ako ontologická kategória odráža mieru možnosti vzniku akejkoľvek entity v akýchkoľvek podmienkach. Na rozdiel od matematických a logických výkladov tohto pojmu sa ontologická V. nespája s nevyhnutnosťou kvantitatívneho vyjadrenia. Hodnota V. sa odhaľuje v kontexte chápania determinizmu a povahy vývoja vôbec.

Skvelá definícia

Neúplná definícia ↓

PRAVDEPODOBNOSŤ

pojem, ktorý charakterizuje veličiny. miera možnosti výskytu určitej udalosti pri určitom. podmienky. Vo vedeckom poznania existujú tri výklady V. Klasický pojem V., ktorý vzišiel z matematického. analýzu hazardných hier a najúplnejšie ju rozpracovali B. Pascal, J. Bernoulli a P. Laplace, považuje V. za pomer počtu priaznivých prípadov k celkovému počtu všetkých rovnako možných. Napríklad pri hode kockou, ktorá má 6 strán, možno očakávať, že každá z nich príde s V rovnajúcim sa 1/6, pretože žiadna zo strán nemá oproti tej druhej výhody. Takáto symetria výsledkov skúseností sa berie do úvahy najmä pri organizovaní hier, ale je pomerne zriedkavá pri skúmaní objektívnych udalostí vo vede a praxi. klasické Interpretácia V. ustúpila štatistickej. V. koncepty, v ktorých jadre sú platné. pozorovanie vzhľadu určitej udalosti počas trvania. skúsenosti za presne stanovených podmienok. Prax potvrdzuje, že čím častejšie sa udalosť vyskytuje, tým väčšia je miera objektívnej možnosti jej vzniku, alebo V. Preto štatistické. Výklad V. vychádza z pojmu súvisí. frekvencie, rez môže byť určený empiricky. V. ako teoretické. pojem sa však v mnohých ohľadoch nikdy nezhoduje s empiricky určenou frekvenciou. prípadoch sa prakticky len málo líši od príbuzného. frekvencia zistená ako výsledok trvania. pozorovania. Mnohí štatistici považujú V. za „dvojníka“ odkazuje. frekvencia, hrana je určená štatistickým. štúdium výsledkov pozorovania

alebo experimenty. Menej realistická bola definícia V. ako limitu súvisí. frekvencie hromadných podujatí, prípadne kolektívov, ktoré navrhol R. Mises. Ako ďalší vývoj frekvenčného prístupu k V. sa predkladá dispozičná, resp. sklonová interpretácia V. (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Podľa tohto výkladu V. charakterizuje vlastnosť vytvárania podmienok napr. experimentovať. inštalácia, aby sa získala sekvencia masívnych náhodných udalostí. Je to tento postoj, ktorý dáva vznik fyzickému dispozície, alebo predispozície, V. to-rykh možno kontrolovať pomocou rel. frekvencie.

Štatistické V. výklad dominuje vo vedeckej. vedomosti, pretože odzrkadľujú špecifickosť. povaha vzorov, ktoré sú vlastné hromadným javom náhodnej povahy. V mnohých fyzikálnych, biologických, ekonomických, demografických a iných spoločenských procesov je potrebné brať do úvahy pôsobenie mnohých náhodných faktorov, to-žito sa vyznačujú stabilnou frekvenciou. Identifikácia tejto stabilnej frekvencie a veličín. jeho posúdenie pomocou V. umožňuje odhaliť nevyhnutnosť, ktorá si razí cestu kumulatívnym pôsobením mnohých nehôd. Tu nachádza svoj prejav dialektika premeny náhody na nevyhnutnosť (pozri F. Engels, v knihe: K. Marx a F. Engels, Soch., zv. 20, s. 535-36).

Logické alebo induktívne uvažovanie charakterizuje vzťah medzi premisami a záverom nedemonštratívneho a najmä induktívneho uvažovania. Na rozdiel od dedukcie, premisy indukcie nezaručujú pravdivosť záveru, len ho robia viac-menej pravdepodobným. Túto vierohodnosť s presne formulovanými premisami možno niekedy odhadnúť pomocou V. Hodnota tohto V. sa najčastejšie zisťuje porovnávaním. pojmy (väčšie, menšie alebo rovné) a niekedy aj číselným spôsobom. Logika interpretácia sa často používa na analýzu induktívneho uvažovania a budovanie rôznych systémov pravdepodobnostnej logiky (R. Carnap, R. Jeffrey). V sémantike logické pojmy. V. sa často definuje ako miera potvrdenia jedného tvrdenia inými (napríklad hypotéza jeho empirických údajov).

V súvislosti s rozvojom teórií rozhodovania a hier, tzv. personalistický výklad V. Hoci V. zároveň vyjadruje mieru presvedčenia subjektu a výskyt určitej udalosti, samotné V. treba voliť tak, aby boli splnené axiómy výpočtu V.. Preto V. takýmto výkladom nevyjadruje ani tak mieru subjektívnej, ako skôr racionálnej viery. Následne rozhodnutia urobené na základe takéhoto V. budú racionálne, pretože nezohľadňujú psychologické. vlastnosti a sklony subjektu.

Z epistemologického sp. rozdiel medzi štatistikou., log. a personalistické interpretácie V. spočíva v tom, že ak prvá charakterizuje objektívne vlastnosti a vzťahy hromadných javov náhodného charakteru, tak posledné dve rozoberajú črty subjektívneho, poznávacieho. ľudské činnosti v podmienkach neistoty.

PRAVDEPODOBNOSŤ

jeden z najdôležitejších pojmov vedy, charakterizujúci špeciálne systémové videnie sveta, jeho štruktúru, vývoj a poznanie. Špecifickosť pravdepodobnostného pohľadu na svet odhaľuje zaradenie pojmov náhoda, nezávislosť a hierarchia (predstavy úrovní v štruktúre a determinácii systémov) medzi základné pojmy bytia.

Predstavy o pravdepodobnosti vznikli v staroveku a súviseli s charakteristikami našich vedomostí, pričom sa uznávala prítomnosť pravdepodobnostných vedomostí, ktoré sa líšia od spoľahlivých vedomostí a od falošných. Vplyv myšlienky pravdepodobnosti na vedecké myslenie, na rozvoj poznania priamo súvisí s rozvojom teórie pravdepodobnosti ako matematickej disciplíny. Vznik matematickej doktríny pravdepodobnosti sa datuje do 17. storočia, kedy sa rozvíjalo jadro pojmov, ktoré umožňujú. kvantitatívne (číselné) charakteristiky a vyjadrujúce pravdepodobnostnú predstavu.

Intenzívne aplikácie pravdepodobnosti na rozvoj poznania spadajú na 2. poschodie. 19- 1. poschodie. 20. storočie Pravdepodobnosť vstúpila do štruktúr takých základných prírodných vied, akými sú klasická štatistická fyzika, genetika, kvantová teória, kybernetika (teória informácie). Pravdepodobnosť teda zosobňuje tú etapu vývoja vedy, ktorá je dnes definovaná ako neklasická veda. Na odhalenie novosti, čŕt pravdepodobnostného spôsobu myslenia, je potrebné vychádzať z analýzy predmetu teórie pravdepodobnosti a základov jej mnohých aplikácií. Teória pravdepodobnosti je zvyčajne definovaná ako matematická disciplína, ktorá študuje zákony hromadných náhodných javov za určitých podmienok. Náhodnosť znamená, že v rámci masového charakteru existencia každého elementárneho javu nezávisí a nie je determinovaná existenciou iných javov. Zároveň samotná masová povaha javov má stabilnú štruktúru, obsahuje určité zákonitosti. Hromadný jav je pomerne striktne rozdelený na subsystémy a relatívny počet elementárnych javov v každom zo subsystémov (relatívna frekvencia) je veľmi stabilný. Táto stabilita sa porovnáva s pravdepodobnosťou. Hromadný jav ako celok charakterizuje rozdelenie pravdepodobností, t. j. priradenie podsystémov a im zodpovedajúcich pravdepodobností. Jazykom teórie pravdepodobnosti je jazyk rozdelenia pravdepodobnosti. V súlade s tým je teória pravdepodobnosti definovaná ako abstraktná veda o operáciách s rozdeleniami.

Pravdepodobnosť vyvolala vo vede myšlienky o štatistických zákonitostiach a štatistických systémoch. Posledne menované sú systémy vytvorené z nezávislých alebo kvázi nezávislých entít, ich štruktúra je charakterizovaná rozdeleniami pravdepodobnosti. Ako je však možné vytvárať systémy z nezávislých subjektov? Zvyčajne sa predpokladá, že na vytvorenie systémov s integrálnymi charakteristikami je potrebné, aby medzi ich prvkami boli dostatočne stabilné väzby, ktoré systémy stmelia. Stabilita štatistických systémov je daná prítomnosťou vonkajších podmienok, vonkajšieho prostredia, skôr vonkajších ako vnútorných síl. Samotná definícia pravdepodobnosti je vždy založená na stanovení podmienok pre vznik počiatočného hromadného javu. Ďalšou dôležitou myšlienkou, ktorá charakterizuje pravdepodobnostnú paradigmu, je myšlienka hierarchie (podriadenosti). Táto myšlienka vyjadruje vzťah medzi charakteristikami jednotlivých prvkov a integrálnymi charakteristikami systémov: tie druhé sú akoby postavené na prvých.

Význam pravdepodobnostných metód v poznávaní spočíva v tom, že nám umožňujú skúmať a teoreticky vyjadrovať zákonitosti štruktúry a správania objektov a systémov, ktoré majú hierarchickú, „dvojúrovňovú“ štruktúru.

Analýza charakteru pravdepodobnosti je založená na jej frekvencii, štatistickej interpretácii. Zároveň veľmi dlho vo vede dominovalo také chápanie pravdepodobnosti, ktoré sa nazývalo logická, čiže induktívna pravdepodobnosť. Logická pravdepodobnosť sa zaujíma o otázky platnosti samostatného, ​​individuálneho úsudku za určitých podmienok. Je možné posúdiť mieru potvrdenia (spoľahlivosť, pravdivosť) induktívneho záveru (hypotetického záveru) v kvantitatívnej forme? V priebehu formovania teórie pravdepodobnosti sa takéto otázky opakovane diskutovali a začali hovoriť o stupňoch potvrdenia hypotetických záverov. Táto miera pravdepodobnosti je určená informáciami, ktorými daný človek disponuje, jeho skúsenosťami, názormi na svet a psychologickým zmýšľaním. Vo všetkých takýchto prípadoch nie je veľkosť pravdepodobnosti prístupná prísnym meraniam a prakticky leží mimo kompetencie teórie pravdepodobnosti ako konzistentnej matematickej disciplíny.

Objektívna, frekvenčná interpretácia pravdepodobnosti bola vo vede založená so značnými ťažkosťami. Spočiatku bolo chápanie podstaty pravdepodobnosti silne ovplyvnené tými filozofickými a metodologickými názormi, ktoré boli charakteristické pre klasickú vedu. Historicky sa formovanie pravdepodobnostných metód vo fyzike vyskytlo pod rozhodujúcim vplyvom myšlienok mechaniky: štatistické systémy boli považované jednoducho za mechanické. Keďže zodpovedajúce problémy neboli riešené striktnými metódami mechaniky, objavili sa konštatovania, že odvolávanie sa na pravdepodobnostné metódy a štatistické zákonitosti je výsledkom neúplnosti našich vedomostí. V dejinách vývoja klasickej štatistickej fyziky sa uskutočnili početné pokusy podložiť ju na základe klasickej mechaniky, ale všetky zlyhali. Základom pravdepodobnosti je, že vyjadruje znaky štruktúry určitej triedy systémov, iných ako sú systémy mechaniky: stav prvkov týchto systémov je charakterizovaný nestabilitou a špeciálnou (na mechaniku neredukovateľnou) povahou interakcií. .

Vstup pravdepodobnosti do poznania vedie k popretiu konceptu rigidného determinizmu, k popretiu základného modelu bytia a poznania vyvinutého v procese formovania klasickej vedy. Základné modely reprezentované štatistickými teóriami sú iného, ​​všeobecnejšieho charakteru: zahŕňajú myšlienky náhodnosti a nezávislosti. Myšlienka pravdepodobnosti je spojená s odhalením vnútornej dynamiky objektov a systémov, ktorú nemožno úplne určiť vonkajšími podmienkami a okolnosťami.

Koncept pravdepodobnostnej vízie sveta, založenej na absolutizácii myšlienok o nezávislosti (ako predtým paradigma rigidného určenia), teraz odhalil svoje obmedzenia, ktoré najvýraznejšie ovplyvňujú prechod modernej vedy na analytické metódy štúdia komplexu. systémy a fyzikálne a matematické základy javov samoorganizácie.

Skvelá definícia

Neúplná definícia ↓

Pravdepodobnosť opačnej udalosti

Predstavte si nejakú náhodnú udalosť A, a nech je jeho pravdepodobnosť p(A) známy. Potom pravdepodobnosť opačnej udalosti je určená vzorcom

. (1.8)

Dôkaz. Pripomeňme, že podľa axiómy 3 pre nezlučiteľné udalosti

p(A+B) = p(A) + p(B).

Kvôli nekompatibilite A a

Dôsledok., to znamená, že pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Vzorec (1.8) sa používa na určenie napríklad pravdepodobnosti neúspechu, ak je známa pravdepodobnosť zásahu (alebo naopak, pravdepodobnosti zásahu, ak je známa pravdepodobnosť chýbania; napríklad ak je pravdepodobnosť zásahu známa pištoľ je 0,9, pravdepodobnosť netrafenia pre ňu je (1 - 0, 9 = 0,1).

1. Pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí

Tu by bolo vhodné pripomenúť to pre nezlučiteľné udalosti tento vzorec vyzerá takto:

Príklad. Závod vyrába 85 % výrobkov prvého stupňa a 10 % druhého stupňa. Ostatné položky sa považujú za chybné. Aká je pravdepodobnosť, že pri náhodnom odbere výrobku dostaneme chybu?

rozhodnutie. P \u003d 1 - (0,85 + 0,1) \u003d 0,05.

Pravdepodobnosť súčtu akýchkoľvek dvoch náhodných udalostí rovná sa

Dôkaz. Predstavte si udalosť A + B ako súhrn nekompatibilných udalostí

Vzhľadom na nekompatibilitu A a získame podľa axiómy 3

Podobne zisťujeme

Nahradením posledne menovaného do predchádzajúceho vzorca dostaneme požadovaný (1.10) (obr. 2).

Príklad. Z 20 žiakov uspelo 5 ľudí na skúške z dejepisu na dvojku, 4 z angličtiny a 3 žiaci dostali dvojku z oboch predmetov. Aké je percento žiakov v skupine, ktorí z týchto predmetov nemajú dvojky?

rozhodnutie. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70 %).

1. Podmienená pravdepodobnosť

V niektorých prípadoch je potrebné určiť pravdepodobnosť náhodnej udalosti B za predpokladu, že nastala náhodná udalosť A, ktorá má nenulovú pravdepodobnosť. Tá udalosť A stalo, zužuje priestor elementárnych udalostí na množinu A zodpovedajúce tejto udalosti. Ďalšie úvahy sa budú vykonávať na príklade klasickej schémy. Nech W pozostáva z n rovnako možných elementárnych udalostí (výsledkov) a udalosti A priazne m(A) a udalosť AB - m (AB) výsledky. Označte podmienenú pravdepodobnosť udalosti B za predpokladu, že A došlo, - p(B|A). A-priory,

= .

Ak A stalo, potom jeden z m(A) výsledky a udalosť B môže nastať iba vtedy, ak dôjde k jednému z priaznivých výsledkov AB; takéto výsledky m (AB). Preto je prirodzené klásť podmienenú pravdepodobnosť udalosti B za predpokladu, že A stalo, rovná sa pomeru

V súhrne uvádzame všeobecnú definíciu: podmienená pravdepodobnosť udalosti B za predpokladu, že nastala udalosť A s nenulovou pravdepodobnosťou , volal

. (1.11)

Je ľahké skontrolovať, či takto zavedená definícia spĺňa všetky axiómy, a teda všetky predtým dokázané vety sú pravdivé.

Často podmienená pravdepodobnosť p(B|A) možno ľahko zistiť z podmienok problému, v zložitejších prípadoch treba použiť definíciu (1.11).

Príklad. Urna obsahuje N loptičiek, z ktorých n je bielych a N-n je čiernych. Vyberie sa z neho loptička a bez toho, aby sa dala späť ( vzorka bez vrátenia ), získajte ďalšiu. Aká je pravdepodobnosť, že obe loptičky sú biele?

rozhodnutie. Pri riešení tohto problému použijeme klasickú definíciu pravdepodobnosti aj pravidlo súčinu: označme A udalosť spočívajúcu v tom, že prvá bola vytiahnutá biela guľa (potom bola najprv vytiahnutá čierna guľa) a cez B udalosť spočívajúca v tom, že druhá loptička bola vytiahnutá biela guľa; potom

.

Je ľahké vidieť, že pravdepodobnosť, že tri loptičky vytiahnuté v rade (bez výmeny) sú biele, je:

atď.

Príklad. Z 30 skúšobných lístkov si študent pripravil len 25. Ak odmietne odpovedať na prvý odobratý lístok (čo nevie), môže si vziať druhý. Určte pravdepodobnosť, že druhý tiket je šťastný.

rozhodnutie. Nechajte udalosť A spočíva v tom, že prvý vyžrebovaný tiket sa ukázal byť pre študenta „zlý“, a B- druhý - ²dobrý². Pretože po udalosti A jeden „zlý“ je už vylúštený, potom zostáva už len 29 lístkov, z ktorých 25 študent pozná. Požadovaná pravdepodobnosť, za predpokladu, že výskyt akéhokoľvek lístka je rovnako možný a že sa nevráti späť, je teda rovná .

1. Pravdepodobnosť produktu

Vzťah (1.11), za predpokladu, že p(A) alebo p(B) sa nerovnajú nule, môžu byť zapísané v tvare

Tento pomer sa nazýva veta o pravdepodobnosti súčinu dvoch udalostí , ktorý možno zovšeobecniť na ľubovoľný počet faktorov, napríklad pre tri má tvar

Príklad. Za podmienok predchádzajúceho príkladu nájdite pravdepodobnosť úspešného absolvovania skúšky, ak na to musí študent odpovedať na prvý lístok, alebo bez odpovede na prvý, nezabudnite odpovedať na druhý.

rozhodnutie. Nechajte udalosti A a B sú, že prvý a druhý lístok sú „dobré“. Potom - vzhľad "zlého" lístka prvýkrát. Skúška sa vykoná, ak dôjde k udalosti A alebo súčasne a B. To znamená, že požadovaná udalosť C - úspešné zloženie skúšky - je vyjadrená takto: C = A+ .Odtiaľto

Tu sme využili nekompatibilitu A a teda nekompatibilita A a , vety o pravdepodobnosti súčtu a súčinu a klasická definícia pravdepodobnosti pri výpočte p(A) a .

Tento problém možno vyriešiť ešte jednoduchšie, ak použijeme vetu o pravdepodobnosti opačnej udalosti:

1. Nezávislosť udalostí

Náhodné udalosti A a Bzavolajme sinezávislý, ak

Pre nezávislé udalosti z (1.11) vyplýva, že ; platí to aj naopak.

Nezávislosť udalostíznamená, že výskyt udalosti A nemení pravdepodobnosť výskytu udalosti B, to znamená, že podmienená pravdepodobnosť sa rovná nepodmienenej .

Príklad. Zoberme si predchádzajúci príklad s urnou obsahujúcou N loptičiek, z ktorých n je bielych, ale zmeňme skúsenosť: keď sme vytiahli loptičku, vložíme ju späť a až potom vyberieme ďalšiu ( aport s návratom ).

A je udalosť, že biela guľa bola vytiahnutá ako prvá, udalosť, že čierna guľa bola vytiahnutá ako prvá, a B je udalosť, že biela guľa bola vytiahnutá ako druhá; potom

to znamená, že v tomto prípade sú udalosti A a B nezávislé.

Pri vzorkovaní s návratom sú teda udalosti pri druhom ťahaní lopty nezávislé od udalostí prvého ťahania, ale pri vzorkovaní bez výmeny tomu tak nie je. Pre veľké N a n sú však tieto pravdepodobnosti veľmi blízko sebe. Používa sa to preto, že sa niekedy vykonáva odber vzoriek bez výmeny (napríklad pri kontrole kvality, keď testovanie objektu vedie k jeho zničeniu) a výpočty sa vykonávajú pomocou vzorcov na odber vzoriek s náhradou, ktoré sú jednoduchšie.

V praxi sa pri výpočte pravdepodobností často používa pravidlo, podľa ktorého z fyzickej nezávislosti dejov vyplýva ich nezávislosť v pravdepodobnostnom zmysle .

Príklad. Pravdepodobnosť, že človek vo veku 60 rokov nezomrie v budúcom roku, je 0,91. Poisťovňa poisťuje život dvom ľuďom vo veku 60 rokov na rok.

Pravdepodobnosť, že nikto z nich nezomrie: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Pravdepodobnosť, že obaja zomrú:

(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 x 0,09 = 0,0081.

Pravdepodobnosť úmrtia aspoň jeden:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Pravdepodobnosť úmrtia jeden:

0,91 x 0,09 + 0,09 x 0,91 = 0,1638.

Systém udalostí A1, A2,..., A n agregovane nazývame nezávislé, ak sa pravdepodobnosť súčinu rovná súčinu pravdepodobností pre akúkoľvek kombináciu faktorov z tohto systému. V tomto prípade najmä

Príklad. Kód trezoru pozostáva zo siedmich desatinných miest. Aká je pravdepodobnosť, že sa to zlodejovi podarí hneď na prvý raz?

Na každej zo 7 pozícií môžete vytočiť ktorúkoľvek z 10 číslic 0,1,2,...,9, celkovo teda 10 7 čísel, počnúc 0000000 a končiac 9999999.

Príklad. Kód trezoru pozostáva z ruského písmena (je ich 33) a troch číslic. Aká je pravdepodobnosť, že sa to zlodejovi podarí hneď na prvý raz?

P = (1/33) x (1/10) 3.

Príklad. Vo všeobecnejšej podobe poistný problém: pravdepodobnosť, že človek vo veku ... rokov nezomrie v nasledujúcom roku, sa rovná p. Poisťovňa poisťuje život n ľuďom v tomto veku na rok.

Pravdepodobnosť, že nikto z nich nezomrie: pn (nemusia nikomu platiť poistné).

Pravdepodobnosť úmrtia aspoň jeden: 1 - p n (prichádzajú platby).

Pravdepodobnosť, že oni Všetci die: (1 – p) n (najväčšie výplaty).

Pravdepodobnosť úmrtia jeden: n × (1 – p) × p n-1 (ak sú ľudia očíslovaní, tak ten, kto zomrie, môže byť očíslovaný 1, 2,…,n – ide o n rôznych udalostí, z ktorých každá má pravdepodobnosť (1 – p) × pn-1).

1. Vzorec úplnej pravdepodobnosti

Nechajte udalosti H1, H2, ..., Hn splniť podmienky

Ak .

Takáto zbierka je tzv celá skupina podujatí.

Predpokladajme, že poznáme pravdepodobnosti p(Ahoj), p(A/H i). V tomto prípade platí vzorec celkovej pravdepodobnosti

. (1.14)

Dôkaz. Využime čo Ahoj(zvyčajne sa nazývajú hypotéz ) sú párovo nekonzistentné (teda nekonzistentné a Ahoj× A), a ich súčet je určitou udalosťou

Táto schéma sa odohráva vždy, keď môžeme hovoriť o rozdelení celého priestoru udalostí na niekoľko, všeobecne povedané, heterogénnych regiónov. V ekonomike ide o rozdelenie krajiny alebo oblasti na regióny rôznej veľkosti a rôznych podmienok, keď je známy podiel každého regiónu p(ahoj) a pravdepodobnosť (podiel) nejakého parametra v každom kraji (napr. percento nezamestnaných - to je v každom kraji iné) - p(A/Ahoj). Sklad môže obsahovať produkty z troch rôznych tovární, ktoré dodávajú rôzne množstvá produktov s rôznym percentom chýb atď.

Príklad. Odlievanie ošípaných pochádza z dvoch obchodov do tretieho: 70 % z prvého a 30 % z druhého. Zároveň majú výrobky prvej dielne 10% chýb a druhá - 20%. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybratý disk má chybu.

rozhodnutie: p(Hi) = 0,7; p(H2) = 0,3; p(A/H1) = 0,1; p(A/H2)=0,2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (v priemere 13 % prírezov v tretej predajni je chybných).

Matematický model môže byť napríklad takýto: existuje niekoľko urien rôzneho zloženia; v prvej urne je n 1 loptičiek, z toho m 1 bielych a pod. Vzorec celkovej pravdepodobnosti sa používa na nájdenie pravdepodobnosti náhodným výberom urny, ako z nej získať bielu guľu.

Problémy sa vo všeobecnom prípade riešia rovnakým spôsobom.

Príklad. Vráťme sa k príkladu s urnou obsahujúcou N loptičiek, z ktorých n je bielych. Dostávame z nej (bez návratu) dve loptičky. Aká je pravdepodobnosť, že druhá guľa je biela?

rozhodnutie. H 1 - prvá guľa je biela; p(Hi)=n/N;

H 2 - prvá guľa je čierna; p(H2)=(N-n)/N;

B - druhá guľa je biela; p(B|H1)=(n-l)/(N-l); p(B|H2)=n/(N-l);

Rovnaký model možno použiť na riešenie nasledujúceho problému: z N lístkov sa študent naučil iba n. Čo je pre neho výhodnejšie - ťahať lístok prvý alebo druhý? Ukazuje sa, že v každom prípade je to s pravdepodobnosťou n/N vytiahne dobrý tiket as pravdepodobnosťou ( N-n)/N- zlý.

Príklad. Určte pravdepodobnosť, že cestujúci opúšťajúci bod A skončí v bode B, ak si na križovatke náhodne vyberie akúkoľvek cestu (okrem spiatočnej). Cestná mapa je znázornená na obr. 1.3.

rozhodnutie. Príchod cestujúceho do bodov H 1 , H 2 , H 3 a H 4 nech sú zodpovedajúce hypotézy. Je zrejmé, že tvoria ucelenú skupinu udalostí a podľa stavu problému,

p(H1) = p(H2) = p(H3) = p(H4) = 0,25.

(Všetky smery z A sú pre cestujúceho rovnako možné). Podľa cestnej schémy sa podmienené pravdepodobnosti zasiahnutia B, za predpokladu, že cestujúci prešiel cez Hi, rovnajú:

Aplikovaním vzorca celkovej pravdepodobnosti dostaneme

1. Bayesov vzorec

Predpokladajme, že sú splnené podmienky predchádzajúceho odseku a navyše je známe, že udalosť A došlo. Nájdite pravdepodobnosť, že sa hypotéza splnila H k. Podľa definície podmienenej pravdepodobnosti

. (1.15)

Výsledný pomer je tzv Bayesov vzorec. Dáva najavo
(pred experimentom) apriórne pravdepodobnosti hypotéz p(ahoj) a podmienené pravdepodobnosti p(A|Ahoj) určiť podmienenú pravdepodobnosť p(H k |A), ktorá sa volá a posteriori (t. j. získané pod podmienkou, že v dôsledku zážitku udalosť A sa už stalo).

Príklad. 30% pacientov prijatých do nemocnice patrí do prvej sociálnej skupiny, 20% - do druhej a 50% - do tretej. Pravdepodobnosť nákazy tuberkulózou u zástupcu každej sociálnej skupiny je 0,02, 0,03 a 0,01. Testy vykonané u náhodne vybraného pacienta preukázali prítomnosť tuberkulózy. Nájdite pravdepodobnosť, že ide o zástupcu tretej skupiny.

Je nepravdepodobné, že veľa ľudí premýšľa o tom, či je možné vypočítať udalosti, ktoré sú viac-menej náhodné. Jednoducho povedané, je reálne vedieť, ktorá strana kocky padne ako ďalšia? Práve túto otázku si položili dvaja veľkí vedci, ktorí položili základy takej vedy, akou je teória pravdepodobnosti, v ktorej sa pravdepodobnosť udalosti študuje pomerne rozsiahle.

Pôvod

Ak sa pokúsite definovať taký pojem ako teória pravdepodobnosti, dostanete nasledovné: toto je jedna z oblastí matematiky, ktorá študuje stálosť náhodných udalostí. Samozrejme, tento koncept skutočne neodhaľuje celú podstatu, preto je potrebné ho zvážiť podrobnejšie.

Chcel by som začať tvorcami teórie. Ako už bolo spomenuté vyššie, boli dvaja a práve oni boli medzi prvými, ktorí sa pokúsili vypočítať výsledok nejakej udalosti pomocou vzorcov a matematických výpočtov. Celkovo sa počiatky tejto vedy objavili v stredoveku. V tom čase sa rôzni myslitelia a vedci pokúšali analyzovať hazardné hry, ako napríklad ruletu, kocky atď., a tak stanoviť vzorec a percento vypadnutia konkrétneho čísla. Základ položili v sedemnástom storočí spomínaní vedci.

Spočiatku sa ich práca nedala pripísať veľkým úspechom v tejto oblasti, pretože všetko, čo robili, boli jednoducho empirické fakty a experimenty sa robili vizuálne, bez použitia vzorcov. Postupom času sa ukázalo, že dosahuje skvelé výsledky, ktoré sa objavili v dôsledku pozorovania hádzania kociek. Práve tento nástroj pomohol odvodiť prvé zrozumiteľné vzorce.

Rovnako zmýšľajúci ľudia

Je nemožné nespomenúť takú osobu, ako je Christian Huygens, v procese štúdia témy nazývanej „teória pravdepodobnosti“ (pravdepodobnosť udalosti je pokrytá práve v tejto vede). Táto osoba je veľmi zaujímavá. Rovnako ako vyššie uvedení vedci sa pokúsil odvodiť zákonitosť náhodných udalostí vo forme matematických vzorcov. Je pozoruhodné, že to nerobil spolu s Pascalom a Fermatom, to znamená, že všetky jeho diela sa nijako neprelínali s týmito myšlienkami. Huygens vyviedol

Zaujímavosťou je, že jeho práca vyšla dávno pred výsledkami práce objaviteľov, alebo skôr o dvadsať rokov skôr. Spomedzi označených konceptov sú najznámejšie:

• pojem pravdepodobnosti ako veľkosť náhody;
• matematické očakávania pre jednotlivé prípady;
• vety o násobení a sčítaní pravdepodobností.

Nedá sa nespomenúť ani na to, kto tiež významne prispel k štúdiu problému. Vykonaním vlastných testov, nezávislých od kohokoľvek, sa mu podarilo predložiť dôkaz o zákone veľkých čísel. Na druhej strane vedci Poisson a Laplace, ktorí pracovali na začiatku devätnásteho storočia, dokázali pôvodné teorémy dokázať. Od tohto momentu sa teória pravdepodobnosti začala používať na analýzu chýb v priebehu pozorovaní. Túto vedu nemohli obísť ani ruskí vedci, či skôr Markov, Čebyšev a Djapunov. Na základe práce veľkých géniov zafixovali tento predmet ako odvetvie matematiky. Tieto figúry fungovali už na konci devätnásteho storočia a vďaka ich prispeniu sa objavili javy ako:

• zákon veľkých čísel;
• teória Markovových reťazcov;
• centrálna limitná veta.

Takže s históriou zrodu vedy a s hlavnými ľuďmi, ktorí ju ovplyvnili, je všetko viac-menej jasné. Teraz je čas skonkretizovať všetky fakty.

Základné pojmy

Predtým, ako sa dotknete zákonov a teorémov, stojí za to študovať základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Podujatie v ňom preberá vedúcu úlohu. Táto téma je dosť objemná, ale bez nej nebude možné pochopiť všetko ostatné.

Udalosť v teórii pravdepodobnosti je akýkoľvek súbor výsledkov experimentu. Nie je toľko konceptov tohto fenoménu. Takže vedec Lotman, ktorý pracuje v tejto oblasti, povedal, že v tomto prípade hovoríme o tom, čo sa „stalo, hoci sa to možno nestalo“.

Náhodné udalosti (teória pravdepodobnosti im venuje osobitnú pozornosť) je pojem, ktorý zahŕňa absolútne akýkoľvek jav, ktorý má schopnosť nastať. Alebo naopak, pri splnení mnohých podmienok tento scenár nenastane. Je tiež potrebné vedieť, že sú to náhodné udalosti, ktoré zachytávajú celý objem javov, ktoré sa vyskytli. Teória pravdepodobnosti naznačuje, že všetky podmienky sa môžu neustále opakovať. Práve ich správanie sa nazývalo „experiment“ alebo „test“.

Určitá udalosť je taká, ktorá sa 100% vyskytne v danom teste. Nemožná udalosť je teda taká, ktorá sa nestane.

Kombinácia dvojice akcií (podmienečne prípad A a prípad B) je jav, ktorý sa vyskytuje súčasne. Sú označené ako AB.

Súčet dvojíc udalostí A a B je C, inými slovami, ak sa stane aspoň jedna z nich (A alebo B), získa sa C. Vzorec opísaného javu je napísaný takto: C \u003d A + B.

Disjunktné udalosti v teórii pravdepodobnosti znamenajú, že tieto dva prípady sa navzájom vylučujú. Nikdy sa nemôžu stať súčasne. Spoločné udalosti v teórii pravdepodobnosti sú ich antipódom. To znamená, že ak sa stalo A, potom to nebráni B žiadnym spôsobom.

Opačné udalosti (teória pravdepodobnosti sa nimi zaoberá veľmi podrobne) sú ľahko pochopiteľné. Najlepšie je s nimi zaobchádzať v porovnaní. Sú takmer rovnaké ako nezlučiteľné udalosti v teórii pravdepodobnosti. Ale ich rozdiel spočíva v tom, že v každom prípade musí nastať jeden z mnohých javov.

Rovnako pravdepodobné sú udalosti, ktorých možnosť opakovania je rovnaká. Aby to bolo jasnejšie, môžeme si predstaviť hod mincou: strata jednej z jej strán s rovnakou pravdepodobnosťou vypadne z druhej.

Priaznivú udalosť je ľahšie vidieť na príklade. Povedzme, že existuje epizóda B a epizóda A. Prvou je hod kockou s výskytom nepárneho čísla a druhou je výskyt čísla päť na kocke. Potom sa ukáže, že A uprednostňuje B.

Nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sa premietajú iba do dvoch alebo viacerých prípadov a znamenajú nezávislosť akéhokoľvek konania od iného. Napríklad A - padanie chvostov pri hádzaní mince a B - získanie zdviháka z balíčka. Sú to nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti. V tomto bode sa to vyjasnilo.

Závislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sú tiež prípustné len pre ich množinu. Naznačujú závislosť jedného od druhého, to znamená, že jav B môže nastať iba vtedy, ak sa A už stalo alebo naopak nestalo, keď je to hlavná podmienka pre B.

Výsledkom náhodného experimentu pozostávajúceho z jednej zložky sú elementárne udalosti. Teória pravdepodobnosti vysvetľuje, že ide o jav, ktorý sa stal iba raz.

Základné vzorce

Takže pojmy „udalosť“, „teória pravdepodobnosti“ boli zvážené vyššie, bola tiež uvedená definícia hlavných pojmov tejto vedy. Teraz je čas zoznámiť sa priamo s dôležitými vzorcami. Tieto výrazy matematicky potvrdzujú všetky hlavné pojmy v tak náročnom predmete, akým je teória pravdepodobnosti. Aj tu zohráva veľkú úlohu pravdepodobnosť udalosti.

Je lepšie začať s hlavnými.A predtým, ako sa k nim pristúpite, stojí za to zvážiť, čo to je.

Kombinatorika je predovšetkým odvetvím matematiky, zaoberá sa štúdiom veľkého množstva celých čísel, ako aj rôznych permutácií samotných čísel a ich prvkov, rôznych údajov atď., Ktoré vedú k vzniku množstva kombinácií. Okrem teórie pravdepodobnosti je toto odvetvie dôležité pre štatistiku, informatiku a kryptografiu.

Teraz teda môžete prejsť k prezentácii samotných vzorcov a ich definície.

Prvým z nich bude výraz pre počet permutácií, vyzerá takto:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Rovnica platí len vtedy, ak sa prvky líšia len v poradí.

Teraz sa zváži vzorec umiestnenia, vyzerá takto:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Tento výraz sa vzťahuje nielen na poradie prvku, ale aj na jeho zloženie.

Tretia a zároveň posledná rovnica z kombinatoriky sa nazýva vzorec pre počet kombinácií:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinácia sa nazýva výber, ktorý nie je usporiadaný, a toto pravidlo sa na ne vzťahuje.

Ukázalo sa, že je ľahké prísť na vzorce kombinatoriky, teraz môžeme prejsť ku klasickej definícii pravdepodobností. Tento výraz vyzerá takto:

V tomto vzorci je m počet podmienok priaznivých pre udalosť A a n je počet absolútne všetkých rovnako možných a základných výsledkov.

Existuje veľké množstvo výrazov, článok nepokryje všetky, ale dotkne sa najdôležitejších z nich, ako napríklad pravdepodobnosť súčtu udalostí:

P(A + B) = P(A) + P(B) - táto veta slúži na sčítanie iba nekompatibilných udalostí;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a toto je na pridávanie iba kompatibilných.

Pravdepodobnosť vzniku udalostí:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - táto veta platí pre nezávislé udalosti;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) – a toto je pre závislé osoby.

Vzorec udalosti ukončí zoznam. Teória pravdepodobnosti nám hovorí o Bayesovej vete, ktorá vyzerá takto:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

V tomto vzorci je H 1, H 2, …, Hn celá skupina hypotéz.

Príklady

Ak pozorne študujete akýkoľvek odbor matematiky, bez cvičení a vzorových riešení sa nezaobíde. Rovnako aj teória pravdepodobnosti: udalosti, príklady sú tu neoddeliteľnou súčasťou, ktorá potvrdzuje vedecké výpočty.

Vzorec pre počet permutácií

Povedzme, že v balíčku kariet je tridsať kariet, počnúc nominálnou hodnotou jedna. Ďalšia otázka. Koľko spôsobov je možné naskladať balíček tak, aby karty s nominálnou hodnotou jedna a dve neboli vedľa seba?

Úloha je nastavená, teraz prejdime k jej riešeniu. Najprv musíte určiť počet permutácií tridsiatich prvkov, na to vezmeme vyššie uvedený vzorec, ukáže sa P_30 = 30!.

Na základe tohto pravidla zistíme, koľko je možností zložiť balíček rôznymi spôsobmi, no treba od nich odpočítať tie, v ktorých sú na rade prvá a druhá karta. Ak to chcete urobiť, začnime s možnosťou, keď je prvá nad druhou. Ukazuje sa, že prvá karta môže zaujať dvadsaťdeväť miest - od prvej do dvadsiatej deviatej a druhá karta od druhej do tridsiateho, ukazuje sa, že pre pár kariet je iba dvadsaťdeväť miest. Zvyšok môže obsadiť dvadsaťosem miest a v ľubovoľnom poradí. To znamená, že pre permutáciu dvadsiatich ôsmich kariet existuje dvadsaťosem možností P_28 = 28!

V dôsledku toho sa ukazuje, že ak zvážime riešenie, keď je prvá karta nad druhou, existuje 29 ⋅ 28 možností navyše! = 29!

Pomocou rovnakej metódy musíte vypočítať počet nadbytočných možností pre prípad, keď je prvá karta pod druhou. Ukazuje sa tiež 29 ⋅ 28! = 29!

Z toho vyplýva, že existujú 2 ⋅ 29! možnosti navyše, pričom je potrebných 30 spôsobov, ako zostaviť balíček! - 2 ⋅ 29!. Zostáva len počítať.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Teraz musíte medzi sebou vynásobiť všetky čísla od jednej do dvadsaťdeväť a potom na konci všetko vynásobiť 28. Odpoveď je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Príklad riešenia. Vzorec pre číslo umiestnenia

V tomto probléme musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako umiestniť pätnásť zväzkov na jednu policu, ale pod podmienkou, že celkovo je tridsať zväzkov.

V tomto probléme je riešenie o niečo jednoduchšie ako v predchádzajúcom. Pomocou už známeho vzorca je potrebné vypočítať celkový počet aranžmánov z tridsiatich zväzkov po pätnásť.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 700 3

Odpoveď sa bude rovnať 202 843 204 931 727 360 000.

Teraz zoberme úlohu trochu zložitejšie. Musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako usporiadať tridsať kníh na dve police, za predpokladu, že na jednej poličke môže byť iba pätnásť zväzkov.

Pred začatím riešenia by som chcel objasniť, že niektoré problémy sa riešia niekoľkými spôsobmi, takže v tomto existujú dva spôsoby, ale v oboch sa používa rovnaký vzorec.

V tomto probléme môžete prevziať odpoveď z predchádzajúcej, pretože tam sme vypočítali, koľkokrát môžete rôznymi spôsobmi naplniť policu pätnástimi knihami. Ukázalo sa, že A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Druhú policu vypočítame podľa permutačného vzorca, pretože je v nej umiestnených pätnásť kníh, pričom zostáva len pätnásť. Používame vzorec P_15 = 15!.

Ukazuje sa, že celkovo bude A_30^15 ⋅ P_15 spôsobov, ale okrem toho bude potrebné súčin všetkých čísel od tridsiatich do šestnástich vynásobiť súčinom čísel od jednej do pätnásť, v dôsledku toho bude získame súčin všetkých čísel od jedna do tridsať, to znamená, že odpoveď je 30!

Ale tento problém sa dá vyriešiť aj inak – jednoduchšie. K tomu si viete predstaviť, že na tridsať kníh je jedna polica. Všetky sú umiestnené na tejto rovine, ale keďže podmienka vyžaduje dve police, jednu dlhú prerežeme na polovicu, vyjde nám každá dve pätnásť. Z toho vyplýva, že možnosti umiestnenia môžu byť P_30 = 30!.

Príklad riešenia. Vzorec pre kombinačné číslo

Teraz zvážime variant tretieho problému z kombinatoriky. Musíte zistiť, koľko spôsobov existuje na usporiadanie pätnástich kníh, za predpokladu, že si potrebujete vybrať z tridsiatich úplne rovnakých.

Pre riešenie sa samozrejme použije vzorec pre počet kombinácií. Z podmienky je zrejmé, že poradie rovnakých pätnástich kníh nie je dôležité. Preto najprv musíte zistiť celkový počet kombinácií tridsiatich kníh z pätnástich.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : pätnásť! = 155 117 520

To je všetko. Pomocou tohto vzorca bolo možné v čo najkratšom čase vyriešiť takýto problém, odpoveď je 155 117 520.

Príklad riešenia. Klasická definícia pravdepodobnosti

Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete nájsť odpoveď v jednoduchom probléme. Pomôže to však vizuálne vidieť a sledovať priebeh akcií.

Problém je daný tým, že v urne je desať absolútne rovnakých loptičiek. Z toho sú štyri žlté a šesť modrých. Z urny sa vyberie jedna lopta. Musíte zistiť pravdepodobnosť, že dostanete modrú.

Na vyriešenie problému je potrebné označiť získanie modrej lopty ako udalosť A. Táto skúsenosť môže mať desať výsledkov, ktoré sú naopak elementárne a rovnako pravdepodobné. Zároveň je šesť z desiatich priaznivých pre udalosť A. Riešime pomocou vzorca:

P(A) = 6:10 = 0,6

Použitím tohto vzorca sme zistili, že pravdepodobnosť získania modrej gule je 0,6.

Príklad riešenia. Pravdepodobnosť súčtu udalostí

Teraz bude predstavený variant, ktorý je riešený pomocou vzorca pre pravdepodobnosť súčtu udalostí. Takže za predpokladu, že existujú dve krabice, prvá obsahuje jednu sivú a päť bielych guľôčok a druhá obsahuje osem sivých a štyri biele gule. Výsledkom bolo, že jeden z nich bol odobratý z prvého a druhého boxu. Je potrebné zistiť, aká je šanca, že vytiahnuté loptičky budú sivobiele.

Na vyriešenie tohto problému je potrebné určiť udalosti.

• Takže, A - vezmite sivú guľu z prvého poľa: P(A) = 1/6.
• A '- vzali bielu guľu aj z prvého poľa: P (A ") \u003d 5/6.
• B - sivá guľa bola vytiahnutá už z druhého boxu: P(B) = 2/3.
• B' - vybrali sivú guľu z druhej škatule: P(B") = 1/3.

Podľa stavu problému je potrebné, aby sa vyskytol jeden z javov: AB 'alebo A'B. Pomocou vzorca dostaneme: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Teraz bol použitý vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti. Ďalej, aby ste našli odpoveď, musíte použiť rovnicu na ich sčítanie:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Takže pomocou vzorca môžete vyriešiť podobné problémy.

Výsledok

Článok priniesol informácie na tému „Teória pravdepodobnosti“, v ktorej hrá zásadnú úlohu pravdepodobnosť udalosti. Samozrejme, nie všetko bolo zohľadnené, ale na základe prezentovaného textu sa teoreticky dá zoznámiť s touto časťou matematiky. Daná veda môže byť užitočná nielen v profesionálnej práci, ale aj v každodennom živote. S jeho pomocou môžete vypočítať akúkoľvek možnosť akejkoľvek udalosti.

Text sa dotkol aj významných dátumov v histórii formovania teórie pravdepodobnosti ako vedy a mien ľudí, ktorých diela boli do nej investované. Takto ľudská zvedavosť viedla k tomu, že sa ľudia naučili počítať aj náhodné udalosti. Kedysi ich to len zaujímalo, no dnes už o tom vedia všetci. A nikto nepovie, čo nás čaká v budúcnosti, aké ďalšie brilantné objavy súvisiace s uvažovanou teóriou sa urobia. Jedno je však isté – výskum nestojí na mieste!

Potreba operácií s pravdepodobnosťami nastáva, keď sú známe pravdepodobnosti niektorých udalostí a je potrebné vypočítať pravdepodobnosti iných udalostí, ktoré sú s týmito udalosťami spojené.

Sčítanie pravdepodobnosti sa používa, keď je potrebné vypočítať pravdepodobnosť kombinácie alebo logického súčtu náhodných udalostí.

Súčet udalostí A a B určiť A + B alebo A ∪ B. Súčet dvoch udalostí je udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak nastane aspoň jedna z udalostí. Znamená to, že A + B- udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak sa udalosť vyskytne počas pozorovania A alebo udalosť B, alebo súčasne A a B.

Ak udalosti A a B sú vzájomne nekonzistentné a sú uvedené ich pravdepodobnosti, potom sa pravdepodobnosť, že jedna z týchto udalostí nastane ako výsledok jedného pokusu, vypočíta pomocou súčtu pravdepodobností.

Veta o sčítaní pravdepodobností. Pravdepodobnosť, že nastane jedna z dvoch vzájomne nekompatibilných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Napríklad pri love padli dva výstrely. Udalosť A– zasiahnutie kačice z prvého výstrelu, event AT– zásah z druhého výstrelu, udalosť ( A+ AT) - zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov. Ak teda dve udalosti A a AT sú teda nezlučiteľné udalosti A+ AT- výskyt aspoň jednej z týchto udalostí alebo dvoch udalostí.

Príklad 1 Krabička obsahuje 30 guličiek rovnakej veľkosti: 10 červených, 5 modrých a 15 bielych. Vypočítajte pravdepodobnosť, že farebnú (nie bielu) loptičku zoberiete bez toho, aby ste sa pozreli.

rozhodnutie. Predpokladajme, že udalosť A– „berie sa červená guľa“ a udalosť AT- "Modrá guľa je prijatá." Potom je udalosťou „berie sa farebná (nie biela) loptička“. Nájdite pravdepodobnosť udalosti A:

a udalosti AT:

Vývoj A a AT- vzájomne nezlučiteľné, pretože ak sa berie jedna loptička, nemožno brať loptičky rôznych farieb. Preto používame sčítanie pravdepodobností:

Veta o sčítaní pravdepodobností pre niekoľko nezlučiteľných udalostí. Ak udalosti tvoria úplný súbor udalostí, potom sa súčet ich pravdepodobností rovná 1:

Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa tiež rovná 1:

Opačné udalosti tvoria úplný súbor udalostí a pravdepodobnosť úplného súboru udalostí je 1.

Pravdepodobnosti opačných udalostí sa zvyčajne označujú malými písmenami. p a q. najmä

z ktorých vyplývajú tieto vzorce pre pravdepodobnosť opačných udalostí:

Príklad 2 Cieľ v pomlčke je rozdelený do 3 zón. Pravdepodobnosť, že určitý strelec bude strieľať na terč v prvom pásme, je 0,15, v druhom pásme - 0,23, v treťom pásme - 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, a pravdepodobnosť, že strelec cieľ minie.

Riešenie: Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ:

Nájdite pravdepodobnosť, že strelec minul cieľ:

Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné uplatniť sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .

Sčítanie pravdepodobností vzájomne spoločných udalostí

Dve náhodné udalosti sa považujú za spoločné, ak výskyt jednej udalosti nevylučuje výskyt druhej udalosti v tom istom pozorovaní. Napríklad pri hode kockou, event A sa považuje výskyt čísla 4 a event AT- vypustenie párneho čísla. Keďže číslo 4 je párne číslo, tieto dve udalosti sú kompatibilné. V praxi existujú úlohy na výpočet pravdepodobnosti výskytu niektorej zo vzájomne spoločných udalostí.

Veta o sčítaní pravdepodobností pre spoločné udalosti. Pravdepodobnosť, že nastane jedna zo spoločných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, od ktorých sa odpočíta pravdepodobnosť spoločného výskytu oboch udalostí, teda súčin pravdepodobností. Vzorec pre pravdepodobnosti spoločných udalostí je nasledujúci:

Pretože udalosti A a AT kompatibilný, event A+ AT nastane, ak nastane jedna z troch možných udalostí: alebo AB. Podľa vety o sčítaní nezlučiteľných udalostí vypočítame takto:

Udalosť A nastane, ak dôjde k jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí: alebo AB. Pravdepodobnosť výskytu jednej udalosti z niekoľkých nezlučiteľných udalostí sa však rovná súčtu pravdepodobností všetkých týchto udalostí:

Podobne:

Nahradením výrazov (6) a (7) výrazom (5) dostaneme vzorec pravdepodobnosti pre spoločné udalosti:

Pri použití vzorca (8) treba vziať do úvahy, že udalosti A a AT možno:

• vzájomne nezávislé;
• vzájomne závislé.

Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne nezávislé udalosti:

Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne závislé udalosti:

Ak udalosti A a AT sú nekonzistentné, potom je ich zhoda nemožným prípadom, a teda P(AB) = 0. Štvrtý vzorec pravdepodobnosti pre nekompatibilné udalosti je nasledujúci:

Príklad 3 V automobilových pretekoch, keď jazdíte v prvom aute, pravdepodobnosť výhry, keď jazdíte v druhom aute. Nájsť:

• pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú;
• pravdepodobnosť, že vyhrá aspoň jedno auto;

1) Pravdepodobnosť, že prvé auto vyhrá, nezávisí od výsledku druhého auta, teda udalostí A(prvé auto vyhráva) a AT(vyhráva druhé auto) - nezávislé udalosti. Nájdite pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú:

2) Nájdite pravdepodobnosť, že jedno z dvoch áut vyhrá:

Náročnejšie úlohy, v ktorých je potrebné uplatniť sčítanie aj násobenie pravdepodobností - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .

Vyriešte problém sčítania pravdepodobností sami a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 4 Hodia sa dve mince. Udalosť A- strata erbu na prvej minci. Udalosť B- strata erbu na druhej minci. Nájdite pravdepodobnosť udalosti C = A + B .

Násobenie pravdepodobnosti

Násobenie pravdepodobností sa používa, keď sa má vypočítať pravdepodobnosť logického súčinu udalostí.

V tomto prípade musia byť náhodné udalosti nezávislé. O dvoch udalostiach sa hovorí, že sú navzájom nezávislé, ak výskyt jednej udalosti neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej udalosti.

Veta o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti. Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch nezávislých udalostí A a AT sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí a vypočíta sa podľa vzorca:

Príklad 5 Minca sa hodí trikrát za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri krát.

rozhodnutie. Pravdepodobnosť, že erb padne pri prvom hode mincou, druhýkrát a tretíkrát. Nájdite pravdepodobnosť, že erb vypadne všetky tri krát:

Sami vyriešte problémy násobenia pravdepodobností a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 6 Je tu krabica s deviatimi novými tenisovými loptičkami. Na hru sa odoberú tri loptičky, po hre sa vrátia späť. Pri výbere lôpt nerozlišujú odohrané a neodohrané lopty. Aká je pravdepodobnosť, že po troch hrách nebudú v boxe žiadne neodohrané loptičky?

Príklad 7 Na rozrezaných kartách abecedy je napísaných 32 písmen ruskej abecedy. Náhodne sa vytiahne päť kariet, jedna po druhej, a položí sa na stôl v poradí, v akom sa objavia. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vytvoria slovo „koniec“.

Príklad 8 Z plného balíčka kariet (52 listov) sa naraz vyberú štyri karty. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky štyri tieto karty sú rovnakej farby.

Príklad 9 Rovnaký problém ako v príklade 8, ale každá karta sa po vytiahnutí vráti do balíčka.

Zložitejšie úlohy, v ktorých je potrebné aplikovať sčítanie a násobenie pravdepodobností, ako aj vypočítať súčin viacerých udalostí - na stránke "Rôzne úlohy na sčítanie a násobenie pravdepodobností" .

Pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna zo vzájomne nezávislých udalostí, sa dá vypočítať odčítaním súčinu pravdepodobností opačných udalostí od 1, teda podľa vzorca:

Príklad 10 Náklad sa doručuje tromi druhmi dopravy: riečna, železničná a cestná doprava. Pravdepodobnosť, že náklad bude doručený riečnou dopravou je 0,82, železnicou 0,87, cestnou dopravou 0,90. Nájdite pravdepodobnosť, že tovar bude doručený aspoň jedným z troch spôsobov dopravy.

Pri hode mincou sa dá povedať, že pristane heads up, príp pravdepodobnosť z toho je 1/2. To samozrejme neznamená, že ak je minca hodená 10-krát, nevyhnutne 5-krát pristane na hlave. Ak je minca „spravodlivá“ a ak je hodená mnohokrát, hlavy sa polovicu času priblížia veľmi blízko. Existujú teda dva druhy pravdepodobnosti: experimentálne a teoretická .

Experimentálna a teoretická pravdepodobnosť

Ak hodíme mincou veľký počet krát - povedzme 1000 - a spočítame, koľkokrát padne hlavou, môžeme určiť pravdepodobnosť, že padne hlavou. Ak sa hlavy zdvihnú 503-krát, môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že sa objavia:
503/1000 alebo 0,503.

Toto experimentálne definícia pravdepodobnosti. Táto definícia pravdepodobnosti vychádza z pozorovania a štúdia údajov a je celkom bežná a veľmi užitočná. Tu sú napríklad niektoré pravdepodobnosti, ktoré boli určené experimentálne:

1. Šanca, že žena dostane rakovinu prsníka, je 1/11.

2. Ak sa bozkávate s prechladnutým, tak pravdepodobnosť, že prechladnete aj vy, je 0,07.

3. Osoba, ktorá bola práve prepustená z väzenia, má 80% šancu vrátiť sa späť do väzenia.

Ak vezmeme do úvahy hod mincou a berieme do úvahy, že je rovnako pravdepodobné, že sa vrhne hore nohami, môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že sa vrhnú hore nohami: 1/2. Toto je teoretická definícia pravdepodobnosti. Tu sú niektoré ďalšie pravdepodobnosti, ktoré boli teoreticky určené pomocou matematiky:

1. Ak je v miestnosti 30 ľudí, pravdepodobnosť, že dvaja z nich majú rovnaké narodeniny (okrem roku), je 0,706.

2. Počas cesty sa s niekým zoznámite a v priebehu rozhovoru zistíte, že máte spoločného známeho. Typická reakcia: "To nemôže byť!" V skutočnosti táto fráza nesedí, pretože pravdepodobnosť takejto udalosti je pomerne vysoká - niečo cez 22%.

Preto sa experimentálna pravdepodobnosť určuje pozorovaním a zberom údajov. Teoretické pravdepodobnosti sú určené matematickým uvažovaním. Príklady experimentálnych a teoretických pravdepodobností, ako sú uvedené vyššie, a najmä tie, ktoré neočakávame, nás vedú k dôležitosti štúdia pravdepodobnosti. Môžete sa opýtať: "Aká je skutočná pravdepodobnosť?" V skutočnosti žiadna neexistuje. Experimentálne je možné určiť pravdepodobnosti v určitých medziach. Môžu a nemusia sa zhodovať s pravdepodobnosťami, ktoré získame teoreticky. Existujú situácie, v ktorých je oveľa jednoduchšie definovať jeden typ pravdepodobnosti ako iný. Napríklad by stačilo nájsť pravdepodobnosť prechladnutia pomocou teoretickej pravdepodobnosti.

Výpočet experimentálnych pravdepodobností

Najprv zvážte experimentálnu definíciu pravdepodobnosti. Základný princíp, ktorý používame na výpočet takýchto pravdepodobností, je nasledujúci.

Princíp P (experimentálne)

Ak sa v experimente, v ktorom sa uskutoční n pozorovaní, situácia alebo udalosť E vyskytne m-krát v n pozorovaniach, potom sa hovorí, že experimentálna pravdepodobnosť udalosti je P (E) = m/n.

Príklad 1 Sociologický prieskum. Bola vykonaná experimentálna štúdia na zistenie počtu ľavákov, pravákov a ľudí, u ktorých sú obe ruky rovnako vyvinuté.Výsledky sú uvedené v grafe.

a) Určte pravdepodobnosť, že osoba je pravák.

b) Určte pravdepodobnosť, že osoba je ľavák.

c) Určte pravdepodobnosť, že osoba ovláda obe ruky rovnako.

d) Väčšina turnajov PBA má 120 hráčov. Na základe tohto experimentu, koľko hráčov môže byť ľavákov?

rozhodnutie

a) Počet ľudí, ktorí sú praváci je 82, počet ľavákov je 17 a počet tých, ktorí ovládajú obe ruky rovnako plynule, je 1. Celkový počet pozorovaní je 100. Pravdepodobnosť že človek je pravák je P
P = 82/100 alebo 0,82 alebo 82 %.

b) Pravdepodobnosť, že je človek ľavák, je P, kde
P = 17/100 alebo 0,17 alebo 17 %.

c) Pravdepodobnosť, že človek ovláda obe ruky rovnako plynulo je P, kde
P = 1/100 alebo 0,01 alebo 1 %.

d) 120 nadhadzovačov a od (b) môžeme očakávať, že 17 % bude ľavákov. Odtiaľ
17 % zo 120 = 0,17,120 = 20,4,
to znamená, že môžeme očakávať približne 20 hráčov, ktorí budú ľaváci.

Príklad 2 Kontrola kvality . Pre výrobcu je veľmi dôležité udržiavať kvalitu svojich výrobkov na vysokej úrovni. V skutočnosti spoločnosti najímajú inšpektorov kontroly kvality, aby zabezpečili tento proces. Cieľom je uvoľniť minimálny možný počet chybných produktov. Ale keďže spoločnosť vyrába každý deň tisíce položiek, nemôže si dovoliť kontrolovať každú položku, aby zistila, či je chybná alebo nie. Aby spoločnosť zistila, aké percento produktov je chybných, testuje oveľa menej produktov.
USDA vyžaduje, aby 80 % semien, ktoré pestovatelia predávajú, vyklíčilo. Na zistenie kvality semien, ktoré poľnohospodárska spoločnosť vyrába, sa vysadí 500 semien z vyprodukovaných semien. Potom sa vypočítalo, že vyklíčilo 417 semien.

a) Aká je pravdepodobnosť, že semienko vyklíči?

b) Spĺňajú semená vládne normy?

rozhodnutie a) Vieme, že z 500 zasadených semien 417 vyklíčilo. Pravdepodobnosť klíčenia semien P, a
P = 417/500 = 0,834 alebo 83,4 %.

b) Keďže percento vyklíčených semien na požiadanie prekročilo 80 %, semená spĺňajú štátne normy.

Príklad 3 TV hodnotenie. Podľa štatistík je v USA 105 500 000 televíznych domácností. Každý týždeň sa zbierajú a spracúvajú informácie o sledovanosti programov. V priebehu jedného týždňa si 7 815 000 domácností naladilo komediálny seriál CBS Everybody Loves Raymond a 8 302 000 domácností si naladilo hit NBC Law & Order (Zdroj: Nielsen Media Research). Aká je pravdepodobnosť, že jeden domáci televízor je počas daného týždňa naladený na „Everybody Loves Raymond“? na „Law & Order“?

Riešenie Pravdepodobnosť, že televízor v jednej domácnosti je nastavený na „Každý miluje Raymonda“ je P a
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Možnosť, že televízor pre domácnosť bol nastavený na „Zákon a poriadok“ je P a
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Tieto percentá sa nazývajú hodnotenia.

teoretická pravdepodobnosť

Predpokladajme, že robíme experiment, ako je hádzanie mince alebo šípky, ťahanie karty z balíčka alebo testovanie predmetov na montážnej linke. Každý možný výsledok takéhoto experimentu sa nazýva Exodus . Množina všetkých možných výsledkov je tzv výsledný priestor . Udalosť je to súbor výsledkov, teda podmnožina priestoru výsledkov.

Príklad 4 Hádzanie šípok. Predpokladajme, že pri experimente „hádzanie šípok“ šípka zasiahne cieľ. Nájdite každú z nasledujúcich možností:

b) Priestor pre výsledky

rozhodnutie
a) Výsledky sú: trafiť čiernu (H), trafiť červenú (K) a biť bielu (B).

b) Existuje medzera výsledku (trafa čierna, červená, biela), ktorú možno jednoducho napísať ako (B, R, B).

Príklad 5 Hádzanie kockou. Kocka je kocka so šiestimi stranami, z ktorých každá má jednu až šesť bodiek.


Predpokladajme, že hádžeme kockou. Nájsť
a) Výsledky
b) Priestor pre výsledky

rozhodnutie
a) Výsledky: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Priestor výsledkov (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Pravdepodobnosť, že udalosť E nastane, označíme ako P(E). Napríklad „minca pristane na chvostoch“ môže byť označená H. Potom P(H) je pravdepodobnosť, že minca dopadne na chvosty. Keď majú všetky výsledky experimentu rovnakú pravdepodobnosť výskytu, hovorí sa, že sú rovnako pravdepodobné. Ak chcete vidieť rozdiel medzi udalosťami, ktoré sú rovnako pravdepodobné, a udalosťami, ktoré nie sú rovnako pravdepodobné, zvážte cieľ uvedený nižšie.

Pre cieľ A sú udalosti zásahu čiernej, červenej a bielej rovnako pravdepodobné, pretože čierne, červené a biele sektory sú rovnaké. Pre cieľ B však zóny s týmito farbami nie sú rovnaké, to znamená, že ich zasiahnutie nie je rovnako pravdepodobné.

Princíp P (teoretický)

Ak udalosť E môže nastať v m cestách z n možných ekvipravdepodobných výsledkov z výsledného priestoru S, potom teoretická pravdepodobnosť udalosť, P(E) je
P(E) = m/n.

Príklad 6 Aká je pravdepodobnosť hodu 3 hodom kockou?

rozhodnutie Na kocke je 6 rovnako pravdepodobných výsledkov a je len jedna možnosť hodiť číslo 3. Potom bude pravdepodobnosť P P(3) = 1/6.

Príklad 7 Aká je pravdepodobnosť hodu párnym číslom na kocke?

rozhodnutie Udalosťou je hádzanie párneho čísla. To sa môže stať 3 spôsobmi (ak hodíte 2, 4 alebo 6). Počet ekvipravdepodobných výsledkov je 6. Potom pravdepodobnosť P(párne) = 3/6 alebo 1/2.

Použijeme niekoľko príkladov súvisiacich so štandardným balíčkom 52 kariet. Takýto balíček pozostáva z kariet znázornených na obrázku nižšie.

Príklad 8 Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia esa z dobre zamiešaného balíčka kariet?

rozhodnutie Existuje 52 výsledkov (počet kariet v balíčku), sú rovnako pravdepodobné (ak je balíček dobre premiešaný) a existujú 4 spôsoby ťahania esa, takže podľa princípu P je pravdepodobnosť
P(ťahanie esa) = 4/52 alebo 1/13.

Príklad 9 Predpokladajme, že si vyberieme bez toho, aby sme hľadali jednu guľôčku z vrecka 3 červených guľôčok a 4 zelených guľôčok. Aká je pravdepodobnosť výberu červenej gule?

rozhodnutie Existuje 7 rovnako pravdepodobných výsledkov na získanie akejkoľvek loptičky, a keďže počet spôsobov, ako vytiahnuť červenú guľu, je 3, dostaneme
P(výber červenej gule) = 3/7.

Nasledujúce tvrdenia sú výsledkom princípu P.

Pravdepodobnostné vlastnosti

a) Ak udalosť E nemôže nastať, potom P(E) = 0.
b) Ak udalosť E nevyhnutne nastane, potom P(E) = 1.
c) Pravdepodobnosť, že nastane udalosť E, je číslo medzi 0 a 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Napríklad pri hode mincou je pravdepodobnosť, že minca dopadne na jej okraj, nulová. Pravdepodobnosť, že minca je hlava alebo chvost, má pravdepodobnosť 1.

Príklad 10 Predpokladajme, že z balíčka s 52 kartami sú vytiahnuté 2 karty. Aká je pravdepodobnosť, že obaja sú piky?

rozhodnutie Počet spôsobov n ťahania 2 kariet z dobre zamiešaného 52-kartového balíčka je 52 C 2 . Keďže 13 z 52 kariet sú piky, počet m spôsobov ťahania 2 pikových kariet je 13 C 2 . potom
P(natiahnutie 2 vrcholov) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Príklad 11 Predpokladajme, že zo skupiny 6 mužov a 4 žien sú náhodne vybraní 3 ľudia. Aká je pravdepodobnosť, že bude vybraný 1 muž a 2 ženy?

rozhodnutie Počet spôsobov výberu troch osôb zo skupiny 10 osôb 10 C 3 . Jeden muž môže byť vybraný 6 spôsobmi C 1 a 2 ženy môžu byť vybrané 4 spôsobmi C 2. Podľa základného princípu počítania je počet spôsobov výberu 1. muža a 2 žien 6 C 1 . 4C2. Potom je pravdepodobnosť, že bude vybraný 1 muž a 2 ženy
P = 6 C1. 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Príklad 12 Hádzanie kockou. Aká je pravdepodobnosť, že na dvoch kockách hodíte celkovo 8?

rozhodnutie Na každej kocke je 6 možných výsledkov. Výsledky sa zdvojnásobia, to znamená, že existuje 6,6 alebo 36 možných spôsobov, ako môžu padnúť čísla na dvoch kockách. (Je lepšie, ak sú kocky odlišné, povedzme, že jedna je červená a druhá modrá - pomôže to vizualizovať výsledok.)

Dvojice čísel, ktorých súčet je 8, sú znázornené na obrázku nižšie. Existuje 5 možných spôsobov, ako získať súčet rovný 8, teda pravdepodobnosť je 5/36.