Jeżeli w przestrzeni zajmowanej przez ciecz znajdują się obszary, w których ω  0, czyli w ich wnętrzu następuje obrót cząstek cieczy, to ruch w takich obszarach nazywamy wir(na przykład w rejonie warstwy granicznej utworzonej wokół ciało stałe, usprawniony przez przepływ lepkiej cieczy). W warstwie przyściennej w kierunku normalnej do powierzchni ciała prędkość gwałtownie wzrasta, a więc w niej ω0 (∂ w/ ∂n0).

Linia nazywa się wir, gdy w każdym z jej punktów styczna pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości kątowej ω. Równanie różniczkowe linii wirowej otrzymujemy z zależności ω dl= 0 i ma postać

rurka wirowa powstaje, jeśli przechodzi przez wszystkie punkty zamkniętej krzywej C(który nie jest linią wirową), aby narysować linie wirowe. Z definicji linii wirowej i powierzchni wirowej wynika, że ​​w dowolnym punkcie takich linii i powierzchni składowa normalna prędkości kątowej jest równa zeru.

Przepływ wektora prędkości kątowej J przez powierzchnię  nazywamy całką:

gdzie ω n jest rzutem prędkości kątowej obrotu na normalną do powierzchni .

Inne twierdzenie Helmholtza dotyczy wirów: strumień wektora prędkości kątowej przez zamkniętą powierzchnię jest zawsze równy zeru. Udowodnijmy to.

Rzeczywiście, przez bezpośrednie obliczenia ze wzorów (1.11) otrzymujemy z jednej strony to

a

z drugiej strony, że jeśli powierzchnia  jest domknięta, to zgodnie z twierdzeniem Ostrogradskiego (o przekształceniu całki objętościowej w całkę powierzchniową),

gdzie V jest objętością ograniczoną przez powierzchnię .

Ale wtedy, zgodnie z (1.18), stwierdzamy, że

Ryż. 3. Rurka wirowa

Ze wzoru (1.19) wynika ważna właściwość rurek wirowych. Wyróżnijmy w rurce wirowej pewną zamkniętą powierzchnię (rys. 3) utworzoną z dowolnych dwóch przekrojów ( 1 i  2) oraz powierzchnię boczną. Ponieważ przepływ wektora prędkości kątowej wzdłuż powierzchni bocznej jest równy zeru, to zgodnie z (1.19):

Stąd, dzięki dowolnemu doborowi odcinków  1 i  2 , otrzymujemy, że strumień wektora prędkości kątowej w danej chwili na długości elementarnej rurki wirowej nie zmienia się. Przepływ ten jest zatem wielkością charakterystyczną dla całej rurki wirowej i nazywa się ją (wielkość). intensywność(lub napięcie)rurka wirowa.

Jeżeli wielkość wektora prędkości kątowej jest stała w przekroju rurki wirowej, to z (1.20) otrzymujemy

ω 1 n 1 \u003d ω 2 n 2 \u003d ω w  ja= stała

Na tej podstawie wyciągamy następujący wniosek: przekrój rurki wirowej nie jest równy zeru, ponieważ w takim przypadku ω , co jest fizycznie niepoprawne. W ten sposób rurka wirowa nie pęka wewnątrz medium. Jednak można rozróżnić tylko cztery typy rurek wirowych, tj. Kiedy „sznur wirowy” (rurka wirowa): 1) zaczyna się i kończy na swobodnej powierzchni cieczy; 2) rozpoczyna się na swobodnej powierzchni cieczy, a kończy na litej ściance; 3) rozpoczyna się i kończy na ścianie pełnej; 4) jest zamknięty.

W płynie idealnym wiry nie mogą zmienić swojej intensywności, są niejako „skazane” na wieczne istnienie, nie mogą powstać i zdegenerować się. W rzeczywistym płynie (w wyniku tarcia) powstają wiry, które następnie rozpraszają się, czyli ulegają degeneracji.

Natężenia rury, podobnie jak prędkości wiru, nie można zmierzyć bezpośrednio. Stosunkowo łatwo jest wyznaczyć prędkości cząstek płynu. W związku z tym pojawia się pytanie o ustalenie zależności między intensywnością rurki wirowej a rozkładem prędkości w cieczy. Dla rozwiązań ten przypadek Wprowadźmy charakterystyczną wartość pola prędkości: krążenie prędkości wzdłuż pewnej linii.

Cyrkulacja wektorowa wzdłuż pewnego konturu nazywa się całką krzywoliniową obliczoną wzdłuż konturu rzutu wektora na styczną do konturu:

Wtedy zależność między intensywnością rurki wirowej a rozkładem prędkości wyraża dobrze znane twierdzenie Stokesa: intensywność rurki wirowej jest równa prędkości cyrkulacji w zamkniętej pętli,raz okrążając rurkę wirową:

Twierdzenie Stokesa sprowadza ilościowe określanie natężenia rurki wirowej do obliczania prędkości krążenia. Bezpośredni pomiar prędkości za pomocą specjalnych przyrządów nie jest trudny, a sumowanie wyrazów zawartych w całce zamkniętej pętli jest operacją dokładniejszą niż różniczkowanie rozkładu prędkości (niezbędne do obliczenia rot w) i późniejsze sumowanie.

Z tego twierdzenia wynika ważny wniosek: jeśli w jakimś obszarze przepływ jest nierotacyjny ( w= 0, zgnij w\u003d 0), tj. potencjał, wówczas krążenie prędkości wzdłuż dowolnej zamkniętej pętli narysowanej w tym obszarze wynosi zero (G \u003d 0). Z rozważanego twierdzenia wynika również, że determinuje skończony obieg prędkości efekt wichru w polu prędkości w przepływie płynu.

Płynne linie opływowe i linie wirowe. Płynny i gwałtownie zmieniający się ruch

Jeśli weźmiemy nieskończenie małą zamkniętą pętlę w poruszającym się płynie i poprowadzimy linie prądu przez wszystkie jej punkty, wówczas utworzy się powierzchnia rurowa, zwana rurą strumieniową. Część przepływu zawarta w rurze prądowej nazywana jest strużką elementarną. Ponieważ wymiary poprzeczne strumienia dążą do zera, kurczy się on do granic możliwości w linii prądu.

W dowolnym punkcie rury strugi, tj. na bocznej powierzchni strugi, wektory prędkości są skierowane stycznie i nie ma składowych prędkości normalnych do tej powierzchni, dlatego podczas ustalonego ruchu ani jedna cząsteczka cieczy, w dowolnym punkcie rury strumienia, może przenikać do strumienia lub wychodzić na zewnątrz. Tak więc rura prądowa jest jak nieprzenikniona ściana, a elementarna strużka jest niezależnym przepływem elementarnym.

Rys. 1.12 Rys. 1.3

Usprawnia Streamtube

Najpierw rozważymy przepływy o skończonych rozmiarach jako zbiór elementarnych dżetów, tj. założymy, że przepływ jest strumieniem. Ze względu na różnicę prędkości sąsiednie strumienie będą przesuwać się jeden po drugim, ale nie będą się ze sobą mieszać. Część mieszkalna lub po prostu część strumienia jest ogólnie nazywana powierzchnią w strumieniu, narysowaną normalnie do linii prądu. Ponadto rozważymy w przepływach takie sekcje, w których włókna można uznać za równoległe, a zatem sekcje mieszkalne są płaskie.

Rozróżnij przepływy płynów ciśnieniowych i bezciśnieniowych. Przepływy ciśnieniowe nazywane są przepływami w zamkniętych kanałach bez powierzchni swobodnej, a przepływy bezciśnieniowe to przepływy z powierzchnią swobodną. Przy przepływach ciśnieniowych ciśnienie wzdłuż przepływu jest zwykle zmienne, przy swobodnym przepływie - stałe (na powierzchni swobodnej) i najczęściej atmosferyczne. Przykładami przepływów ciśnieniowych mogą być przepływy w rurociągach o zwiększonym (lub obniżonym) ciśnieniu, w maszynach hydraulicznych lub innych zespołach hydraulicznych. Prądy w rzekach są swobodne, otwarte kanały i tace.

koszt zwana ilością cieczy przepływającej przez żywy prąd strumienia (strużka) w jednostce czasu. Ta wielkość może być mierzona w jednostkach objętości, w jednostkach wagi lub w jednostkach masy, w związku z czym istnieją objętościowe Q, wagowe QG i masowe Qm natężenia przepływu.

W przypadku strumienia elementarnego, który ma nieskończenie małe pola przekroju poprzecznego, możemy założyć, że rzeczywista prędkość jest taka sama we wszystkich punktach każdego odcinka. Dlatego dla tego strumienia przepływ objętościowy (m 3 / s), wagowy (N / s) i masowy (kg / s)

;

Dla przepływu o skończonych wymiarach, w ogólnym przypadku, prędkość ma inne znaczenie w różne punkty przekroju, więc natężenie przepływu należy wyznaczyć jako sumę elementarnych natężeń przepływu strumieni.

Zwykle bierze się pod uwagę średnią prędkość w przekroju poprzecznym.

v cf =Q/S, skąd Q= v cf S.

Opierając się na prawie zachowania materii, na założeniu ciągłości (ciągłości) przepływu oraz na powyższej właściwości rury strumienia, polegającej na jej „nieprzepuszczalności”, dla ustalonego przepływu cieczy nieściśliwej, można argumentować, że strumień objętości we wszystkich odcinkach strumienia elementarnego jest taki sam:

dQ=v 1 dS 1 =v 2 dS 2 =const (wzdłuż strumienia)

To równanie nazywa się równaniem przepływu objętościowego dla elementarnej strużki.

Podobne równanie można ułożyć dla przepływu o skończonych wymiarach, ograniczonego nieprzepuszczalnymi ścianami, ale zamiast prędkości rzeczywistych należy wprowadzić prędkości średnie.

Metody badania ruchów płynów

a) Euler (lokalny) - w ustalonym punkcie

b) Lagrange (znaczny) - zmiana parametrów przy przechodzeniu od początku. naprawił podłoga. zwrotnica

Zadaniem wewnętrznym jest rozkład parametrów stanu gazów w poruszającym się ośrodku.

Zadanie zewnętrzne - bada oddziaływanie siły poruszającego się ośrodka z znajdującym się w nim ciałem.

Pole prędkości, typy przepływów.

Stacjonarne, niestacjonarne.

Jednowymiarowe, dwuwymiarowe (płaskie), trójwymiarowe (przestrzenne). Pole wektora prędkości to obszar przestrzeni poruszającego się płynu, w każdym punkcie którego wektor prędkości jest jednoznacznie określony. Linia prądu - linia styczna, do której w dowolnym punkcie pokrywa się kierunek wektora prędkości w punkcie styku. W przepływie stacjonarnym linia prądu pokrywa się z trajektorią ruchu. Powierzchnia utworzona przez ciągły zestaw linii prądu to powierzchnia strumienia. Część cieczy zamknięta w powierzchni prądu, przeciągnięta przez wszystkie punkty pewnego zamkniętego konturu w przepływie - przez rurkę prądową. W przypadku stacjonarnym powierzchnia prądu nie jest przepuszczalna dla przepływu. Strumień to linia prądu w przepływie stacjonarnym. Strumień nazywamy elementarnym, jeśli jego wymiary poprzeczne są małe, a prędkość wzdłuż przekroju nie zmienia się.

Zużycie i średnia prędkość

Przekrój strumienia to przekrój na żywo. Podstawowe zużycie masy - . E-mail waga konsumpcja - . E-mail tom. konsumpcja - . e-mail powierzchnia, środek ciężkości. V to prędkość. Natężenie przepływu płynu to ilość płynu przepływającego w jednostce czasu przez nieruchomą powierzchnię. ( ) Średnia prędkość- jest to warunkowo stała prędkość na odcinku przepływu, która zapewnia natężenie przepływu płynu równe rzeczywistemu natężeniu przepływu przez ten sam odcinek. Dla płynu nieściśliwego .

4. Różniczkowe równania ciągłości

5. Całkowita energia cząstek przepływającego płynu , Specyficzna energia

6. Równanie Bernoulliego dla strużki

Równania różniczkowe dynamiki cieczy nielepkiej w postaci Eulera

Siły: ciśnienie, masa, bezwładność.

Całka Bernoulliego

Mnożąc równania Eulera przez dx... otrzymujemy , U(x, y, z) - potencjał sił ciała. .

9. Prędkości kątowe cząstek. . . Ruch obrotowy cząstek płynu nazywa się wirem.

Linia wirowa, rurka wirowa, przewód wirowy.

Obszar przestrzeni obracającego się płynu, w każdym punkcie którego wektor jest jednoznacznie zdefiniowany, nazywany jest polem wirowym. Zbiór linii wirowych przechodzących przez obwód zamknięty nazywamy rurką wirową, a ciecz ją wypełniającą nazywamy sznurem wirowym. Intensywność sznura wirowego służy jako miara intensywności ruchu wirowego.

. Nieskończenie cienka linka wirowa to linia wirowa.

Cyrkulacja prędkości

Elementarna prędkość obiegu - . , Г>0, jeśli „wiatr” jest z tyłu i odwrotnie.

Twierdzenie Stokesa

Obieg prędkości wzdłuż dowolnego zamkniętego konturu, który nie wychodzi poza granice cieczy, jest równy sumie naprężeń wszystkich wirów przenikających powierzchnię opartą na tym konturze.

Uwagi: a) jeżeli to , b) Jeżeli , to . .

Opisaliśmy już ogólne równania przepływu płynu nieściśliwego w obecności wirowości:

Fizyczna treść tych równań została ustnie opisana przez Helmholtza w trzech twierdzeniach. Przede wszystkim wyobraź sobie, że zamiast linii przepływu narysowaliśmy colinie promieni. Przez linie wirowe rozumiemy linie pola, które mają kierunek wektora Ω, a ich gęstość w dowolnym obszarze jest proporcjonalna do wartości Ω. Z równania (II) rozbieżność Ω zawsze jest równa zeru [pamiętaj rozdz. 3, § 7 (wyd. 5): rozbieżność wirnika jest zawsze równa zeru]. Zatem linie wirowe są jak linie pola B: nigdzie się nie kończą i nigdzie nie zaczynają, i zawsze mają tendencję do zamykania się. Wzór (III) Helmholtz opisany słownie: linie wirowe poruszając się razemz płynem. Oznacza to, że gdyby zaznaczyć cząsteczki cieczy znajdujące się na jakiejś linii wirowej, na przykład kolorując je tuszem, to w procesie ruchu płynu i przemieszczania się tych cząstek zawsze wyznaczałyby one nowe położenie linii wirowej. Bez względu na to, jak poruszają się atomy cieczy, linie wirowe poruszają się wraz z nimi. Jest to jeden ze sposobów opisywania praw. Zawiera również metodę rozwiązywania wszelkich problemów. Biorąc pod uwagę początkowy przepływ, powiedzmy v wszędzie, możesz obliczyć Ω. Znając v, możesz również określić, gdzie linie wirowe będą nieco później: poruszają się z prędkością v. A przy nowej wartości Ω możesz użyć równań (I) i (II) i znaleźć nową wartość v. (Podobnie jak w problemie znalezienia pola B przy danych prądach.) Jeżeli dany jest nam rodzaj przepływu w dowolnym momencie, to w zasadzie możemy go obliczyć we wszystkich kolejnych momentach. dostajemy wspólna decyzja nielepki przepływ.

Chciałbym pokazać, jak (przynajmniej częściowo) można zrozumieć twierdzenie Helmholtza, a co za tym idzie wzór (III). W rzeczywistości jest to po prostu prawo zachowania momentu pędu zastosowane do cieczy. Wyobraźmy sobie mały cylinder z cieczą, którego oś jest równoległa do linii wirowych (ryc. 40.13a). Jakiś czas później, to samobardzo objętość cieczy będzie gdzie indziej. Ogólnie rzecz biorąc, będzie miał kształt walca o innej średnicy iw innym miejscu. Może też mieć inną orientację (ryc. 40.13b). Ale jeśli zmienia się średnica, to długość również musi się zmieniać, aby objętość pozostała stała (ponieważ uważamy, że płyn jest nieściśliwy). Ponadto, ponieważ linie wirowe są sprzężone z materią, ich gęstość wzrasta odwrotnie proporcjonalnie do zmniejszenia pola przekroju walca. Iloczyn Ω i powierzchni cylindra ORAZ pozostanie stała, więc według Helmholtza

Teraz zauważ, że przy zerowej lepkości wszystkie siły działające na powierzchnię cylindrycznej objętości (lub każdy objętości w tej substancji) są prostopadłe do powierzchni. Siły nacisku mogą sprawić, że zmieni kształt, ale bez tego tangensspołeczny siły pęd płynuwewnątrz nie można zmienić. Moment pędu płynu w małym cylindrze jest równy produktowi jego moment bezwładności / na prędkość kątową płynu, która jest proporcjonalna do wirowości Ω. Moment bezwładności walca jest proporcjonalny do tr 2 . Dlatego z zachowania momentu pędu wnioskowalibyśmy, że

Ale masa będzie taka sama (M 1 = M2), a pole jest proporcjonalne R 2 , więc ponownie otrzymujemy równanie (40.21). Stwierdzenie Helmholtza, które jest równoważne ze wzorem (III), jest po prostu konsekwencją faktu, że przy braku lepkości moment pędu elementu płynu nie może się zmienić.

Jest dobry sposób zademonstrować poruszający się wir za pomocą przyrządu pokazanego na ryc. 40.14. Jest to „bęben” o średnicy i długości około 60 cm, składający się z cylindrycznego pudełka z a otwarta baza gruby arkusz gumy. Bęben stoi na boku, a pośrodku jego solidnego dna znajduje się otwór o średnicy około 8 cm. Jeśli mocno uderzysz dłonią w gumową membranę, z otworu wyleci pierścieniowy wir. Chociaż tego wiru nie widać, możemy śmiało powiedzieć, że istnieje, ponieważ gasi płomień świecy stojącej na 3-6 m z bębna. Po opóźnieniu tego efektu można stwierdzić, że „coś” rozchodzi się ze skończoną prędkością. Możesz lepiej zobaczyć, co wylatuje, najpierw wdmuchując dym do bębna. Wtedy zobaczysz trąby powietrzne w postaci niesamowicie pięknych pierścieni „tytoniowego dymu”.

Pierścienie dymu (ryc. 40.15, a) to tylko pączek linii wirowych. Ponieważ Ω=Vx v, te linie wirowe opisują również cyrkulację v (Rys. 40.15,b). Aby wyjaśnić, dlaczego pierścień porusza się do przodu (tj. w kierunku, który stanowi prawą śrubę z kierunkiem Ω), można argumentować następująco: prędkość cyrkulacji wzrasta w kierunku wewnątrzwcześnie powierzchni pierścienia, a prędkość wewnątrz pierścienia jest skierowana do przodu. Ponieważ linie Ω są przenoszone wraz z płynem, poruszają się one również do przodu z prędkością v. (Oczywiście wyższa prędkość po wewnętrznej stronie pierścienia jest odpowiedzialna za ruch do przodu linii wirowych na zewnątrz).

W tym miejscu należy zwrócić uwagę na jedną poważną trudność. Jak już zauważyliśmy, równanie (40.90) mówi, że jeśli wirowość Ω była pierwotnie równa zeru, to zawsze pozostanie równa zeru. Wynik ten jest upadkiem teorii "suchej" wody, gdyż oznacza, że ​​jeśli w pewnym momencie wartość Ω jest równa zeru, wówczas zawsze będzie zero i pod żadnym pozorem Stwórz skręt nie jest możliwy. Jednak w naszym prostym eksperymencie z bębnem mogliśmy stworzyć pierścienie wirowe w powietrzu, które do tej pory było w spoczynku. (Oczywiste jest, że dopóki nie uderzymy w bęben, v = 0 i Ω = 0 w jego wnętrzu.) Wszyscy wiedzą, że wiosłując wiosłem, można stworzyć w wodzie trąby powietrzne. Niewątpliwie, aby w pełni zrozumieć zachowanie się cieczy, należy przejść do teorii „mokrej” wody.

Innym błędnym stwierdzeniem w teorii „suchej” wody jest założenie, które przyjęliśmy, rozważając przepływ na granicy między nią a powierzchnią ciała stałego. Kiedy omawialiśmy przepływ wokół cylindra (na przykład na ryc. 40.11), założyliśmy, że ciecz ślizga się po powierzchni ciała stałego. W naszej teorii prędkość na powierzchni ciała stałego mogła mieć dowolną wartość w zależności od tego, jak rozpoczął się ruch, i nie braliśmy pod uwagę żadnego „tarcia” między cieczą a ciałem stałym. Jednak fakt, że prędkość rzeczywistej cieczy powinna spaść do zera na powierzchni ciała stałego, jest faktem doświadczalnym. W konsekwencji nasze rozwiązania dla cylindra zarówno z cyrkulacją, jak i bez, są błędne, podobnie jak wynik dotyczący tworzenia wiru. O bardziej poprawnych teoriach opowiem w następnym rozdziale.