladajme, že máme dve neidentické funkcie a podľa toho dva grafy. Ak sú teda koeficienty k týchto funkcií rovnaké, ich grafy sú rovnobežné na súradnicovej osi. A ak sa koeficienty k navzájom nerovnajú, grafy sa pretínajú.
Príklady úloh
Rozhodnime pár problémy priamej úmernosti
Začnime jednoducho.
Úloha 1: Predstavte si, že 5 sliepok znesie 5 vajec za 5 dní. A ak je 20 sliepok, koľko vajec znesú za 20 dní?
Riešenie: Označte neznámu ako x. A budeme argumentovať takto: koľkokrát bolo viac kurčiat? Vydeľte 20 5 a zistite, že 4 krát. A koľkokrát viac vajec znesie 20 sliepok za rovnakých 5 dní? Tiež 4 krát viac. Takže naše nájdeme takto: 5 * 4 * 4 \u003d 80 vajec znesie 20 sliepok za 20 dní.
Teraz je príklad trochu komplikovanejší, preformulujme problém z Newtonovej „Všeobecnej aritmetiky“. Úloha 2: Spisovateľ dokáže napísať 14 strán novej knihy za 8 dní. Ak by mal asistentov, koľko ľudí by bolo potrebných na napísanie 420 strán za 12 dní?
Riešenie: Domnievame sa, že počet ľudí (spisovateľ + asistenti) sa zvyšuje s narastajúcim množstvom práce, ak ju treba urobiť za rovnaký čas. Ale koľkokrát? Vydelením 420 číslom 14 zistíme, že sa zvýši 30-krát. Ale keďže podľa stavu úlohy je na prácu poskytnutý viac času, počet asistentov sa nezvýši 30-krát, ale týmto spôsobom: x \u003d 1 (spisovateľ) * 30 (krát): 12/8 (dni). Transformujme sa a zistíme, že x = 20 ľudí napíše 420 strán za 12 dní.
Vyriešme ďalší problém podobný tým, ktoré sme mali v príkladoch.
Úloha 3: Dve autá sa vydajú na tú istú cestu. Jeden sa pohyboval rýchlosťou 70 km/h a rovnakú vzdialenosť prekonal za 2 hodiny ako druhý za 7 hodín. Nájdite rýchlosť druhého auta.
Riešenie: Ako si pamätáte, dráha je určená rýchlosťou a časom - S = V *t. Keďže obe autá cestovali rovnako, môžeme tieto dva výrazy zrovnoprávniť: 70*2 = V*7. Kde zistíme, že rýchlosť druhého auta je V = 70*2/7 = 20 km/h.
A ešte pár príkladov úloh s funkciami priamej úmernosti. Niekedy je v problémoch potrebné nájsť koeficient k.
Úloha 4: Vzhľadom na funkcie y \u003d - x / 16 a y \u003d 5x / 2 určte ich koeficienty proporcionality.
Riešenie: Ako si pamätáte, k = y/x. Pre prvú funkciu je teda koeficient -1/16 a pre druhú k = 5/2.
A môžete sa stretnúť aj s úlohou ako je Úloha 5: Napíšte vzorec priamej úmernosti. Jeho graf a graf funkcie y \u003d -5x + 3 sú umiestnené paralelne.
Riešenie: Funkcia, ktorá je nám daná v podmienke, je lineárna. Vieme, že priama úmernosť je špeciálny prípad lineárnej funkcie. A tiež vieme, že ak sú koeficienty k funkcií rovnaké, ich grafy sú rovnobežné. To znamená, že všetko, čo je potrebné, je vypočítať koeficient známej funkcie a nastaviť priamu úmernosť pomocou známeho vzorca: y \u003d k * x. Koeficient k \u003d -5, priama úmernosť: y \u003d -5 * x.
Výkon
Teraz ste sa naučili (alebo si spomenuli, ak ste už túto tému preberali), čo sa nazýva priama úmernosť a zvážili to príklady. Hovorili sme aj o funkcii priamej úmernosti a jej grafe, riešili napríklad niekoľko problémov.
Ak bol tento článok užitočný a pomohol pochopiť tému, povedzte nám o tom v komentároch. Aby sme vedeli, či vám môžeme pomôcť.
blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.
Príklad
1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 atď.Faktor proporcionality
Konštantný pomer úmerných veličín je tzv koeficient proporcionality. Koeficient proporcionality ukazuje, koľko jednotiek jednej veličiny pripadá na jednotku druhej.
Priama úmernosť
Priama úmernosť- funkčná závislosť, pri ktorej nejaká veličina závisí od inej veličiny tak, že ich pomer zostáva konštantný. Inými slovami, tieto premenné sa menia úmerne, rovným dielom, to znamená, že ak sa argument zmenil dvakrát v ľubovoľnom smere, funkcia sa tiež zmení dvakrát v tom istom smere.
Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec:
f(X) = aX,a = const
Inverzná úmernosť
Obrátený pomer- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej zvýšenie nezávislej hodnoty (argumentu) spôsobí úmerný pokles závislej hodnoty (funkcie).
Matematicky je inverzná úmernosť napísaná ako vzorec:
Vlastnosti funkcie:
Zdroje
Nadácia Wikimedia. 2010.
- Druhý Newtonov zákon
- Coulombova bariéra
Pozrite si, čo je „Priama proporcionalita“ v iných slovníkoch:
priama úmernosť-- [A.S. Goldberg. Anglický ruský energetický slovník. 2006] Témy energie vo všeobecnosti EN priama úmera … Technická príručka prekladateľa
priama úmernosť- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. priama úmernosť vok. direkte Proportionalitat, f rus. priama úmernosť, f pranc. proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas
PROPORCIONALITA- (z lat. proporcionálny, proporcionálny). Proporcionalita. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALITA otlat. proporcionálny, proporcionálny. Proporcionalita. Vysvetlenie 25 000 ... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka
PROPORCIONALITA- PROPORCIONALITA, proporcionalita, pl. nie, samica (kniha). 1. rozptýlenie podstatné meno na pomerné. Proporcionalita dielov. Telesná proporcionalita. 2. Takýto vzťah medzi množstvami, keď sú proporcionálne (pozri proporcionálne ... Vysvetľujúci slovník Ushakova
Proporcionalita- Dve vzájomne závislé veličiny sa nazývajú proporcionálne, ak pomer ich hodnôt zostane nezmenený.. Obsah 1 Príklad 2 Koeficient proporcionality ... Wikipedia
PROPORCIONALITA- PROPORCIONALITA, a, manželky. 1. pozri pomerné. 2. V matematike: taký vzťah medzi veličinami, keď zvýšenie jednej z nich znamená zmenu druhej o rovnakú hodnotu. Priamy p. (pri reze so zvýšením o jednu hodnotu ... ... Vysvetľujúci slovník Ozhegov
proporcionality- a; a. 1. až proporcionálne (1 číslica); proporcionality. P. diely. P. telesná stavba. P. zastúpenie v parlamente. 2. Matematika. Závislosť medzi proporcionálne sa meniacimi veličinami. Faktor proporcionality. Priamy p. (V ktorom s ... ... encyklopedický slovník
Dnes sa pozrieme na to, aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ako vyzerá graf nepriamej úmernosti a ako sa vám to všetko môže hodiť nielen na hodinách matematiky, ale aj mimo školských múrov.
Také rozdielne proporcie
Proporcionalita vymenovať dve veličiny, ktoré sú na sebe navzájom závislé.
Závislosť môže byť priama a reverzná. Preto vzťah medzi veličinami opisuje priamu a nepriamu úmernosť.
Priama úmernosť- ide o taký vzťah medzi dvoma veličinami, pri ktorom zvýšenie alebo zníženie jednej z nich vedie k zvýšeniu alebo zníženiu druhej. Tie. ich postoj sa nemení.
Napríklad, čím viac úsilia vynaložíte na prípravu na skúšky, tým vyššie budú vaše známky. Alebo čím viac vecí si vezmete so sebou na túru, tým ťažšie je nosiť batoh. Tie. množstvo úsilia vynaloženého na prípravu na skúšky je priamo úmerné získaným známkam. A počet vecí zbalených v batohu je priamo úmerný jeho hmotnosti.
Inverzná úmernosť- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej niekoľkonásobné zníženie alebo zvýšenie nezávislej hodnoty (nazýva sa argument) spôsobí proporcionálne (t. j. o rovnakú hodnotu) zvýšenie alebo zníženie závislej hodnoty (nazýva sa funkcia ).
Ilustrujme si to na jednoduchom príklade. Chcete kúpiť jablká na trhu. Jablká na pulte a množstvo peňazí vo vašej peňaženke nepriamo súvisia. Tie. čím viac jabĺk kúpite, tým menej peňazí vám zostane.
Funkcia a jej graf
Funkciu inverznej úmernosti možno opísať ako y = k/x. V čom X≠ 0 a k≠ 0.
Táto funkcia má nasledujúce vlastnosti:
- Jeho doménou definície je množina všetkých reálnych čísel okrem X = 0. D(r): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Rozsah sú všetky reálne čísla okrem r= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Nemá žiadne maximálne ani minimálne hodnoty.
- Je nepárny a jeho graf je symetrický podľa pôvodu.
- Neperiodické.
- Jeho graf nepretína súradnicové osi.
- Nemá žiadne nuly.
- Ak k> 0 (to znamená, že argument sa zvyšuje), funkcia klesá proporcionálne na každom z jej intervalov. Ak k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Ako argument narastá ( k> 0) záporné hodnoty funkcie sú v intervale (-∞; 0) a kladné hodnoty sú v intervale (0; +∞). Keď argument klesá ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Graf funkcie inverznej úmernosti sa nazýva hyperbola. Znázornené takto:
Inverzne proporcionálne problémy
Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na niekoľko úloh. Nie sú príliš zložité a ich riešenie vám pomôže predstaviť si, čo je to inverzná úmernosť a ako môžu byť tieto znalosti užitočné vo vašom každodennom živote.
Úloha číslo 1. Auto sa pohybuje rýchlosťou 60 km/h. Do cieľa mu trvalo 6 hodín. Ako dlho mu bude trvať, kým prejde rovnakú vzdialenosť, ak sa bude pohybovať dvojnásobnou rýchlosťou?
Môžeme začať napísaním vzorca, ktorý popisuje vzťah času, vzdialenosti a rýchlosti: t = S/V. Súhlasím, veľmi nám to pripomína funkciu nepriamej úmernosti. A naznačuje, že čas, ktorý auto strávi na ceste, a rýchlosť, ktorou sa pohybuje, sú nepriamo úmerné.
Aby sme to overili, nájdime V 2, ktorý je podľa stavu 2-krát vyšší: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Potom vypočítame vzdialenosť pomocou vzorca S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie je ťažké zistiť čas t 2, ktorý sa od nás požaduje podľa stavu problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.
Ako vidíte, čas jazdy a rýchlosť sú skutočne nepriamo úmerné: s rýchlosťou 2-krát vyššou ako pôvodná, auto strávi na ceste 2-krát menej času.
Riešenie tohto problému môže byť napísané aj ako pomer. Prečo vytvárame takýto diagram:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Šípky označujú inverzný vzťah. A tiež navrhujú, že pri zostavovaní pomeru sa musí pravá strana záznamu otočiť: 60/120 \u003d x / 6. Kde získame x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 hodiny.
Úloha číslo 2. Dielňa zamestnáva 6 pracovníkov, ktorí zvládnu dané množstvo práce za 4 hodiny. Ak sa počet pracovníkov zníži na polovicu, ako dlho bude trvať, kým zvyšní pracovníci dokončia rovnaký objem práce?
Podmienky problému zapíšeme vo forme vizuálneho diagramu:
↓ 6 pracovníkov – 4 hodiny
↓ 3 pracovníci - x h
Zapíšme si to ako podiel: 6/3 = x/4. A dostaneme x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 hodín. Ak je pracovníkov 2-krát menej, zvyšok strávi 2-krát viac času na dokončenie celej práce.
Úloha číslo 3. Do bazéna vedú dve rúry. Prostredníctvom jedného potrubia vstupuje voda rýchlosťou 2 l / s a naplní bazén za 45 minút. Cez ďalšie potrubie sa bazén napustí za 75 minút. Ako rýchlo vstupuje voda do bazéna cez toto potrubie?
Na začiatok uvedieme všetky nám dané veličiny podľa stavu problému na rovnaké merné jednotky. Na tento účel vyjadrujeme rýchlosť plnenia bazéna v litroch za minútu: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.
Keďže z podmienky vyplýva, že bazén sa cez druhé potrubie napúšťa pomalšie, znamená to, že rýchlosť prítoku vody je nižšia. Na tvári obrátenej úmernosti. Vyjadrime nám neznámu rýchlosť pomocou x a zostavme nasledujúcu schému:
↓ 120 l/min - 45 min
↓ x l/min – 75 min
A potom urobíme pomer: 120 / x \u003d 75/45, odkiaľ x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.
V úlohe je rýchlosť napúšťania bazéna vyjadrená v litroch za sekundu, prinesme našu odpoveď do rovnakého tvaru: 72/60 = 1,2 l/s.
Úloha číslo 4. Vizitky sa tlačia v malej súkromnej tlačiarni. Zamestnanec tlačiarne pracuje rýchlosťou 42 vizitiek za hodinu a pracuje na plný úväzok - 8 hodín. Ak by pracoval rýchlejšie a vytlačil 48 vizitiek za hodinu, o koľko skôr by mohol ísť domov?
Ideme osvedčeným spôsobom a zostavíme schému podľa stavu problému, pričom požadovanú hodnotu označíme ako x:
↓ 42 vizitiek/h – 8 h
↓ 48 vizitiek/h – xh
Pred nami je nepriamo úmerný vzťah: koľkokrát viac vizitiek vytlačí zamestnanec tlačiarne za hodinu, toľko času mu zaberie dokončenie tej istej úlohy. Keď to vieme, môžeme nastaviť pomer:
42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 hodín.
Po dokončení práce za 7 hodín mohol zamestnanec tlačiarne ísť domov o hodinu skôr.
Záver
Zdá sa nám, že tieto problémy s inverznou proporcionalitou sú skutočne jednoduché. Dúfame, že ich tak teraz považujete aj vy. A čo je najdôležitejšie, znalosť nepriamo úmernej závislosti veličín sa vám naozaj môže hodiť viackrát.
Nielen na hodinách matematiky a na skúškach. Ale aj vtedy, keď sa chystáte na výlet, nakupovať, rozhodnúť sa zarobiť si cez prázdniny atď.
Povedzte nám v komentároch, aké príklady inverznej a priamej úmernosti si všimnete vo svojom okolí. Nech je to hra. Uvidíte, aké to bude vzrušujúce. Nezabudnite tento článok „zdieľať“ na sociálnych sieťach, aby si mohli zahrať aj vaši kamaráti a spolužiaci.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
I. Priamo úmerné množstvá.
Nechajte hodnotu r závisí od veľkosti X. Ak s nárastom X niekoľkonásobne väčšie pri zvyšuje o rovnaký faktor, potom také hodnoty X a pri sa nazývajú priamo úmerné.
Príklady.
1 . Množstvo zakúpeného tovaru a cena nákupu (pri pevnej cene jednej jednotky tovaru - 1 kus alebo 1 kg atď.) Koľkokrát viac sa nakúpilo tovaru, toľkokrát viac a zaplatilo.
2 . Prejdená vzdialenosť a čas strávený na nej (pri konštantnej rýchlosti). Koľkokrát dlhšia cesta, toľkokrát viac času na nej strávime.
3 . Objem telesa a jeho hmotnosť. ( Ak je jeden melón 2-krát väčší ako druhý, jeho hmotnosť bude 2-krát väčšia)
II. Vlastnosť priamej úmernosti veličín.
Ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom sa pomer dvoch ľubovoľných hodnôt prvej veličiny rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.
Úloha 1. Na malinový džem 12 kg maliny a 8 kg Sahara. Koľko cukru bude potrebné, ak sa vezme 9 kg maliny?
rozhodnutie.
Hádame sa takto: nech je to potrebné x kg cukor na 9 kg maliny. Hmotnosť malín a hmotnosť cukru sú priamo úmerné: koľkokrát menej malín, toľko cukru je potrebné. Preto pomer prijatých (hmotnostných) malín ( 12:9 ) sa bude rovnať pomeru prijatého cukru ( 8:x). Dostaneme pomer:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. odpoveď: na 9 kg maliny vziať 6 kg Sahara.
Riešenie problému dalo sa to spravit takto:
Nechaj tak 9 kg maliny vziať x kg Sahara.
(Šípky na obrázku sú nasmerované jedným smerom a nezáleží na tom hore alebo dole. Význam: koľkokrát číslo 12 ďalšie číslo 9 , rovnaké číslo 8 ďalšie číslo X, t.j. je tu priama závislosť).
odpoveď: na 9 kg maliny vziať 6 kg Sahara.
Úloha 2. auto pre 3 hodiny prejdená vzdialenosť 264 km. Ako dlho mu to bude trvať 440 km ak ide rovnakou rýchlosťou?
rozhodnutie.
Nechajte pre x hodín auto prejde vzdialenosť 440 km.
odpoveď: auto prejde 440 km za 5 hodín.
Úloha 3. Voda vstupuje do bazéna z potrubia. vzadu 2 hodiny ona napĺňa 1/5 bazén. Na akú časť bazéna sa napúšťa voda 5 hodín?
rozhodnutie.
Na otázku úlohy odpovedáme: pre 5 hodín naplniť 1/xčasť bazéna. (Celý bazén sa berie ako jeden celok).
