Symetrická náhodná chôdza. Experiment: Čo hovorí hypotéza náhodnej prechádzky o prognózovaní finančných trhov

Ostatné sekcie

Slovo "trigonometria" prvýkrát nájdený (1505) v názve knihy nemeckého teológa a matematika Pitiscusa. Pôvod tohto slova je grécky: xpiyrovov - trojuholník, tsetreso - miera. Inými slovami, trigonometria je veda o meraní trojuholníkov. Hoci tento názov vznikol relatívne nedávno, mnohé pojmy a fakty súvisiace s trigonometriou boli známe už pred dvetisíc rokmi.

Koncept má dlhú históriusínus V skutočnosti sa už v 3. storočí našli rôzne pomery úsečiek trojuholníka a kružnice (a v podstate goniometrické funkcie). BC e. v dielach veľkých matematikov Staroveké Grécko- Euklides, Archimedes, Apollonius z Pergy. V dobe rímskej už tieto vzťahy celkom systematicky skúmal Menelaos (1. storočie n. l.), hoci osobitné pomenovanie nezískali.

V nasledujúcom období matematika na dlhú dobu najaktívnejšie vyvinuté indickými a arabskými vedcami. V storočiach IV-V. sa objavila najmä už osobitný termín v prácach o astronómii veľkého indického vedca Aryabhata (476 - asi 550), po ktorom je pomenovaný prvý indický satelit Zeme. Segment nazval ardhajiva.

Neskôr viac ako krátke meno jiva. Arabskí matematici v 9. storočí. slovo jiva (alebo džiba) bolo nahradené arabským slovom jaib (konvexnosť). Pri prekladoch arabských matematických textov v 12. stor. toto slovo bolo nahradené latinčinousínus (sínus - ohyb, zakrivenie).

Slovo kosínus je oveľa mladšie.Kosínus - toto je skratka latinský výraz komplementárny sínus, t. j. „prídavný sínus“ (alebo inak „sínus prídavného oblúka“; pamätajte na cos a = sin (90° - a)).

Tangenty vznikol v súvislosti s riešením problému určenia dĺžky tieňa. Tangenta (rovnako ako kotangens, sekanta a kosekans) bola zavedená v 10. storočí. Arabský matematik Abul-Wafa, ktorý zostavil prvé tabuľky na hľadanie dotyčníc a kotangens. Tieto objavy však zostali pre európskych vedcov dlho neznáme a tangenty boli znovu objavené v 14. storočí. najprv anglickým vedcom T. Braverdinom, neskôr nemeckým matematikom a astronómom Regiomontanom (1467).

Názov „tangens“, ktorý pochádza z latinského tanger (dotýkať sa), sa objavil v roku 1583. Tangens sa prekladá ako „dotýkajúci sa“ (dotyková čiara je dotyčnica k jednotkový kruh).

Moderné označeniaarcsin a arctg sa objavujú v roku 1772 v dielach viedenského matematika Scherfera a slávneho francúzskeho vedca Lagrangea, hoci o niečo skôr o nich uvažoval už J. Bernoulli, ktorý používal inú symboliku. Ale tieto symboly sa stali všeobecne akceptovanými až na konci XVIII storočia. Predpona „oblúk“ pochádza z latinčiny arcus(luk, oblúk), čo je celkom v súlade s významom tohto pojmu: napríklad arcsin x je uhol (a dalo by sa povedať oblúk), ktorého sínus sa rovná x.

Po dlhú dobu sa trigonometria rozvíjala ako súčasť geometrie. Azda najväčšie podnety pre rozvoj trigonometrie vznikli v súvislosti s riešením problémov astronómie, o ktoré bol veľký praktický záujem (napríklad pri riešení úloh určenia polohy lode, predpovedania zatmení a pod.).

Astronómovia sa zaujímali o vzťahy medzi stranami a uhlami sférických trojuholníkov tvorených veľkými kruhmi ležiacimi na guli.

V každom prípade v geometrický tvar mnoho trigonometrických vzorcov bolo objavených a znovuobjavených starovekými gréckymi, indickými a arabskými matematikmi. (Pravdaže, rozdielové vzorce goniometrické funkcie sa stali známymi až v 17. storočí – vyvinul ich anglický matematik Napier na zjednodušenie výpočtov pomocou goniometrických funkcií. A prvá kresba sínusovej vlny sa objavila v roku 1634)

Zásadný význam malo zostavenie prvej tabuľky sínusov C. Ptolemaia (dlho sa tomu hovorilo tabuľka akordov): objavil sa praktický prostriedok na riešenie množstva aplikovaných problémov, predovšetkým problémov astronómie.

Modernú formu trigonometrie dal najväčší matematik 18. storočiaL . Euler(1707-1783), rodom Švajčiar, dlhé roky pôsobil v Rusku a bol členom Petrohradskej akadémie vied. Bol to Euler, ktorý ako prvý predstavil známe definície goniometrických funkcií, začal uvažovať o funkciách ľubovoľného uhla a získal redukčné vzorce. To všetko je malý zlomok toho, čo dlhý život Eulerovi sa v matematike podarilo dosiahnuť veľa: napísal viac ako 800 prác a dokázal mnoho teorémov, ktoré sa stali klasickými a ktoré sa týkajú rôznych oblastí matematiky. (Napriek tomu, že Euler stratil zrak v roku 1776, on posledné dni pokračoval v diktovaní stále nových a nových diel.)

Po Eulerovi nadobudla trigonometria formu kalkulu: rôzne fakty sa začali dokazovať formálnou aplikáciou trigonometrických vzorcov, dôkazy sa stali oveľa kompaktnejšími a jednoduchšími.

Rozsah trigonometrie pokrýva najviac rôznych oblastiach matematika, niektoré úseky prírodných vied a techniky.

Trigonometria má niekoľko odrôd:

Sférická trigonometria sa zaoberá štúdiom sférických trojuholníkov.


Priamočiara alebo rovinná trigonometria zvyčajne študuje trojuholníky.

Starovekí grécki a helenistickí vedci výrazne rozvinuli trigonometriu. V dielach Euklida a Archimeda je však trigonometria prezentovaná v geometrický tvar. Vety o dĺžke akordu sú aplikované na zákony sínusov. A Archimedova veta na delenie akordov zodpovedá vzorcom pre sínus súčtu a rozdielu uhlov.

V súčasnosti používajú matematici nový vstup známe vety, napríklad sin α/ sin β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Vraj boli zostavené prvé trigonometrické tabuľky Hipparchos z Nicaea, ktorý je právom považovaný za „otca trigonometrie“. Pripisuje sa mu vytvorenie súhrnnej tabuľky veľkostí oblúkov a tetiv pre sériu uhlov. Navyše to bol Hipparchos z Nicaea, ktorý ako prvý začal používať 360° kruh.

Klaudius Ptolemaios výrazne rozvinul a rozšíril učenie Hipparcha. Ptolemaiova veta stavy: súčet súčinov protiľahlých strán cyklického štvoruholníka sa rovná súčinu uhlopriečok. Dôsledkom Ptolemaiovej vety bolo pochopenie ekvivalencie štyroch súčtových a rozdielových vzorcov pre sínus a kosínus. Okrem toho Ptolemaios odvodil vzorec pre polovičný uhol. Ptolemaios využil všetky svoje výsledky pri zostavovaní trigonometrických tabuliek. Žiaľ, dodnes sa nezachovala ani jedna autentická trigonometrická tabuľka Hipparcha a Ptolemaia.

Trigonometrické výpočty našli svoje uplatnenie takmer vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky a inžinierstva.
Pomocou trigonometrie (triangulačnej techniky) môžete merať vzdialenosti medzi hviezdami, medzi orientačnými bodmi v geografii a ovládať satelitné navigačné systémy.

Trigonometria sa úspešne používa v navigačnej technike, hudobnej teórii, akustike, optike a analýze finančné trhy, elektronika, teória pravdepodobnosti, štatistika, biológia a medicína, chémia a teória čísel (kryptografia), seizmológia, meteorológia, oceánológia, kartografia, topografia a geodézia, architektúra a fonetika, strojárstvo a počítačová grafika e.

TRIGONOMETRIA– (z gréckeho trigwnon – trojuholník a meterw – miera) – matematická disciplína, ktorá študuje vzťahy medzi uhlami a stranami trojuholníkov a goniometrickými funkciami.

Termín „trigonometria“ zaviedol v roku 1595 nemecký matematik a teológ Bartolomej Pitiscus, autor učebnice trigonometrie a trigonometrických tabuliek. Do konca 16. stor. Väčšina goniometrických funkcií už bola známa, hoci samotný koncept ešte neexistoval.

V trigonometrii existujú tri typy vzťahov: 1) medzi samotnými goniometrickými funkciami; 2) medzi prvkami rovinného trojuholníka (trigonometria v rovine); 3) medzi prvkami guľového trojuholníka, t.j. postava vytesaná do gule tromi rovinami prechádzajúcimi jej stredom. Trigonometria začala presne tou najzložitejšou, sférickou časťou. Vznikol predovšetkým z praktických potrieb. Starovekí ľudia pozorovali pohyb nebeských telies. Vedci spracovali namerané údaje, aby udržiavali kalendár a správne určili čas začiatku siatia a zberu a dátumy náboženských sviatkov. Hviezdy slúžili na výpočet polohy lode na mori alebo smeru pohybu karavany v púšti. Pozorovania na hviezdna obloha Od nepamäti viedli aj astrológovia.

Prirodzene, všetky merania súvisiace s umiestnením svietidiel na oblohe sú nepriame merania. Priame čiary sa dali kresliť len na povrch Zeme, no ani tu nebolo vždy možné priamo určiť vzdialenosť medzi niektorými bodmi a potom sa opäť uchýlilo k nepriamym meraniam. Napríklad výšku stromu vypočítali porovnaním dĺžky jeho tieňa s dĺžkou tieňa od nejakého stĺpa, ktorého výška bola známa. Veľkosť ostrova v mori bola vypočítaná podobným spôsobom. Takéto problémy vyplývajú z analýzy trojuholníka, v ktorom sú niektoré jeho prvky vyjadrené prostredníctvom iných. Toto robí trigonometria. A keďže hviezdy a planéty boli zastúpené starovekými ako body na nebeská sféra, potom sa ako prvá začala rozvíjať sférická trigonometria. Bol považovaný za odvetvie astronómie.

A všetko to začalo veľmi dávno. Prvé fragmentárne informácie o trigonometrii sa zachovali na klinových tabuľkách starovekého Babylonu. Astronómovia Mezopotámie sa naučili predpovedať polohu Zeme a Slnka a práve od nich sa k nám dostal systém merania uhlov v stupňoch, minútach a sekundách, pretože Babylončania prijali šesťdesiatkový číselný systém.

Prvý však skutočne dôležité úspechy patria k starovekým gréckym vedcom. Napríklad 12. a 13. veta z druhej knihy Začal Euklides (koniec 4. – 3. storočia pred Kristom) v podstate vyjadruje kosínusovú vetu. V 2. stor. BC. astronóm Hipparchos z Nicaea (180 – 125 pred Kr.) zostavil tabuľku na určenie vzťahov medzi prvkami trojuholníkov. Takéto tabuľky sú potrebné, pretože hodnoty goniometrických funkcií nemožno vypočítať z ich argumentov pomocou aritmetických operácií. Goniometrické funkcie bolo potrebné vopred vypočítať a uložiť do tabuliek. Hipparchos vypočítal dĺžku tetiv v kruhu daného polomeru, zodpovedajúcej všetkým uhlom od 0 do 180°, násobkom 7,5°. V podstate ide o tabuľku sínusov. Diela Hipparcha sa k nám nedostali, ale mnohé informácie z nich sú zahrnuté Almagest(II. storočie) - slávne dielo v 13 knihách gréckeho astronóma a matematika Claudia Ptolemaia († asi 160 n. l.). Starí Gréci nepoznali sínusy, kosínusy a tangenty, namiesto tabuliek týchto veličín používali tabuľky, ktoré umožňovali nájsť tetivu kružnice pozdĺž lomeného oblúka. IN Almagest autor uvádza tabuľku dĺžok tetiv kružnice s polomerom 60 jednotiek počítaných v prírastkoch po 0,5° s presnosťou 1/3600 jednotky a vysvetľuje, ako bola táto tabuľka zostavená. Ptolemaiovo dielo slúžilo astronómom niekoľko storočí ako úvod do trigonometrie.

Aby ste pochopili, ako starí vedci zostavili trigonometrické tabuľky, musíte sa zoznámiť s Ptolemaiovou metódou. Metóda je založená na teoréme - súčin uhlopriečok štvoruholníka vpísaného do kruhu sa rovná súčtu súčinov jeho protiľahlých strán.

Nechaj A B C D vpísaný štvoruholník , AD – priemer kruhu a bod O– jeho stred (obr. 1). Ak viete, ako vypočítať uhly tetivy DOC= a DOB = b, teda strana CD a diagonálne B, potom podľa Pytagorovej vety z pravouhlých trojuholníkov ADV A ADC môže byť najdený AB a AC, a potom, podľa Ptolemaiovej vety, - B.C. = (AC· ВD – АВ· CD) /AD, t.j. tetiva zvierajúca uhol VOS= b – a. Niektoré tetivy, ako sú strany štvorca, pravidelného šesťuholníka a osemuholníka zodpovedajúce uhlom 90, 60 a 45°, sa dajú ľahko určiť. Známa je aj strana pravidelného päťuholníka, ktorý zviera oblúk 72°. Vyššie uvedené pravidlo vám umožňuje vypočítať tetivy pre rozdiely týchto uhlov, napríklad pre 12° = 72° – 60°. Okrem toho môžete nájsť tetivy polovičných uhlov, ale to nestačí na výpočet toho, čomu sa rovná tetiva oblúka 1°, už len preto, že všetky tieto uhly sú násobky 3°. Pre akord 1° našiel Ptolemaios odhad, ktorý ukazuje, že je to viac ako 2/3 akordu (3/2)° a menej ako 4/3 akordu (3/4)° - dve čísla, ktoré sa zhodujú s dostatočným presnosť pre jeho tabuľky.

Ak Gréci vypočítali akordy z uhlov, potom indickí astronómovia v dielach 4.–5. prešiel na polstruny dvojitého oblúka, t.j. presne na sínusové čiary (obr. 2). Použili tiež čiary kosínusu - alebo skôr nie samotného kosínusu, ale "obráteného" sínusu, ktorý neskôr dostal v Európe názov "sínus verzus"; teraz sa táto funkcia rovná 1 - cos a, už sa nepoužíva. Následne rovnaký prístup viedol k definícii goniometrických funkcií z hľadiska pomerov strán pravouhlého trojuholníka.

Na jednotku merania segmentov MP,OP,PA bola urobená oblúková minúta. Takže sínusová čiara oblúka AB= 90° áno O.B.– polomer kruhu; oblúk AL, rovný polomeru, obsahuje (zaokrúhlené) 57°18" = 3438".

Tí, ktorí sa k nám dostali Indické stoly sínusy (najstaršie boli zostavené v 4.–5. storočí nášho letopočtu) nie sú také presné ako ptolemaiovské; sú zložené v 3°45" intervaloch (t.j. v 1/24 kvadrantového oblúka).

Pojmy „sínus“ a „kosínus“ pochádzajú od Indov, no nie bez zvláštneho nedorozumenia. Indiáni nazývali polovičný akord „ardhajiva“ (v preklade zo sanskrtu „polovica tetivy“) a potom toto slovo skrátili na „jiva“. Moslimskí astronómovia a matematici, ktorí získali vedomosti o trigonometrii od Indov, to vzali ako „džiba“ a potom sa zmenilo na „jaib“, čo v arabčine znamená „konvexnosť“, „sínus“. Napokon v 7. stor. "jibe" bolo doslovne preložené do latinčiny ako "sinus" , čo nemalo nič spoločné s pojmom, ktorý označuje. Sanskrtské „kotijiva“ je sínus zvyšku (do 90°) a v latinčine je to sinus komplementi, t.j. sínusový doplnok, v 17. stor. skrátené na slovo "kosínus". Názvy „tangenta“ a „sekant“ (v preklade z latinčiny znamená „tangens“ a „sekant“) zaviedol v roku 1583 nemecký vedec Fink.

Arabskí vedci, ako Al-Battani (asi 900 n. l.), výrazne prispeli k rozvoju trigonometrie. V 10. storočí Bagdadský vedec Muhammad z Bujanu, známy ako Abu-l-Vefa (940 – 997), pridal k čiaram sínusov a kosínov línie dotyčníc, kotangens, sekans a kosekans. Dáva im rovnaké definície, aké sú obsiahnuté v našich učebniciach. Abul-Vefa tiež stanovuje základné vzťahy medzi týmito líniami.

Takže do konca 10. storočia. vedci z islamského sveta už operovali spolu so sínusom a kosínusom so štyrmi ďalšími funkciami – tangens, kotangens, sekanta a kosekans; objavil a dokázal niekoľko dôležitých teorém rovinnej a sférickej trigonometrie; použil kruh s jednotkovým polomerom (čo umožnilo interpretovať goniometrické funkcie v moderný zmysel); vynašiel polárny trojuholník guľového trojuholníka. Arabskí matematici zostavili presné tabuľky, napríklad tabuľky sínusov a dotyčníc s krokom 1" a presnosťou 1/700 000 000. Veľmi dôležitá aplikovaná úloha bola táto: naučiť sa určiť smer do Mekky pre päť denných modlitieb, kdekoľvek moslim bol.

Zvlášť veľký vplyv mal na rozvoj trigonometrie. Pojednanie o úplnom štvoruholníku astronóm Nasir-ed-Din z Tusu (1201 – 1274), známy aj ako at-Tusi. Toto bolo prvé dielo na svete, v ktorom sa trigonometria považovala za nezávislú oblasť matematiky.

V 12. storočí bol presunutý z arabčina k sérii latinských astronomických diel, z ktorých sa Európania prvýkrát zoznámili s trigonometriou.

Nasir-ed-Dinovo pojednanie urobilo veľký dojem na nemeckého astronóma a matematika Johanna Mullera (1436–1476). Jeho súčasníci ho lepšie poznali pod menom Regiomontana (v preklade do Latinský názov jeho rodné mesto Koenigsberg, teraz Kaliningrad). Regiomontan zostavil rozsiahle tabuľky sínusov (za 1 minútu, presné na siedmu významná postava). Prvýkrát sa odchýlil od šesťdesiatkového delenia polomeru a ako mernú jednotku pre sínusovú čiaru vzal jednu desaťmilióntinu polomeru. Sínusy boli teda vyjadrené ako celé čísla a nie ako šesťdesiatkové zlomky. Pred predstavením desatinné miesta Zostával už len jeden krok, no trvalo to viac ako 100 rokov. Labor Regiomontana Päť kníh o trojuholníkoch všetkého druhu zohralo rovnakú úlohu v európskej matematike ako dielo Nasir-ed-Dina vo vede moslimských krajín.

Po tabuľkách Regiomontanus nasledovalo množstvo ďalších, ešte podrobnejších. Kopernikov priateľ Rheticus (1514–1576) spolu s niekoľkými pomocníkmi pracoval 30 rokov na tabuľkách, ktoré dokončil a vydal v roku 1596 jeho žiak Otto. Uhly prechádzali cez 10 "" a polomer bol rozdelený na 1 000 000 000 000 000 častí, takže sínusy mali 15 správnych číslic.

Ďalší vývoj trigonometrie sa uberal cestou hromadenia a systematizácie vzorcov, objasňovania základných pojmov, rozvoja terminológie a notácie. Mnoho európskych matematikov pracovalo v oblasti trigonometrie. Medzi nimi sú takí veľkí vedci ako Mikuláš Koperník (1473 – 1543), Tycho Brahe (1546 – ​​1601) a Johannes Kepler (1571 – 1630). François Viète (1540–1603) doplnil a systematizoval rôzne prípady riešenia rovinných a sférických trojuholníkov, objavil „plochú“ kosínusovú vetu a vzorce pre goniometrické funkcie viacerých uhlov. Isaac Newton (1643–1727) rozšíril tieto funkcie do sérií a pripravil pôdu pre ich použitie v matematickej analýze. Leonhard Euler (1707 – 1783) zaviedol samotný pojem funkcie aj dnes akceptovanú symboliku. Množstvá hrešia X,cos X atď. považoval ich za funkcie čísel X– miera radiánu príslušného uhla. Euler dal číslo X všetky druhy významov: pozitívne, negatívne a dokonca komplexné. Objavil tiež súvislosť medzi goniometrickými funkciami a exponentom zložitého argumentu, čo umožnilo premeniť početné a často veľmi zložité goniometrické vzorce na jednoduché dôsledky pravidiel pre sčítanie a násobenie komplexných čísel. Zaviedol aj inverzné goniometrické funkcie.

Do konca 18. stor. trigonometria ako veda sa už formovala. Goniometrické funkcie našli uplatnenie v matematickej analýze, fyzike, chémii, inžinierstve - všade tam, kde sa človek musí vysporiadať s periodickými procesmi a osciláciami - či už ide o akustiku, optiku alebo výkyvy kyvadla.

Riešenie akýchkoľvek trojuholníkov nakoniec vedie k riešeniu pravouhlých trojuholníkov (t. j. tých, v ktorých je jeden z uhlov pravý uhol). Pretože všetky pravouhlé trojuholníky s daným ostrým uhlom sú si navzájom podobné, pomery ich príslušných strán sú rovnaké. Napríklad v pravouhlom trojuholníku ABC pomer jeho dvoch strán, napríklad noha A do prepony s, závisí napríklad od veľkosti jedného z ostrých uhlov A. Pomery rôznych dvojíc strán pravouhlého trojuholníka sa nazývajú goniometrické funkcie jeho ostrý uhol. Takýchto vzťahov je v trojuholníku šesť a zodpovedá im šesť goniometrických funkcií (označenie strán a uhlov trojuholníka na obr. 3).

Pretože A + IN= 90°, potom

hriech A=cos B= cos(90° – A),

A=ctg B= ctg (90° – A).

Z definícií vyplýva niekoľko rovníc, ktoré navzájom spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla:

Berúc do úvahy Pytagorovu vetu a 2 + b 2 = c 2, môžete vyjadriť všetkých šesť funkcií iba jednou. Napríklad sínus a kosínus sú spojené základnou trigonometrickou identitou

hriech 2 A+ pretože 2 A = 1.

Niektoré vzťahy medzi funkciami:

Tieto vzorce sú tiež platné pre goniometrické funkcie akéhokoľvek uhla, ale musia sa používať opatrne, pretože pravá a ľavá strana môžu mať rôzne oblasti definície.

Existujú iba dva pravouhlé trojuholníky, v ktorých sú oba uhly „dobré“ (vyjadrené v celom čísle alebo racionálnom počte stupňov) a aspoň jeden z pomerov strán je racionálny. Ide o rovnoramenný trojuholník (s uhlami 45, 45 a 90°) a pol rovnostranný trojuholník(s uhlami 30, 60, 90°) - to sú presne dva prípady, kedy je možné hodnoty goniometrických funkcií vypočítať priamo z definície. Tieto hodnoty sú uvedené v tabuľke

Ušakovov slovník

Trigonometria

trigonómia trigonómia, trigonometria, pl. nie, manželky(od grécky trigonos - trojuholník a meter - miera) ( mat.). Katedra geometrie o vzťahoch medzi stranami a uhlami trojuholníka.

encyklopedický slovník

Trigonometria

(z gréckeho trigonon - trojuholník a... geometria), odvetvie matematiky, v ktorom sa študujú goniometrické funkcie a ich aplikácie na geometriu.

Ozhegovov slovník

TRIGON E TRIA, a a. Odvetvie matematiky, ktoré študuje vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníka.

| adj. trigonometrické, oh, oh.

Efremovej slovník

Trigonometria

a.
Odvetvie matematiky, ktoré študuje goniometrické funkcie a ich aplikáciu
riešenie problémov.

Encyklopédia Brockhausa a Efrona

Trigonometria

Vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníkov (pozri) sú vyjadrené pomocou špeciálneho druhu funkcií, tzv. trigonometrické. Tieto funkcie majú špeciálne názvy: sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens, sekanta A kosekant.

Predpokladajme, že ak vezmeme pointu O za stredom, polomer OA popíšeme oblúk AB. Bodka A volal začiatok oblúky AB, bod IN - koniec oblúky AB. Predstavme si uhol AOB, ktorého vrchol je v bode O, a strany prechádzajú cez body A A IN. Pri zmene polomeru OA oblúk AB, ohraničené stranami daného uhla, mení, ale pomer AB/OA zostáva nezmenený. Tento postoj slúži opatrenie daný uhol. Pretože rovnaké uhly môžu byť vykreslené pozdĺž rôzne strany rovno OA, potom, aby rozlíšili jeden uhol od druhého, súhlasili s vyjadrením jedného z uhlov ako kladného čísla a druhého ako záporného čísla. Ak oblúky AB A AB", popísané polomerom OA sú rovnaké, potom uhol AOB rovný uhlu AOB". Ak napr AB/OA = 1/3 , potom súhlasíme s tvrdením, že uhol AOB rovná sa 1/3 a ten uhol AOB" rovná sa ( - 1/3) . Každé abstraktné číslo (kladné alebo záporné) teda zodpovedá veľmi špecifickému uhlu. Ak sme od konca oblúka IN zhodíme kolmice VR A BQ priamo OA a priamo OS, kolmo na OA, potom dostaneme segmenty ALEBO A OQ(obr. 2), ktoré sú tzv. projekcie 0V na OA a ďalej OS. Predpokladajme, že uhol AOB nemení, ale mení sa polomer OA; v tomto prípade vzťah OR/OA A OQ/OA zostávajú nezmenené.

Tu sú možné nasledujúce špeciálne prípady. Projekcia 0V na O A môže byť nasmerovaný rovnakým smerom ako segment OA alebo v opačnom smere (obr. 3).

Rovnako aj projekcia 0V na OS môže mať smer OS alebo opačným smerom (obr. 4).

Smer OS zvolený tak, aby bol rovný

rohu OS bol pozitívny. Ak uhol AOB rovná sa α , To sínus α (Sin α) názov postoj OQ/OA ak OQ má rovnaký smer ako OS. Ak OQ opačný smer OS, To

Hriech α = -OQ/OA

Postoj OP/OA názov kosínus α, (Cos α) ak ALEBO rovnakým smerom s O.A. Ak ALEBO má opačný smer s OA, To

Cos α = -OP/OA

V učebniciach T. možno nájsť dôkaz týchto vzorcov:

Sin( - α) = -Sin α, Cos ( -α) = Cos α,

Hriech (π /2 - α) = Cos α, Cos (π /2 -α) = hriech α,

Hriech (π - α) = Sin α, Cos (π - α) = -cos α,

Sin (π + α) = - Sin α, Cos (π + a) = -cos α,

Sin(2π - α) = -Sin α, Cos (2 π -α) = Cos α,

Sin (2 π + α) = Sin α, Cos (2 π + α) - Cos α.

Pomocou týchto vzorcov sa výpočet Sinα a Cosα redukuje na prípad, keď α je kladné číslo nepresahujúce π /4

Zo vzorcov

Sin (α + β) = Sin α Cosß + Cos α Sinß,

Cos (α + ß) = Cos α Cosß - Sin α Sinß

Sina + Sinb = 2Sin[(a + b)/2] Cos[(a -b)/2],

Sina- Sinb = 2Sin[(a -b)/2] Cos[(a + b)/2],

Cosa + Cosb = 2Cos[(a + b)/2] Cos[(a - b)/2],

Cosa- Cosb = 2Sin[(a + b)/2] Sin[(a -b)/2].

Funkcie Sin2α A Cos2 α sú vyjadrené prostredníctvom Hriech α A Cos α nasledujúcim spôsobom:

Sin2 α = 2Sin α Cos α,

Cos2 α = Cos 2 α - Hriech 2 α.

Vzhľadom na pomer

Cos 2 α + Sin 2 α = 1

posledný vzorec má nasledujúce formy;

Cos2a = 1 -2Sin 2 α alebo Cos2a = SCos 2 α - 1.

Tu je to napísané pre skratku Hriech 2 α A Cos 2a namiesto (Hriech α) 2 A (Cos α) 2. Goniometrické funkcie dotyčnica (tg), kotangens (ctg), sekta (s) A kosekant (cosec) sú definované takto:

tg α = Sin α /Cos α, cot α = Cos α /Sin α,

sek α = 1/Cos α, cosec α = 1/Sin α

Všimnime si niektoré vlastnosti dotyčnice.

tg(α + β) = (tg α + tan β)/(1 -tg α tg β)

tg2 α = (2tg α)/(1 - tg 2 α)

tan α /2 = Sin α /(1 + Cos α) = (1 - Cos α)/Sin α

Volajú sa goniometrické inverzné funkcie. kruhové: arksínus (arc Sin), arkozínus (arc Cos), arctangens (arc tg), arckotangens (arc ctg), arcsecant (arc sec) a arccosecant (arc cosec). Ak napr opálenie α = a, To α = oblúk tga. Pretože dané číslo a zodpovedá mnohým rôznym α , potom sme sa pre väčšiu istotu dohodli pod oblúk tga pochopiť číslo ležiace v intervale (- π /2, π /2). V tomto intervale môže mať dotyčnica akúkoľvek hodnotu. Rovnako sa predpokladá, že čísla oblúk Sina, oblúk ctga A arc coseca ležať medzi - π /2 A π /2, a čísla oblúk Cosa A arc seca medzi O A π . Goniometrické funkcie sú veľmi dôležité: objavujú sa v mnohých otázkach analýzy a geometrie. Keďže výpočty sú uľahčené pomocou logaritmov, tabuľky neobsahujú samotné goniometrické funkcie, ale ich logaritmy (pozri). Uhly v tabuľkách nie sú vyjadrené v číslach, ale v stupňoch. Ak je tento uhol rovnaký α , potom obsahuje 180 α/π stupne; 60. časť stupňa sa nazýva. minúta, a 60. časť minúty je druhý. Trigonometrické tabuľky sa počítajú pomocou radov (pozri).

Vzťahy medzi stranami a uhlami priamočiareho trojuholníka (pozri) vyjadrujú nasledujúce vzorce. Ak uhly trojuholníka označíme podľa A, IN A S, a strany oproti nim cez a, b A s, potom dostaneme

A + B + C = π,

SinA/a = SmB/b = SinC/c

a 2 = b 2 + c 2 - 2bс.CosA,

a = b.CosC + c.CosB,

tg[(Α - Β)/2] = [(a - b)/(a + b)]Ctg(C/2)

Ak je obvod trojuholníka, t.j. a + b + c pre stručnosť označujeme podľa 2p, potom dostaneme

V týchto vzorcoch má druhá odmocnina kladnú hodnotu. Ak s potom označuje oblasť trojuholníka s = 1/2(ab).Sinc alebo s = √.

Ak R polomer kružnice opísanej trojuholníku a r je polomer vpísanej kružnice, potom

R = a/(2SinA) = (abc)/(4s) A r = s/p.

Z vyššie uvedených vzorcov môžete preskupením písmen odvodiť ďalšie. Napríklad zo vzorca

A 2 = b2 + c2 - 2bс.CosA

b2 = a2 + c2 - 2ac. CosB.

Pomocou uvedených vzorcov sa zvyšné časti trojuholníka vypočítajú z týchto častí trojuholníka. Podobná úloha tzv riešenie trojuholníkov, nachádza v mnohých praktických otázkach: pri geodetických zameraniach, pri určovaní výšok, pri zisťovaní vzdialenosti medzi neprístupnými bodmi atď.

Teraz prejdeme na sférické trojuholníky. Riešenie týchto trojuholníkov je predmetom sférická trigonometria. Predpokladajme, že na povrchu gule s polomerom R nakreslí sa trojuholník, ktorého vrcholy sú A, B A S. Spojenie stredu lopty O s bodkami A, B A S, získame trojstenný uhol obsahujúci tri rovinné uhly a tri dvojstenné uhly. množstvá dihedrálne uhly, ktorého okraje sú OA, OV A OS, označovať podľa A, B A S, a veľkosti rovinných uhlov oproti nim a, b A s. Budeme predpokladať, že šesť čísel A, B, C, a, b, c vyjadrené v stupňoch a že žiadny z nich nepresahuje 180°. Medzi týmito číslami existujú tieto základné vzťahy:

Cosa = Cosb.Coсс + Sinb. Sinc. CosA,

SinA/Sina = SinB/Sinb = SinC/Sinc

Cosa.Sinb - Sina.Cosb.CosC = Sinc.CosA,

Cosa.SinB - Cosb.CosC.SinA = CosA.Sin C,

Ctga. Sinb- CtgA.SinC = Cosb.CosC,

CosA = - CosB.CosC + SinB.SinC.Cosa.

Ak a + b + c = 2p, To

Súčet uhlov guľového trojuholníka obsahuje viac ako 180°. číslo A + B + C -180° volal sférický prebytok tohto trojuholníka a označuje sa písmenom ε . Na určenie počtu stupňov obsiahnutých v jednej zo strán guľového trojuholníka, ktorého uhly sú dané, použite vzorce

Oblasť guľového trojuholníka je (π /180) ε.R 2, Kde R polomer lopty.

Lhuillierov vzorec umožňuje vypočítať sférický prebytok pozdĺž strán trojuholníka.

Ukážme tiež Delambreove vzorce:

Sin[(A + B)/2]:Cos = Cos[(a -b)/2]:Cos

Sin[(A - B)/2]:Cos = Sin[(a -b)/2]:Hriech

Cos[(A + B)/2]:Sin = Cos[(a + b)/2]:Cos

Cos[(A - B)/2]:Sin = Sin[(a + b)/2]:Sin

a na Napierových vzorcoch:

tg[(A + B)/2] = (ctg)(Cos[(a -b)/2]/Cos[(a + b)/2])

tg[(A - B)/2] = (ctg)(Sin[(a -b)/2]/Sin[(a + b)/2])

tg[(a + b)/2] = (tg)(Cos[(A - B)/2]/Cos[(A + B)/2])

tg[(a - b)/2] = (tg)(Sin[(A -B)/2]/Sin[(A + B)/2]) Z uvedených vzorcov získame nové preskupením písmen.

Vzorce sférického T. sa veľmi často používajú v astronómii.

Bez vymenovania učebníc trigonometrie poukazujeme na J. A. Serreta, „Trait é de Trigonomé trie“. Informácie o histórii T. možno nájsť v diele: Moritz Cantor, „Vorlesungen ü ber Geschichte der Mathematik“, prenesený do roku 1759 (rok Lagrangeovho narodenia). Okrem toho sa v roku 1900 objavila prvá časť diela: A. von Braunm ühl, „Vorlesungen ü ber Geschichte der Trigonometrie“, v ktorej sa približuje história T. polovica XVII tabuľky. (pred vynálezom logaritmov).

D.S.

Slovníky ruského jazyka

- -
Zvyčajne, keď chcú niekoho vystrašiť STRAŠIVOU MATEMATIKOU, uvádzajú ako príklad najrôznejšie sínusy a kosínusy, ako niečo veľmi zložité a ohavné. Ale v skutočnosti je to krásne a zaujímavá sekcia, ktoré možno pochopiť a vyriešiť.
Téma sa začína v 9. ročníku a nie vždy je všetko jasné na prvýkrát, je tam veľa jemností a trikov. Snažil som sa niečo povedať k téme.

Úvod do sveta trigonometrie:
Predtým, ako sa bezhlavo vrhnete do vzorcov, musíte z geometrie pochopiť, čo je sínus, kosínus atď.
Sínus uhla- pomer protiľahlej (uhlovej) strany k prepone.
Kosínus- pomer susednej prepony.
Tangenta- opačná strana k susednej strane
Kotangens- susediaci s protiľahlým.

Teraz zvážte kruh s polomerom jednotky na rovine súradníc a vyznačte na ňom nejaký uhol alfa: (na obrázky sa dá kliknúť, aspoň na niektoré)
-
-
Tenké červené čiary predstavujú kolmicu od priesečníka kruhu a pravý uhol na osi ox a oy. Červené x a y sú hodnotami súradníc x a y na osiach (sivé x a y len označujú, že ide o súradnicové osi a nie len čiary).
Treba poznamenať, že uhly sú vypočítané z kladného smeru osi ox proti smeru hodinových ručičiek.
Nájdime pre to sínus, kosínus atď.
sin a: opačná strana sa rovná y, prepona sa rovná 1.
sin a = y / 1 = y
Aby bolo úplne jasné, odkiaľ dostanem y a 1, pre prehľadnosť usporiadajme písmená a pozrime sa na trojuholníky.
- -
AF = AE = 1 - polomer kruhu.
Preto AB = 1 ako polomer. AB - prepona.
BD = CA = y - ako hodnota pre oh.
AD = CB = x - ako hodnota podľa oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Ďalej je kosínus:
cos a: susedná strana - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Tiež vystupujeme dotyčnica a kotangensa.
tg a = y / x = sin a / cos a
detská postieľka a = x / y = cos a / sin a
Zrazu sme odvodili vzorec pre tangens a kotangens.

Nuž, poďme sa konkrétne pozrieť na to, ako sa to rieši.
Napríklad a = 45 stupňov.
Dostaneme správny trojuholník pod jedným uhlom 45 stupňov. Niektorým je hneď jasné, že ide o rovnostranný trojuholník, ale aj tak to opíšem.
Nájdite tretí uhol trojuholníka (prvý je 90, druhý je 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Ak sú dva uhly rovnaké, potom sú ich strany rovnaké, tak to znelo.
Ukazuje sa teda, že ak sčítame dva takéto trojuholníky nad sebou, dostaneme štvorec s uhlopriečkou rovnou polomeru = 1. Podľa Pytagorovej vety vieme, že uhlopriečka štvorca so stranou a sa rovná korene z dvoch.
Teraz si myslíme. Ak sa 1 (prepona alias uhlopriečka) rovná strane štvorca krát odmocnina z dvoch, potom by sa mala strana štvorca rovnať 1/sqrt(2), a ak vynásobíme čitateľa a menovateľa tohto zlomku odmocninou dvoch dostaneme sqrt(2)/2 . A keďže trojuholník je rovnoramenný, potom AD = AC => x = y
Nájdenie našich goniometrických funkcií:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
So zostávajúcimi hodnotami uhla musíte pracovať rovnakým spôsobom. Len trojuholníky nebudú rovnoramenné, ale strany sa dajú rovnako jednoducho nájsť pomocou Pytagorovej vety.
Takto získame tabuľku hodnôt goniometrických funkcií z rôznych uhlov:
-
-
Tento stôl je navyše podvodný a veľmi pohodlný.
Ako si ho zostaviť sami bez problémov: Nakreslite takúto tabuľku a do políčok napíšte čísla 1 2 3.
-
-
Teraz z týchto 1 2 3 vezmete odmocninu a vydelíte 2. Dopadne to takto:
-
-
Teraz prečiarkneme sínus a napíšeme kosínus. Jeho hodnoty sú zrkadlový sínus:
-
-
Dotyčnicu možno odvodiť rovnako jednoducho – hodnotu sínusovej čiary musíte vydeliť hodnotou kosínusovej čiary:
-
-
Hodnota kotangens je prevrátená hodnota dotyčnice. V dôsledku toho dostaneme niečo takéto:
- -

Poznámkaže dotyčnica neexistuje napríklad v P/2. Premýšľajte o tom, prečo. (Nemôžete deliť nulou.)

Čo si musíte zapamätať tu: sínus je hodnota y, kosínus je hodnota x. Tangenta je pomer y ku x a kotangens je opačný. takže na určenie hodnôt sínusov/kosínusov stačí nakresliť tabuľku, ktorú som opísal vyššie, a kružnicu so súradnicovými osami (vhodné je pozerať sa na hodnoty pod uhlom 0, 90, 180, 360).
- -

No dúfam, že to dokážeš rozlíšiť štvrtí:
- -
Znamienko jeho sínus, kosínus atď. závisí od toho, v ktorej štvrtine je uhol. Aj keď absolútne primitívne logické myslenie vás privedie k správnej odpovedi, ak vezmete do úvahy, že v druhom a treťom štvrťroku je x záporné a y je v treťom a štvrtom záporné. Nič strašidelné alebo strašidelné.

Myslím, že by nebolo od veci spomenúť redukčné vzorce ala duchovia, ako kazdy pocuje, co ma zrnko pravdy. Neexistujú žiadne vzorce ako také, pretože sú zbytočné. Samotný význam celej tejto akcie: Ľahko nájdeme hodnoty uhla len za prvý štvrťrok (30 stupňov, 45, 60). Goniometrické funkcie sú periodické, takže do prvej štvrtiny môžeme pretiahnuť ľubovoľný veľký uhol. Potom hneď nájdeme jeho význam. Ale jednoducho ťahanie nestačí - musíte si pamätať na znamenie. Na to slúžia redukčné vzorce.
Máme teda veľký uhol, alebo skôr viac ako 90 stupňov: a = 120. A musíme nájsť jeho sínus a kosínus. Aby sme to dosiahli, rozložíme 120 do nasledujúcich uhlov, s ktorými môžeme pracovať:
hriech a = hriech 120 = hriech (90 + 30)
Vidíme, že tento uhol leží v druhej štvrtine, sínus je tam kladný, preto je znamienko + pred sínusom zachované.
Aby sme sa zbavili 90 stupňov, zmeníme sínus na kosínus. Toto je pravidlo, ktoré si musíte zapamätať:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Alebo si to viete predstaviť inak:
hriech 120 = hriech (180 - 60)
Aby sme sa zbavili 180 stupňov, funkciu nemeníme.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Máme rovnakú hodnotu, takže všetko je správne. Teraz kosínus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Kosínus v druhej štvrtine je záporný, takže dáme znamienko mínus. A zmeníme funkciu na opačnú, pretože potrebujeme odstrániť 90 stupňov.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
alebo:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Čo potrebujete vedieť, vedieť a robiť na prenos uhlov do prvého štvrťroka:
- rozložiť uhol na stráviteľné pojmy;
-vezmite do úvahy, v ktorej štvrtine sa uhol nachádza, a uveďte príslušné znamienko, ak je funkcia v tejto štvrtine záporná alebo kladná;
- zbaviť sa nepotrebných vecí:
*ak sa potrebujete zbaviť 90, 270, 450 a zvyšných 90+180n, kde n je ľubovoľné celé číslo, potom je funkcia obrátená (sínus ku kosínusu, tangens ku kotangensu a naopak);
*ak sa potrebujete zbaviť 180 a zvyšných 180+180n, kde n je ľubovoľné celé číslo, funkcia sa nezmení. (Je tu jedna funkcia, ale je ťažké ju vysvetliť slovami, ale dobre).
To je všetko. Nemyslím si, že je potrebné zapamätať si samotné vzorce, keď si viete zapamätať pár pravidiel a ľahko ich použiť. Mimochodom, tieto vzorce sa dajú veľmi ľahko dokázať:
-
-
A tiež zostavujú ťažkopádne tabuľky, potom vieme:
-
-

Základné rovnice trigonometrie: musíte ich poznať veľmi, veľmi dobre, naspamäť.
Základná trigonometrická identita(rovnosť):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Ak neveríte, radšej si to overte sami a presvedčte sa sami. Nahraďte hodnoty rôznych uhlov.
Tento vzorec je veľmi, veľmi užitočný, vždy si ho pamätajte. pomocou neho môžete vyjadriť sínus cez kosínus a naopak, čo je niekedy veľmi užitočné. Ale ako každý iný vzorec, musíte vedieť, ako s ním zaobchádzať. Vždy pamätajte, že znamienko goniometrickej funkcie závisí od kvadrantu, v ktorom sa uhol nachádza. Preto pri extrakcii koreňa treba poznať štvrtinu.

Tangenta a kotangensa: Tieto vzorce sme odvodili už na začiatku.
tg a = sin a / cos a
detská postieľka a = cos a / sin a

Súčin tangens a kotangens:
tg a * ctg a = 1
Pretože:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - zlomky sa rušia.

Ako vidíte, všetky vzorce sú hrou a kombináciou.
Tu sú ďalšie dve, získané delením kosínusovou druhou mocninou a sínusovou druhou mocninou prvého vzorca:
-
-
Upozorňujeme, že posledné dva vzorce možno použiť s obmedzením hodnoty uhla a, pretože nemôžete deliť nulou.

Vzorce na sčítanie: sú dokázané pomocou vektorovej algebry.
- -
Málo používané, ale presné. V skene sú vzorce, ale môžu byť nečitateľné alebo ich digitálna forma je ľahšie vnímateľná:
- -

Vzorce s dvojitým uhlom:
Získavajú sa na základe sčítacích vzorcov, napríklad: kosínus dvojitého uhla je cos 2a = cos (a + a) – pripomína vám to niečo? Len nahradili bettu alfou.
- -
Dva nasledujúce vzorce sú odvodené od prvej substitúcie sin^2(a) = 1 - cos^2(a) a cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Sínus dvojitého uhla je jednoduchší a používa sa oveľa častejšie:
- -
A špeciálni zvrhlíci môžu odvodiť tangens a kotangens dvojitého uhla, vzhľadom na to, že tan a = sin a / cos a atď.
-
-

Pre vyššie spomenuté osoby Vzorce s trojitým uhlom: odvodzujú sa sčítaním uhlov 2a a a, keďže už poznáme vzorce pre dvojité uhly.
-
-

Vzorce polovičného uhla:
- -
Neviem, ako sú odvodené, alebo presnejšie, ako to vysvetliť... Ak tieto vzorce napíšeme, pričom hlavnú trigonometrickú identitu nahradíme a/2, odpoveď sa bude zbližovať.

Vzorce na sčítanie a odčítanie goniometrických funkcií:
-
-
Získavajú sa z adičných vzorcov, ale nikoho to nezaujíma. Nestávajú sa často.

Ako ste pochopili, stále existuje veľa vzorcov, ktorých zoznam je jednoducho zbytočný, pretože o nich nebudem môcť napísať niečo adekvátne a suché vzorce sa dajú nájsť kdekoľvek a sú to hry s predchádzajúcimi existujúcimi vzorcami. Všetko je strašne logické a presné. Poviem ti to na záver o metóde pomocného uhla:
Prevod výrazu a cosx + b sinx do tvaru Acos(x+) alebo Asin(x+) sa nazýva metóda zavedenia pomocného uhla (resp. dodatočný argument). Metóda sa používa na riešenie goniometrické rovnice, pri odhadovaní hodnôt funkcií, v extrémnych problémoch a čo je dôležité poznamenať, niektoré problémy nemožno vyriešiť bez zavedenia pomocného uhla.
Bez ohľadu na to, ako ste sa pokúsili vysvetliť túto metódu, nič z toho neprišlo, takže to budete musieť urobiť sami:
-
-
Strašidelná vec, ale užitočná. Ak problémy vyriešite, malo by to ísť.
Odtiaľto, napríklad: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Ďalej v kurze sú grafy goniometrických funkcií. Ale na jednu lekciu to stačí. Vzhľadom na to, že v škole to učia šesť mesiacov.

Napíšte svoje otázky, riešte problémy, požiadajte o skeny niektorých úloh, zistite, vyskúšajte.
Vždy tvoj, Dan Faraday.

Táto poznámka má metodologický charakter a jej cieľom je pripomenúť (alebo naučiť :)) čo náhodná prechádzka a aká je jeho úloha pri obchodovaní s akciami. Náhodná prechádzka (alebo Brownov pohyb alebo náhodná prechádzka) je proces s nezávislými prírastkami, pričom každý prírastok má nulový priemer. Príklad takéhoto procesu: vezmeme mincu a hodíme ju. Ak hlavičky, tak ďalší prírastok je +1, ak končia, ďalší prírastok je -1. Hodíme mnohokrát a spočítame kumulatívny súčet. Vo všeobecnosti to nemôže byť jednoduchšie.
Napriek jednoduchosti tejto konštrukcie je mimoriadne dôležitá úloha pochopiť dynamiku cien na burze. Pozrime sa na graf náhodnej chôdze:

Tento obrázok je celkom typický. Ako vidíte, existuje veľa obľúbených atribútov technickej analýzy - úrovne, čísla, trendy atď. A vo všeobecnosti je obraz jasne podobný skutočným cenám. Náhodná prechádzka je teda jednoznačne dobrým trhovým modelom.

Keďže sme našli taký úspešný matematický model skutočný život, potom by bolo fajn rozobrať vlastnosti modelu. Hlavné vlastnosti sú:
1) Nemôžete zarobiť peniaze náhodnou prechádzkou. V žiadnom prípade vrátane riadenia kapitálu a riadenia rizík. Je to spôsobené tým, že tento proces nemá žiadnu pamäť - každý nasledujúci prírastok nie je v žiadnom prípade spojený s predchádzajúcim.
2) Náhodná prechádzka s pravdepodobnosťou smerujúcou k 1 dosiahne akúkoľvek vopred určenú úroveň - dokonca milión, dokonca aj miliardu. Toto v priemere nastáva v čase úmernom druhej mocnine úrovne.
Už z vlastnosti 1) vyplýva, že kto má rád nerozvážne používanie technickej analýzy, nerozumie tomu, čo robí. A aj keď zarobia peniaze, nevedia, prečo je to zlé. Nie som proti technickej analýze, ale dôvody, prečo to niekedy funguje, sú veľmi netriviálne.
Z vlastnosti 2) vyplýva, že trh môže zájsť sakramentsky ďaleko bez akéhokoľvek dôvodu - ahoj milovníkov predaja opcií a obchodníkov bez prestávok.
Teraz odpovedzme na otázku: prečo je trh taký podobný náhodnej prechádzke? Existujú dva dôvody:
1) Jednoducho nepretržitý tok limitných a trhových príkazov, z ktorých každý nesúvisí so žiadnym iným, spôsobí, že cena bude náhodne blúdiť.
2) Obchodníci spravidla hľadajú vzory v cene (tj cenové odchýlky od náhodnej prechádzky). A ak to nájdu, začnú obchodovať blízko tohto vzoru. Potom dôjde k netriviálnej evolúcii, ktorú tu nebudem vysvetľovať, ale v dôsledku tejto evolúcie skôr či neskôr vzor prestane existovať. To je dôvod, prečo úspešní obchodníci neradi zdieľajú len svoje obchodné systémy.
Nakoniec budeme diskutovať o filozofických aspektoch modelu. Model náhodnej chôdze je len matematický model. A skutočný trh je súbor ľudí. A, prirodzene, ak by sme vedeli všetko o všetkých obchodníkoch, tak by sme vôbec nepotrebovali žiadny model náhodnej chôdze – pre nás by každý pohyb ceny nebol náhodný, ale úplne pochopiteľný. Ale nemôžete vedieť všetko o každom, ale je ľahké vedieť niečo o niektorých z nich. A každý dobrý obchodný systém je v prvom rade znalosť určitého správania sa niektorých obchodníkov na trhu.

Aplikácia: Generovanie náhodnej prechádzky v Exceli
Na generovanie náhodnej prechádzky v Exceli môžete použiť napríklad nasledujúci kód:

Možnosť Explicitná
Sub Rand_Walk()
Dim x As Single, s As Single
Dim i As Integer, imax As Integer
imax = 10 000
s = 0
Pre i = 1 Do imax
Randomizovať
x = Rnd()
x = 2 * x - 1
s = s + x
Bunky (i, 1) = i
Bunky (i, 2) = s
Ďalej i
End Sub

Je potrebné ho skopírovať do kódu akéhokoľvek hárku programu Excel. Spustite a vytvorte graf pomocou prvých dvoch stĺpcov hárku. Potom môžete obdivovať kvázi výmenné ponuky.