Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti. Násobenie závislých udalostí

Chcete vedieť čo matematické šance na úspech vašej stávky? Potom sú tu pre vás dve dobré správy. Po prvé: na výpočet schopnosti prechádzať cez krajinu nemusíte vykonávať zložité výpočty a míňať veľké množstvočas. Stačí použiť jednoduché vzorce, s ktorými práca zaberie pár minút. Po druhé: po prečítaní tohto článku si môžete ľahko vypočítať pravdepodobnosť, že niektorá z vašich transakcií prejde.

Ak chcete správne určiť bežecké schopnosti, musíte vykonať tri kroky:

• Vypočítajte percento pravdepodobnosti výsledku udalosti podľa kancelárie stávkovej kancelárie;
• Vypočítajte pravdepodobnosť pomocou štatistických údajov sami;
• Zistite hodnotu stávky s prihliadnutím na obe pravdepodobnosti.

Pozrime sa podrobne na každý z krokov pomocou nielen vzorcov, ale aj príkladov.

Rýchly prechod

Výpočet pravdepodobnosti zahrnutej do kurzov bookmakera

Prvým krokom je zistiť, s akou pravdepodobnosťou sám bookmaker odhaduje šance na konkrétny výsledok. Je jasné, že stávkové kancelárie nestanovujú kurzy len tak. Na tento účel použijeme nasledujúci vzorec:

PB=(1/K)*100 %,

kde P B je pravdepodobnosť výsledku podľa kancelárie stávkovej kancelárie;

K – kurz stávkovej kancelárie na výsledok.

Povedzme, že kurz na víťazstvo londýnskeho Arsenalu v zápase proti Bayernu Mníchov je 4. To znamená, že pravdepodobnosť jeho víťazstva je stávkovou kanceláriou hodnotená ako (1/4)*100%=25%. Alebo hrá Djokovič proti Južnému. Násobiteľ víťazstva Novaka je 1,2, jeho šance sú (1/1,2)*100%=83%.

Takto vyhodnocuje samotná stávková kancelária šance na úspech každého hráča a tímu. Po dokončení prvého kroku prejdeme k druhému.

Výpočet pravdepodobnosti udalosti hráčom

Druhým bodom nášho plánu je vlastné posúdenie pravdepodobnosti udalosti. Keďže nemôžeme matematicky brať do úvahy také parametre ako motivácia a herný tón, použijeme zjednodušený model a použijeme len štatistiky z predchádzajúcich stretnutí. Na výpočet štatistickej pravdepodobnosti výsledku používame vzorec:

PA=(UM/M)*100 %,

KdePA– pravdepodobnosť udalosti podľa hráča;

UM – počet úspešných zápasov, v ktorých k takejto udalosti došlo;

M – celkový počet zápasov.

Aby to bolo jasnejšie, uvedieme príklady. Andy Murray a Rafael Nadal medzi sebou odohrali 14 zápasov. V 6 z nich to bolo menej ako 21 hier, v 8 to bolo viac. Potrebujete zistiť pravdepodobnosť, že ďalší zápas sa odohrá s vyšším súčtom: (8/14)*100=57%. Valencia odohrala proti Atléticu na Mestalle 74 zápasov, v ktorých získala 29 víťazstiev. Pravdepodobnosť víťazstva vo Valencii: (29/74)*100%=39%.

A to všetko sa dozvedáme len vďaka štatistikám predchádzajúcich hier! Prirodzene, pre niektorých nový tím alebo hráča, nebude možné takúto pravdepodobnosť vypočítať, preto je táto stávková stratégia vhodná len pre zápasy, v ktorých sa súperi stretnú viackrát. Teraz vieme, ako určiť stávkovú kanceláriu a naše vlastné pravdepodobnosti výsledkov, a máme všetky znalosti, aby sme mohli prejsť k poslednému kroku.

Určenie hodnoty stávky

Hodnota (hodnota) stávky a priechodnosť majú priamu súvislosť: čím vyššia hodnota, tým väčšia šanca na prehratie. Hodnota sa vypočíta takto:

V=PA*K-100%,

kde V je hodnota;

P I – pravdepodobnosť výsledku podľa tipujúceho;

K – kurz stávkovej kancelárie na výsledok.

Povedzme, že chceme staviť na víťazstvo Milána v zápase proti Rímu a vypočítame, že pravdepodobnosť výhry „červeno-čiernych“ je 45%. Stávková kancelária nám na tento výsledok ponúka kurz 2,5. Bola by takáto stávka hodnotná? Vykonávame výpočty: V=45%*2,5-100%=12,5%. Skvelé, máme cennú stávku s dobrými šancami na prihrávku.

Zoberme si ďalší prípad. Maria Šarapovová hrá proti Petre Kvitovej. Chceme uzavrieť dohodu, aby Mária vyhrala, ktorej pravdepodobnosť je podľa našich výpočtov 60%. Stávkové kancelárie ponúkajú pre tento výsledok násobiteľ 1,5. Určíme hodnotu: V=60%*1,5-100=-10%. Ako vidíte, táto stávka nemá žiadnu hodnotu a treba sa jej vyhnúť.

Či sa nám to páči alebo nie, náš život je plný všelijakých nehôd, príjemných aj nie práve príjemných. Preto by nebolo na škodu každému z nás vedieť nájsť pravdepodobnosť konkrétnej udalosti. Pomôže vám to robiť správne rozhodnutia za akýchkoľvek okolností, ktoré zahŕňajú neistotu. Takéto znalosti budú napríklad veľmi užitočné pri výbere investičných možností, posudzovaní možnosti vyhrať akciu alebo lotériu, určovaní reálnosti dosiahnutia osobných cieľov atď., atď.

Vzorec teórie pravdepodobnosti

Štúdium tejto témy v zásade nezaberie príliš veľa času. Aby ste dostali odpoveď na otázku: "Ako nájsť pravdepodobnosť javu?", musíte pochopiť kľúčové pojmy a zapamätajte si základné princípy, na ktorých je výpočet založený. Takže podľa štatistík sú skúmané udalosti označené A1, A2,..., An. Každý z nich má priaznivé výsledky (m) aj celkový počet základných výsledkov. Napríklad nás zaujíma, ako zistiť pravdepodobnosť, že na hornej strane kocky bude párny počet bodov. Potom A je hod m - vyvalenie 2, 4 alebo 6 bodov (tri priaznivé možnosti) a n je všetkých šesť možných možností.

Samotný vzorec výpočtu je nasledujúci:

S jedným výsledkom je všetko veľmi jednoduché. Ale ako zistiť pravdepodobnosť, ak sa udalosti dejú jedna po druhej? Zvážte tento príklad: jedna karta je zobrazená z balíčka kariet (36 kusov), potom je skrytá späť do balíčka a po zamiešaní sa vytiahne ďalšia. Ako zistiť pravdepodobnosť, že aspoň v jednom prípade bola vyžrebovaná piková dáma? Existuje ďalšie pravidlo: ak sa uvažuje komplexná udalosť, ktoré možno rozdeliť na niekoľko nekompatibilných jednoduchých udalostí, potom môžete najskôr vypočítať výsledok pre každú z nich a potom ich sčítať. V našom prípade to bude vyzerať takto: 1/36 + 1/36 = 1/18. Čo sa však stane, keď sa vyskytne niekoľko súčasne? Potom výsledky znásobíme! Napríklad pravdepodobnosť, že keď sa naraz hodia dve mince, objavia sa dve hlavy, sa bude rovnať: ½ * ½ = 0,25.

Teraz si vezmime ešte viac komplexný príklad. Predpokladajme, že sme vstúpili do knižnej lotérie, v ktorej vyhráva desať z tridsiatich tiketov. Musíte určiť:

1. Pravdepodobnosť, že obaja budú víťazmi.
2. Aspoň jeden z nich prinesie cenu.
3. Obaja budú porazení.

Pozrime sa teda na prvý prípad. Dá sa rozdeliť na dve udalosti: prvý lístok bude mať šťastie a druhý bude tiež šťastný. Zoberme si, že udalosti sú závislé, pretože po každom vytiahnutí sa celkový počet možností znižuje. Dostaneme:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

V druhom prípade budete musieť určiť pravdepodobnosť straty lístka a vziať do úvahy, že môže byť prvý alebo druhý: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

Nakoniec, tretí prípad, keď nebudete môcť získať ani jednu knihu z lotérie: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.

Poďme sa teda porozprávať o téme, ktorá zaujíma veľa ľudí. V tomto článku odpoviem na otázku, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti. Uvediem vzorce na takýto výpočet a niekoľko príkladov, aby bolo jasnejšie, ako sa to robí.

Čo je pravdepodobnosť

Začnime tým, že pravdepodobnosť, že dôjde k tej či onej udalosti, je istá miera dôvery v prípadný výskyt nejakého výsledku. Pre tento výpočet bol vyvinutý vzorec celkovej pravdepodobnosti, ktorý umožňuje určiť, či udalosť, ktorá vás zaujíma, nastane alebo nie, prostredníctvom tzv. podmienené pravdepodobnosti. Tento vzorec vyzerá takto: P = n/m, písmená sa môžu meniť, ale to neovplyvňuje samotnú podstatu.

Príklady pravdepodobnosti

Pomocou jednoduchého príkladu analyzujme tento vzorec a aplikujme ho. Povedzme, že máte určitú udalosť (P), nech je to hod kocky, teda rovnostranná kocka. A musíme vypočítať, aká je pravdepodobnosť získania 2 bodov. Na to potrebujete počet kladných udalostí (n), v našom prípade stratu 2 bodov celkový počet udalosti (m). K hodu 2 bodmi môže dôjsť iba v jednom prípade, ak sú na kocke 2 body, keďže inak bude súčet väčší, z toho vyplýva, že n = 1. Ďalej spočítame počet hodov ľubovoľných iných čísel na kocke. kocky, na 1 kocku - to sú 1, 2, 3, 4, 5 a 6, preto existuje 6 priaznivých prípadov, teda m = 6. Teraz pomocou vzorca urobíme jednoduchý výpočet P = 1/ 6 a zistíme, že hod 2 bodmi na kocke je 1/6, čiže pravdepodobnosť udalosti je veľmi nízka.

Pozrime sa tiež na príklad s použitím farebných guličiek, ktoré sú v krabici: 50 bielych, 40 čiernych a 30 zelených. Musíte určiť, aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej gule. A tak, keďže je 30 guličiek tejto farby, to znamená, že pozitívnych udalostí môže byť len 30 (n = 30), počet všetkých udalostí je 120, m = 120 (podľa celkový počet všetky loptičky), pomocou vzorca vypočítame, že pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej gule bude P = 30/120 = 0,25, teda 25 % zo 100. Rovnakým spôsobom môžeme vypočítať pravdepodobnosť vytiahnutia gule inej farby (čierna to bude 33 %, biela 42 %).

Profesionálny stávkar musí dobre rozumieť kurzom, rýchlo a správne odhadnúť pravdepodobnosť udalosti koeficientom a v prípade potreby byť schopný previesť kurzy z jedného formátu do druhého. V tejto príručke si povieme o tom, aké typy koeficientov existujú, a tiež použijeme príklady, ktoré ukážu, ako môžete vypočítajte pravdepodobnosť pomocou známeho koeficientu a naopak.

Aké typy šancí existujú?

Stávkové kancelárie ponúkajú hráčom tri hlavné typy kurzov: desiatkový kurz, zlomkový kurz(angličtina) a americké kurzy. Najbežnejšie kurzy v Európe sú desiatkové. IN Severná Amerika Americké kurzy sú populárne. Zlomkové kurzy sú najviac tradičný vzhľad, okamžite odrážajú informáciu o tom, koľko musíte staviť, aby ste získali určitú sumu.

Desatinný kurz

Desatinné alebo sa tiež nazývajú európske kurzy je známy číselný formát reprezentovaný desiatkový presné na stotiny a niekedy aj na tisíciny. Príkladom desiatkovej nepárny je 1,91. Výpočet zisku v prípade desatinného kurzu je veľmi jednoduchý, stačí vynásobiť výšku vašej stávky týmto kurzom. Napríklad v zápase „Manchester United“ - „Arsenal“ je víťazstvo „Manchester United“ stanovené koeficientom 2,05, remíza sa odhaduje s koeficientom 3,9 a víťazstvo „Arsenal“ sa rovná 2,95. Povedzme, že sme si istí, že United vyhrajú a vsadili sme na nich 1 000 dolárov. Potom náš možný príjem vypočítané takto:

2.05 * $1000 = $2050;

Naozaj to nie je také zložité, však?! Pri stávke na remízu alebo víťazstvo Arsenalu sa možný príjem vypočíta rovnakým spôsobom.

Kresliť: 3.9 * $1000 = $3900;
Výhra Arsenalu: 2.95 * $1000 = $2950;

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou desatinných kurzov?

Teraz si predstavte, že potrebujeme určiť pravdepodobnosť udalosti na základe desiatkového kurzu stanoveného stávkovou kanceláriou. To sa tiež robí veľmi jednoducho. Aby sme to dosiahli, vydelíme jednu týmto koeficientom.

Vezmime si existujúce údaje a vypočítame pravdepodobnosť každej udalosti:

Výhra Manchestru United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Kresliť: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Výhra Arsenalu: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

zlomkové kurzy (anglicky)

Ako už názov napovedá zlomkový koeficient prezentované obyčajný zlomok. Príkladom anglického kurzu je 5/2. Čitateľ zlomku obsahuje číslo, ktoré predstavuje potenciálnu výšku čistej výhry, a menovateľ obsahuje číslo označujúce sumu, ktorú je potrebné staviť, aby ste túto výhru dostali. Jednoducho povedané, musíme staviť 2 doláre, aby sme vyhrali 5 dolárov. Kurz 3/2 znamená, že na to, aby sme získali 3 doláre v čistej výhre, budeme musieť staviť 2 doláre.

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkových kurzov?

Tiež nie je ťažké vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkových kurzov, stačí vydeliť menovateľa súčtom čitateľa a menovateľa.

Pre zlomok 5/2 vypočítame pravdepodobnosť: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Pre zlomok 3/2 vypočítame pravdepodobnosť:

americké kurzy

americké kurzy nepopulárny v Európe, ale veľmi populárny v Severnej Amerike. Možno, tento typ koeficienty je najzložitejšia, ale to je len na prvý pohľad. V skutočnosti v tomto type koeficientov nie je nič zložité. Teraz poďme na to všetko po poriadku.

Hlavnou črtou amerických kurzov je, že môžu byť buď pozitívne, teda negatívne. Príklad amerického kurzu - (+150), (-120). Americký kurz (+150) znamená, že aby sme zarobili 150 dolárov, musíme staviť 100 dolárov. Inými slovami, kladný americký koeficient odráža potenciál čistý zisk pri stávke 100 dolárov. Záporný americký kurz odráža výšku stávky, ktorú je potrebné uskutočniť, aby ste získali čistú výhru 100 $. Napríklad koeficient (-120) nám hovorí, že stávkou 120 USD vyhráme 100 USD.

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou amerických kurzov?

Pravdepodobnosť udalosti pomocou amerického koeficientu sa vypočíta pomocou nasledujúcich vzorcov:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), kde M je záporný americký koeficient;
100/(P+100), kde P je kladný americký koeficient;

Napríklad máme koeficient (-120), potom sa pravdepodobnosť vypočíta takto:

(-(M))/((-(M)) + 100); nahraďte „M“ hodnotou (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Pravdepodobnosť udalosti s americkým kurzom (-120) je teda 54,5 %.

Napríklad máme koeficient (+150), potom sa pravdepodobnosť vypočíta takto:

100/(P+100); nahraďte „P“ hodnotou (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Pravdepodobnosť udalosti s americkým kurzom (+150) je teda 40 %.

Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na desatinný koeficient?

Ak chcete vypočítať desatinný koeficient na základe známeho percenta pravdepodobnosti, musíte vydeliť 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Napríklad pravdepodobnosť udalosti je 55%, potom sa desatinný koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať 1,81.

100 / 55% = 1,81

Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na zlomkový koeficient?

Ak chcete vypočítať zlomkový koeficient na základe známeho percenta pravdepodobnosti, musíte odpočítať jednotku od delenia 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Napríklad, ak máme percento pravdepodobnosti 40 %, potom sa zlomkový koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Zlomkový koeficient je 1,5/1 alebo 3/2.

Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na americký koeficient?

Ak je pravdepodobnosť udalosti väčšia ako 50%, výpočet sa vykoná pomocou vzorca:

- ((V) / (100 - V)) * 100, kde V je pravdepodobnosť;

Napríklad, ak je pravdepodobnosť udalosti 80%, potom americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Ak je pravdepodobnosť udalosti menšia ako 50%, výpočet sa vykoná pomocou vzorca:

((100 - V) / V) * 100, kde V je pravdepodobnosť;

Napríklad, ak máme percentuálnu pravdepodobnosť udalosti 20 %, potom americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Ako previesť koeficient do iného formátu?

Sú chvíle, keď je potrebné previesť kurzy z jedného formátu do druhého. Napríklad máme zlomkový kurz 3/2 a musíme ho previesť na desatinné číslo. Ak chcete previesť zlomkový kurz na desatinný kurz, najprv určíme pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkového kurzu a potom túto pravdepodobnosť prevedieme na desatinný kurz.

Pravdepodobnosť udalosti so zlomkovým kurzom 3/2 je 40 %.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Teraz preveďme pravdepodobnosť udalosti na desatinný koeficient; na tento účel vydeľte 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách:

100 / 40% = 2.5;

Čiže zlomkový kurz 3/2 sa rovná desiatkový koeficient 2.5. Podobným spôsobom sa napríklad americké kurzy prepočítavajú na zlomkové, desiatkové na americké atď. Najťažšie na tom všetkom sú práve výpočty.

Spojenie (logický súčet) N udalostí sa nazýva udalosť , ktorý sa pozoruje vždy, keď k nemu dôjde aspoň jeden z diania . Najmä spojenie udalostí A a B sa nazýva udalosť A+ B(niektorí autori
), ktorý sa dodržiava, keď prichádzaalebo A,alebo Balebo obe tieto udalosti súčasne(obr. 7). Znakom prieniku v textových formuláciách udalostí je spojka "alebo".

Ryža. 7. Kombinovanie udalostí A+B

Je potrebné vziať do úvahy, že pravdepodobnosť udalosti P(A) zodpovedá ľavej strane vytieňovanej na obr. 7 obrázku a jeho stredná časť, označená ako
. A výsledky zodpovedajúce udalosti B sú umiestnené na pravej strane tieňovaného obrázku a na označení
centrálna časť. Teda pri pridávaní A oblasť
bude v skutočnosti započítaný do tohto súčtu dvakrát a presný výraz pre oblasť tieňovaného obrázku má tvar
.

takže, pravdepodobnosť zjednotenia dve udalosti A a B sa rovnajú

Pri väčšom počte podujatí sa všeobecné výpočtové vyjadrenie stáva mimoriadne ťažkopádnym z dôvodu potreby zohľadniť početné možnosti vzájomného prekrývania plôch. Ak sú však kombinované udalosti nezlučiteľné (pozri s. 33), potom je vzájomné prekrývanie oblastí nemožné a priaznivá zóna je určená priamo súčtom oblastí zodpovedajúcich jednotlivým udalostiam.

Pravdepodobnosť združeniaľubovoľné číslo nezlučiteľné diania je určený výrazom

Dôsledok 1: Kompletná skupina udalostí pozostáva z nekompatibilných udalostí, z ktorých jedna sa nevyhnutne realizuje v skúsenosti. Ako výsledok, ak udalosti …
,vytvoriť kompletnú skupinu, potom pre nich

teda

Snásledok 3 Berme do úvahy, že opak tvrdenia „nastane aspoň jedna z udalostí …
“ je tvrdenie „žiadna z udalostí …
sa nerealizuje“. To znamená, že „udalosti budú pozorované v skúsenosti , A , a..., a “, ktorý už predstavuje priesečník udalostí oproti pôvodnej množine. Odtiaľ, berúc do úvahy (2.0), na kombinovanie ľubovoľného počtu udalostí, ktoré získame

Dôsledky 2 a 3 ukazujú, že v prípadoch, keď je priamy výpočet pravdepodobnosti udalosti problematický, je užitočné odhadnúť zložitosť štúdia opačnej udalosti. Predsa poznať význam
, získajte požadovanú hodnotu z (2 .0)
už nepredstavuje žiadne ťažkosti.

1. Príklady výpočtov pravdepodobnosti zložitých udalostí

Príklad 1 : Dvaja študenti (Ivanov a Petrov) spolu Ipostavil sa na ochranu laboratórne práce, keď som sa naučil prvých 8 kužeľovtrollingové otázky pre túto prácu z 10 dostupných. Kontrola pripravenosti, pUčiteľ sa každého pýta len na jednon náhodne vybraná otázka. Určite pravdepodobnosť nasledujúcich udalostí:

A= „Ivanov bude obhajovať svoju laboratórnu prácu“;

B= „Petrov bude obhajovať svoju laboratórnu prácu“;

C= „obaja budú brániť laboratórnu prácu“;

D= „aspoň jeden zo študentov bude prácu obhajovať“;

E= „len jeden zo študentov bude obhajovať prácu“;

F= "žiadny z nich nebude chrániť prácu."

Riešenie. Všimnite si, že schopnosť brániť prácu ako Ivanov, tako aj Petrova samostatne je určená len počtom zvládnutých otázok, pretopri. (Poznámka: v tomto príklade neboli hodnoty výsledných zlomkov zámerne znížené, aby sa zjednodušilo porovnanie výsledkov výpočtu.)

UdalosťCmožno formulovať rôzne ako „Ivanov aj Petrov budú chrániť dielo“, t.j. stane saA udalosťA, A udalosťB. Takže udalosťCje priesečníkom udalostíAABa v súlade s (2.0)

kde sa faktor „7/9“ objavuje v dôsledku skutočnosti, že výskyt udalostiAznamená, že Ivanov dostal „úspešnú“ otázku, čo znamená, že Petrov má teraz len 7 „dobrých“ otázok zo zostávajúcich 9 otázok.

UdalosťDznamená, že „úloha bude chrániťalebo Ivanov,alebo Petrov,alebo obaja sú spolu,“ t.j. aspoň jedna z udalostí sa staneAAB. Takže udalosťDje spojením udalostíAABa v súlade s (2.0)

ktorý spĺňa očakávania, pretože Dokonca aj pre každého študenta individuálne je šanca na úspech pomerne vysoká.

Sudalosť E znamená, že „buď Ivano ochráni prácuv, a Petrov „spadá"alebo Ivanov bude mať zlé časy"Profíci a Petrov dokážu zvládnuť obranu." Obe alternatívy sa navzájom vylučujú (nekompatibilné), tzv

Nakoniec vyhlásenieFbude spravodlivé, iba ak "A Ivanov,A Petrov s ochranounie zvládne." takže,

Týmto je riešenie problému dokončené, ale je užitočné vziať do úvahy nasledujúce body:

1. Každá zo získaných pravdepodobností spĺňa podmienku (1 ,0), noh ak pre
A
dostať konfliktútulný s(1 .0) je v princípe nemožné, potom pre
skúste apoužitie (2 .0) namiesto (2 .0) by viedlo k jasnej nesprávnostivýznam projektu
. Je dôležité si uvedomiť, že takáto hodnota pravdepodobnosti je v zásade nemožná, a ak sa dosiahne takýto paradoxný výsledok, okamžite začnite hľadať chybu.

2. Zistené pravdepodobnosti vyhovujú vzťahomm

.

Eto je celkom očakávané, pretože dianiaC, EAFtvoria úplnýy skupiny a udalostiDAFsú oproti sebe. Účtovanie týchtomožno použiť pomery na jednej stranevan na dvojitú kontrolu výpočtov av inej situácii môže slúžiť ako základ pre alternatívny spôsob riešenia problému.

P Poznámka : Nezanedbávajte písaniepresná formulácia udalosti, inak v priebehu riešenia problému môžete nedobrovoľne prejsť na inú interpretáciu významu tejto udalosti, čo povedie k chybám v uvažovaní.

Príklad 2 : Vo veľkej sérii mikroobvodov, ktoré neprešli finálnou kontrolou kvality, je 30 % výrobkov chybných.Ak z tejto šarže náhodne vyberiete dva mikroobvody, čo to jepravdepodobnosť, že medzi nimi:

A= „obe platné“;

B= „presne 1 použiteľný mikroobvod“;

C= „obaja chybné“.

Analyzujme nasledujúcu verziu úvahy (pozor, obsahuje chybu):

Keďže hovoríme o veľkej šarži produktov, odstránenie niekoľkých mikroobvodov z nej prakticky neovplyvní pomer počtu použiteľných a chybných produktov, čo znamená, že výberom niektorých mikroobvodov z tejto šarže niekoľkokrát za sebou možno predpokladať, že v každom prípade zostanú nezmenené pravdepodobnosti

= P(vybratý chybný výrobok) = 0,3 a

= P(vybratý vhodný produkt) = 0,7.

Aby došlo k udalostiAje to potrebnéA najprv,A už druhýkrát bol vybraný vhodný produkt, a preto (s prihliadnutím na vzájomnú nezávislosť úspešnosti výberu prvého a druhého mikroobvodu) pre priesečník udalostí máme

Podobne, aby nastala udalosť C, oba produkty musia byť chybné a na získanie B si musíte vybrať jeden dobrý produkt a jedenkrát chybný produkt.

Znak chyby. Xhoci všetky dostali nad pravdepodobnosťoua vyzerať vierohodne, pri spoločnej analýze je ľahkéVezmite prosím na vedomie, že .Avšak prípadyA, BACtvoria úplnýskupina udalostí, pre ktoré sa majú vykonať .Tento rozpor naznačuje, že v odôvodnení je určitá chyba.

S sú tam chyby. Predstavme si dve pomocnéšpeciálne udalosti:

= „prvý mikroobvod je dobrý, druhý je chybný“;

= "prvý mikroobvod je chybný, druhý je dobrý."

Je zrejmé, že práve táto možnosť výpočtu bola použitá vyššie na získanie pravdepodobnosti udalostiB, hoci udalostiBA nie sú uhekvivalent. V skutočnosti,
, pretože zneniedianiaBvyžaduje, aby medzi mikroobvodmi boli presnejeden , ale vôbec nienie nevyhnutne prvý bol dobrý (a druhý bol chybný). Preto, hoci udalosť nie je duplicitná udalosť , ale treba sa naučiťkonať nezávisle. Vzhľadom na nezlučiteľnosť udalostí A , pravdepodobnosť ich logického súčtu sa bude rovnať

Po naznačenej korekcii výpočtov máme

čo nepriamo potvrdzuje správnosť zistených pravdepodobností.

Poznámka : Venujte zvláštnu pozornosť rozdielom v znení udalostí ako „lennajprv z uvedených prvkov musí…“ a „ibajeden z uvedených prvkoventov by mal...“ Posledná udalosť jasne širšie a inkluzívneTdo svojho zloženia prvý ako jeden z (možno početnýchx) možnosti. Tieto alternatívy (aj keď sa ich pravdepodobnosti zhodujú) by sa mali brať do úvahy nezávisle od seba.

P Poznámka : Slovo „percento“ pochádza z „za cent“, t.j."na sto." Prezentácia frekvencií a pravdepodobností v percentách vám umožňuje pracovať s väčšími hodnotami, čo niekedy uľahčuje vnímanie hodnôt „do ucha“. Použitie násobenia alebo delenia „100 %“ vo výpočtoch na správnu normalizáciu je však ťažkopádne a neefektívne. V tomto smere niePri uvádzaní hodnôt buďte opatrnívyjadrené v percentách, dosaďte ich do vypočítaných výrazov zavo forme zlomkov jednotky (napríklad 35% je zapísaných vo výpočtePáči sa mi „0,35“), aby sa minimalizovalo riziko chybnej normalizácie výsledkov.

Príklad 3 : Sada odporov obsahuje jeden odpor nNominálny 4 kOhm, tri 8 kOhm odpory a šesť odporovalebo s odporom 15 kOhm. Tri náhodne vybrané odpory sú navzájom paralelne zapojené. Určte pravdepodobnosť získania konečného odporu nepresahujúceho 4 kOhm.

Resh cie. Odpor paralelného pripojeniahistóriu možno vypočítať pomocou vzorca

.

To umožňuje predstaviť udalosti ako napr

A= „sú zvolené tri odpory 15 kOhm“ = „
”;

B= „vdva 15 kOhm odpory a jeden s odporomm 8 kOhm” =”
”…

Kompletná skupina udalostí zodpovedajúcich podmienkam problému zahŕňa celý rad možností a práve tiektoré spĺňajú uvedenú požiadavku na získanie odporu maximálne 4 kOhm. Avšak aj keď „priama“ cesta riešenia zahŕňajúca výpočet (a následné sumyAj keď je správne určiť pravdepodobnosti, ktoré charakterizujú všetky tieto udalosti, neodporúča sa konať týmto spôsobom.

Všimnite si, že na získanie konečného odporu menej ako 4 kOhm dPostačuje, aby použitá zostava obsahovala aspoň jeden odpor s odporomJem menej ako 15 kOhm. Teda len v pripadeAnie je splnená požiadavka úlohy, t.j. udalosťAjeopak skúmanej osobe. V rovnakom čase,

.

Teda, .

P RI značkovanie : Výpočet pravdepodobnosti nejakej udalostiA, nezabudnite analyzovať zložitosť určovaniaSom pravdepodobnosť udalosti, ktorá je opačná. Ak diss.čítať
jednoduché, potom je to presne miesto, kde musíte začať, vyriešenétj úlohy, dokončite ho použitím vzťahu (2 .0).

P príklad 4 : V krabici súnbiely,mčierna akčervené gule. Loptičky sa vyberajú náhodne z krabice jedna po druhej.a po každej extrakcii sa vráťte späť. Určiť pravdepodobnosťdianiaA= „biela guľabude vytiahnutý pred čiernym” .

Resh cie. Zvážte nasledujúci súbor udalostí

= „biela guľa bola získaná na prvý pokus“;

= „najprv bola vytiahnutá červená guľa a potom biela“;

= „dvakrát bola vytiahnutá červená guľa a tretíkrát biela”…

Takže doKeď sa loptičky vrátia, potom postupnosťyty možno formálne predĺžiť donekonečna.

Tieto udalosti sú nezlučiteľné a spolu tvoria súbor situácií, v ktorých sa udalosť vyskytujeA. teda

Je ľahké vidieť, že výrazy zahrnuté vo forme súčtugeometrický postup s počiatočným prvkom
a menovateľ
. Ale tie sumya prvky nekonečnej geometrickej progresie sa rovná

Teda, . LJe zvláštne, že táto pravdepodobnosť (ako vyplýva zo získanéhovýraz) nezávisí od počtu červených guličiek v krabici.