Chôdza v priamej línii jednoduchými slovami. Čo je do pekla táto „náhodná prechádzka“? Kinetická teória plynov

Je tu ešte jeden zaujímavý problém, ktorého riešenie sa nezaobíde bez pojmu pravdepodobnosti. Toto je problém „náhodnej chôdze“. V najjednoduchšej forme táto úloha vyzerá takto: Predstavte si hru, v ktorej sa hráč počnúc bodom x = 0 môže v každom ťahu pohybovať buď dopredu (do bodu x) alebo dozadu (do bodu -x) a rozhodnutie o tom, kam ísť, je úplne náhodné, no, napríklad hodením mince. Ako opísať výsledok takéhoto pohybu? Vo viac všeobecná forma tento problém popisuje pohyb atómov (alebo iných častíc) v plyne - takzvaný Brownov pohyb - alebo vznik chýb v meraniach. Uvidíte, ako problém náhodnej chôdze úzko súvisí s vyššie opísaným experimentom s hodom mincou.

Najprv sa pozrime na niekoľko príkladov náhodných prechádzok. Môžu byť opísané „čistým“ postupom DN v N krokoch. Zapnuté obr. 6.5 Uvádzajú sa tri príklady náhodných chodníkov.

Čo možno povedať o takomto hnutí? V prvom rade by sa niekto mohol opýtať: Ako ďaleko sa v priemere dostaneme? Musíme očakávať, že nedôjde k žiadnemu priemernému pokroku, keďže je rovnako pravdepodobné, že pôjdeme dopredu aj dozadu. Zdá sa však, že ako sa N zvyšuje, je čoraz pravdepodobnejšie, že sa budeme zatúlať niekam ďalej a ďalej od východiskového bodu. Vzniká teda otázka: aká je priemerná absolútna vzdialenosť, t. j. aká je priemerná hodnota |D|? Je však pohodlnejšie zaoberať sa nie |D|, ale D 2 ; táto veličina je pozitívna pre pozitívny aj negatívny pohyb, a preto môže slúžiť aj ako primeraná miera takýchto náhodných prechádzok.

Dá sa ukázať, že očakávaná hodnota D2N je jednoducho N, počet vykonaných krokov. Mimochodom, „očakávanou hodnotou“ rozumieme najpravdepodobnejšiu hodnotu (uhádnutú najlepšia cesta), čo možno považovať za očakávaný priemer veľké číslo opakujúce sa procesy putovania. Táto hodnota je označená ako a nazýva sa aj „stredná štvorec vzdialenosti“. Po jednom kroku sa D 2 vždy rovná +1, takže určite = 1. (Všade sa zvolí jeden krok na jednotku vzdialenosti, a preto v budúcnosti nebudem písať jednotky dĺžky.)

Očakávanú hodnotu D2N pre N > 1 možno získať z DN-1. Ak sa po (N - 1) krokoch ocitneme vo vzdialenosti D N -1, potom ešte jeden krok poskytne buď D N = D N -1 + 1, alebo D N = D N -1 - 1. Alebo pre štvorce

Ak sa proces opakuje veľakrát, potom očakávame, že každá z týchto možností nastane s pravdepodobnosťou 1/2, takže priemerná očakávaná hodnota bude jednoducho aritmetickým priemerom týchto hodnôt, t. j. očakávanou hodnotou D 2 N bude jednoducho D 2 n- 1 + 1. Aká je však hodnota D 2 n-1, respektíve akú hodnotu očakávame? Jednoducho z definície je jasné, že by to mala byť „priemerná očakávaná hodnota“ , Takže

Ak si to teraz pamätáme = 1, dostaneme veľmi jednoduchý výsledok:

Odchýlka od počiatočnej polohy môže byť charakterizovaná množstvom typu vzdialenosti (skôr ako druhou mocninou vzdialenosti); aby ste to urobili, stačí extrahovať Odmocnina od D< 2 N >a získajte takzvanú „strednú štvorcovú vzdialenosť“ Dсk:

Už sme povedali, že náhodné prechádzky sú veľmi podobné experimentu s hodom mincou, ktorým sme začali túto kapitolu. Ak si predstavíme, že každý pohyb vpred alebo vzad je určený výskytom „hlavy“ alebo „chvosta“, potom D N . sa bude jednoducho rovnať N0-NP, t.j. rozdielu v počte hláv a chvostov. Alebo keďže N 0 + N P = N (kde N je celkový počet hodov), potom D N = 2N 0 - N. Pamätajte, že predtým sme už dostali výraz pre očakávané rozdelenie hodnoty Nie [bolo to potom označené k ; pozri rovnicu (6.5)]. No, keďže N je jednoducho konštanta, teraz sa rovnaké rozdelenie ukázalo pre D. (Strata každej „hlavy“ znamená zlyhanie „chvostov“, takže v spojení medzi N 0 a D sa objavuje faktor 2. ) Na obr. 6.2, graf súčasne predstavuje rozdelenie vzdialeností, ktoré môžeme prejsť v 30 náhodných krokoch (k = 15 zodpovedá D = 0, ak = 16 zodpovedá D = 2 atď.).

Odchýlka N 0 od očakávanej hodnoty N/2 sa bude rovnať

kde za priemer štvorcová odchýlka dostaneme

Pripomeňme si teraz náš výsledok pre Dck. Očakávame, že priemerná vzdialenosť prejdená v 30 krokoch by mala byť √30 = 5,5, z čoho by priemerná odchýlka k od 15 mala byť 5,5: 2 ≈ 2,8. Všimnite si, že priemerná polovičná šírka našej krivky na obr. 6.2 (t. j. polovičná šírka „zvončeka“ je niekde v strede) sa približne rovná 3, čo je v súlade s týmto výsledkom.

Teraz môžeme zvážiť otázku, ktorej sme sa doteraz vyhýbali. Ako vieme, či je naša minca „spravodlivá“? Teraz na to môžeme aspoň čiastočne odpovedať. Ak je minca „spravodlivá“, potom očakávame, že polovicu času príde „hlavami“, t.j.

Zároveň sa očakáva, že skutočný počet hláv by sa mal líšiť od N/2 rádovo o √N/2, alebo, ak hovoríme o zlomku odchýlky, rovná sa

t.j. čím väčšie N, tým bližšie k polovici pomeru N0/N.

Zapnuté obr. 6.6čísla N 0 /N sú vyčlenené pre tie hody mincami, o ktorých sme hovorili skôr. Ako vidíte, ako sa N zvyšuje, krivka sa stále viac a viac približuje k 0,5. Bohužiaľ, neexistuje žiadna záruka, že pre danú sériu alebo kombináciu sérií bude pozorovaná odchýlka blízka očakávanej odchýlke. Vždy existuje konečná pravdepodobnosť, že dôjde k veľkému kolísaniu – veľkému počtu hláv alebo chvostov –, ktoré spôsobí ľubovoľne veľkú odchýlku. Jediné, čo možno povedať, je, že ak sa odchýlky blížia k očakávanej 1/2√N (povedzme 2 alebo 3-násobne), potom nie je dôvod považovať mincu za „falzifikát“ (resp. že partner podvádza).

Zatiaľ sme nebrali do úvahy prípady, keď pre mincu alebo iný testovací predmet podobný minci (v tom zmysle, že sú možné dva alebo viac spoľahlivo nepredvídateľných výsledkov pozorovania, napríklad kameň, ktorý môže spadnúť len na jednu z dvoch strán) existuje dostatok dôvodov domnievať sa, že pravdepodobnosti rôznych výsledkov nie sú rovnaké. Pravdepodobnosť P(O) sme definovali ako pomer /N. Čo by sme však mali brať ako hodnotu? ? Ako môžete zistiť, čo sa očakáva! V mnohých prípadoch najlepšie, čo sa dá urobiť, je spočítať počet hláv vo veľkej sérii pokusov a vziať = N° (pozorované). (Ako môžete očakávať niečo iné?) Treba však pochopiť, že rôzni pozorovatelia a rôzne série testov môžu poskytnúť inú hodnotu P(O) ako tá naša. Malo by sa však očakávať, že všetky tieto rôzne odpovede sa nebudú líšiť o viac ako 1/2√N [ak sa P(O) blíži k polovici]. Experimentálni fyzici zvyčajne hovoria, že „experimentálne zistená“ pravdepodobnosť má „chybu“ a zapíšu ju ako

Tento zápis znamená, že existuje určitá „skutočná“ pravdepodobnosť, ktorá sa v princípe dá vypočítať, ale že rôzne výkyvy vedú k chybe pri jej experimentálnom určení. Neexistuje však spôsob, ako tieto argumenty logicky zosúladiť. Je predsa lepšie, aby ste pochopili, že pravdepodobnosť je v istom zmysle subjektívna vec, že ​​vždy vychádza z nejakej neistoty našich vedomostí a jej hodnota kolíše podľa toho, ako sa menia.

Aby sme mohli otestovať „platnosť“ hypotézy náhodnej prechádzky, musíme určiť, či je finančná výkonnosť konkrétnej akcie (naša funkcia) stochastická alebo deterministická. Teoreticky existuje algoritmický a štatistický prístup k problému, ale v praxi sa používa iba druhý (a existujú na to vysvetlenia).

Algoritmický prístup

Teória vyčísliteľných funkcií, známa aj ako teória rekurzie alebo Turingova vypočítateľnosť, je odvetvie teoretickej informatiky, ktoré sa zaoberá konceptom vyčísliteľných a nevypočítateľných funkcií. Funkcia sa nazýva vyčísliteľná v závislosti od toho, či je možné napísať algoritmus, ktorý ju bude vždy schopný vypočítať s určitými vstupnými údajmi.

Ak je náhodnosť vlastnosťou nepredvídateľnosti, potom výstup funkcie nemožno nikdy presne predpovedať. Logicky z toho vyplýva, že všetky náhodné procesy sú nevyčísliteľné funkcie, pretože nie je možné vytvoriť algoritmus na ich výpočet. Slávna Churchova-Turingova téza predpokladá, že funkcia je vyčísliteľná iba vtedy, ak ju môže vypočítať Turingov stroj:

Zdalo by sa, že všetko je jednoduché - stačí použiť Turingov stroj na určenie, či existuje algoritmus, ktorý predpovedá správanie cien akcií (naša funkcia). Tu však čelíme problému zastavenia, teda problému určenia, či bude algoritmus bežať navždy alebo sa jedného dňa skončí.

Bolo dokázané, že tento problém je neriešiteľný, čo znamená, že nie je možné vopred vedieť, či sa program zastaví alebo bude pokračovať v práci. To znamená, že nie je možné vyriešiť problém hľadania algoritmu, ktorý dokáže „vypočítať“ funkciu (predpovedať cenu akcie) – pred zastavením bude musieť Turingov stroj prejsť všetkými možnými algoritmami, čo bude trvať nekonečné množstvo času. Preto to nie je možné dokázať finančný trhúplne náhodne.

Ak túto skutočnosť neberieme do úvahy, potom takýto výskum viedol k vzniku zaujímavej oblasti nazývanej algoritmická teória informácie. Zaoberá sa vzťahom medzi teóriou vypočítateľnosti a teóriou informácie. Definuje rôzne typy náhodnosti – jednou z najpopulárnejších je Martin-Lefouova definícia náhodnosti, podľa ktorej, aby bol reťazec považovaný za náhodný, musí:

• Buďte nestlačiteľní- kompresia zahŕňa nájdenie reprezentácie informácií, ktoré používa menej informácií. Napríklad nekonečne dlhý binárny reťazec 0101010101…. môže byť vyjadrené presnejšie ako 01 opakovaná nekonečne veľakrát, zatiaľ čo nekonečne dlhý reťazec 0110000101110110101... nemá jasný vzor, ​​a preto ho nemožno skomprimovať do ničoho kratšieho, ako je rovnaký reťazec 0110000101110110101... To znamená, že ak Kolmogorovova zložitosť je väčšia alebo rovná dĺžke reťazca, potom je sekvencia algoritmicky náhodná.
• Absolvujte štatistické testy náhodnosti- Existuje mnoho testov náhodnosti, ktoré testujú rozdiel medzi distribúciou sekvencie v porovnaní s očakávanou distribúciou akejkoľvek sekvencie, ktorá sa považuje za náhodnú.
• Neprinášať výhody- zaujímavý koncept, ktorý znamená, že ak je možné vytvoriť určitú stávku, ktorá vedie iba k úspechu, potom nie je náhodná.

Vo všeobecnosti by sa malo rozlišovať medzi globálnymi a lokálnymi náhodnými prechádzkami. Prvý sa týka trhov z dlhodobého hľadiska, zatiaľ čo hypotéza lokálnej náhodnej prechádzky môže uvádzať, že trh je náhodný počas určitého minimálneho časového obdobia.

V neprítomnosti Ďalšie informácie mnohé systémy sa môžu zdať náhodné bez toho, aby to tak bolo – napríklad rovnaké generátory náhodné čísla. Alebo viac komplexný príklad, pohyb ceny určitej akcie sa môže zdať náhodný. Ak sa však pozriete na finančné výkazy a ďalšie základné ukazovatele, všetko sa môže ukázať ako náhoda.

Štatistický prístup

Sekvencia je štatisticky náhodná, ak neobsahuje žiadne detegovateľné vzory. Neznamená to skutočnú náhodnosť, teda nepredvídateľnosť – väčšina generátorov pseudonáhodných náhodných čísel, ktoré nie sú nepredvídateľné, je štatisticky náhodná. Kľúčom je prejsť testom NIST. Väčšina týchto testov zahŕňa kontrolu, ako dobre sa výstupná distribúcia údajne náhodného systému zhoduje s výstupom skutočne náhodného systému. Odkaz poskytuje kód Pythonu pre takéto testy.

Prelomenie trhu

Po preskúmaní teoretické základy koncepcia náhodnosti a zohľadnenie testov, ktoré ju umožňujú identifikovať, iná dôležitá otázka je, či je možné pomocou takýchto testov vytvoriť systém, ktorý bude určovať náhodnosť či nenáhodnosti trhových sekvencií lepšie ako človek.

Výskumník sa rozhodol uskutočniť svoj vlastný experiment, na ktorý použil nasledujúce údaje:

Analyzovali sa aj rôzne druhy aktív:

• Výmenné kurzy pre pár dolár/libra (USD vs. GBP) od roku 1990 do roku 2015 (denný graf) ~ 25 rokov

Testovacia sada NIST pracovala na skutočných súboroch údajov - boli vzorkované a rozdelené do období 3, 5, 7 a 10 rokov. Okrem toho existujú dva spôsoby generovania testovacích okien – prekrývajúce sa okná a neprekrývajúce sa okná. Prvá možnosť je lepšia, pretože vám umožňuje vidieť prichádzajúcu náhodnosť trhu, ale ovplyvňuje kvalitu agregovaných P-hodnôt, pretože okná nie sú nezávislé.

Okrem toho sa na porovnanie použili dva simulované súbory údajov. Prvým je súbor binárnych údajov vygenerovaný pomocou vzorkovacej stratégie algoritmu Mersenne Twister (jeden z najlepších pseudonáhodných generátorov).

Druhým sú binárne dáta generované funkciou SIN.

Problémy

Každý experiment má svoj vlastný slabé miesta. Ani tentoraz sme sa bez nich nezaobišli:

1. Niektoré testy vyžadujú viac údajov, než generuje trh (pokiaľ nepoužívate minútové alebo tick grafy, čo nie je vždy možné), čo znamená, že ich štatistická významnosť je o niečo nižšia ako ideálna.
2. Testy NIST testujú iba štandardnú náhodnosť – to neznamená, že trhy nie sú normálne alebo inak rozdelené, ale stále sú náhodné.
3. Náhodne vybrané časové obdobia (začínajúce 1. januárom každého roka) a hladina významnosti (0,005). Testy je potrebné vykonať na oveľa väčšom súbore vzoriek, počnúc každým mesiacom alebo štvrťrokom. P-hodnota nemala vážny vplyv na konečné závery, keďže pri rôznych hodnotách (0,001, 0,005, 0,05) niektoré testy v r. určité obdobia(napr. 1954-1959)

výsledky

Tu sú výsledky, ktoré sme dosiahli pomocou dvoch testovacích metód s prekrývajúcimi sa alebo neprekrývajúcimi sa oknami:

Možno vyvodiť tieto závery:

1. Hodnoty ležia medzi hodnotami dvoch benchmarkov, čo znamená, že trhy sú menej náhodné ako Mersennov vír a náhodnejšie ako funkcia SIN. Ale nakoniec nie sú náhodné.
2. Hodnoty sa značne líšia v rozmeroch – veľkosť okna vážne ovplyvňuje výsledok – a jedinečnosť – trhy nie sú rovnako náhodné, niektoré sú náhodnejšie ako iné.
3. Hodnoty benchmarku sú trvalo dobré pre Mersennov vír (v priemere viac ako 90 % testov) a zlé pre graf SIN (10-30 % testov, ktoré prešli v priemere).

Na začiatku článku sme sa pozreli na príklad s experimentom profesora Burtona Malkiela, ktorý napísal slávna kniha„Náhodná prechádzka po Wall Street“ (

Pri zvažovaní náhodných prechádzok sa stav systému pre jasnosť interpretuje ako poloha pohybujúcej sa „častice“.

Jednorozmerná náhodná prechádzka je Markovov reťazec, ktorého stavový priestor pozostáva z konečnej alebo nekonečnej množiny celých čísel; ak je častica v stave I, potom môže v jednom kroku prejsť do jedného zo svojich susedných stavov alebo zostať v stave. chôdza má podobu

Kde . Čísla majú nasledujúci význam: ak potom kedy

zmeny sú zrejmé.

Názov „náhodná chôdza“ pre tento typ procesu je podporený skutočnosťou, že jeho implementácia opisuje cestu „úplne opitého“ človeka, ktorý náhodne urobí krok vpred alebo krok späť.

Kapitál hráča, ktorý sa zúčastňuje série hier hazardných hier, je často popisovaný ako proces náhodnej chôdze. Predpokladajme, že hráč A, ktorý má kapitál, hrá s nekonečne bohatým partnerom a pravdepodobnosť, že vyhrá hru a zvýši svoj kapitál o jeden, sa rovná, a pravdepodobnosť, že prehrá a tým zníži svoj kapitál o jeden, je rovná . Závislosť pravdepodobnosti výhry a prehry od odráža možnú závislosť podmienok hry od kapitálu. Môžeme teda súhlasiť s tým, že v stave O (zodpovedajúcemu krachu hráča A) proces zostáva v tomto stave, t. j. proces, v ktorom je veľkosť hráčovho kapitálu po hrách procesom náhodnej chôdze. Tento proces je známy ako „problém krachu hráča“.

Náhodná prechádzka s zodpovedá identickým opakovaným dávkam; ak sú potom v každej hre šance hráča A jednoznačne preferované. V kap. 3 si ukážeme, že v tomto prípade s pravdepodobnosťou, kde je jeho počiatočný kapitál, hráč A skrachuje (stratí svoj kapitál) a s pravdepodobnosťou sa jeho kapitál bude neobmedzene zvyšovať. Ak je hra pre majiteľov jednoznačne výhodná prevádzkareň hazardných hier a je takmer isté (s pravdepodobnosťou 1), že hráč A prepadne, ak bude hrať dostatočne dlho. Hráč A je odsúdený na zánik (s pravdepodobnosťou 1) aj v prípade, keď je hra neškodná, t.j.

Ak aj partner, hráč, začína hru s obmedzeným veľkým y, potom je kapitál hráča A opäť popísaný Markovovým reťazcom. Tento reťazec má však konečnú množinu stavov kde počiatočné stavy hráči podľa toho. Rozdiel sa interpretuje ako kapitál hráča B po hrách. Ak je medzi výsledkami každej hry povolená remíza, potom matica pravdepodobnosti prechodu reťazca má tvar

Rovnako ako predtým existuje možnosť, že hráč A, ktorý má kapitál, ho v ďalšej hre o jeden zvýši (zníži). Všimnite si, že v súlade s maticou pravdepodobností prechodu (2.3) kapitál hráča A (stav procesu), ktorý dosiahol hodnotu a alebo sa obrátil na 0, zostáva v týchto stavoch navždy. Hovoríme, že hráč A je na mizine, ak proces dosiahol stav 0; ak proces skončí v stave a, potom hovoríme, že hráč je zničený

Náhodné prechádzky sú užitočné nielen na opisovanie herné situácie, ale slúžia aj ako dobré modely fyzikálnych procesov najmä difúziu častíc. Ak častica prechádza náhodnými zrážkami, potom jej poloha podlieha náhodným fluktuáciám, hoci trajektória, ktorú opisuje, je spojitá. Ak budúca pozícia (presnejšie, jej rozloženie pravdepodobnosti) častice závisí len od jej súčasnej polohy, potom proces, v ktorom je pozícia častice v danom okamihu markovovská. Diskrétna aproximácia takéhoto súvislého pohybu zodpovedá náhodnej prechádzke. Symetrická náhodná prechádzka je klasickým diskrétnym analógom Brownovho pohybu (pozri § 2 kapitoly 1). Pod symetrickou náhodnou chôdzou po množine všetkých celých čísel rozumieme Markovov reťazec so stavovým priestorom, ktorý je množinou všetkých celých čísel, s prvkami matice pravdepodobností prechodu tvaru

Kde . Zvyčajne symetrická náhodná prechádzka je Markov reťazec s

Štúdium niektorých fyzikálnych modelov nás vedie k úvahe o náhodných prechádzkach na množine nezáporných celých čísel. Takéto procesy je možné klasifikovať na základe vlastností nulového stavu. Nech je náhodná prechádzka opísaná maticou (2.2). Ak (a teda aj ), tak nulový stav má vlastnosti reflexnej clony. Vždy, keď častica dosiahne nulový stav, v dôsledku ďalšieho prechodu sa dostane do stavu 1. To zodpovedá situácii, keď je v nule elastická stena a častica sa od nej odrazí bez akýchkoľvek zvyškových efektov.

Ak sa potom nulový stav správa ako absorbujúca obrazovka. Keď je častica v nulovom stave, zostáva

v ňom navždy. Ak potom nulový stav je čiastočne reflexná obrazovka.

Ak je náhodná prechádzka obmedzená na konečný počet stavov, povedzme oba extrémne stavy 0 a a, nezávisle a v akejkoľvek kombinácii môžu byť reflexné, absorbujúce alebo čiastočne reflexné obrazovky. Už sme sa zaoberali prípadom, keď sa stavy 0 a a absorbovali [viď (2.3)].

Klasickým modelom difúzie cez membránu je model Ehrenfest. Model je opísaný ako proces náhodnej chôdze s konečným počtom stavov, pričom krajné stavy a a a sú reflexné obrazovky. Matica pravdepodobnosti prechodu je špecifikovaná takto:

Fyzikálna interpretácia tohto modelu je nasledovná. Sú tam dve urny obsahujúce spolu 2a loptičky. Predpokladajme, že urna A obsahuje gule. Pri každom pokuse sa náhodne vyberie jedna loptička a prenesie sa do inej urny; Navyše, každá z loptičiek má rovnakú pravdepodobnosť pohybu ako všetky ostatné, bez ohľadu na to, v ktorej urne sa nachádza. Každý test vedie k zmene stavu 1) systému. Charakteristický smer pre pohyb loptičiek bude od urny s vyššou koncentráciou po urnu s nižšou koncentráciou. Model Ehrenfest môže byť v niektorých prípadoch použitý na výskum fyzické systémy, vplyvom vratných síl, ktorých veľkosť je úmerná vzdialenosti od rovnovážnej polohy.

Klasická symetrická -rozmerná náhodná prechádzka je definovaná nasledovne. Stavový priestor procesu je celočíselná mriežka v (n-rozmernom euklidovskom priestore), ktorej body sú množiny celých čísel v tvare Prechodové pravdepodobnosti sú definované nasledovne:

Podobne ako v jednorozmernom prípade je -rozmerná symetrická náhodná prechádzka diskrétnym analógom -rozmerného Brownovho pohybu.

Opis pohybu častice v určitom fázovom priestore pod vplyvom nejakého náhodného mechanizmu. Fázový priestor je v ňom zvyčajne d-rozmerný alebo celočíselný. Náhodné mechanizmy môžu byť rôzne; Častejšie sa uvažuje o systémoch generovaných súčtom nezávislých náhodných premenných alebo Markovových reťazcov. Presná všeobecne akceptovaná definícia S. b. Nie
Trajektórie prvokov S. b. v prípade d=l sú opísané počiatočnou pozíciou S 0 =0 a postupnosťou súčtov

Kde X i sú nezávislé a majú Bernoulliho

Význam S n možno interpretovať ako výhru jedného z dvoch hráčov po p-hrách v hre, v ktorej tento hráč s pravdepodobnosťou vyhrá jeden rubeľ v každej z hier . a prehrá ho s pravdepodobnosťou 1- R. Ak sa hra hrá hádzaním symetrickej mince, mali by ste dať p = 1/2 ( symetrická chôdza, cm. Bernoulliho prechádzka). Za predpokladu, že počiatočný kapitál prvého hráča je rovný b a počiatočný kapitál druhého hráča je rovný a, hra sa skončí, keď sa blúdiaca častica (so súradnicami S 1, S 2, ...) prvýkrát dotkne jedna z úrovní a alebo -b. V tomto prípade jeden z hráčov skrachuje. Táto klasika problém skazy, v ktorom možno bariéry v bodoch a a -b považovať za pohlcujúce.
V aplikáciách súvisiacich s teória radenia,častica v blízkosti bariér a a -b=0 sa môže správať odlišne: napríklad ak a=, b=0, potom pozícia Z n+1 putujúca častica v momente n+1 podľa (1) je opísaná vzťahom

a bariéru v bode 0 možno nazvať. zdržiavanie. Existujú aj iné možnosti správania sa častíc v blízkosti bariér.
Ak a = potom dostanú úlohy pre S. b. s jedným okrajom. Ak a=b= potom dostanú neobmedzené S. b. Štúdium opísaného S. b. sa zvyčajne vyskytuje pomocou aparátu diskrétnych Markovových reťazcov a najmä štúdiom zodpovedajúcich konečných diferenčných rovníc. Nech napr. u k je zmarenie 1. hráča v probléme krachu, ak sa jeho kapitál rovná k, a celkový kapitál oboch hráčov je pevný a rovnaký a+b. Potom zo vzorca plná pravdepodobnosť(z prvého skoku) z toho vyplýva a k spĺňa rovnicu

A hraničné podmienky u a=0, u-b= 1. Odtiaľto dostaneme

Druhý z týchto vzorcov ukazuje, že aj tie neškodné

Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pozrite si, čo je „RANDOM WALK“ v iných slovníkoch:

Teória náhodnej chôdze, teória, v ktorej zmeny hodnoty cenných papierov náhodne kolíšu okolo ich objektívnej ceny, je v protiklade s teóriou technickej analýzy. Obsah 1 Jednorozmerná diskrétna náhodná prechádzka ... Wikipedia

náhodná prechádzka- atsitiktinis klajojimas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. náhodná prechádzka vok. zufällige Irrfahrt, f; zufällige Schrittfolge, f rus. náhodná prechádzka, n pranc. chémia aléatoire, m; chyba, f; marche aléatoire, f … Fizikos terminų žodynas

Náhodná prechádzka generovaná Bernoulliho pokusmi. Na príklade B. b. Je možné vysvetliť určité základné črty všeobecnejších náhodných prechádzok. Najmä už v tomto najjednoduchšia schéma javia sa vlastnosti náhodnosti, paradoxné z hľadiska... ... Matematická encyklopédia

Problém s ruinami hráča je problém z oblasti teórie pravdepodobnosti. Podrobne to zvážil ruský matematik A. N. Shiryaev v monografii „Pravdepodobnosť“ ... Wikipedia

Hra, ktorá má charakter procesu odohrávajúceho sa v diskrétnom čase na stromovej usporiadanej množine (nazývanej aj strom). Záverečná P. a. volal systém, kde 1) I je množina hráčov (|I| = n); 2) X je konečný strom, ktorého vrcholy sa nazývajú... ... Matematická encyklopédia

Homogénny Markovov proces X(t), kde T je aditívna podpolgrupa reálnej osi R s hodnotami v topológii. priestor. s topológiou a Borelovou algebrou prechodová funkcia P(t, x, B), ktorá má určitú vlastnosť plynulosti... Matematická encyklopédia

Tento výraz má iné významy, pozri Monte Carlo (významy). Metóda Monte Carlo (metódy Monte Carlo, MMK) spoločný názov skupiny numerických metód založených na získavaní veľkého počtu realizácií stochastických (náhodných) ... ... Wikipedia

Metóda Monte Carlo (metódy Monte Carlo, MMK) je všeobecný názov skupiny numerických metód založených na získavaní veľkého počtu realizácií stochastického (náhodného) procesu, ktorý je tvorený tak, že jeho pravdepodobnostné ... . .. Wikipedia

Chaotický pohyb Brownových častíc v kvapaline alebo plyne je príkladom náhodných prechádzok. Teóriu Brownovho pohybu vypracovali A. Einstein a M. Smoluchowski v rokoch 1905 - 1906.

Problém náhodnej chôdze je jedným zo široko študovaných problémov v teórii pravdepodobnosti a má mnoho ďalších aplikácií.

6.1. Vzory náhodných prechádzok

Vzorce náhodných prechádzok možno pochopiť pomocou jednoduchý model, ktorý sa jednoducho implementuje pomocou počítača.

N častíc (ktoré sú v počiatočnom momente pre uľahčenie pozorovania rozmiestnené na osi y) sa premiestňuje v postupných krokoch ∆x pozdĺž osi x. Každý krok každej častice je vybraný náhodne a nezávisle od ostatných krokov. Rozdelenie pravdepodobnosti pre výber ľubovoľného kroku je však rovnaké. Predpokladajme, že posuny v opačných smeroch sú rovnako pravdepodobné. To znamená, že priemerný výtlak

∆x = 0.

Význam tejto rovnosti je v tom, že aritmetický priemer posunov ∆x veľmi veľkého počtu častíc sa pri raste tohto čísla blíži k nule. Takto sa ďalej chápe priemerovanie. Niekedy sa takéto priemerné hodnoty nazývajú a priori 19. Okrem toho budeme používať „pozorované priemery“ - aritmetické priemery pre daný počet častíc (zvyčajne veľmi veľký). „Pozorovaný priemer“ posunutia častice ∆x n je malý, ale nerovná sa nule.

Po každom kroku sa častice „rozšíria“ od osi y. Nech x(k) označuje súradnicu určitej častice po k krokoch. Potom

x (k + 1) =x (k) + ∆x.

Spriemerovaním tejto rovnosti (opäť nad množinou častíc) dostaneme

x (k + 1) =x (k),

tie. priemerná hodnota x (k) sa z kroku na krok nemení, a preto sa rovná x (0) = 0. Pozorovaná hodnota x n pre veľký počet častíc

	x(k)n=N
			1 x j (k)

Predtým sme predpokladali, že pravdepodobnosť získania hláv je 1/2.

bude blízko nule (tu x j je súradnica j-tej častice)20.

Šírka prúžku, pozdĺž ktorého sú častice rozložené po k-tom kroku, môže byť vhodne charakterizovaná hodnotou x 2 (k). Aby sme zistili závislosť tejto hodnoty od počtu krokov, urobme druhú mocninu (2) a priemer:

x 2 (k + 1) =x 2 (k) + 2x (k)∆x + (∆x)2.

Vďaka nezávislosti x(k) a ∆x máme

x (k)∆x =x (k) ∆x = 0.

Označme (∆x )2 =a 2 . Z (4) vyplýva

x 2 (k + 1) = x 2 (k) + a 2,

tie. stredná druhá mocnina súradníc sa každým krokom zvyšuje o hodnotu a 2 . znamená,

x2 (k) = ka2.
Pozorovaná hodnota
	n =		xj 2

sa mení približne v pomere k počtu krokov.

Rozloženie častíc v nimi obsadenom pásme bližšie charakterizuje distribučná funkcia f (x), ktorá určuje koncentráciu častíc dW = f (x)dx;

– pravdepodobnosť, že súradnica j-tej častice po k-tom kroku bude v intervalex ≤ x j ≤ x +dx. Teória náhodnej chôdze dáva pre dostatočne veľký počet krokov Gaussovo rozdelenie

	f(x) =
		√ 2 πka2

Pozorovaná distribučná funkcia sa získa rozdelením osi x na konečné intervaly a spočítaním počtu častíc v každom z nich. Výsledok výpočtu je prezentovaný graficky ako stupňovitá krivka – histogram (obr. 7).

Venujme pozornosť jednej vlastnosti závislosti (5). Ak časové kroky zväčšíme l-krát, potom nasleduje priemerná štvorec posunutia pre jeden krok 2 v súlade s

						K/l. Nakoniec
V súlade s bodom (5) nahradiť sa					A počet krokov k – nak
	(k) = la	k/l = a	k, t.j. typ závislosti (5) sa pri zväčšení nemení

20 Pre daný počet častíc N to platí aj pre nie veľká miestnosť kroky

Ryža. 7. Distribúcia častíc počas difúzie (histogram a teoretická krivka)

6.2. Odhad parametrov pohybu Brownovej častice v kvapaline

Uveďme odhady pre skutočný Brownov pohyb. Priemerná rýchlosť chaotického pohybu Brownovej častice v T sa určuje rovnakým spôsobom ako priemerná rýchlosť molekuly, pomer

Ak je rýchlosť častice blízka tepelnej, v v T , potom je sila prirodzene oveľa menšia a jej odchýlky od priemernej hodnoty −αv sú veľmi významné.

21 Pre guľu s polomerom R v kvapaline s koeficientom viskozity η podľa Stokesovho zákona

a = 6 πηR.

Práve tieto odchýlky sú zodpovedné za nepretržitý chaotický pohyb častice. Ak hovoríme o o takomto pohybe, potom τ z (9) možno chápať ako odhad času, po ktorom častica „zabudne“ počiatočný smer pohybu. Rovnaká hodnota však poskytuje hrubý odhad časového intervalu, počas ktorého si častica „pamätá“ smer pohybu. (Na odhad doby „zaručeného zabudnutia“ by sa možno oplatilo vziať 2τ a na odhad doby zaručeného zachovania smeru τ/ 2, ale nás nezaujímajú „zaručené“ časy, ale priemerné časy, takže budeme predpokladať, že koeficienty sú 2, 1/2 atď. ležia nad rámec akceptovanej presnosti odhadov.)

Počas času τ sa častica pohybuje po dráhe rovnakej veľkosti

a vT τ.

Posuny častíc v rôznych časových intervaloch rádovo τ môžeme považovať za náhodné, podobne ako predtým uvažované ∆x, len smerujúce nie pozdĺž osi x, ale v ľubovoľnom smere (napríklad ako tri súčasné a nezávislé posuny pozdĺž troch súradnicové osi). Pohyb častice v čase t τ možno rozdeliť na k t/τ takýchto krokov. Posun častice za čas t sa odhaduje analogicky s (5):

		(t)ka(vT τ)
Tento výsledok je zvyčajne prezentovaný vo formulári
		r2 (t) = 6 D t,

kde D je koeficient difúzie22. Berúc do úvahy (8), (9), (11)

D k α B T. (13)

Ak sa najprv častice koncentrovali v nejakom malom objeme, potom sa časom šírili ďalej a ďalej a zaberali plochu veľkosti r(t).

Vzťahy tvaru (12), (13), ktoré získali Einstein a Smoluchowski, slúžili ako základ pre Perrinove experimenty, počas ktorých sa určovala hmotnosť atómov a ktoré boli „vedeckou komunitou“ prijaté ako presvedčivý dôkaz o existencii atómov. .

Vyššie opísané vzory by sa mali chápať ako obmedzujúci prípad zodpovedajúci pozorovaniu nekonečného počtu častíc. Implementácia náhodných prechádzok konečného počtu častíc vykonávajúcich Brownov pohyb (reálny alebo „počítačový“) demonštruje len približné naplnenie týchto vzťahov.

22 Pre náhodné prechádzky v smere osi x máme namiesto (12) x 2 (t) = 2 D t.