Abstrakcyjny

Na podłoże wykonane z Stal niskowęglowa 20 za pomocą natrysku plazmowego. W celu zbadania wpływu temperatury topnienia na przemiany strukturalne i fazowe, powleczone próbki topiono w piecu w temperaturach od 1030 do 1100 ºС. Badania strukturalne przeprowadzono za pomocą optycznej i skaningowej mikroskopii elektronowej, analizy dyspersji energii i rentgenowskiej analizy fazowej. Ponadto w artykule przedstawiono wyniki pomiarów mikrotwardości, a także odporności na zużycie w warunkach tarcia ślizgowego środkiem smarnym według schematu tarczowo-płaszczyznowego. W pracy wykazano, że głównymi składnikami strukturalnymi powłok po rozpływaniu są dendryty γ-Ni, wtrącenia Cr7C3 oraz eutektyk Ni-Ni3B. Dla powłok wytopionych poniżej 1070 ºС charakterystyczna jest również obecność wtrąceń CrB i eutektyki Ni3B-Ni6Si2B, dla powłok wytopionych w 1100 °С wtrąceń CrB2 i eutektyku (γ-Ni)-CrB. Stwierdzono, że wraz ze wzrostem temperatury topnienia zwiększa się udział objętościowy faz stałych (eutektyków, a także węglików i borków chromu), co prowadzi do wzrostu mikrotwardości i odporności na zużycie.
INFORMACJA O WSPARCIU FINANSOWYM: Praca była wspierana przez Rosyjską Fundację Badań Podstawowych w ramach projektu im projekt naukowy nr 16-38-50197 mol_nr.
Wpływ temperatury płynięcia na strukturę i właściwości
OBRABOTKA METALLOV-METAL WORKING AND MATERIAL SCIENCE 2016 Numer: 4 Strony: 52-62

Powłoki z proszku samotopnikującego układu Ni-Cr-Si-B (Ni-zasada; 15,1% wag. r; 2,0% wag. Si; 2,0% wag.; 0,4% wag.) na podłożu ze stali niskowęglowej (0,2% wag. C) metodą natryskiwania plazmowego. W pracy rozpatrzono wpływ temperatury płynięcia na strukturę i właściwości określonych materiałów. Próbki z powłokami wygrzewa się w piecu do 1030, 1050, 1070 i 1100 . przez 1 godzinę z następującym chłodzeniem powietrzem. Struktura i skład fazowy powłok są badane za pomocą optycznej i skaningowej mikroskopii elektronowej oraz dyfraktometrii rentgenowskiej. Ponadto przedstawiono wyniki pomiarów mikrotwardości i badań odporności na zużycie w warunkach tarcia ślizgowego. Dyfraktometria rentgenowska wykazała, że ​​głównymi fazami powłok przed topnikiem i po jednym są: gamma-Ni, Ni B-3, CrBH.r(7)C(3). Wyniki uzyskane za pomocą optycznej i skaningowej mikroskopii elektronowej wykazały, że powłoki utopione w temp. 1030, 1050 i 1070 st. C składają się z dendrytów stałego roztworu Cr, Si i Fe we wtrąceniach gamma-Ni, Cr-7 C-3, CrB oraz eutektyka Ni-Ni3B, Ni3B-Ni-6 Si2B. Powłoki topione w temperaturze 1100 st. C składają się z dendrytów roztworu stałego Cr, Si i Fe w inkluzjach -Ni, Cr-7, C-3, CrB2 oraz eutektykach (gamma-Ni)-CrB, Ni-Ni3B. Ilość faz twardych (eutektyk, węgliki chromu i borki chromu) wzrasta wraz ze wzrostem temperatury. Prowadzi to do wzrostu mikrotwardości i odporności na zużycie powłok. Wyniki eksperymentów wykazały, że powłoki topione w temperaturze 1100 st. C mają maksymalną mikrotwardość (953 HV) i odporność na zużycie. Niestety, wysokie temperatury topnika mogą sprzyjać oddzielaniu się warstw.

| Modelowanie w arkuszach kalkulacyjnych

Lekcja 20
Modelowanie w arkuszach kalkulacyjnych

Symulacja procesów losowych

Sprawa jest nieodłączną częścią naszego życia. Jeśli sprawa nam w czymś pomogła, mówimy - szczęśliwie, jeśli okazała się nie na naszą korzyść, lamentujemy - co za los! Wielu naukowców poświęciło swój talent badaniu wzorców zdarzenia losowe. Znajomość praw przypadku może być przydatna w różnych dziedzinach: od określania prawdopodobieństwa zdarzenia, takiego jak wygrana na loterii, po wykorzystanie wzorców statystycznych w eksperymentach naukowych. Poniżej zasymulujemy sytuacje, które w teorii prawdopodobieństwa nazywane są „spacerami losowymi”.

Wyobraź sobie siebie na długiej prostej drodze. Rzucasz monetą. Jeśli to reszka, robisz krok do przodu, jeśli to reszka, cofasz się. Jak daleko zaprowadzi Cię taka jednowymiarowa (w jednym kierunku) wędrówka?

PROBLEM 3.32. rzut monetą

ja inscenizuję. Sformułowanie problemu

OPIS PROBLEMU

Masz 10 monet. Chcesz podwoić swój kapitał, jednocześnie testując swój los. Istota gry jest prosta. Grając z brokerem, stawiasz zakład i rzucasz monetą. Jeśli „orzeł” wypadnie, broker poda ci kwotę zakładu, w przeciwnym razie ty mu tę kwotę. Zakład może być dowolny: od 1 do 10 monet. Możesz ustawić najwyższy zakład 10 monet, a wtedy za jednym rzutem okaże się, czy „rozbiłeś” bank, czy odwrotnie, zbankrutowałeś. Doświadczeni gracze zachowuj się ostrożniej, zaczynając od małego zakładu.

Podwojenie kapitału początkowego lub bankructwo skutkuje natychmiastowym zakończeniem tej sesji gry i rozliczeniem. Gra może być kontynuowana według twojego uznania.

CEL SYMULACJI

Symulując możliwe sytuacje w grze, w szczególności zmieniając stawki w danej grze, dowiedz się, która taktyka częściej prowadzi do wyniku (pozytywnego lub negatywnego).

Ostrzeż potencjalnych graczy o stopniu ryzyka i niemożności wzbogacenia się poprzez hazard.

FORMALIZACJA PROBLEMU

Odpowiemy na następujące pytania:

II etap. Rozwój modelu

WZÓR INFORMACYJNY

Gra jest tutaj modelowana. Zabawa to proces, w którym uczestniczą trzy obiekty: gracz, broker i „Jego Królewska Mość sprawa”, która w tej grze jest reprezentowana przez monetę. Broker określa stratę lub zysk gracza, wypłaca wygrane.

Możesz symulować wynik spadającej monety za pomocą tej funkcji SKRAJ(). Ta funkcja generuje liczby losowe X w zasięgu 0 ≤ x ˂ 1. Ponieważ prawdopodobieństwo wypadnięcia z jednej lub drugiej strony wynosi „pół na pół”, to jeśli RAND() ˂ 0,5, to wynikiem są „reszki” (1), w przeciwnym razie „reszki” (0).

Wzór na upadek monety podczas rzutu jest następujący:

Rzut = JEŻELI(RAND() ˂ 0,5; 1; 0),

tutaj „1” na wyjściu funkcji oznacza, że ​​​​gracz odgadł poprawnie, to znaczy wypadły „głowy”, a „O” nie zgadło, czyli wypadły „reszki”.

Formuła zmiany gotówki gracza jest następująca:

Gotówka = JEŻELI (rzut=1; gotówka+stawka; gotówka-stawka)

Zwycięska formuła:

Wygrana = JEŻELI(Gotówka ˂ 2*Kapitał początkowy; „-”, „bank”)

tutaj komunikat „bank” pojawia się, gdy gotówka podwoi się lub więcej, co jest warunkiem zatrzymania gry.

Funkcja wykrywania strat:

Strata = JEŻELI (gotówka ˃ 0; „bankrut”)

tutaj na koniec kasy wydawany jest komunikat „bankrut”, co jest jednocześnie warunkiem zakończenia gry.

MODEL KOMPUTERA

Wstępne dane;
statystyki eksperymentu.

Wprowadź dane do tabeli.

Wprowadź następujące formuły do ​​części obliczeniowej:

PLAN EKSPERYMENTU

TESTOWANIE

EKSPERYMENT 1

Zbadaj utratę „orłów” i „reszek” podczas sesji gry.

EKSPERYMENT 2

PRZEPROWADZAĆ BADANIE

TESTOWANIE

Do tabeli w pierwszym wierszu wprowadź kontrolne dane wejściowe i wzory obliczeniowe. Porównaj wyniki z podanymi w tabeli.

Widzimy spadek gotówki o wartość kursu. Jeśli w kolumnie Rzut wypadnie „1” (rezeł), dane w pozostałych kolumnach powinny wyglądać następująco:

Jeśli kolumna Rzut pokazuje „O” (reszka), dane w pozostałych kolumnach powinny wyglądać następująco:

Widzimy wzrost gotówki o wartość kursu. Porównanie z próbą kontrolną pokazuje poprawność wprowadzenia receptur.

1. Skopiuj formuły do ​​poniższych komórek w widocznej przestrzeni ekranu (około 20 rzutów). W ten sposób symulujesz całą sesję gry na raz - 20 rzutów. Możesz „rozciągnąć” przyjemność i skopiować formuły tylko do jednego dolnego rzędu, symulując jeden rzut monetą. Ale biorąc pod uwagę, że wymagane jest zebranie pewnych statystyk w celu wyciągnięcia wniosków, eksperyment jest celowo przyspieszany. Pojawienie się w kolumnie Wygrana komunikatu „bank” oznacza podwojenie stanu gotówki, aw kolumnie Strata komunikatu „bankrut” zero gotówki. Oba prowadzą do końca sesji gry. Dalsze wyniki są ignorowane. Sesję gry uważa się za zakończoną.

2. Kolejna sesja gry rozgrywana jest w tych samych komórkach poprzez aktualizację danych pierwszej kolumny, dla której formuła z komórki A7 musi zostać ponownie skopiowana do niższych komórek.

3. Zbieraj statystyki gry. W tym celu w wolnym obszarze arkusza kalkulacyjnego zapisz wyniki 10-20 sesji gry w następujący formularz:

♦ Kto częściej wygrywa: kasyno czy gracz?
♦ Średnio, ile strzałów należy oddać przed końcem gry? EKSPERYMENT 2. Symulacja gry z różnymi stawkami Zmień wysokość stawki za jeden rzut (4, 7 i 10 monet). Zrób 20 rolek. Gra może zakończyć się wcześniej lub nie.

Rozegraj 10 sesji gry dla każdego zakładu.

Zbieraj statystyki gry. W tym celu w wolnym obszarze arkusza kalkulacyjnego zapisz wyniki 10 sesji gry w następującej formie:

IV etap. Analiza wyników symulacji

Na podstawie obszaru „Statystyki” wyciągnij wnioski dotyczące zakładu jednej monety; inne stawki. Wybierz i uzasadnij własną taktykę gry (zakład).

PROBLEM 3.33. Gra w ruletkę

ja inscenizuję. Sformułowanie problemu

OPIS PROBLEMU

Kasyna prosperują, ponieważ właściciel zawsze ma jakąś przewagę nad graczem. Na przykład w jednej wersji ruletki koło ma 38 otworów: 36 jest ponumerowanych i podzielonych na czarny i czerwony, a pozostałe dwa mają numery 0 i 00 i są pomalowane na zielono. Gracz obstawiający kolor czerwony lub czarny ma 18 z 38 szans na wygraną i 20 z 38 szans na przegraną.

Powtórz eksperyment z zadania 3.32, zakładając, że masz trochę żetonów i chcesz podwoić swój kapitał. Jeśli koło zatrzyma się na wybranej liczbie, Twój kapitał wzrośnie o kwotę zakładu, w przeciwnym razie zakład trafi do dochodu kasyna.

CEL SYMULACJI

Możliwość modelowania sytuacje w grze oraz rozwój taktyk, które często prowadzą do wyniku (pozytywnego lub negatywnego).

Ostrzeżenie dla hazardzistów.

FORMALIZACJA PROBLEMU

II etap. Rozwój modelu

WZÓR INFORMACYJNY

Gra jest tutaj modelowana. Zabawa to proces, w której uczestniczą trzy obiekty: gracz, właściciel kasyna oraz przypadek reprezentowany w tej grze przez ruletkę. Sprawa charakteryzuje się zgadywaniem lub nie, jaki kolor wypadł na koło i ma dwa znaczenia: „odgadł” (1) lub „nie odgadł” (0).

Model matematyczny procesu składa się z następującego rozumowania.

Symuluj zakład gracza za pomocą funkcji SKRAJ() bez sensu, bo to tylko od niego zależy. Gracz zawsze może postawić na kolor czerwony, zawsze na kolor czarny lub każdy inny...

Możesz symulować wynik obrotu koła za pomocą funkcji SKRAJ(), która generuje liczby z zakresu 0 ≤ x ˂ 1. Prawdopodobieństwo odgadnięcia koloru wynosi 18/38 zgodnie z warunkiem zadania, co odpowiada 0,47. Liczba 0,47 dzieli zakres losowe liczby na dwie nierówne części. Trafienie w mniejszą część zakresu oznacza odgadnięcie wyniku (ma mniejsze prawdopodobieństwo), trafienie w większy oznacza porażkę (z większym prawdopodobieństwem). Sytuację tę można opisać następującym wzorem:

Koło = JEŻELI(RAND()˂0,47, 1, 0).

Formuły na wymianę gotówki, a także zatrzymanie gry w wyniku podwojenia gotówki lub bankructwa są podobne do podanych w zadaniu 3.32.

MODEL KOMPUTERA

Do symulacji wybierzemy środowisko arkusza kalkulacyjnego. W tym środowisku informacje i model matematyczny są łączone w tabelę zawierającą trzy obszary:

Wstępne dane;
obliczone dane (wyniki);
statystyki eksperymentu.

Wprowadź dane początkowe do tabeli:

Wprowadź następujące formuły do ​​części obliczeniowej:

III etap. eksperyment komputerowy

PLAN EKSPERYMENTU

TESTOWANIE

Sprawdź, czy formuły zostały wprowadzone poprawnie.

EKSPERYMENT 1

Poznaj utratę wygranej podczas jednej sesji gry.

EKSPERYMENT 2

Zbieraj statystyki wygranych i przegranych podczas wielu sesji gry różne znaczenia ceny i zapoznaj się z nimi.

PRZEPROWADZAĆ BADANIE

TESTOWANIE

Do tabeli w pierwszym wierszu wprowadź kontrolne dane wejściowe i wzory obliczeniowe. Porównaj wyniki z podanymi w tabeli.

Widzimy wzrost gotówki o wartość kursu.

Jeżeli wynikiem w kolumnie Koło jest 1, dane w pozostałych kolumnach powinny wyglądać następująco:

Widzimy spadek gotówki o wartość kursu. Porównanie z próbą kontrolną pokazuje poprawność wprowadzenia receptur.

EKSPERYMENT 1. Symulacja jednej sesji gry dla określonego zakładu

1. Skopiuj formuły do ​​komórek potomnych w widocznej przestrzeni ekranu (około 20 obrotów kołami). W ten sposób symulujesz całą sesję gry na raz. Pojawienie się w kolumnie Wygrana komunikatu „bank” oznacza podwojenie gotówki, aw kolumnie Strata komunikatu „bankrut” – zero gotówki. Oba prowadzą do końca sesji gry. Dalsze wyniki są ignorowane. Sesję gry uważa się za zakończoną.

2. Spędź następną sesję gry w tych samych komórkach, aktualizując dane w pierwszej kolumnie, dla której formuła w komórce A7 ponownie skopiuj do niższych komórek

3. Zbieraj statystyki gry. Aby to zrobić, w wolnym obszarze tabeli zapisz wyniki 10-20 sesji takie gry:

Na podstawie zebranych statystyk odpowiedz na następujące pytania:

♦ Kto częściej wygrywa – kasyno czy gracz?
♦ Średnio ile obrotów kołem należy wykonać przed końcem gry?

EKSPERYMENT 2. Zbiór statystyk dla wybranej przez siebie stawki

1. Zmień wielkość zakładu (4, 7 lub 10 monet).

2. Wykonaj 20 obrotów kołem. Gra może zakończyć się wcześniej lub nie.

3. Rozegraj 10 sesji gry dla każdego zakładu.

4. Zbieraj statystyki gry. W tym celu w wolnym obszarze arkusza kalkulacyjnego zapisz wyniki 10 sesji gry w następującej formie:

W kolumnie Wynik możliwe są następujące wartości:

♦ wygrana (gdy pojawia się wartość „bank”);
♦ strata (gdy pojawia się wartość „bankrut”);
♦ nie (gra nieudana).

IV etap. Analiza wyników

Analizuj dane w obszarze „Statystyki”. Porównaj liczbę zwycięstw i porażek. Podsumuj kolumny wygranych i przegranych i wyciągnij wnioski.

PROBLEM 3.34. Gra w kości

ja inscenizuję. Sformułowanie problemu

OPIS PROBLEMU

Dwóch graczy rzuca dwiema kostkami.

Suma punktów wyrzuconych na dwóch kostkach do gry jest sumowana. Gra kończy się, gdy jeden z graczy osiągnie sumę 101.

Gra jest powtarzana do trzech zwycięstw.

CEL SYMULACJI

Stworzenie modelu gry w oparciu o zdarzenia losowe.

FORMALIZACJA PROBLEMU

Sformalizujmy problem w postaci poszukiwania odpowiedzi na następujące pytania:

II etap. Rozwój modelu

WZÓR INFORMACYJNY

Model matematyczny procesu składa się z następującego rozumowania.

Kostka ma 6 ścian z liczbą oczek od 1 do 6.

Model symulujący rzucanie dwiema kostkami przez jednego gracza:

Do 1 =LICZBA CAŁKOWITA(1+6*LOS())

K 2 \u003d LICZBA CAŁKOWITA (1 + 6 * RAND ()

Losowe wartości są sumowane. Sumy rzutów dla każdego zawodnika są gromadzone w oddzielnych kolumnach Suma pierwszego i Suma drugiego i są analizowane po każdym rzucie w kolumnie Wynik:

JEŻELI(LUB („Suma pierwszego” ˃101; „Suma drugiego” ˃101); „koniec gry”; „-”).

Tutaj, gdy obie sumy są mniejsze niż 101, w kolumnie zapisuje się „-”, a gdy przynajmniej jeden gracz przekroczy próg, w kolumnie zapisuje się „koniec gry”. Kto wygrał, można określić na podstawie sąsiednich kolumn.

Gra kończy się, gdy w kolumnie Wynik pojawi się komunikat „koniec gry”.

MODEL KOMPUTERA

Do symulacji użyj środowiska arkusza kalkulacyjnego. Zrób symulację samodzielnie.

Możliwe jest symulowanie przebiegu gry z partnerem poprzez kopiowanie formuł po kolei tylko do jednego rzędu dolnych komórek, co odpowiada jednemu rzutowi kostką.

ZADANIA DO PRACY SAMODZIELNEJ

3.35. Loteria „Sportloto”.

Kto z Was nie zna loterii Sportloto? Istnieją dwie popularne taktyki:

Przekreśl tę samą kombinację „szczęśliwych” liczb na biletach;
rzuć kostką i ułóż zestaw liczb z liczby kropek na górnej ściance.

Symuluj 5 z 36 serii gier, eksperymentując z jedną lub drugą taktyką.

Aby uzyskać liczby losowe z przedziału od 1 do 36, użyj następującego modelu matematycznego:

K=INTEG(1+36*LOS())

Zbieraj statystyki. Wyciągnij własne wnioski.

Rozważ algorytmy modelowania stacjonarnej normalnej i Markowa losowe procesy. Procesy te są szeroko stosowane jako modele matematyczne różnego rodzaju rzeczywistych procesów zachodzących w złożonych systemach technicznych. Poniżej podajemy kilka definicji i pojęć, które są istotne dla dalszej prezentacji i są akceptowane w ramach teorii korelacji i teorii spektralnej. funkcje losowe.

funkcja losowa nazywa się funkcją nielosowego argumentu t, który dla każdej ustalonej wartości argumentu jest zmienną losową. funkcja losowa czas zwany losowy proces. funkcja losowa współrzędne punkty w przestrzeni nazywane są losowe pole. Specyficzna forma, jaką proces losowy przyjmuje w wyniku doświadczenia, nazywana jest realizacją (trajektorią) procesu losowego. Wszystkie otrzymane implementacje procesu losowego stanowią zbiór implementacji. Wartości realizacji w określonych momentach czasu (przekrojach czasowych) nazywane są wartościami chwilowymi procesu losowego.

Wprowadzamy następującą notację: X(t) - proces losowy; x i (t) - i-ta realizacja procesu X(t); x i (t j) - wartość chwilowa procesu Х(t), odpowiadająca i-tej realizacji w j-tym momencie czasu. Zbiór wartości chwilowych odpowiadających wartościom różnych implementacji w tym samym czasie t j nazywamy j-tym ciągiem procesu X(t) i oznaczamy x(t j). Z tego co zostało powiedziane wynika, że ​​czas i liczba implementacji mogą pełnić rolę argumentów procesu losowego. W tym względzie uprawnione są dwa podejścia do badania właściwości procesu losowego: pierwsze opiera się na analizie zbioru realizacji, drugie operuje zbiorem sekwencji – odcinków czasowych. Obecność lub brak zależności wartości charakterystyk probabilistycznych procesu losowego od czasu lub liczby implementacji determinuje takie podstawowe właściwości procesu, jak stacjonarność i ergodyczność. Stacjonarny jest procesem, którego cechy probabilistyczne nie zależą od czasu. Ergodyczny nazywamy proces, którego charakterystyki probabilistyczne nie zależą od numeru implementacji.

Nazywa się proces losowy normalna(lub Gaussa), jeśli jednowymiarowe i dwuwymiarowe prawa dystrybucji którejkolwiek z jego sekcji są normalne. Wyczerpujące cechy normalnego procesu losowego to jego matematyczne oczekiwanie i funkcja korelacji. Dla stacjonarnego normalnego procesu losowego IOL jest stała, a funkcja korelacji zależy tylko od różnicy punktów czasowych, dla których brane są rzędne procesu losowego (=t 2 -t 1). Dla stacjonarnego procesu losowego z wystarczająco dużym odchyleniem rzędnej procesu losowego X(t 2) od jego matematycznego oczekiwania m x w chwili t 2 staje się praktycznie niezależne od wartości tego odchylenia w chwili t 1 . W tym przypadku funkcja korelacji K(t), która podaje wartość momentu połączenia między X(t 2) i X(t 1), będzie dążyć do zera. Dlatego K () może albo maleć monotonicznie, jak pokazano na ryc. 2.2, albo mieć postać pokazaną na ryc. 2.3. Funkcję formy (ryc. 2.2.) z reguły przybliżają wyrażenia:

(2.38)

i funkcja formy (ryc. 2.3.) - według wyrażeń:

Ryc.2.2. Ryc.2.3.

Stabilność stacjonarnego procesu losowego w czasie umożliwia zastąpienie argumentu - czasu - pewną zmienną pomocniczą, która w wielu zastosowaniach ma wymiar częstotliwości. Podstawienie to pozwala na znaczne uproszczenie obliczeń i uzyskanie większej czytelności wyników. Otrzymana funkcja (S()) nazywana jest gęstością widmową stacjonarnego procesu losowego i jest powiązana z funkcją korelacji przez wzajemnie odwrotne transformaty Fouriera:

(2.42)

(2.43)

Istnieją inne normalizacje gęstości widmowej, na przykład:

(2.44)

Na podstawie przekształceń Fouriera łatwo otrzymać np. dla procesu losowego o K(t) postaci (2.38):

(2.45)

Stacjonarny proces losowy, którego gęstość widmowa jest stała (S(w)=S=const) nazywamy stacjonarnym biały szum. Funkcja korelacji stacjonarnego białego szumu jest równa zeru dla wszystkich , co oznacza, że ​​dowolne dwa jej odcinki nie są skorelowane.

Problem modelowania stacjonarnego normalnego procesu losowego (SNSP) można sformułować jako problem znalezienia algorytmu umożliwiającego uzyskanie dyskretnych implementacji tego procesu na komputerze. Proces X(t) jest zastępowany z zadaną dokładnością przez odpowiedni proces X(nDt) o czasie dyskretnym t n = nDt (Dt jest krokiem próbkowania procesu, n jest argumentem całkowitym). W rezultacie losowemu procesowi x(t) zostaną przypisane losowe sekwencje:

x k [n]=x k (nDt), (2,46)

gdzie k jest numerem implementacji.

Oczywiście dowolny element ciągu losowego x(nDt) można traktować jako losową funkcję jego liczby, tj. całkowitoliczbowy argument n i tym samym wykluczamy Dt z rozważań, które jest brane pod uwagę przy zapisywaniu (2.46). Ponadto, aby odróżnić argument będący liczbą całkowitą od stale zmieniającego się argumentu, jest on ujęty w nawiasy kwadratowe.

Losowe sekwencje są często określane jako dyskretne losowe procesy lub szeregi czasowe.

Wiadomo, że dodanie zmiennej nielosowej do funkcji losowej nie zmienia wartości funkcji korelacji. Dlatego w praktyce bardzo często modeluje się procesy losowe centrowane (MOR jest równe zeru), z których zawsze można przejść do rzeczywistego, dodając MOR do członków ciągu losowego symulującego proces losowy.

Dla sekwencji losowych funkcja korelacji i gęstość widmowa są obliczane z zależności:

(2.47)

(2.48)

Zredukowanie losowego procesu do losowej sekwencji zasadniczo oznacza zastąpienie go wielowymiarowym wektorem. Dlatego rozważana metoda modelowania wektorów losowych, ogólnie rzecz biorąc, nadaje się do modelowania procesów losowych zadanych w skończonym przedziale czasu. Jednak w przypadku stacjonarnych normalnych procesów losowych istnieją bardziej wydajne metody konstruowania algorytmów modelowania. Rozważmy dwie metody największa aplikacja na praktyce.

Lektura zawiera informacje dotyczące następujących działów: algebry wyższej, geometrii analitycznej i różniczkowej, analizy matematycznej (w tym całki Lebesgue'a i Stieltjesa), analizy wektorowej i tensorowej, współrzędnych krzywoliniowych, funkcji zmiennej zespolonej, rachunku operacyjnego, równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych , rachunek wariacyjny, algebra abstrakcyjna, macierze, liniowe przestrzenie wektorowe, operatory i teoria reprezentacji, równania całkowe, problemy brzegowe, teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, numeryczne metody analizy, funkcje specjalne. W tym wydaniu przeredagowano rozdziały 11, 20 oraz znaczną część rozdziałów 13 i 18. Książka została wzbogacona o znaczną liczbę nowych działów.
Podręcznik przeznaczony jest dla studentów ostatnich lat kierunków matematycznych, naukowcy i inżynierowie.

Książka autorstwa G. Korna i T. Korna „Podręcznik matematyki (dla naukowców i inżynierów)” wyróżnia się bardzo szerokim zakresem materiału. Obejmuje prawie wszystkie zagadnienia zarówno z ogólnego toku matematyki, jak i większości sekcji specjalnych studiowanych w szkołach wyższych z zaawansowanym programem matematycznym (analiza wektorowa i tensorowa, współrzędne krzywoliniowe, równania fizyki matematycznej, funkcje zmiennej zespolonej i operacyjne rachunek różniczkowy, rachunek wariacyjny, algebra liniowa, teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna itp.). Ponadto książka zawiera rozdziały dotyczące współczesnej algebry, teorii całek Lebesgue'a i Stieltjesa, geometrii riemannowskiej, równań całkowych, funkcji specjalnych i szeregu innych zagadnień, które wykraczają daleko poza matematyczne kształcenie inżynierów, ale stopniowo stają się nieodzownym elementem narzędzie dla naukowców i inżynierów badawczych pracujących w różnych dziedzinach. Wiele uwagi poświęca się powiązaniu rozważanych problemów matematycznych z dyscyplinami stosowanymi (metody obliczania i syntezy obwodów elektrycznych, oscylacje liniowe i nieliniowe itp.).

TREŚĆ
ROZDZIAŁ 1. ELEMENTARNA ALGEBRA, GEOMETRIA I TRYGONOMETRIA (PŁASKIE I KULISTE)
ROZDZIAŁ 2. GEOMETRIA ANALITYCZNA W PŁASZCZYZNIE
ROZDZIAŁ 3. GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
ROZDZIAŁ 4. FUNKCJE I OGRANICZENIA. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY
ROZDZIAŁ 5. ANALIZA WEKTOROWA
ROZDZIAŁ 6. UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH KRZYWOLINIOWYCH
ROZDZIAŁ 7. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOŁEJ
ROZDZIAŁ 8. TRANSFORMACJA LAPLACE'A I INNE PRZEKSZTAŁCENIA INTEGRALNE
ROZDZIAŁ 9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYKŁE
ROZDZIAŁ 10. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Z POCHODNYMI CZĘŚCIOWYMI
ROZDZIAŁ 11. MAKSYMALNE I MINIMALNE
ROZDZIAŁ 12. DEFINICJA MODELI MATEMATYCZNYCH: WSPÓŁCZESNA (ABSTRAKCYJNA) ALGEBRA I PRZESTRZENIE ABSTRAKCYJNE
ROZDZIAŁ 13
ROZDZIAŁ 14. PRZESTRZENIE WEKTORÓW LINIOWYCH I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE (OPERATORY LINIOWE). REPREZENTACJA MODELI MATEMATYCZNYCH ZA POMOCĄ MATRYCY
ROZDZIAŁ 15
ROZDZIAŁ 16. REPREZENTACJE MODELI MATEMATYCZNYCH. ALGEBRA TENSORÓW I ANALIZA TENSORÓW
ROZDZIAŁ 17. GEOMETRIA RÓŻNICOWA
ROZDZIAŁ 18. PRAWDOPODOBIEŃSTWO I PROCESY PRZYPADKOWE
ROZDZIAŁ 19. STATYSTYKA MATEMATYCZNA
ROZDZIAŁ 20. METODY NUMERYCZNE I RÓŻNICE SKOŃCZONE
ROZDZIAŁ 21. FUNKCJE SPECJALNE
Literatura 796
Indeks najważniejszych symboli 801
Indeks 804

Pobierz bezpłatny e-book w wygodnym formacie, obejrzyj i przeczytaj:
Pobierz książkę Handbook of Mathematics, Korn G., Korn T., 1973 - fileskachat.com, szybkie i bezpłatne pobieranie.

• Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów - Korn G., Korn T.
• Matematyka, Podręcznik szkolny, kl. 7-11, Definicje, wzory, schematy, twierdzenia, algorytmy, Chernyak A.A., Chernyak Zh.A., 2018

1. L. P. Akimow, Yu. M. Gorodetsky i SI Shukuryan, „O modelowaniu losowych sekwencji Gaussa na komputerach cyfrowych”, Zh. „Automatyka i telemechanika”, 1969, nr 1.

2. PA Bakut, IA Bol'shakov i in., Pytania statystycznej teorii radaru, t. II. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1964.

3. Berezin I. S., Zhidkov N. P. Metody obliczeniowe, t. II, Fizmatgiz, 1962.

4. Bobnev MP Generowanie losowych sygnałów i pomiar ich parametrów. Wydawnictwo „Energia”, 1966 r.

5. Bobnev M. P., Krivitsky B. Kh., Yarlykov M. S. Złożone systemy automatyki radiowej. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1968.

6. Bolszakow I. A. Statystyczne problemy wyodrębniania przepływu sygnału z szumu. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1969.

7. Bolszakow I. A., Gutkin LS i in. Podstawy matematyczne nowoczesna elektronika radiowa. Wydawnictwo „Radzieckie Radio”, .1968.

8. Bolshakov I. A., Khomyakov E. N. Niektóre problemy wielowymiarowego filtrowania procesów z pochodnymi stacjonarnymi. „Izwiestia Akademii Nauk ZSRR”, Cybernetyka techniczna, 1966, nr 6.

9. Buslenko N. P. Matematyczne modelowanie procesów produkcyjnych. Wydawnictwo "Nauka", 1964.

10. Buslenko N. P., Golenko D. I. i wsp. Metoda testów statystycznych (metoda Monte Carlo) i jej zastosowania. Fizmatgiz, 1962.

11. Buslenko N. P., Shreider Yu. A. Statystyczna metoda testowa (metoda Monte Carlo) i jej implementacja w maszynach cyfrowych. Fizmatgiz, 1961.

12. Bykov VV O jednej metodzie modelowania stacjonarnego szumu normalnego na komputerze cyfrowym. „Elektroświat”, 1965, nr. 2.

13. Bykov V.V., Malajczuk V.P.O. O błędzie całkowania cyfrowego stacjonarnego procesu losowego. „Automatyka i telemechanika”, 1966, nr 2.

14. VV Bykov i VP Malaichuk, W kwestii obliczania widma energii oscylacji modulowanej częstotliwością przez stacjonarny normalny szum. „Elektroswiaz”, 1966, nr 7.

15 Bykov VV, Malaichuk VP Zastosowanie metody Monte Carlo do badania odpowiedzi odbiornika amplitudy na oscylacje modulowane fluktuacjami częstotliwości. „Radiotechnika i elektronika”, 1967, t. 12, nr 8.

16. Bykov VV Algorytmy cyfrowego modelowania niektórych typów stacjonarnych normalnych procesów losowych. „Elektroswiaz”, 1967, nr 9.

17. Bykov VV Cyfrowe modelowanie procesów w liniowych i nieliniowych układach ciągłych. „Radiotechnika”, 1968, t. 23, nr 5.

18. Bykov Yu. M. O statystycznej dokładności przywracania elementów w pulsacyjnej transmisji losowych sygnałów. „Izwiestia Akademii Nauk ZSRR”, Cybernetyka techniczna, 1965, nr 1.

19. Bykov Yu. M., Enikeev Sh. G. i inni Kwestie wykorzystania komputerów cyfrowych w badaniach statystycznych obiektów kontrolnych. Aparatura, automatyka i systemy sterowania, Materiały Konferencji Młodych Naukowców i Specjalistów. Wydawnictwo "Nauka", 1967.

20. Vilenkin S. Ya., Trakhtenberg E. A. Ocena dokładności sygnału wyjściowego w symulacji procesów dynamicznych na komputerze. „Automatyka i telemechanika”, 1965, t. 26, nr 12.

21. Wiener N. Cybernetyka. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1958.

22. Woodward FM Teoria prawdopodobieństwa i teoria informacji z zastosowaniami w radarach. Za. z angielskiego. wyd. G. S. Gorelik. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1955.

23. Golenko D. I. Modelowanie i analiza statystyczna liczb pseudolosowych na komputerach elektronicznych. Wydawnictwo "Nauka", 1965.

24. Gonorovsky S. I. Sygnały radiowe i zjawiska przejściowe w obwodach radiowych. Swiazizdat, 1954.

25. Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tablice całek, sum, szeregów i produktów, Fizmatgiz, 1962.

26. Gusev A. G. Analiza błędów pojawiających się w systemie automatycznym podczas wdrażania prawa sterowania na komputerze cyfrowym z harmonicznymi i losowymi działaniami wejściowymi. „Automatyka i telemechanika”, 1968, nr 9.

27. Gutkin L.S., Lebedev V.L., Siforov VI Odbiorniki radiowe. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1961.

28. VB Davenport i VL Ruth, Wprowadzenie do teorii losowych sygnałów i szumów. Wydawnictwo literatura zagraniczna, 1960.

29. Juri E. Impulsowe układy automatyki. Za. z angielskiego. Fizmatgiz, 1963.

30. JL Dub, Procesy probabilistyczne. Wydawnictwo literatury obcej, 1956.

31. Evtyanov S. I. Procesy przejściowe w obwodach odbiorczych i wzmacniających. Swiazizdat, 1948.

32. Kagan BM Zastosowanie komputerów cyfrowych do rozwiązywania naukowych i technicznych problemów elektromechaniki oraz do sterowania automatycznego. w sobotę „Zautomatyzowany napęd elektryczny mechanizmów produkcyjnych”, t. 1, 1965.

33. NA Kaganova, EP Dubrovin i NG Kornienko, Doświadczenie w obliczaniu stałych modów systemów energetycznych Ukraińskiej SRR na komputerze cyfrowym. w sobotę „Modelowanie i automatyzacja układów elektrycznych”. Kijów. Wydawnictwo „Naukova Dumka”, 1966.

34. Kazamarov A. A., Palatnik A. M., Rodnyansky L. O. Dynamika dwuwymiarowych układów automatycznego sterowania. Wydawnictwo "Nauka", 1967.

35. V. Ya. Katkovnik i RA Poluektov, Wielowymiarowe dyskretne systemy sterowania. Wydawnictwo "Nauka", 1966.

36. V. Ya. Katkovnik i R. A. Poluektov, O optymalnej transmisji ciągłego sygnału przez obwód impulsowy. „Automatyka i telemechanika”, 1964, nr 2.

37. Kendall M., Stuart A. Teoria dystrybucji. Za. z angielskiego, wyd. A. N. Kołmogorowa. Wydawnictwo "Nauka", 1966.

38. Kitov AI, Krinitsky NA Elektroniczne maszyny cyfrowe i programowanie, wyd. 2. Fizmatgiz, 1961.

39. GP Klimov, Stochastyczne systemy kolejkowe. Wydawnictwo "Nauka", 1966.

40. Kogan B. Ya Elektroniczne urządzenia modelujące i ich zastosowanie do badania systemów automatycznego sterowania. Fizmatgiz, 1963.

41. MI Kontorowicz, Rachunek operacyjny i procesy niestacjonarne w obwodach elektrycznych. Gostekhizdat, 1955.

42. Korn G. Symulacja procesów losowych na maszynach analogowych i analogowo-cyfrowych. Wydawnictwo "Mir", 1968.

43. Krasovskii A. A. O dwukanałowych układach automatyki z połączeniami antysymetrycznymi. „Automatyka i telemechanika”, 1957, t. 18, nr 2.

44. Krasovsky A. A., Pospelov G. S. Niektóre metody obliczania przybliżonej charakterystyki czasowej liniowych systemów automatycznego sterowania. „Automatyka i telemechanika”. 1953, t. 14, nr 6.

45. Krasovsky A. A., Pospelov G. S. Podstawy automatyki i cybernetyki technicznej. Gosenergoizdat, 1962.

46. ​​​​AN Kryłow, Wykłady z obliczeń przybliżonych. Gostekhizdat, 1950.

47. VI Kryłow, Przybliżone obliczenie całek. Fizmatgiz, 1959.

48. AG Kurosh, Wyższy kurs algebry. Fizmatgiz, 1963.

49. Kryukshank D. J. Metody analizy liniowych i systemy nieliniowe regulacja oparta na zastosowaniu ciągów czasowych i - przekształceń. Obrady pierwszego Kongresu IFAC. Wydawnictwo Akademii Nauk ZSRR, 1961, t. 2.

50. Levin B. R. Podstawy teoretyczne statystyczna inżynieria radiowa. Wydawnictwo „Radio Radzieckie”, 1969, t. 1.

51. Levin B. R., Serov V. V. O dystrybucji funkcja okresowa zmienna losowa. „Radiotechnika i elektronika”, 1964, t. 9, nr 6.

52. Levin L. Metody rozwiązywania problemów technicznych z wykorzystaniem komputerów analogowych. Wydawnictwo "Mir", 1966.

53. Yu S. Lezin, Optymalne filtry i akumulatory sygnałów impulsowych. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1969.

54. Leites R. D. Metody modelowania matematycznego systemów transmisji sygnału mowy. „Elektroswiaz”, 1963, nr 8.

55. Likharev V. A., Avdeev V. V. Technika modelowania problemów radaru statystycznego na elektronicznych komputerach cyfrowych. w sobotę „Zagadnienia odporności na zakłócenia i rozdzielczości systemów radiotechnicznych (telewizji i radaru)”. Ryazan Radio Engineering Institute, tom. 10. Wydawnictwo „Energia”, 1967 r.

56. Laning J. G., Bettin RG Procesy losowe w problemach sterowania automatycznego. Wydawnictwo literatury obcej, 1958.

57. Yu K. Lyubimov, Uzyskanie dyskretnych wartości stacjonarnego procesu stochastycznego w nierówno rozmieszczonych punktach na komputerze cyfrowym. „Automatyka i telemechanika”, 1965, t. 26, nr 12.

58. Lyashenko VF Programowanie dla komputerów cyfrowych M-20, BESM-ZM, BESM-4, M-220. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1967.

59. A. N. Malakhov, Fluktuacje w systemach samooscylacyjnych. Wydawnictwo "Nauka", 1968.

60. P. V. Melent'ev, Obliczenia przybliżone. Fizmatgiz, 1962.

61. Middleton D. Wprowadzenie do statystycznej teorii komunikacji. t. 2, Wydawnictwo Radzieckiego Radia, 1962.

62. Mityashev BN Wyznaczanie czasowego położenia impulsów w obecności zakłóceń. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1962.

63. Naumov BN Procesy przejściowe w liniowych układach sterowania automatycznego. Gosenergoizdat, 1960.

64. Neronsky N. B. Transmisja sygnału i szumu przez urządzenia odbiorcze o nieliniowej charakterystyce amplitudowej. „Izwiestija wuzow”, Radiotechnika, 1964, t. 7, nr 6.

65. GV Obrezkov i SV Pervachev, Śledzenie zakłóceń w systemie z astatyzmem drugiego rzędu. „Automatyka i telemechanika”, 1966, nr 3.

66. Pollak Yu T. Modelowanie sekwencji próbek nierównomiernie rozmieszczonych w czasie z losowego procesu Gaussa „Materiały Akademii Nauk ZSRR” Cybernetyka techniczna. 1969, 1 nr 1.

67. Yu V. Prochorow i Yu A. Rozanov, Teoria prawdopodobieństwa, SMB. Wydawnictwo "Nauka", .1967.

68. VS Pugaczow, Teoria funkcji losowych. Fizmatgiz, 1962.

69. Rakov GK Opracowanie losowej wartości skorelowanej na szybkich komputerach elektronicznych. Automatyka i technika komputerowa (zbiór prac). Gostekhizdat, 1958.

70. Yu A. Rozanov, Stacjonarne procesy losowe. Fizmatgiz, 1963.

71. Ryto V. M. Wprowadzenie do radiofizyki statystycznej. Wydawnictwo "Nauka", 1966.

72. G. S. Safronow, Funkcje korelacji i gęstości widmowe różnicy między dwiema funkcjami losowymi skwantowanymi w czasie. „Automatyka i telemechanika”, 1962, nr 6.

73. Sedyakin N. M. Elementy teorii losowych przepływów impulsów. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1965.

74. B. D. Sergievsky, Reakcja odbiornika z detektorem kwadratowym na oscylacje modulowane przez fluktuacje fazy lub częstotliwości. „Radiotechnika i elektronika”, 1962, t. 7, nr 5.

75. B. D. Sergievsky, Reakcja odbiornika amplitudy na oscylacje modulowane w fazie lub częstotliwości, gdy częstotliwość nośna jest rozstrojona względem odbiornika. „Radiotechnika i elektronika”, 1963, t. 8, nr 12.

76. Smirnov V. N. Kurs wyższej matematyki, t. 2, Fizmatgiz, 1958.

77. Sragovich VG Modelowanie niektórych klas procesów losowych. „Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics”, 1963, t. 3, nr 3.

78. Stratonowicz R. L. Wybrane zagadnienia teorii fluktuacji w radiotechnice. Wydawnictwo „radzieckie radio”, 1961.

79. GP Tartakovskii, Dynamika systemów automatycznej kontroli wzmocnienia. Gosenergoizdat, 1957.

80. Tichonow VI Statystyczna inżynieria radiowa. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1966.

81. Tu Yu Cyfrowe i impulsowe systemy sterowania. Maszgiz, 1964.

82. X Arkevich A. A., O twierdzeniu Kotelnikowa. „Inżynieria radiowa”, 1958, t. 13, nr 8.

83. AA Charkiewicz, Widma i analiza. Fizmatgiz, 1962.

84. Hellgren G. Pytania teorii radaru jednopulsowego „Zagraniczna elektronika radiowa”, 1962, nr 12; 1963, nr 1.

85. Cypkin Ja 3. Teoria liniowych układów impulsowych. Fizmatgiz, 1963.

86. Tsypkin Ya. Z., Goldenberg L. M. Budowa procesu przejściowego w systemach automatycznej regulacji zgodnie z charakterystyką poszczególnych ogniw. Obrady Ogólnounijnego Instytutu Energetyki Korespondencyjnej, nr. 7. „Elektrotechnika”, GEI, 1957.

87. Szestow N, S. Selekcja sygnałów optycznych na tle szumu losowego. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1967.

88. Shirman Ya. D., Golikov V. N. Podstawy teorii detekcji sygnałów radarowych i pomiaru ich parametrów. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1963.

89. NA Shishonok, VF Repkin i LA Barvinskii, Podstawy teorii niezawodności. Wydawnictwo „Radio radzieckie”, 1964.

90. AM Yaglom, Teoria korelacji procesów ze stacjonarnymi n-tymi przyrostami. matematyka sob. (nowa seria), 1955, 37(79), nr 1.

91. AM Yaglom, Efektywne rozwiązanie problemów aproksymacji liniowej dla wielowymiarowych procesów stacjonarnych z racjonalnym widmem. Teoria prawdopodobieństwa i jej zastosowania, 1960, t. 5, nie. 3.

92. Janke E., Emde F., Lesh F. Cechy szczególne. Wydawnictwo "Nauka", M, 1964.

93. Anderson W.H., Ball RB, Voss I.R. Numeryczna metoda rozwiązywania różniczkowania na komputerach cyfrowych. IACM, 1960, tom. 7 stycznia.

94. Boxer R., Thaler S. Uproszczona metoda rozwiązywania układów liniowych i nieliniowych. proc. IRE, 1956, tom. 44, nr 1.

95. Davis MC O faktoryzacji macierzy widmowej. IEEE Trans, o automatycznym sterowaniu, 1963, AG-8, nr 4.

96. Dujack R. L., Epstein D. I. Cyfrowa symulacja komputerowa sieci komunikacyjnej. IRE Trans. Lud. system 1962, tom. 10, nr 1.

98. Katzenelson J. AEDNET: Symulator sieci nieliniowej. Proc IEE, 1966, tom. 54, nr 11.

99. Kuo. Analiza obwodów z wykorzystaniem komputerów cyfrowych. TIIER, 1966, t. 54, nr 6.

100. Cooley I. W., Tukey I. W. Algorytm dla obliczenia maszynowe zespolonych szeregów Fouriera. Matematyka, komputer. 1965, tom. 19 kwietnia

101. Levin M. I. Generowanie próbkowanego szeregu czasowego Gaussa o określonej funkcji korelacji. Trans. IRE, 1960, tom. 60, nr 5.

102. Madwed A. Metoda szeregów liczbowych rozwiązywania układów liniowych i nieliniowych. proc. IRE, 1956, tom. 44, nr 1.

103. Neumann I. Wariacje techniki w związku z przypadkowymi cyframi. Aplikacja NBS Matematyka, 1951, ser. 12.

104. Ragazzini I. R., Bergen AR A matematyczna technika analizy systemów liniowych. proc. IRE, 1956, tom. 42, nr 11.

105. Reabody PR, Adorno DS Cyfrowa synteza skorelowanego szumu stacjonarnego. Comuns, doc. Oblicz. Mach. 1962, tom. 5, nr 7.

106. Rohrer RA W pełni zautomatyzowane projektowanie sieci przez komputer cyfrowy: rozważania wstępne. proc. IEEE, 1967, tom. 55, nr 11.

107 Rolka. Komputer - Technik fur Trickfilme Kino - Techn. (BRD), 1967, 21, nr 12.

108. Sage AP, Burt RW Optymalny projekt i analiza błędów integratorów cyfrowych do symulacji systemów dyskretnych, 1965, AFIPS, konf. proc. tom. 27, pkt. jeden.

109. Sage AP, Smith S. L., Cyfrowa symulacja sterowania systemami w czasie rzeczywistym. Proc of the IEEE, .1966, tom. 54, nr 12.

110. Truxal IG Analiza numeryczna do projektowania sieci. IRE Trans, na torze. Teoria, 1954, tom. CT-1.

111. Tustin A. Metoda analizy systemów zachowań w ujęciu czasowym. IEEE, 1947, tom. 94, pkt. II-A.