Goniometrické rovnice úloh pre nezávislé riešenie. Výskumná práca na tému "trigonometrické rovnice v úlohách skúšky"

MBOU „Mordovsko-Paevskaja stredná škola“ v okrese Insar Moldavskej republiky

Doplnila: Pantileikina Nadezhda,

Žiak 11. ročníka

Vedúci: Kadyshkina N.V.,

učiteľ matematiky

Obsah

Úvod ………………………………………………………………………………….

Kapitola I. O goniometrických rovniciach………………………………………..…5

1) Hlavné typy goniometrických rovníc a metódy ich riešenia:

1. Redukcia rovníc na najjednoduchšie. …………………………………..päť

2. Rovnice, ktoré sa redukujú na druhé mocniny………………………………………….5

3. Homogénne rovnice acosx + b sin x = 0………………………………...6

4. Rovnice tvaru acosx + b sin x \u003d c, c≠ 0…………………………………………7

5. Rovnice riešené rozkladom …………………...….7

6. Neštandardné rovnice……………………………………………………….8

Kapitola II. Základné pojmy a vzorce trigonometrie……………………….8-10

Kapitola II ja Rovnice ponúkané na Jednotnej štátnej skúške z minulých rokov…………...……10-14

Záver……………………………………………………………………………………….. 14

Prihláška………………………………………………………..……………………….15-17

Literatúra………………………………………………………………………………………..18

Úvod

„Jediná cesta k poznaniu je aktivita...“

Bernard Show

Relevantnosť práce.

O pár mesiacov končím školu.

Aby sa predišlo problémom s ďalšou voľbou životnej cesty, je to nevyhnutné získať školské vysvedčenie a na získanie školského vysvedčenia musíte absolvovať dve povinné skúšky vo forme Jednotnej štátnej skúšky – a jednu z nichmatematika. Čo môžem povedať, záverečné skúšky sú rozhodujúcim obdobím v živote každého študenta, od ktorého závisí nielen výsledná známka na vysvedčení, ale aj jeho profesionálna budúcnosť, príjem a kariéra.

Jednotná štátna skúška je dôležitým testom pred prechodom do nového života a vstupom na univerzitu alebo vysokú školu. Je obzvlášť dôležité absolvovať ho s dobrým skóre.POUŽITIE v matematike je vážny test a bez dobrého základu si študent nebude môcť nárokovať slušný výsledok.

Ako sa vyhnúť zlyhaniu na skúške a získať dobré skóre? Aby ste to dosiahli, musíte dobre vyriešiť problémy. Nepredstieram na maximum, napriek tomu sa svedomito pripravujem. A všimol som si, že aj pri prvej úlohe časti C, konkrétne pri riešení goniometrických rovníc a ich sústav, robím chyby.Na prvý pohľad je úloha C1 relatívne jednoduchá rovnica alebo sústava rovníc, ktorá môže obsahovať goniometrické funkcie,jeden z hlavných prístupov k riešeniu, ktorý spočíva v ich postupnom zjednodušovaní s cieľom zredukovať ich na jeden alebo viac jednoduchých.Prečo sa teda mýlim?

Relevantnosť témy je daná tým, že žiaci musia rozumieť určitým metódam riešenia goniometrických rovníc.

Preto som pred seba položil nasledovnéúčel:

Systematizovať, rozširovať vedomosti a zručnosti súvisiace s používaním metód riešenia goniometrických rovníc.

Predmet štúdia je náuka goniometrických rovníc v úlohách skúšky.

Predmet štúdia- je riešením goniometrických rovníc

teda hlavný cieľ písanie tejto semestrálnej práce je štúdiom goniometrických rovníc a ich systémov, spôsobov ich riešenia.

V súlade s cieľmi, objektom a predmetom štúdia nasledovné úlohy:

jeden). Preštudovať si všetky úlohy súvisiace s riešením goniometrických rovníc ponúkaných na Jednotnej štátnej skúške prác minulých rokov a pri vykonávaní diagnostických prác;

2) Študijné metódy riešenia goniometrických rovníc.

3). Identifikujte hlavné možné chyby pri riešení takýchto rovníc;

4). Zistite príčinu takýchto chýb.

6). Uzavrieť.

Vo svojej práci vyriešim niekoľko goniometrických rovníc, ukážem možné chyby pri ich riešení a pokúsim sa odpovedať na nasledujúce otázky:

jeden). Je možné vyhnúť sa chybám pri vykonávaní úloh typu C1

2) Ak si precvičím riešenie rovníc tohto typu, tak môžem

Je možné vykonávať takéto úlohy bezchybne?

Za týmto účelom som študoval všetky demonštračné a školiace úlohy realizované s nami, materiály USE z predchádzajúcich rokov;

preštudované referenčné zdroje;

samostatne riešené úlohy z internetu;

v prípade ťažkostí konzultovala s učiteľkou;

Naučil som sa analyzovať a správne zostaviť výsledky.

kapitola ja Na goniometrické rovnice.

1) Definícia 1. Goniometrická rovnica je rovnica obsahujúca premennú pod znamienkom goniometrických funkcií.

Najjednoduchšie goniometrické rovnice sú rovnice v tvare sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

V takýchto rovniciach je premenná pod znamienkom goniometrickej funkcie a je daným číslom.

Riešenie goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch etáp: transformácia rovnice na získanie jej najjednoduchšieho tvaru a riešenie výslednej najjednoduchšej goniometrickej rovnice.

2) Základné typy goniometrických rovníc.

Rovnice zredukované na najjednoduchšie.

vyriešiť rovnicu

rozhodnutie:

odpoveď:

Rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické.

1) Vyriešte rovnicu 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.

odpoveď:

Homogénne rovnice: asinx + bcosx = 0

a hriech 2x + b sinxcosx + cčo 2 x = 0.

Vyriešte rovnicu 2sinx - 3cosx = 0

Riešenie: Nech cosx = 0, potom 2sinx = 0 a sinx = 0 - rozpor s

že sin 2 x + cos 2 x = 1. Takže cosx ≠ 0 a rovnicu môžeme rozdeliť cosx.

Získajte

odpoveď:

Príklad: vyriešiť rovnicu

rozhodnutie:

odpoveď:

Rovnice riešené faktoringom.

Pryper: Vyriešte rovnicu sin2x - sinx = 0.

Riešenie: Pomocou vzorca sin2x = 2sinxcosx dostaneme

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx(2cosx - 1) = 0.

Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

odpoveď:

Neštandardné rovnice.

Vyriešte rovnicu cosx = X 2 + 1.

rozhodnutie:

Zvážte funkcie

kapitola II. Základné pojmy a vzorce trigonometrie.

Goniometrické rovnice sú povinnou témou každej matematickej skúšky.

Ox, koľko muky dáva študentom štúdium trigonometrie.

Určité ťažkosti vznikajú, aj keď je učiteľ nablízkumatematiky a vysvetľuje každú maličkosť. Je to pochopiteľné, len základných vzorcov je viac ako dvadsať. A ak vezmeme do úvahy ich deriváty ... Žiak sa vo výpočtoch zamotá a nevie si spomenúť na mechanizmy, ktorými tieto vzorce umožňujú nájsť napr. .

Vzorce poznáte – je pre vás ľahké sa rozhodnúť. Ak nevieš, nepochopíš, aj keby ti dali vzorec.Musíte poznať vzorec nielen hlúpo, ale vedieť, kde sa dá použiť, ako odhaliť a čo je podstatou vzorca, a preto musíte vyriešiť príklady presne tých úloh, ktoré sú ťažké.

Najprv sa mi zdalotrigonometria je nudná sada vzorcov a grafov. Pri oboznamovaní sa s novými pojmami trigonometrie a metódami riešenia goniometrických rovníc som sa však zakaždým presvedčil, aký zaujímavý a fascinujúci je svet trigonometrie.

po prvé, na úspešné riešenie goniometrických rovníc potrebujete dobre poznať goniometrické vzorce, a to nielen základné, ale aj doplnkové (prevod súčtu goniometrických funkcií na súčin a súčinov na súčet, vzorce na znižovanie stupňov a iné),keďže používanie cheatov a mobilných telefónov na skúške je zakázané

(Dodatok 1)

Po druhé , musíme jasne poznať štandardné vzorce pre korene najjednoduchších goniometrických rovníc (je užitočné si zapamätať alebo vedieť získať zjednodušené vzorce pre korene rovníc pomocou goniometrického kruhu)

Každá z týchto rovníc je vyriešená vzorcami, ktoré by ste mali poznať. Tu sú vzorce:

a) Funkciar= hriechX. Obmedzená funkcia: v rámci [-1; jeden]. To znamená, že pri riešení rovníc typusinx= 2 alebosinxsinx

1) sinx \u003d a,x= (-1) n oblúksin a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 oblúksin a +n,n Z

Musíte tiež poznať špeciálne prípady: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = a,

Treba vedieť aj riešiťvo forme dvoch radov koreňov

2. Funkcia r = cos X . Obmedzená funkcia: v rámci [-1; jeden]. To znamená, že pri riešení rovníc typucosX= 2 alebocosX=-5 v odpovedi sa ukazuje: neexistujú žiadne korene. Vzorce pre funkciu y=cosX:

1. cosx=a, X = ± arccos a+2n,n Z

2.cosx=-a, X=±(  - arccos a)+2n,n Z

Špeciálne prípady: 1. cosx =-1, X=  +2 n, n Z

2. cox=0,

3. cosx=1, X= 2n,n Z

3. Funkciar= tgX.

Existuje iba jeden vzorec bez špeciálnych prípadov:tgX = ± a .

X = ± arctg a+n,n Z

Po tretie, musíme poznať hodnoty goniometrických funkcií;

(Príloha 2)

po štvrté, Ak je v rovnici goniometrická funkcia pod znamienkom radikálu, potom bude takáto goniometrická rovnica iracionálna. V takýchto rovniciach by sa mali dodržiavať všetky pravidlá, ktoré sa používajú pri riešení bežných iracionálnych rovníc (zohľadňuje sa rozsah prípustných hodnôt samotnej rovnice aj pri oslobodení od koreňa párneho stupňa).

V. Rovnice navrhnuté na zjednotenej štátnej skúške z minulých rokov.

"Metóda riešenia je dobrá, ak od samého začiatku vieme predvídať - a následne to potvrdiť - že dodržiavaním tejto metódy dosiahneme cieľ."

Leibniz

1. Rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratickú.

C1. Vyriešte rovnicu:

Riešenie: Pomocou základnej goniometrickej identity,prepíšte rovnicu do tvaru

nahradeniecos= trovnica sa redukuje na kvadratickú:2t 2 + 9 t-5 = 0, ktorý má korenet 1 = ½ at 2 = -5. Ak sa vrátime k premennej x, dostaneme
,

Druhá rovnica nemá korene od |cosx |≥1 a od prvej x =± +6k , k Z

Odpoveď: =± +6k , k Z

Výkon: pri zavádzaní novej premennej je potrebné vziať do úvahy, že hodnoty sin x a cos x sú obmedzené intervalom
, inak sa objavia cudzie korene.

2. Rovnice riešené faktoringom

Úloha C1 (2011)

a) Vyriešte rovnicu

b) Označte korene rovnice patriace do segmentu

Riešenie: a) vyriešte rozkladom ľavej strany:

skupinu a vylúčte spoločný faktor zo zátvoriek, dostaneme

Rovnica 1) nemá riešenia.

Druhá rovnica je homogénna, riešime ju delením člena po člene cosx ≠0, dostaneme
, kde

b)

odpoveď: a)
b)

Výkon:

1. Pri riešení rovnice tohto druhu musíte najskôr vedieť, že |sin x|≤1 a |cosx |≤1 a rovnica sinx =-2 nemá riešenia;

2. Po druhé, zdôvodnite delenie pomocou cosx ≠o (pretože ak cosx = 0, potom sin x = 0, a to nie je možné;

po tretie, je rozumné urobiť výber koreňov patriacich do tohto intervalu

3
.Rovnica na aplikáciu redukčných vzorcov

C1 (2010) Uvedená rovnica

a) vyriešiť rovnicu;

b
) Zadajte korene patriace do segmentu

Riešenie: Pomocou redukčných vzorcov dostaneme:

sin 2 x - cos x \u003d 0,

2 sinx cosx - cosx = 0,

s osx (2 sinx -1) = 0, odkiaľ cosx = 0 alebo sinx = ½,

b) Nájdite hodnoty k, ku ktorým budú patriť korene

určený interval. Vyberať korene. patriace do daného intervalu, riešenie môže byť reprezentované ako:

b

) Nájdite hodnoty k, pre ktoré budú korene patriť do určeného intervalu.

2)

Riešenie tejto nerovnosti, celku

nedostaneme hodnotu k.

odpoveď: a)

b)

Výkon:

Pri riešení rovnice tohto druhu je potrebné poznať vzorce uvedenej rovnice a správne ju aplikovať; vedieť predložiť riešenie
do dvoch sérií koreňov; správne vybrať korene patriace do daného segmentu.

4. Sústavy goniometrických rovníc

C1 (2010). Vyriešte sústavu rovníc

Riešenie: O.D.Z

Zlomok je nula, ak je čitateľ 0 a menovateľ nie je 0.

Z rovnice 2sin 2 x - 3 sinx +1 \u003d 0, vyriešenej metódou zavedenia novej premennej, nájdeme

alebo sinx=1.

1) Nechajte
, potom
a y = cos x = ›0 (pomocou základnej goniometrickej identity)

alebo
a
- neexistuje žiadne rozhodnutie.

2) Nechajte sinx \u003d 1, potom y \u003d cos x \u003d 0 - neexistuje žiadne riešenie.

odpoveď:
a y =

Záver: 1) je potrebné vziať do úvahy obmedzenosť trigonometrie

funkcie

2) Evidovať a brať do úvahy O.D.Z.

5. C1 (USE 2011) Vyriešte rovnicu:

O.D.Z. - cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 alebo cos x = 0

sinx=t

4 t 2 + 12 t + 5 = 0, odkiaľ t 1 \u003d -½, t 2 \u003d -

sinx = -½ sinx=- - nemá riešenie

x =

x =

s prihliadnutím na O.D.Z. x =

Odpoveď: x =

Záver: Odpoveď zapíšte s prihliadnutím na O.D.Z.

ZÁVER

V mojej práci sa študovali riešenia goniometrických rovníc, zvažovali sa odporúčania na riešenie goniometrických rovníc, metódy riešenia goniometrických rovníc a zvažovali sa chyby, ktoré sú možné pri ich riešení.

Dospel som k nasledujúcim záverom:

1. Úlohy typu C1 preverujú schopnosť riešiť goniometrické rovnice. Tieto úlohy sú skutočne jednoduché, čo dodáva sebavedomie a upokojuje pozornosť. Jedinou ťažkosťou týchto úloh je, že po vyriešení rovnice alebo sústavy rovníc je potrebné vyradiť cudzie korene.

2. Úloha C1 je najjednoduchší problém skupiny C. Pri jej riešení by nemalo dochádzať k ťažkopádnym transformáciám a zložitým výpočtom. Ak sa objavia, musíte okamžite zastaviť, skontrolovať riešenie a pokúsiť sa pochopiť, čo je tu zlé.

3. v konečnom dôsledkuhlavnou požiadavkou je, že riešenie musí byť matematicky gramotné, musí z neho byť zrejmý priebeh uvažovania.Svoje rozhodnutie treba skúsiť napísať stručne a jasne, ale hlavne – správne!

4. A čo je najdôležitejšie - aby ste sa naučili riešiť rovnice bez chýb, musíte ich vyriešiť! Koniec koncov, ako povedal Poya, "Ak sa chcete naučiť plávať, potom sa odvážne ponorte do vody, a ak sa chcete naučiť riešiť problémy, musíte ich vyriešiť!"

Dodatok 1 (základné vzorce trigonometrie)

1) základná trigonometrická identitahriech 2 α + cos 2 α= 1,

Vydelením tejto rovnice druhou mocninou kosínusu a sínusu máme

2) vzorce dvojitého argumentuhriech2a = 2hriechα cos α,

pretože 2α = cos 2 α - hriech 2 α ,

Cos 2α = 1- 2sin 2 α,

3) vzorce na zníženie:

4) vzorce pre súčet a rozdiel dvoch argumentov:

hriech(α+ β )= hriechα cosβ + cos α hriechβ

hriech(α- β )= hriechα cos β - cos α hriech β

cos(α+ β )= cosα cos β + hriech α hriech β

cos(α- β )= hriechα cos β + hriechα hriech β

5) Obsadenie vzorcov

Redukčné vzorce sa nazývajú vzorce nasledujúceho tvaru:

Súčtové súčty a rozdiely goniometrických rovníc

Parita

kosínus-párny, sínus, tangens a kotangens, teda:

Kontinuita

Sínus a kosínus - . Tangenta a má

,kotangens 0; ±π; ±2π;…

Periodicita

Funkcier = cosX, r = hriechX -

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.