A მოვლენის P A ალბათობის გამოსათვლელად საჭიროა შესწავლილი ობიექტის მათემატიკური მოდელის აგება, რომელიც შეიცავს A მოვლენას. მოდელის საფუძველია ალბათობის სივრცე (,?,P), სად არის ელემენტარული სივრცე. ივენთი, ? - მოვლენების კლასი მათზე დანერგილი კომპოზიციური ოპერაციებით,

რაიმე A მოვლენის ალბათობა, რომელსაც აქვს აზრი და შედის მოვლენათა კლასში? 25. თუ, მაგალითად,

შემდეგ მე-3 აქსიომიდან, ალბათობებიდან გამომდინარეობს, რომ

ამრიგად, A მოვლენის ალბათობის გამოთვლა მცირდება მასში შემავალი ელემენტარული მოვლენების ალბათობების გაანგარიშებამდე და რადგან ისინი „ძირითადი“ არიან, მათი გამოთვლის მეთოდები არ უნდა იყოს დამოკიდებული ალბათობის თეორიის აქსიომიკაზე.

აქ განიხილება ელემენტარული მოვლენების ალბათობის გამოთვლის სამი მიდგომა:

კლასიკური;

გეომეტრიული;

სტატისტიკური ან სიხშირე.

ალბათობების გამოთვლის კლასიკური მეთოდი

ალბათობის აქსიომატური განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ალბათობა არსებობს ნებისმიერი A მოვლენისთვის, მაგრამ არაფერია ნათქვამი მისი გამოთვლაზე, თუმცა ცნობილია, რომ ყოველი ელემენტარული მოვლენისთვის i არის ალბათობა pi ისეთი, რომ ყველა ალბათობის ჯამი. ელემენტარული მოვლენები სივრცეში უდრის ერთს, ანუ

შემთხვევითი მოვლენების ალბათობების გამოთვლის კლასიკური მეთოდი ეფუძნება ამ ფაქტის გამოყენებას, რომელიც, თავისი სპეციფიკიდან გამომდინარე, იძლევა ამ მოვლენების ალბათობების უშუალოდ აქსიომებიდან პოვნის საშუალებას.

მიეცით ფიქსირებული ალბათობის სივრცე (,?,P), რომელშიც:

• ა) შედგება ელემენტარული მოვლენების სასრული რიცხვისგან n,
• ბ) ყოველი ელემენტარული მოვლენა i ასოცირდება ალბათობასთან

განვიხილოთ მოვლენა A, რომელიც შედგება m ელემენტარული მოვლენებისგან:

შემდეგ ალბათობათა მე-3 აქსიომიდან, ელემენტარული მოვლენების შეუთავსებლობის გამო, გამოდის, რომ

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ფორმულა

რომლის ინტერპრეტაცია შესაძლებელია შემდეგნაირად: A მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის A მოვლენისთვის ხელსაყრელი ელემენტარული მოვლენების რაოდენობის თანაფარდობას ყველა ელემენტარული მოვლენის რაოდენობასთან.

ეს არის მოვლენათა ალბათობის გამოთვლის კლასიკური მეთოდის არსი.

კომენტარი. სივრცის თითოეულ ელემენტარულ მოვლენას ერთი და იგივე ალბათობა მივანიჭეთ, ჩვენ, ერთი მხრივ, ალბათობის სივრცის ქონა და ალბათობის თეორიის აქსიომებზე დაყრდნობით, მივიღეთ კოსმოსიდან ნებისმიერი შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის გამოთვლის წესი. მეორეს მხრივ, ფორმულა (2), ეს გვაძლევს საფუძველს, განვიხილოთ ყველა ელემენტარული მოვლენა თანაბრად შესაძლებელი და ნებისმიერი შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის გამოთვლა შემცირებიდან „ურნის“ სქემამდე, მიუხედავად აქსიომებისა.

(2) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ A მოვლენის ალბათობა დამოკიდებულია მხოლოდ ელემენტარული მოვლენების რაოდენობაზე, რომლიდანაც იგი შედგება და არ არის დამოკიდებული მათ კონკრეტულ შინაარსზე. ამრიგად, ფორმულის (2) გამოსაყენებლად, აუცილებელია ვიპოვოთ წერტილების რაოდენობა სივრცეში და წერტილების რაოდენობა, რომლებიც ქმნიან მოვლენას A, მაგრამ მაშინ ეს უკვე კომბინატორული ანალიზის ამოცანაა.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 8. n ბურთის ურნა შეიცავს k წითელ და (n - k) შავ ბურთულებს. ჩვენ ვხატავთ r ბურთებს შემთხვევით, r ბურთების დაბრუნების გარეშე. რა არის იმის ალბათობა, რომ r ბურთების ნიმუშში s ბურთები წითელი იყოს?

გამოსავალი. მოდით მოვლენა (A) (r ბურთების ნიმუშში s იყოს წითელი). საჭირო ალბათობა გვხვდება კლასიკური სქემის მიხედვით, ფორმულა (2):

სადაც არის r მოცულობის შესაძლო ნიმუშების რაოდენობა, რომლებიც განსხვავდება მინიმუმ ერთი ბურთის რიცხვით, და m არის r მოცულობის ნიმუშების რაოდენობა, რომელშიც s ბურთები წითელია. ცხადია ნომრისთვის შესაძლო ვარიანტებინიმუში ტოლია და m, როგორც მე-7 მაგალითიდან ჩანს, ტოლია

ამრიგად, საჭირო ალბათობა უდრის

მიეცით ნაკრები წყვილებში შეუთავსებელი მოვლენებიროგორც,

ფორმირება სრული ჯგუფი, მაშინ

ამ შემთხვევაში ჩვენ ვამბობთ, რომ გვაქვს მოვლენების ალბათობის განაწილება როგორც.

ალბათობის განაწილება ერთ-ერთი ფუნდამენტური ცნებაა თანამედროვე თეორიაალბათობები და აყალიბებს კოლმაგოროვის აქსიომებს.

განმარტება. ალბათობის განაწილება

განისაზღვრება ჰიპერგეომეტრიული განაწილება.

ბოროვკოვი ა.ა. თავის წიგნში, მაგალითად (3) ფორმულის გამოყენებით, ის განმარტავს პრობლემების ბუნებას ალბათობის თეორიასა და მათემატიკურ სტატისტიკაში შემდეგნაირად: ზოგადი პოპულაციის შემადგენლობის ცოდნით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ჰიპერგეომეტრიული განაწილება, რათა გავიგოთ, რა შემადგენლობაშია ნიმუში შეიძლება იყოს - ეს არის ტიპიური პრობლემა ალბათობის თეორიაში (პირდაპირი პრობლემა). IN ნატურალური მეცნიერებაამოიღეთ შებრუნებული პრობლემა: ნიმუშების შემადგენლობიდან გამომდინარე, ისინი განსაზღვრავენ ზოგადი პოპულაციების ბუნებას - ეს არის შებრუნებული პრობლემა და, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, წარმოადგენს მათემატიკური სტატისტიკის შინაარსს.

ბინომური კოეფიციენტების (კომბინაციები) განზოგადება არის პოლინომიური კოეფიციენტები, რომლებიც თავიანთ სახელს განაპირობებს ფორმის მრავალწევრის გაფართოებით.

ტერმინების უფლებამოსილებით.

პოლინომიური კოეფიციენტები (4) ხშირად გამოიყენება კომბინატორიული ამოცანების ამოხსნისას.

თეორემა. იყოს k სხვადასხვა ყუთი, რომელშიც მოთავსებულია დანომრილი ბურთები. შემდეგ ბურთების რაოდენობა, რომელიც უნდა განთავსდეს ყუთებში, რომ ყუთის ნომერი r შეიცავს რი ბურთებს,

განისაზღვრება პოლინომიური კოეფიციენტებით (4).

მტკიცებულება. ვინაიდან ყუთების თანმიმდევრობა მნიშვნელოვანია, მაგრამ ყუთებში ბურთები არ არის მნიშვნელოვანი, კომბინაციები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბურთების განლაგების დასათვლელად ნებისმიერ ყუთში.

პირველ ყუთში r1 ბურთები n-დან შეიძლება შეირჩეს გზებით, მეორე ყუთში r2 ბურთები, დანარჩენიდან (n - r1) შეიძლება შეირჩეს გზებით და ასე შემდეგ, (k - 1) ყუთში rk-1 ბურთები. ჩვენ ვირჩევთ

გზები; ყუთში k - დარჩენილი პირობა

ბურთები ავტომატურად ეცემა, ერთი გზით.

ამრიგად, მთლიანი განლაგება იქნება

მაგალითი. n ბურთი შემთხვევით ნაწილდება n ყუთში. თუ ვივარაუდებთ, რომ ყუთები და ბურთები ერთმანეთისგან განსხვავდება, იპოვეთ შემდეგი მოვლენების ალბათობა:

• ა) ყველა ყუთი არ არის ცარიელი = A0;
• ბ) ერთი ყუთი ცარიელია = A1;
• გ) ორი ცარიელი ყუთი = A2;
• დ) სამი ცარიელი ყუთი = A3;
• ე) (n-1) - ყუთი ცარიელია = A4.

ამოხსენით ამოცანა n = 5-ისთვის.

გამოსავალი. მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ ბურთების განაწილება ყუთებს შორის მარტივია შემთხვევითი შერჩევა, შესაბამისად, ყველა ვარიანტი არის nn.

ეს თანმიმდევრობა ნიშნავს, რომ პირველ, მეორე და მესამე ყუთებს აქვთ სამი ბურთი, მეოთხე და მეხუთე ყუთებს აქვთ ორი ბურთი, ხოლო დანარჩენ (n - 5) ყუთებს აქვთ თითო ბურთი. ასეთი ბურთების ყუთებში მოთავსების საერთო რაოდენობა იქნება

ვინაიდან ბურთები რეალურად გამოირჩევა, მაშინ თითოეული ასეთი კომბინაციისთვის გვექნება

ბურთის განლაგება. ამრიგად, იქნება მთლიანი ვარიანტები

მოდით გადავიდეთ ამოხსნის მაგალითზე პუნქტ-პუნქტით:

ა) ვინაიდან თითოეული ყუთი შეიცავს ერთ ბურთულას, გვაქვს თანმიმდევრობა 111...11, რომლის განლაგების რაოდენობაა n!/ n! = 1. თუ ბურთები გამოირჩევა, მაშინ გვაქვს n!/ 1! განთავსება, შესაბამისად, ვარიანტების საერთო რაოდენობაა m = 1n!= n!, შესაბამისად

ბ) თუ ერთი ყუთი ცარიელია, მაშინ რომელიმე ყუთი შეიცავს ორ ბურთულას, მაშინ გვაქვს თანმიმდევრობა 211...10, რომლის განლაგების რაოდენობაა n! (n-2)!. ვინაიდან ბურთები გამოირჩევა, თითოეული ასეთი კომბინაციისთვის გვაქვს n!/ 2! განთავსება. სულ ვარიანტები

გ) თუ ორი უჯრა ცარიელია, მაშინ გვაქვს ორი მიმდევრობა: 311...100 და 221...100. პირველისთვის განლაგების რაოდენობა უდრის

n!/ (2! (n - 3)!).

თითოეული ასეთი კომბინაციისთვის გვაქვს n!/ 3! ბურთის განლაგება. ასე რომ, პირველი თანმიმდევრობისთვის, ვარიანტების რაოდენობა არის

მეორე თანმიმდევრობისთვის, მთლიანი ვარიანტები იქნება

საბოლოოდ გვაქვს

დ) სამი ცარიელი ყუთისთვის იქნება სამი თანმიმდევრობა: 411...1000, ან 3211...1000, ან 22211...1000.

პირველი თანმიმდევრობისთვის გვაქვს

მეორე თანმიმდევრობისთვის

მესამე თანმიმდევრობისთვის ვიღებთ

სულ ვარიანტები

m = k1 + k2 + k3,

საჭირო ალბათობა უდრის

ე) თუ (n -1) ყუთი ცარიელია, მაშინ ყველა ბურთი უნდა იყოს ერთ-ერთ ყუთში. ცხადია, კომბინაციების რაოდენობა ტოლია

ამ მოვლენის შესაბამისი ალბათობა უდრის

n = 5-ისთვის გვაქვს

გაითვალისწინეთ, რომ n = 5 მოვლენისთვის Аi უნდა შექმნას სრული ჯგუფი, რაც მართალია. Ნამდვილად

1. მოვლენების ალბათობის გამოთვლის ფორმულები

1.3.1. დამოუკიდებელი ტესტების თანმიმდევრობა (ბერნულის წრე)

დავუშვათ, რომ ზოგიერთი ექსპერიმენტი შეიძლება განმეორებით განხორციელდეს იმავე პირობებში. დაე, ეს გამოცდილება განხორციელდეს ნჯერ, ანუ თანმიმდევრობა ნტესტები.

განმარტება. ქვემიმდევრობა ნ ტესტები ეწოდება ორმხრივად დამოუკიდებელი , თუ მოცემულ ტესტთან დაკავშირებული რაიმე მოვლენა დამოუკიდებელია სხვა ტესტებთან დაკავშირებული მოვლენებისგან.

დავუშვათ, რომ რაღაც მოვლენა ასავარაუდოდ მოხდება გვერთი ტესტის შედეგად ან სავარაუდოდ არ მოხდება ქ= 1- გვ.

განმარტება . თანმიმდევრობა ნტესტები აყალიბებს ბერნულის სქემას, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

შემდგომი მიმდევრობა ნტესტები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია,

2) მოვლენის ალბათობა აარ იცვლება საცდელიდან საცდელზე და არ არის დამოკიდებული სხვა ცდების შედეგზე.

ღონისძიება ატესტის "წარმატებას" უწოდებენ, საპირისპირო მოვლენას კი "მარცხს". განიხილეთ მოვლენა

= (ში ნტესტები მოხდა ზუსტად მ"წარმატება").

ამ მოვლენის ალბათობის გამოსათვლელად მოქმედებს ბერნულის ფორმულა

გვ() =
, მ = 1, 2, …, ნ , (1.6)

სად - კომბინაციების რაოდენობა ნელემენტების მიერ მ :

=
=
.

მაგალითი 1.16. კვარცხლბეკს აყრიან სამჯერ. იპოვე:

ა) ალბათობა იმისა, რომ 6 ქულა ორჯერ გამოჩნდება;

ბ) ალბათობა იმისა, რომ ექვსთა რიცხვი ორჯერ მეტი არ გამოჩნდება.

გამოსავალი . ტესტის „წარმატებად“ მივიჩნევთ მაშინ, როდესაც 6 ქულის გამოსახულების მქონე მხარე გამოჩნდება კალმზე.

ა) ტესტების საერთო რაოდენობა – ნ=3, "წარმატებების" რაოდენობა - მ = 2. "წარმატების" ალბათობა - გვ=, და "მარცხის" ალბათობა არის ქ= 1 - =. მაშინ, ბერნულის ფორმულის მიხედვით, ალბათობა იმისა, რომ ჯარისკაცის სამჯერ სროლის შედეგად, ექვსქულიანი მხარე ორჯერ გამოჩნდეს, ტოლი იქნება.

.

ბ) აღვნიშნოთ ამოვლენა, რომელიც ნიშნავს, რომ 6 ქულის მქონე მხარე გამოჩნდება არა უმეტეს ორჯერ. მაშინ მოვლენა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სამი შეუთავსებელი ჯამიივენთი A=
,

სად IN 3 0 - მოვლენა, როდესაც ინტერესის ზღვარი არასდროს ჩნდება,

IN 3 1 - მოვლენა, როდესაც ინტერესის ზღვარი ჩნდება ერთხელ,

IN 3 2 - მოვლენა, როდესაც ინტერესის ზღვარი ორჯერ ჩნდება.

ბერნულის ფორმულის გამოყენებით (1.6) ვპოულობთ

გვ(ა) = p (
) = გვ(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. მოვლენის პირობითი ალბათობა

პირობითი ალბათობა ასახავს ერთი მოვლენის გავლენას მეორის ალბათობაზე. ასევე მოქმედებს ექსპერიმენტის ჩატარების პირობების შეცვლა

ინტერესის მოვლენის დადგომის ალბათობაზე.

განმარტება. დაე ა და ბ- ზოგიერთი მოვლენა და ალბათობა გვ(ბ)> 0.

პირობითი ალბათობაივენთი აიმ პირობით, რომ „მოვლენა ბუკვემოხდა“ არის ამ მოვლენების დადგომის ალბათობის თანაფარდობა იმ მოვლენის ალბათობასთან, რომელიც მოხდა იმაზე ადრე, ვიდრე მოვლენა, რომლის ალბათობის პოვნაც საჭიროა. პირობითი ალბათობააღინიშნება როგორც გვ(ა ბ). მაშინ განსაზღვრებით

გვ (ა  ბ) =
. (1.7)

მაგალითი 1.17. ორი კამათელი აგდებულია. ელემენტარული მოვლენების სივრცე შედგება რიცხვების მოწესრიგებული წყვილებისგან

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

მაგალითში 1.16 დადგინდა, რომ მოვლენა ა=(ქულების რაოდენობა პირველ კვერზე > 4) და მოვლენა C=(ქულების ჯამი არის 8) დამოკიდებული. დავამყაროთ ურთიერთობა

.

ეს ურთიერთობა შეიძლება აიხსნას შემდეგნაირად. დავუშვათ, რომ პირველი სროლის შედეგი ცნობილია, რომ პირველ კვარცხლბეკზე ქულების რაოდენობა არის > 4. აქედან გამომდინარეობს, რომ მეორე საყრდენის გადაგდებამ შეიძლება გამოიწვიოს 12 შედეგიდან ერთ-ერთი, რომელიც ქმნის მოვლენას. ა:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

ამ ღონისძიებაზე Cმათგან მხოლოდ ორს შეუძლია შეესაბამებოდეს (5,3) (6,2). ამ შემთხვევაში მოვლენის ალბათობა C თანაბარი იქნება
. ამრიგად, ინფორმაცია მოვლენის შესახებ აგავლენა მოახდინა მოვლენის ალბათობაზე C.

მოვლენების დადგომის ალბათობა

გამრავლების თეორემა

მოვლენების დადგომის ალბათობაა 1 ა 2  ა ნ განისაზღვრება ფორმულით

გვ(ა 1 ა 2  ა ნ)= გვ(ა 1)გვ(ა 2  ა 1)) გვ(ა ნ  ა 1 ა 2  ა n- 1). (1.8)

ორი მოვლენის პროდუქტისთვის ეს გამომდინარეობს

გვ(AB)= გვ(ა ბ) პ{ბ)= გვ(ბ ა)გვ{ა). (1.9)

მაგალითი 1.18. 25 პროდუქტის პარტიაში 5 პროდუქტი დეფექტურია. ზედიზედ შემთხვევით შეირჩევა 3 ელემენტი. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ყველა შერჩეული პროდუქტი დეფექტურია.

გამოსავალი. ავღნიშნოთ მოვლენები:

ა 1 = (პირველი პროდუქტი დეფექტურია),

ა 2 = (მეორე პროდუქტი დეფექტურია),

ა 3 = (მესამე პროდუქტი დეფექტურია),

ა = (ყველა პროდუქტი დეფექტურია).

ღონისძიება ა არის სამი მოვლენის პროდუქტი ა = ა 1 ა 2 ა 3 .

გამრავლების თეორემიდან (1.6) ვიღებთ

გვ(ა)= p( ა 1 ა 2 ა 3 ) = გვ(ა 1) გვ(ა 2  ა 1))გვ(ა 3  ა 1 ა 2).

ალბათობის კლასიკური განმარტება გვაძლევს საშუალებას ვიპოვოთ გვ(ა 1) არის დეფექტური პროდუქტების რაოდენობის თანაფარდობა საერთო რაოდენობაპროდუქტები:

გვ(ა 1)= ;

გვ(ა 2) – ეს ერთის ამოღების შემდეგ დარჩენილი დეფექტური პროდუქტების რაოდენობის თანაფარდობა დარჩენილი პროდუქტების საერთო რაოდენობასთან:

გვ(ა 2  ა 1))= ;

გვ(ა 3) - ეს არის ორი დეფექტური პროდუქტის ამოღების შემდეგ დარჩენილი დეფექტური პროდუქტების რაოდენობის თანაფარდობა დარჩენილი პროდუქტების საერთო რაოდენობასთან:

გვ(ა 3  ა 1 ა 2)=.

მაშინ მოვლენის ალბათობა ა თანაბარი იქნება

გვ(ა) ==
.

მესმის, რომ ყველას უნდა წინასწარ იცოდეს, როგორ დასრულდება სპორტული ღონისძიება, ვინ მოიგებს და ვინ წააგებს. ამ ინფორმაციის საშუალებით შეგიძლიათ ფსონების დადება სპორტული ღონისძიებები. მაგრამ შესაძლებელია თუ არა და თუ ასეა, როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის ალბათობა?

ალბათობა ფარდობითი მნიშვნელობაა, ამიტომ ის არ შეუძლია დარწმუნებით ისაუბროს რაიმე მოვლენაზე. ეს ღირებულებასაშუალებას გაძლევთ გაანალიზოთ და შეაფასოთ ფსონის დადების აუცილებლობა კონკრეტულ კონკურსზე. ალბათობების განსაზღვრა არის მთელი მეცნიერება, რომელიც მოითხოვს ფრთხილად შესწავლას და გაგებას.

ალბათობის კოეფიციენტი ალბათობის თეორიაში

სპორტულ ფსონებში შეჯიბრის შედეგის რამდენიმე ვარიანტი არსებობს:

• პირველი გუნდის გამარჯვება;
• მეორე გუნდის გამარჯვება;
• ხატვა;
• სულ

კონკურსის თითოეულ შედეგს აქვს თავისი ალბათობა და სიხშირე, რომლითაც მოხდება ეს მოვლენა, იმ პირობით, რომ შენარჩუნებულია საწყისი მახასიათებლები. როგორც ადრე ვთქვით, შეუძლებელია რაიმე მოვლენის ალბათობის ზუსტად გამოთვლა – შეიძლება ემთხვეოდეს ან არ დაემთხვა. ამრიგად, თქვენს ფსონს შეუძლია მოიგოს ან წააგოს.

შეჯიბრის შედეგების 100%-ით ზუსტი პროგნოზი არ შეიძლება, რადგან ბევრი ფაქტორი გავლენას ახდენს მატჩის შედეგზე. ბუნებრივია, ტოტალიზატორები წინასწარ არ იციან მატჩის შედეგს და მხოლოდ შედეგს ვარაუდობენ, გადაწყვეტილებას იღებენ თავიანთი ანალიზის სისტემისა და შეთავაზების გამოყენებით. გარკვეული კოეფიციენტებიფსონებისთვის.

როგორ გამოვთვალოთ მოვლენის ალბათობა?

დავუშვათ, რომ ტოტალიზატორის შანსები არის 2.1/2 - ვიღებთ 50%. გამოდის, რომ კოეფიციენტი 2 უდრის 50%-ის ალბათობას. იგივე პრინციპით შეგიძლიათ მიიღოთ ლუწი ალბათობის კოეფიციენტი - 1/ალბათობა.

ბევრი მოთამაშე ფიქრობს, რომ რამდენიმე განმეორებითი მარცხის შემდეგ, მოგება აუცილებლად მოხდება - ეს მცდარი მოსაზრებაა. ფსონის მოგების ალბათობა არ არის დამოკიდებული წაგების რაოდენობაზე. მაშინაც კი, თუ მონეტების თამაშში ზედიზედ რამდენიმე თავს გადაატრიალებთ, კუდების გადატრიალების ალბათობა იგივე რჩება - 50%.

არსებობს ექსპერიმენტების მთელი კლასი, რომლისთვისაც მათი შესაძლო შედეგების ალბათობა ადვილად შეიძლება შეფასდეს უშუალოდ თავად ექსპერიმენტის პირობებიდან. ამისათვის აუცილებელია, რომ ექსპერიმენტის სხვადასხვა შედეგებს ჰქონდეს სიმეტრია და, შესაბამისად, იყოს ობიექტურად თანაბრად შესაძლებელი.

განვიხილოთ, მაგალითად, სროლის გამოცდილება კამათელი, ე.ი. სიმეტრიული კუბი, რომლის გვერდებზე აღინიშნება პუნქტების განსხვავებული რაოდენობა: 1-დან 6-მდე.

კუბის სიმეტრიის გამო, არსებობს მიზეზი, რომ ექსპერიმენტის ექვსივე შესაძლო შედეგი თანაბრად შესაძლებლად მივიჩნიოთ. ეს არის ის, რაც გვაძლევს უფლებას ვივარაუდოთ, რომ სამაჯურის მრავალჯერ სროლისას ექვსივე მხარე დაახლოებით ერთნაირად ხშირად გამოჩნდება. ეს ვარაუდი, სათანადოდ დამზადებული ძვლისთვის, მართლაც გამართლებულია გამოცდილებით; ჯაგრისის მრავალჯერ სროლისას, მისი თითოეული მხარე ჩნდება სროლის შემთხვევების დაახლოებით მეექვსედში და ამ ფრაქციის გადახრა 1/6-დან ნაკლებია. უფრო დიდი რაოდენობაექსპერიმენტები ჩატარდა. იმის გათვალისწინებით, რომ სანდო მოვლენის ალბათობა მიჩნეულია ერთის ტოლად, ბუნებრივია, რომ ყოველი ცალკეული სახის დაკარგვას 1/6-ის ტოლი ალბათობა მივაკუთვნოთ. ეს რიცხვი ახასიათებს ამ შემთხვევითი ფენომენის ზოგიერთ ობიექტურ თვისებას, კერძოდ, ექსპერიმენტის ექვსი შესაძლო შედეგის სიმეტრიის თვისებას.

ნებისმიერი ექსპერიმენტისთვის, რომელშიც შესაძლო შედეგები სიმეტრიულია და თანაბრად შესაძლებელია, შეიძლება გამოყენებულ იქნას მსგავსი ტექნიკა, რომელსაც ეწოდება ალბათობების პირდაპირი გამოთვლა.

ექსპერიმენტის შესაძლო შედეგების სიმეტრია ჩვეულებრივ შეინიშნება მხოლოდ ხელოვნურად ორგანიზებულ ექსპერიმენტებში, როგორიცაა აზარტული თამაშები. მას შემდეგ, რაც ალბათობის თეორიამ მიიღო თავისი საწყისი განვითარება ზუსტად აზარტული თამაშების სქემებში, ალბათობების უშუალო გამოთვლის ტექნიკა, რომელიც ისტორიულად წარმოიშვა შემთხვევითი ფენომენების მათემატიკური თეორიის გაჩენასთან ერთად, დიდი ხანის განმვლობაშიითვლებოდა ფუნდამენტურად და საფუძვლად დაედო ალბათობის ეგრეთ წოდებულ „კლასიკურ“ თეორიას. ამავდროულად, ექსპერიმენტები, რომლებსაც არ ჰქონდათ შესაძლო შედეგების სიმეტრია, ხელოვნურად შემცირდა "კლასიკურ" სქემამდე.

შეზღუდული მოცულობის მიუხედავად პრაქტიკული აპლიკაციებიამ სქემის მიხედვით, ის მაინც გარკვეულ ინტერესს იწვევს, რადგან სწორედ ექსპერიმენტებით, რომლებსაც აქვთ შესაძლო შედეგების სიმეტრია, და ასეთ ექსპერიმენტებთან დაკავშირებული მოვლენებით, ყველაზე ადვილია გაეცნო ალბათობის ძირითად თვისებებს. ჩვენ შევეხებით ამ სახის მოვლენებს, რომლებიც იძლევა შესაძლებლობას, უპირველეს ყოვლისა, პირდაპირ გამოთვალოთ ალბათობა.

ჯერ შემოვიღოთ რამდენიმე დამხმარე კონცეფცია.

1. ღონისძიებების სრული ჯგუფი.

ნათქვამია, რომ მოცემულ ექსპერიმენტში რამდენიმე მოვლენა ქმნის მოვლენათა სრულ ჯგუფს, თუ მათგან ერთი მაინც აუცილებლად უნდა გამოჩნდეს გამოცდილების შედეგად.

მოვლენების მაგალითები, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს:

3) 1,2,3,4,5,6 ქულის გამოჩენა საყრდენის სროლისას;

4) თეთრი ბურთის გამოჩენა და შავი ბურთის გამოჩენა, როდესაც ერთი ბურთი ამოღებულია ურნადან, რომელშიც 2 თეთრი და 3 შავი ბურთია;

5) ბეჭდური ტექსტის გვერდის შემოწმებისას ერთი, ორი, სამი ან სამზე მეტი შეცდომა არ არის;

6) მინიმუმ ერთი დარტყმა და მინიმუმ ერთი გაცდენა ორი გასროლით.

2. შეუთავსებელი მოვლენები.

ნათქვამია, რომ რამდენიმე მოვლენა შეუთავსებელია მოცემულ გამოცდილებაში, თუ არცერთი მათგანი არ შეიძლება მოხდეს ერთად.

შეუთავსებელი მოვლენების მაგალითები:

1) გერბის დაკარგვა და ნომრების დაკარგვა მონეტის სროლისას;

2) დაარტყა და გაუშვა გასროლისას;

3) 1,3, 4 ქულის გამოჩენა კამათლის ერთი სროლით;

4) ზუსტად ერთი გაუმართაობა, ზუსტად ორი გაუმართაობა, ზუსტად სამი ავარია ტექნიკური მოწყობილობის მუშაობის ათ საათში.

3. თანაბრად შესაძლო მოვლენები.

მოცემულ ექსპერიმენტში რამდენიმე მოვლენას უწოდებენ თანაბრად შესაძლებელს, თუ სიმეტრიის პირობების მიხედვით, არსებობს საფუძველი ვიფიქროთ, რომ არც ერთი ეს მოვლენა არ არის ობიექტურად უფრო შესაძლებელი, ვიდრე მეორე.

თანაბრად შესაძლო მოვლენების მაგალითები:

1) გერბის დაკარგვა და ნომრების დაკარგვა მონეტის სროლისას;

2) 1,3, 4, 5 ქულის გამოჩენა კამათლის სროლისას;

3) ბრილიანტის, გულის, კლუბის ბარათის გამოჩენა გემბანიდან ბარათის ამოღებისას;

4) ბურთის გამოჩენა 1, 2, 3 ნომრით 10 გადანომრილი ბურთის შემცველი ურნიდან ერთი ბურთის აღებისას.

არის მოვლენების ჯგუფები, რომლებსაც აქვთ სამივე თვისება: ისინი ქმნიან სრულ ჯგუფს, არიან შეუთავსებელი და თანაბრად შესაძლებელია; მაგალითად: მონეტის სროლისას გერბის და ნომრების გამოჩენა; 1, 2, 3, 4, 5, 6 ქულის გამოჩენა სამაჯურის სროლისას. მოვლენებს, რომლებიც ქმნიან ასეთ ჯგუფს, ეწოდება შემთხვევები (სხვაგვარად ცნობილია როგორც "შანსები").

თუ მის სტრუქტურაში რომელიმე გამოცდილებას აქვს შესაძლო შედეგების სიმეტრია, მაშინ შემთხვევები წარმოადგენს გამოცდილების თანაბრად შესაძლო და ურთიერთგამომრიცხავი შედეგების ამომწურავ სისტემას. ნათქვამია, რომ ასეთი გამოცდილება "შემცირებულია შემთხვევების ნიმუშამდე" (სხვაგვარად ცნობილია, როგორც "ურნების ნიმუში").

შემთხვევების სქემა უპირატესად ხდება ხელოვნურად ორგანიზებულ ექსპერიმენტებში, რომლებშიც წინასწარ და შეგნებულად არის უზრუნველყოფილი ექსპერიმენტული შედეგების იგივე შესაძლებლობა (როგორც, მაგალითად, აზარტული თამაშები). ასეთი ექსპერიმენტებისთვის შესაძლებელია პირდაპირ გამოთვალოთ ალბათობა ეგრეთ წოდებული „ხელსაყრელი“ შემთხვევების პროპორციის შეფასების საფუძველზე შემთხვევების საერთო რაოდენობაში.

საქმეს ეწოდება ხელსაყრელი (ან „ხელსაყრელი“) გარკვეული მოვლენისთვის, თუ ამ შემთხვევის დადგომა იწვევს ამ მოვლენის დადგომას.

მაგალითად, კამათლის სროლისას შესაძლებელია ექვსი შემთხვევა: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ქულის გამოჩენა. მათგან მოვლენა - ლუწი რაოდენობის ქულების გამოჩენა - ხელსაყრელია სამ შემთხვევაში: 2, 4, 6 და დანარჩენი სამი არახელსაყრელია.

თუ გამოცდილება დაყვანილია შემთხვევების ნიმუშამდე, მაშინ მოცემულ ექსპერიმენტში მოვლენის ალბათობა შეიძლება შეფასდეს ხელსაყრელი შემთხვევების შედარებითი პროპორციით. მოვლენის ალბათობა გამოითვლება როგორც ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობის თანაფარდობა შემთხვევების საერთო რაოდენობასთან:

სადაც P(A) არის მოვლენის ალბათობა; - საერთო რაოდენობაშემთხვევები; – ღონისძიებისთვის ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა.

ვინაიდან ხელსაყრელი შემთხვევების რაოდენობა ყოველთვის არის 0-დან (0-მდე შეუძლებელი მოვლენისთვის და გარკვეული მოვლენისთვის), მოვლენის ალბათობა, რომელიც გამოითვლება ფორმულით (2.2.1) ყოველთვის არის რაციონალური სათანადო წილადი:

ფორმულა (2.2.1), ეგრეთ წოდებული "კლასიკური ფორმულა" ალბათობების გამოთვლისთვის, დიდი ხანია გამოჩნდა ლიტერატურაში, როგორც ალბათობის განმარტება. ამჟამად, ალბათობის განსაზღვრისას (ახსნისას) ისინი, როგორც წესი, სხვა პრინციპებიდან გამომდინარეობენ, რაც პირდაპირ აკავშირებს ალბათობის ცნებას სიხშირის ემპირიულ კონცეფციასთან; ფორმულა (2.2.1) შენარჩუნებულია მხოლოდ როგორც ფორმულა უშუალოდ ალბათობების გამოსათვლელად, შესაფერისი თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გამოცდილება დაყვანილია შემთხვევების სქემამდე, ე.ი. აქვს შესაძლო შედეგების სიმეტრია.

თემა 1 . ალბათობის გამოთვლის კლასიკური ფორმულა.

ძირითადი განმარტებები და ფორმულები:

ექსპერიმენტს, რომლის შედეგის პროგნოზირება შეუძლებელია, ეწოდება შემთხვევითი ექსპერიმენტი(SE).

მოვლენას, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს მოცემულ SE-ში, ეწოდება შემთხვევითი მოვლენა.

ელემენტარული შედეგებიმოვლენებს, რომლებიც აკმაყოფილებს მოთხოვნებს, ეწოდება:

1. SE-ის ნებისმიერი განხორციელებისას ხდება ერთი და მხოლოდ ერთი ელემენტარული შედეგი;

2. ყოველი მოვლენა არის გარკვეული კომბინაცია, ელემენტარული შედეგების გარკვეული ნაკრები.

ყველა შესაძლო ელემენტარული შედეგის ნაკრები სრულად აღწერს SE-ს. ასეთ კომპლექტს ჩვეულებრივ უწოდებენ ელემენტარული შედეგების სივრცე(PEI). PEI-ის არჩევანი მოცემული SE-ს აღსაწერად ორაზროვანია და დამოკიდებულია გადაწყვეტილ პრობლემაზე.

P(A) = n(A)/n,

სადაც n არის თანაბრად შესაძლო შედეგების საერთო რაოდენობა,

n (A) - შედეგების რაოდენობა, რომლებიც ქმნიან A მოვლენას, როგორც ამბობენ, ხელსაყრელია A მოვლენისთვის.

სიტყვები „შემთხვევით“, „შემთხვევით“, „შემთხვევით“ გარანტირებულია ელემენტარული შედეგების თანაბარ შესაძლებლობებს.

ტიპიური მაგალითების ამოხსნა

მაგალითი 1. ურნადან, რომელიც შეიცავს 5 წითელ, 3 შავ და 2 თეთრ ბურთულას, შემთხვევით 3 ბურთულას იღებენ. იპოვნეთ მოვლენების ალბათობა:

ა- "ყველა დახატული ბურთი წითელია";

IN- "ყველა დახატული ბურთი ერთი ფერისაა";

თან– „მოპოვებულთა შორის არის ზუსტად 2 შავი“.

გამოსავალი:

ამ SE-ის ელემენტარული შედეგი არის ბურთების სამმაგი (მოწესრიგებული!). აქედან გამომდინარე, შედეგების საერთო რაოდენობა არის კომბინაციების რაოდენობა: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

ღონისძიება აშედგება მხოლოდ იმ სამეულისგან, რომლებიც გამოყვანილია ხუთი წითელი ბურთისგან, ე.ი. n(A)==10.

ღონისძიება IN 10 წითელი სამეულის გარდა ხელსაყრელია შავი სამეულიც, რომელთა რაოდენობაა = 1. ამიტომ: n (B)=10+1=11.

ღონისძიება თანის სამი ბურთი, რომელიც შეიცავს 2 შავ და ერთ არაშავს, უპირატესობას ანიჭებენ. ორი შავი ბურთის შერჩევის თითოეული მეთოდი შეიძლება გაერთიანდეს ერთი არაშავი ბურთის არჩევასთან (შვიდიდან). ამიტომ: n (C) = = 3 * 7 = 21.

Ისე: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

მაგალითი 2. წინა ამოცანის პირობებში ვივარაუდებთ, რომ თითოეული ფერის ბურთებს აქვთ საკუთარი ნუმერაცია, დაწყებული 1-დან. იპოვეთ მოვლენების ალბათობა:

დ– „მაქსიმალური ამოღებული რიცხვია 4“;

ე- "მაქსიმალური რაოდენობა არის 3."

გამოსავალი:

n(D) გამოსათვლელად შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ურნას აქვს ერთი ბურთი 4 ნომრით, ერთი ბურთი უფრო მაღალი რიცხვით და 8 ბურთი (3k+3h+2b) ქვედა რიცხვებით. ღონისძიება დუპირატესობა ენიჭება იმ სამ ბურთებს, რომლებიც აუცილებლად შეიცავს 4 ნომრით და 2 ბურთებს უფრო დაბალი ნომრებით. ამიტომ: n(D) =

P(D) = 28/120.

n (E) გამოსათვლელად განვიხილავთ: ურნაში არის ორი ბურთი 3 ნომრით, ორი - დიდი რაოდენობითდა ექვსი ბურთი ქვედა რიცხვებით (2k+2h+2b). ღონისძიება ეშედგება ორი ტიპის სამეულისგან:

1. ერთი ბურთი 3 ნომრით და ორი ქვედა ნომრებით;

2.ორი ბურთი 3 ნომრით და ერთი ქვედა ნომრით.

ამიტომ: n(E)=

P(E) = 36/120.

მაგალითი 3. ყოველი M სხვადასხვა ნაწილაკი შემთხვევით გადაყრილია ერთ-ერთ N უჯრედში. იპოვნეთ მოვლენების ალბათობა:

ა- ყველა ნაწილაკი ჩავარდა მეორე უჯრედში;

IN- ყველა ნაწილაკი ერთ უჯრედში ჩავარდა;

თან– თითოეული უჯრედი შეიცავს არაუმეტეს ერთ ნაწილაკს (M £ N);

დ– ყველა უჯრედი დაკავებულია (M =N +1);

ე– მეორე უჯრედი ზუსტად შეიცავს რომ ნაწილაკები.

გამოსავალი:

თითოეული ნაწილაკისთვის არის N გზა კონკრეტულ უჯრედში მოსახვედრად. M ნაწილაკების კომბინატორიკის ძირითადი პრინციპის მიხედვით გვაქვს N *N *N *…*N (M ჯერ). ასე რომ, ამ SE-ში შედეგების საერთო რაოდენობა n = N M.

თითოეული ნაწილაკისთვის გვაქვს მეორე უჯრედში მოხვედრის ერთი შესაძლებლობა, ამიტომ n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1 და P(A) = 1/N M.

ერთ უჯრედში მოხვედრა (ყველა ნაწილაკისთვის) ნიშნავს ყველას პირველში, ან ყველას მეორეში ან ა.შ. ყველას Nth-ში. მაგრამ თითოეული ამ N ვარიანტიდან შეიძლება განხორციელდეს ერთი გზით. ამიტომ n (B)=1+1+…+1(N -ჯერ)=N და Р(В)=N/N M.

მოვლენა C ნიშნავს, რომ თითოეულ ნაწილაკს აქვს განლაგების ვარიანტების ერთი რაოდენობა ნაკლები, ვიდრე წინა ნაწილაკი და პირველი შეიძლება მოხვდეს N უჯრედებიდან რომელიმეში. Ამიტომაც:

n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) და Р(С) =

კონკრეტულ შემთხვევაში M =N-ით: Р(С)=

მოვლენა D ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი უჯრედი შეიცავს ორ ნაწილაკს და თითოეული (N -1) დარჩენილი უჯრედი შეიცავს ერთ ნაწილაკს. n (D)-ს საპოვნელად ასე მსჯელობთ: აირჩიეთ უჯრედი, რომელშიც იქნება ორი ნაწილაკი, ეს შეიძლება გაკეთდეს =N გზით; შემდეგ ამ უჯრედისთვის ორ ნაწილაკს შევარჩევთ, ამის გაკეთების გზები არსებობს. ამის შემდეგ, ჩვენ ვანაწილებთ დარჩენილ (N -1) ნაწილაკებს სათითაოდ დარჩენილ (N -1) უჯრედებში, ამისათვის არის (N -1)! გზები.

ასე რომ, n(D) =

.

რიცხვი n(E) შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად: რომ მეორე უჯრედისთვის ნაწილაკები შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა გზით; დარჩენილი (M – K) ნაწილაკები შემთხვევით ნაწილდება (N -1) უჯრედზე (N -1) M-K გზებით. Ამიტომაც: