Ako vypočítať c v teórii pravdepodobnosti. Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na desatinný koeficient? Celková pravdepodobnosť udalosti

Naša odpoveď

Voľba správna stávka závisí nielen od intuície, športových znalostí, kurzov stávkových kancelárií, ale aj od koeficientu pravdepodobnosti udalosti. Schopnosť vypočítať takýto ukazovateľ pri stávkovaní je kľúčom k úspechu pri prognózovaní nadchádzajúce podujatie, na ktorú sa očakáva podanie stávky.
V stávkových kanceláriách existujú tri typy kurzov (podrobnejšie v článku), ktorých typ určuje spôsob výpočtu pravdepodobnosti udalosti pre hráča.

Desatinný kurz

V tomto prípade sa pravdepodobnosť udalosti vypočíta pomocou vzorca: 1/koeficient. = v.i, kde koeficient. je koeficient udalosti a v.i je pravdepodobnosť výsledku. Napríklad, vezmeme si udalosť s kurzom 1,80 so stávkou jeden dolár, keď vykonáme matematickú operáciu podľa vzorca, hráč dostane, že pravdepodobnosť výsledku udalosti podľa bookmakera je 0,55 percenta.

Zlomkové šance

Pri použití zlomkových kurzov bude vzorec na výpočet pravdepodobnosti odlišný. Takže pri koeficiente 7/2, kde prvé číslo znamená možnú výšku čistého zisku a druhé veľkosť potrebnej stávky na získanie tohto zisku, bude rovnica vyzerať takto: zn.od/ pre súčet zo zn.od a chs.od = v.i . Tu je zn.coef menovateľom koeficientu, chs.coef je čitateľom koeficientu, v.i je pravdepodobnosť výsledku. Pre zlomkový kurz 7/2 teda rovnica vyzerá ako 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, teda pravdepodobnosť výsledku udalosti je podľa stávkovej kancelárie 0,22 percenta.

americké kurzy

Americké kurzy nie sú medzi hráčmi veľmi obľúbené a spravidla sa používajú výlučne v USA, pričom majú zložitú a neprehľadnú štruktúru. Aby ste odpovedali na otázku: "Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti týmto spôsobom?", musíte vedieť, že takéto koeficienty môžu byť negatívne a pozitívne.

Koeficient so znamienkom „-“, napríklad -150, ukazuje, že hráč musí vsadiť 150 $, aby získal čistý zisk 100 $. Pravdepodobnosť udalosti sa vypočíta na základe vzorca, v ktorom musíte vydeliť záporný koeficient súčtom záporného koeficientu a 100. Vyzerá to na príklad stávky -150, takže (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, kde 0,6 sa vynásobí 100 a pravdepodobnosť výsledku udalosti je 60 percent. Rovnaký vzorec je vhodný aj pre kladné americké kurzy.

Profesionálny stávkar musí dobre rozumieť kurzom, rýchlo a správne odhadnúť pravdepodobnosť udalosti koeficientom a v prípade potreby byť schopný previesť kurzy z jedného formátu do druhého. V tejto príručke si povieme o tom, aké typy koeficientov existujú, a tiež použijeme príklady, ktoré ukážu, ako môžete vypočítajte pravdepodobnosť pomocou známeho koeficientu a naopak.

Aké typy šancí existujú?

Stávkové kancelárie ponúkajú hráčom tri hlavné typy kurzov: desiatkový kurz, zlomkový kurz(angličtina) a americké kurzy. Najbežnejšie kurzy v Európe sú desiatkové. IN Severná Amerika Americké kurzy sú populárne. Zlomkové kurzy sú najviac tradičný vzhľad, okamžite odrážajú informáciu o tom, koľko musíte staviť, aby ste získali určitú sumu.

Desatinný kurz

Desatinné alebo sa tiež nazývajú európske kurzy je známy číselný formát reprezentovaný desiatkový presné na stotiny a niekedy aj na tisíciny. Príkladom desiatkovej nepárny je 1,91. Výpočet zisku v prípade desatinného kurzu je veľmi jednoduchý, stačí vynásobiť výšku vašej stávky týmto kurzom. Napríklad v zápase „Manchester United“ - „Arsenal“ je víťazstvo „Manchester United“ stanovené koeficientom 2,05, remíza sa odhaduje s koeficientom 3,9 a víťazstvo „Arsenal“ sa rovná 2,95. Povedzme, že sme si istí, že United vyhrajú a vsadili sme na nich 1 000 dolárov. Potom náš možný príjem vypočítané takto:

2.05 * $1000 = $2050;

Naozaj to nie je také zložité, však?! Pri stávke na remízu alebo víťazstvo Arsenalu sa možný príjem vypočíta rovnakým spôsobom.

Kresliť: 3.9 * $1000 = $3900;
Výhra Arsenalu: 2.95 * $1000 = $2950;

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou desatinných kurzov?

Teraz si predstavte, že potrebujeme určiť pravdepodobnosť udalosti na základe desiatkového kurzu stanoveného stávkovou kanceláriou. To sa tiež robí veľmi jednoducho. Aby sme to dosiahli, vydelíme jednu týmto koeficientom.

Vezmime si existujúce údaje a vypočítame pravdepodobnosť každej udalosti:

Výhra Manchestru United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Kresliť: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Výhra Arsenalu: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

zlomkové kurzy (anglicky)

Ako už názov napovedá zlomkový koeficient prezentované obyčajný zlomok. Príkladom anglického kurzu je 5/2. Čitateľ zlomku obsahuje číslo, ktoré predstavuje potenciálnu výšku čistej výhry, a menovateľ obsahuje číslo označujúce sumu, ktorú je potrebné staviť, aby ste túto výhru dostali. Jednoducho povedané, musíme staviť 2 doláre, aby sme vyhrali 5 dolárov. Kurz 3/2 znamená, že na to, aby sme získali 3 doláre v čistej výhre, budeme musieť staviť 2 doláre.

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkových kurzov?

Tiež nie je ťažké vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkových kurzov, stačí vydeliť menovateľa súčtom čitateľa a menovateľa.

Pre zlomok 5/2 vypočítame pravdepodobnosť: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Pre zlomok 3/2 vypočítame pravdepodobnosť:

americké kurzy

americké kurzy nepopulárny v Európe, ale veľmi populárny v Severnej Amerike. Možno, tento typ koeficienty je najzložitejšia, ale to je len na prvý pohľad. V skutočnosti v tomto type koeficientov nie je nič zložité. Teraz poďme na to všetko po poriadku.

Hlavnou črtou amerických kurzov je, že môžu byť buď pozitívne, takže negatívne. Príklad amerického kurzu - (+150), (-120). Americký kurz (+150) znamená, že aby sme zarobili 150 dolárov, musíme staviť 100 dolárov. Inými slovami, kladný americký koeficient odráža potenciál čistý zisk pri stávke 100 dolárov. Záporný americký kurz odráža výšku stávky, ktorú je potrebné uskutočniť, aby ste získali čistú výhru 100 $. Napríklad koeficient (-120) nám hovorí, že stávkou 120 USD vyhráme 100 USD.

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti pomocou amerických kurzov?

Pravdepodobnosť udalosti pomocou amerického koeficientu sa vypočíta pomocou nasledujúcich vzorcov:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), kde M je záporný americký koeficient;
100/(P+100), kde P je kladný americký koeficient;

Napríklad máme koeficient (-120), potom sa pravdepodobnosť vypočíta takto:

(-(M))/((-(M)) + 100); nahraďte „M“ hodnotou (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Pravdepodobnosť udalosti s americkým kurzom (-120) je teda 54,5 %.

Napríklad máme koeficient (+150), potom sa pravdepodobnosť vypočíta takto:

100/(P+100); nahraďte „P“ hodnotou (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Pravdepodobnosť udalosti s americkým kurzom (+150) je teda 40 %.

Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na desatinný koeficient?

Ak chcete vypočítať desatinný koeficient na základe známeho percenta pravdepodobnosti, musíte vydeliť 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Napríklad pravdepodobnosť udalosti je 55%, potom sa desatinný koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať 1,81.

100 / 55% = 1,81

Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na zlomkový koeficient?

Ak chcete vypočítať zlomkový koeficient na základe známeho percenta pravdepodobnosti, musíte odpočítať jednotku od delenia 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách. Napríklad, ak máme percento pravdepodobnosti 40 %, potom sa zlomkový koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovnať 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Zlomkový koeficient je 1,5/1 alebo 3/2.

Ako, keď poznáme percento pravdepodobnosti, previesť ho na americký koeficient?

Ak je pravdepodobnosť udalosti väčšia ako 50%, výpočet sa vykoná pomocou vzorca:

- ((V) / (100 - V)) * 100, kde V je pravdepodobnosť;

Napríklad, ak je pravdepodobnosť udalosti 80%, potom americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Ak je pravdepodobnosť udalosti menšia ako 50%, výpočet sa vykoná pomocou vzorca:

((100 - V) / V) * 100, kde V je pravdepodobnosť;

Napríklad, ak máme percentuálnu pravdepodobnosť udalosti 20 %, potom americký koeficient tejto pravdepodobnosti bude rovný (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Ako previesť koeficient do iného formátu?

Sú chvíle, keď je potrebné previesť kurzy z jedného formátu do druhého. Napríklad máme zlomkový kurz 3/2 a musíme ho previesť na desatinné číslo. Ak chcete previesť zlomkový kurz na desatinný kurz, najprv určíme pravdepodobnosť udalosti pomocou zlomkového kurzu a potom túto pravdepodobnosť prevedieme na desatinný kurz.

Pravdepodobnosť udalosti so zlomkovým kurzom 3/2 je 40 %.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Teraz preveďme pravdepodobnosť udalosti na desatinný koeficient; na tento účel vydeľte 100 pravdepodobnosťou udalosti v percentách:

100 / 40% = 2.5;

Čiže zlomkový kurz 3/2 sa rovná desiatkovému kurzu 2,5. Podobným spôsobom sa napríklad americké kurzy prepočítavajú na zlomkové, desiatkové na americké atď. Najťažšie na tom všetkom sú práve výpočty.

„Nehody nie sú náhodné“... Znie to ako niečo, čo povedal filozof, ale v skutočnosti je študovať nehody osudom veľká veda matematiky. V matematike sa náhodou zaoberá teória pravdepodobnosti. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj základné definície tejto vedy.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uveďme malý príklad: ak hodíte mincu, môže pristáť na hlavách alebo chvostoch. Kým je minca vo vzduchu, obe tieto pravdepodobnosti sú možné. Teda pravdepodobnosť možné následky pomer je 1:1. Ak je jedna vytiahnutá z balíčka 36 kariet, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že tu nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Ak však určitú akciu zopakujete mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na základe neho predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme zhrnuli všetky vyššie uvedené skutočnosti, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v číselnej hodnote.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát objavili pokusy predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bolo to odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvé práce v tejto oblasti ako matematickej disciplíne sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlhoštudovali hazardných hier a videli určité vzory, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Rovnakú techniku ​​vynašiel Christiaan Huygens, aj keď nepoznal výsledky výskumu Pascala a Fermata. Zaviedol pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sa považujú za prvé v histórii disciplíny.

Nemalý význam majú aj diela Jacoba Bernoulliho, Laplaceove a Poissonove vety. Z teórie pravdepodobnosti urobili skôr matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali súčasnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómam. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jedným z matematických odvetví.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „udalosť“. Existujú tri typy udalostí:

• Spoľahlivý. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
• nemožné. Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nestanú (minca zostane visieť vo vzduchu).
• Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom existujú náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jej tvar, pôvodná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými písmenami s latinskými písmenami, s výnimkou P, ktorý má inú úlohu. Napríklad:

• A = „študenti prišli prednášať“.
• Ā = „študenti neprišli na prednášku“.

V praktických úlohách sa udalosti zvyčajne zapisujú slovami.

Jeden z najdôležitejšie vlastnosti udalosti - ich rovnocenná možnosť. To znamená, že ak si hodíte mincou, sú možné všetky varianty počiatočného pádu, kým nepadne. Ale udalosti tiež nie sú rovnako možné. Stáva sa to vtedy, keď niekto úmyselne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti môžu byť tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti nevylučujú vzájomný výskyt. Napríklad:

• A = „študent prišiel na prednášku“.
• B = „študent prišiel na prednášku“.

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a výskyt jednej z nich neovplyvňuje výskyt druhej. Nezlučiteľné udalosti sú definované skutočnosťou, že výskyt jedného vylučuje výskyt iného. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata „chvostov“ znemožňuje objavenie sa „hláv“ v tom istom experimente.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné násobiť a pridávať, podľa toho sú v disciplíne zavedené logické spojky „AND“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A alebo B, alebo dve, môžu nastať súčasne. Ak nie sú kompatibilné, posledná možnosť nie je možná, hodí sa buď A alebo B.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžeme uviesť niekoľko príkladov, aby sme si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov nižšie.

Cvičenie 1: Spoločnosť sa zúčastňuje súťaže o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

• A = „firma dostane prvú zmluvu“.
• A 1 = „firma nedostane prvú zákazku“.
• B = „firma dostane druhú zmluvu“.
• B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
• C = „firma dostane tretiu zmluvu“.
• C 1 = „firma nedostane tretiu zákazku“.

Pomocou akcií na udalostiach sa pokúsime vyjadriť nasledujúce situácie:

• K = „spoločnosť dostane všetky zmluvy“.

V matematickej forme bude mať rovnica ďalší pohľad: K = ABC.

• M = „spoločnosť nedostane ani jednu zmluvu“.

M = A1B1C1.

Skomplikujme si úlohu: H = „spoločnosť dostane jednu zákazku“. Keďže nie je známe, akú zákazku spoločnosť dostane (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné evidovať celý rozsah možných udalostí:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je séria udalostí, kde firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Ďalšie možné udalosti boli zaznamenané pomocou vhodnej metódy. Symbol υ v disciplíne označuje spojku „ALEBO“. Ak vyššie uvedený príklad preložíme do ľudský jazyk, potom spoločnosť dostane buď tretiu zmluvu, alebo druhú, alebo prvú. Podobným spôsobom si môžete zapísať ďalšie podmienky v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vzorce a príklady riešenia problémov uvedené vyššie vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno je v tejto matematickej disciplíne ústredným pojmom pravdepodobnosť udalosti. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

• klasický;
• štatistické;
• geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. ročník) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

• Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P(A)=m/n.

A je vlastne udalosť. Ak sa objaví prípad opačný ako A, možno ho zapísať ako Ā alebo A 1 .

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A = „vytiahnite kartu farby srdca“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho bude pravdepodobnosť, že sa z balíčka vyberie karta srdcovej farby, 0,25.

Smerom k vyššej matematike

Teraz je trochu známe, čo je teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ktoré sa vyskytujú školské osnovy. Teóriu pravdepodobnosti však nájdeme aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a zložitými vzorcami.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Je lepšie začať študovať vzorce a príklady (vyššia matematika) v malom - so štatistickou (alebo frekvenčnou) definíciou pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým, ale mierne ho rozširuje. Ak bolo v prvom prípade potrebné určiť, s akou pravdepodobnosťou dôjde k udalosti, potom je potrebné pri tejto metóde uviesť, ako často sa bude vyskytovať. Tu sa zavádza nový pojem „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť ako W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na predikciu počíta klasický vzorec, potom sa podľa výsledkov experimentu vypočíta štatistický. Zoberme si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistiť frekvenčnú pravdepodobnosť kvalitného produktu?

A = „vzhľad kvalitného produktu“.

Wn(A)=97/100=0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 kontrolovaných produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Odpočítame 3 od 100 a dostaneme 97, to je množstvo kvalitného tovaru.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jej základným princípom je, že ak je možné urobiť určitú voľbu A m rôzne cesty a výber B je n rôznymi spôsobmi, potom výber A a B možno vykonať násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 cesty. Koľkými spôsobmi sa môžete dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4=20, čiže dvadsiatimi rôznymi spôsobmi sa môžete dostať z bodu A do bodu C.

Skomplikujme si úlohu. Koľko spôsobov je možné rozložiť karty v solitaire? V balíčku je 36 kariet - to je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte „odčítať“ jednu kartu naraz od počiatočného bodu a vynásobiť.

To znamená, že 36x35x34x33x32...x2x1= výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho možno jednoducho označiť ako 36!. Podpíšte "!" vedľa čísla znamená, že celý rad čísel je vynásobený.

V kombinatorike existujú také pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná množina prvkov množiny sa nazýva usporiadanie. Umiestnenia sa môžu opakovať, to znamená, že jeden prvok možno použiť niekoľkokrát. A to bez opakovania, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa podieľajú na umiestnení. Vzorec pre umiestnenie bez opakovania bude vyzerať takto:

A n m = n!/(n-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to vyzerá takto: P n = n!

Kombinácie n prvkov z m sú tie zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, aké prvky to boli a aké Celkom. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoulliho vzorec

V teórii pravdepodobnosti, ako aj v každej disciplíne, existujú práce vynikajúcich výskumníkov vo svojom odbore, ktorí ju priviedli nová úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že výskyt A v experimente nezávisí od výskytu alebo neprítomnosti rovnakej udalosti v skorších alebo nasledujúcich pokusoch.

Bernoulliho rovnica:

Pn (m) = Cnm xpm xqn-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) je konštantná pre každý pokus. Pravdepodobnosť, že situácia nastane presne m-krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca. V súlade s tým vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p toľkokrát, nemusí nastať. Jednotka je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že udalosť nenastane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teóriu pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov (prvá úroveň) zvážime nižšie.

Úloha 2: Návštevník obchodu uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vstúpilo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník uskutoční nákup?

Riešenie: Keďže nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetkých šesť, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = „návštevník uskutoční nákup.“

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (keďže v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa bude meniť od 0 (ani jeden zákazník nenakúpi) do 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P6 (0) = Co6 xp0 xq6 = q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a r. Vo vzťahu k p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! /m!(n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C = 1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Použitím nový vzorec, skúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet náhodných situácií s nízkou pravdepodobnosťou.

Základný vzorec:

Pn(m)=Am/m! x e (-λ).

V tomto prípade λ = n x p. Tu je jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Nižšie zvážime príklady riešenia problémov.

Úloha 3: Továreň vyrobila 100 000 dielov. Výskyt chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh tohto druhu sa nelíšia od iných úloh v disciplíne, potrebné údaje dosadíme do daného vzorca:

A = “náhodne vybraný diel bude chybný.”

p = 0,0001 (podľa podmienok úlohy).

n = 100 000 (počet častí).

m = 5 (chybné časti). Údaje dosadíme do vzorca a získame:

R 100 000 (5) = 105/5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, ktoré sú napísané vyššie, má Poissonova rovnica neznáme e. V skutočnosti ju možno nájsť podľa vzorca:

e-λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

De Moivre-Laplaceova veta

Ak je v Bernoulliho schéme počet pokusov dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A je vo všetkých schémach rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A určité množstvočasy v sérii testov možno nájsť podľa Laplaceovho vzorca:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ (X m).

Xm = m-np/√npq.

Aby ste si lepšie zapamätali Laplaceov vzorec (teória pravdepodobnosti), nižšie sú uvedené príklady problémov.

Najprv nájdime X m, dosadíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a dostaneme 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ(0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje do vzorca:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pravdepodobnosť, že leták bude fungovať presne 267-krát, je teda 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia problémov, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ňou mohli byť spojené. Základný vzorec je nasledujúci:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P(A|B) je podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

P (B|A) - podmienená pravdepodobnosť udalosti B.

Takže poslednou časťou krátkeho kurzu „Teória pravdepodobnosti“ je Bayesov vzorec, príklady riešení problémov, s ktorými sú uvedené nižšie.

Úloha 5: Do skladu boli privezené telefóny od troch firiem. Zároveň je podiel telefónov vyrobených v prvom závode 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvom závode je 2%, v druhom - 4% a v treťom - 1%. Musíte nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A = „náhodne vybraný telefón“.

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objavia úvodné B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P(B1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - teda sme zistili pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíme nájsť podmienené pravdepodobnostiželaná udalosť, teda pravdepodobnosť chybných produktov v spoločnostiach:

P (A/B1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Teraz nahraďme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po všetkom, čo bolo napísané, bude logické položiť si otázku, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. K obyčajnému človeku Je ťažké odpovedať, je lepšie sa opýtať niekoho, kto to použil na výhru jackpotu viac ako raz.

Chápem, že každý chce vopred vedieť, ako sa športové podujatie skončí, kto vyhrá a kto prehrá. S týmito informáciami môžete uzatvárať stávky športové udalosti. Je to však vôbec možné, a ak áno, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti?

Pravdepodobnosť je relatívna hodnota, preto nemôže s istotou hovoriť o žiadnej udalosti. Táto hodnota umožňuje analyzovať a vyhodnotiť potrebu staviť na konkrétnu súťaž. Stanovenie pravdepodobností je celá veda, ktorá si vyžaduje starostlivé štúdium a pochopenie.

Koeficient pravdepodobnosti v teórii pravdepodobnosti

V športových stávkach existuje niekoľko možností pre výsledok súťaže:

• víťazstvo prvého tímu;
• víťazstvo druhého tímu;
• kresliť;
• Celkom

Každý výsledok súťaže má svoju vlastnú pravdepodobnosť a frekvenciu, s akou k tejto udalosti dôjde, za predpokladu, že sa zachovajú počiatočné charakteristiky. Ako sme už povedali, nie je možné presne vypočítať pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti - môže, ale nemusí sa zhodovať. Vaša stávka teda môže vyhrať alebo prehrať.

Nemôže byť 100% presná predpoveď výsledkov súťaže, pretože výsledok zápasu ovplyvňuje veľa faktorov. Stávkové kancelárie prirodzene nepoznajú výsledok zápasu vopred a iba predpokladajú výsledok, pričom sa rozhodujú pomocou svojho analytického systému a ponuky. určité koeficienty pre stávky.

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti?

Predpokladajme, že kurz stávkovej kancelárie je 2,1/2 – dostaneme 50 %. Ukazuje sa, že koeficient 2 sa rovná pravdepodobnosti 50 %. Rovnakým princípom môžete získať koeficient zlomovej pravdepodobnosti - 1/pravdepodobnosť.

Mnoho hráčov si myslí, že po niekoľkých opakovaných prehrách určite príde k výhre – to je mylný názor. Pravdepodobnosť výhry stávky nezávisí od počtu prehier. Aj keď v mincovej hre prehodíte niekoľko hláv za sebou, pravdepodobnosť prehodenia chvostov zostáva rovnaká – 50 %.

Či sa nám to páči alebo nie, náš život je plný všelijakých nehôd, príjemných aj nie práve príjemných. Preto by nebolo na škodu každému z nás vedieť nájsť pravdepodobnosť konkrétnej udalosti. Pomôže vám to robiť správne rozhodnutia za akýchkoľvek okolností, ktoré zahŕňajú neistotu. Takéto znalosti budú napríklad veľmi užitočné pri výbere investičných možností, posudzovaní možnosti vyhrať akciu alebo lotériu, určovaní reálnosti dosiahnutia osobných cieľov atď., atď.

Vzorec teórie pravdepodobnosti

Štúdium tejto témy v zásade nezaberie príliš veľa času. Aby ste dostali odpoveď na otázku: "Ako nájsť pravdepodobnosť javu?", musíte pochopiť kľúčové pojmy a zapamätajte si základné princípy, na ktorých je výpočet založený. Takže podľa štatistík sú skúmané udalosti označené A1, A2,..., An. Každý z nich má priaznivé výsledky (m) aj celkový počet základných výsledkov. Napríklad nás zaujíma, ako zistiť pravdepodobnosť, že na hornej strane kocky bude párny počet bodov. Potom A je hod m - vyvalenie 2, 4 alebo 6 bodov (tri priaznivé možnosti) a n je všetkých šesť možných možností.

Samotný vzorec výpočtu je nasledujúci:

S jedným výsledkom je všetko veľmi jednoduché. Ale ako zistiť pravdepodobnosť, ak sa udalosti dejú jedna po druhej? Zoberme si tento príklad: jedna karta je zobrazená z balíčka kariet (36 kusov), potom je skrytá späť do balíčka a po zamiešaní sa vytiahne ďalšia. Ako zistiť pravdepodobnosť, že aspoň v jednom prípade bola vyžrebovaná piková dáma? Existuje ďalšie pravidlo: ak sa uvažuje komplexná udalosť, ktoré možno rozdeliť na niekoľko nekompatibilných jednoduchých udalostí, potom môžete najskôr vypočítať výsledok pre každú z nich a potom ich sčítať. V našom prípade to bude vyzerať takto: 1/36 + 1/36 = 1/18. Čo sa však stane, keď sa vyskytne niekoľko súčasne? Potom výsledky znásobíme! Napríklad pravdepodobnosť, že keď sa naraz hodia dve mince, objavia sa dve hlavy, sa bude rovnať: ½ * ½ = 0,25.

Teraz si vezmime ešte viac komplexný príklad. Predpokladajme, že sme vstúpili do knižnej lotérie, v ktorej vyhráva desať z tridsiatich tiketov. Musíte určiť:

1. Pravdepodobnosť, že obaja budú víťazmi.
2. Aspoň jeden z nich prinesie cenu.
3. Obaja budú porazení.

Pozrime sa teda na prvý prípad. Dá sa rozdeliť na dve udalosti: prvý lístok bude mať šťastie a druhý bude tiež šťastný. Zoberme si, že udalosti sú závislé, pretože po každom vytiahnutí sa celkový počet možností znižuje. Dostaneme:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

V druhom prípade budete musieť určiť pravdepodobnosť straty lístka a vziať do úvahy, že môže byť prvý alebo druhý: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

Nakoniec, tretí prípad, keď nebudete môcť získať ani jednu knihu z lotérie: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.