მარტივი სიტყვებით სწორი ხაზით სიარული. რა ჯანდაბაა ეს "შემთხვევითი გასეირნება"? აირების კინეტიკური თეორია

არის კიდევ ერთი საინტერესო პრობლემა, რომლის გადაწყვეტაც შეუძლებელია ალბათობის ცნების გარეშე. ეს არის "შემთხვევითი სიარულის" პრობლემა. უმარტივესი ფორმით, ეს ამოცანა ასე გამოიყურება: წარმოიდგინეთ თამაში, რომელშიც მოთამაშეს, დაწყებული x = 0 წერტილიდან, შეუძლია გადავიდეს წინ (x წერტილამდე) ან უკან (-x წერტილამდე) ყოველ სვლაზე და გადაწყვეტილება სად წავიდეს მიიღება სრულიად შემთხვევით, კარგად, მაგალითად, მონეტის სროლით. როგორ აღვწეროთ ასეთი მოძრაობის შედეგი? უფრო მეტში ზოგადი ფორმაეს პრობლემა აღწერს ატომების (ან სხვა ნაწილაკების) მოძრაობას გაზში - ე.წ. ბრაუნის მოძრაობა - ან შეცდომების წარმოქმნას გაზომვებში. თქვენ ნახავთ, თუ როგორ მჭიდროდ არის დაკავშირებული შემთხვევითი სიარულის პრობლემა ზემოთ აღწერილ მონეტის გადაყრის ექსპერიმენტთან.

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ შემთხვევითი სიარულის მაგალითებს. მათი აღწერა შესაძლებელია „სუფთა“ წინსვლით D N , N საფეხურებით. ჩართულია ნახ. 6.5ნაჩვენებია შემთხვევითი ბილიკების სამი მაგალითი.

რა შეიძლება ითქვას ასეთ მოძრაობაზე? კარგად, პირველ რიგში, შეგვიძლია ვიკითხოთ: რამდენად შორს მივიღებთ საშუალოდ? ჩვენ უნდა ველოდოთ, რომ საშუალო პროგრესი საერთოდ არ იქნება, რადგან ჩვენ თანაბრად წავალთ წინ და უკან. თუმცა, როგორც ჩანს, N-ის მატებასთან ერთად, ჩვენ სულ უფრო და უფრო მეტი ალბათობით ვიხეტიალებთ სადღაც უფრო და უფრო შორს საწყისი წერტილიდან. ამიტომ ჩნდება კითხვა: რა არის საშუალო აბსოლუტური მანძილი, ანუ რა არის |D|-ის საშუალო მნიშვნელობა? თუმცა უფრო მოსახერხებელია საქმე არა |D|-თან, არამედ D 2-თან; ეს რაოდენობა დადებითია როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მოძრაობისთვის და, შესაბამისად, შეიძლება ასევე იყოს ასეთი შემთხვევითი სიარულის გონივრული საზომი.

შეიძლება აჩვენოს, რომ D 2 N-ის მოსალოდნელი მნიშვნელობა არის უბრალოდ N, გადადგმული ნაბიჯების რაოდენობა. სხვათა შორის, "მოსალოდნელი მნიშვნელობით" ჩვენ ვგულისხმობთ ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობას (გამოიცანი საუკეთესო გზა), რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს მოსალოდნელ საშუალოდ დიდი რიცხვიხეტიალის პროცესების განმეორება. ეს მნიშვნელობა აღინიშნება როგორც და მას ასევე უწოდებენ "მანძილის საშუალო კვადრატს". ერთი ნაბიჯის შემდეგ D 2 ყოველთვის +1-ის ტოლია, ასე რომ აუცილებლად = 1. (სიგრძის ერთეულზე ყველგან აირჩევა ერთი ნაბიჯი და, შესაბამისად, მომავალში არ დავწერ სიგრძის ერთეულებს.)

D 2 N-ის მოსალოდნელი მნიშვნელობა N > 1-ისთვის შეიძლება მივიღოთ D N-1-დან. თუ (N - 1) ნაბიჯების შემდეგ აღმოვჩნდებით D N -1 მანძილზე, მაშინ კიდევ ერთი ნაბიჯი მისცემს ან D N = D N -1 + 1, ან D N = D N -1 - 1. ან კვადრატებისთვის.

თუ პროცესი მრავალჯერ მეორდება, მაშინ ჩვენ ველით, რომ თითოეული ეს შესაძლებლობა მოხდება 1/2 ალბათობით, ასე რომ, საშუალო მოსალოდნელი მნიშვნელობა უბრალოდ იქნება ამ მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული, ანუ მოსალოდნელი მნიშვნელობა D 2 N. იქნება უბრალოდ D 2 n- 1 + 1. მაგრამ რა არის D 2 n-1 მნიშვნელობა, უფრო სწორად, რა მნიშვნელობას ველით? უბრალოდ, განმარტებით, ცხადია, რომ ეს უნდა იყოს „საშუალო მოსალოდნელი მნიშვნელობა“ , Ისე

თუ ახლა გავიხსენებთ = 1, მაშინ მივიღებთ ძალიან მარტივ შედეგს:

საწყისი პოზიციიდან გადახრა შეიძლება ხასიათდებოდეს მანძილის ტიპის რაოდენობით (და არა მანძილის კვადრატით); ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა ამოიღოთ Კვადრატული ფესვიდ< 2 N >და მიიღეთ ეგრეთ წოდებული "საშუალო კვადრატული მანძილი" Dсk:

ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ შემთხვევითი სიარული ძალიან ჰგავს მონეტის გადაყრის ექსპერიმენტს, რომლითაც ეს თავი დავიწყეთ. თუ წარმოვიდგენთ, რომ ყოველი წინსვლა ან უკან დახევა განისაზღვრება „თავების“ ან „კუდების“ გარეგნობით, მაშინ დ ნ. უბრალოდ ტოლი იქნება N 0 - N P , ანუ სხვაობა თავებისა და კუდების რაოდენობაში. ან ვინაიდან N 0 + N P = N (სადაც N არის გადაგდების საერთო რაოდენობა), მაშინ D N = 2N 0 - N. გახსოვდეთ, რომ ადრე ჩვენ უკვე მივიღეთ გამოხატულება No მნიშვნელობის მოსალოდნელი განაწილებისთვის [ის მაშინ აღინიშნა k-ით. ; იხილეთ განტოლება (6.5)]. ისე, რადგან N უბრალოდ მუდმივია, ახლა იგივე განაწილება აღმოჩნდა D.-სთვის (თითოეული „თავის“ დაკარგვა ნიშნავს „კუდების“ უკმარისობას, ამიტომ N 0-სა და D-ს შორის კავშირში ჩნდება 2-ის კოეფიციენტი. ) ამრიგად, ნახ. 6.2, გრაფიკი ერთდროულად წარმოადგენს დისტანციების განაწილებას, რომლებითაც შეგვიძლია გავიაროთ 30 შემთხვევითი ნაბიჯით (k = 15 შეესაბამება D = 0, ხოლო k = 16 შეესაბამება D = 2 და ა.შ.).

N 0-ის გადახრა მოსალოდნელი მნიშვნელობიდან N/2 ტოლი იქნება

სადაც საშუალოდ კვადრატული გადახრავიღებთ

ახლა გავიხსენოთ ჩვენი შედეგი D ck-ისთვის. ჩვენ ველით, რომ 30 საფეხურზე გავლილი საშუალო მანძილი უნდა იყოს √30 = 5.5, საიდანაც k-ის საშუალო გადახრა 15-დან უნდა იყოს 5.5: 2 ≈ 2.8. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი მრუდის საშუალო ნახევრად სიგანე ნახ. 6.2 (ანუ "ზარის" ნახევარი სიგანე სადღაც შუაშია) დაახლოებით უდრის 3-ს, რაც შეესაბამება ამ შედეგს.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ კითხვა, რომელსაც აქამდე ავირიდებოდით. როგორ გავიგოთ, არის თუ არა ჩვენი მონეტა "სამართლიანი"? ახლა ჩვენ შეგვიძლია, ნაწილობრივ მაინც ვუპასუხოთ მას. თუ მონეტა არის „სამართლიანი“, მაშინ ჩვენ ველით, რომ ნახევარი დროის განმავლობაში ის ამოვა „თავებზე“, ე.ი.

ამავდროულად, მოსალოდნელია, რომ თავების ფაქტობრივი რაოდენობა უნდა განსხვავდებოდეს N/2-დან √N/2 რიგის ოდენობით, ან, თუ ვსაუბრობთ გადახრის წილადზე, უდრის

ანუ რაც უფრო დიდია N, მით უფრო უახლოვდება თანაფარდობის ნახევარს N0/N.

ჩართულია ნახ. 6.6რიცხვები N 0 /N გამოყოფილია იმ მონეტების გადაყრისთვის, რომლებზეც ადრე ვისაუბრეთ. როგორც ხედავთ, როგორც N იზრდება, მრუდი უფრო და უფრო უახლოვდება 0.5-ს. მაგრამ, სამწუხაროდ, არ არსებობს გარანტია, რომ რომელიმე მოცემული სერიისთვის ან სერიების კომბინაციისთვის, დაკვირვებული გადახრა ახლოს იქნება მოსალოდნელ გადახრასთან. ყოველთვის არის სასრული ალბათობა იმისა, რომ იქნება დიდი რყევა - თავების ან კუდების დიდი რაოდენობა - რაც გამოიწვევს თვითნებურად დიდ გადახრას. ერთადერთი, რაც შეიძლება ითქვას, არის ის, რომ თუ გადახრები ახლოსაა მოსალოდნელ 1/2√N-თან (ვთქვათ, 2 ან 3-ის კოეფიციენტით), მაშინ არ არსებობს საფუძველი, რომ მონეტა "ყალბად" მივიჩნიოთ (ან რომ პარტნიორი ღალატობს).

ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ შემთხვევებს, როდესაც მონეტისთვის ან მონეტის მსგავსი სხვა საცდელი ობიექტისთვის (იმ გაგებით, რომ შესაძლებელია დაკვირვების ორი ან მეტი საიმედოდ არაპროგნოზირებადი შედეგი, მაგალითად, ქვა, რომელიც შეიძლება დაეცეს მხოლოდ ერთ მხარეს). , არსებობს საკმარისი საფუძველი დასაჯერებლად, რომ განსხვავებული შედეგების ალბათობა არ არის თანაბარი. ჩვენ განვსაზღვრეთ ალბათობა P(O), როგორც თანაფარდობა /ნ. მაგრამ რა უნდა იქნას მიღებული როგორც ღირებულება? ? როგორ შეგიძლიათ გაიგოთ, რა არის მოსალოდნელი! ხშირ შემთხვევაში საუკეთესო, რაც შეიძლება გაკეთდეს, არის ცდების დიდი სერიის თავების რაოდენობის დათვლა და აღება = N 0 (დაკვირვებული). (სხვას როგორ უნდა ველოდოთ?) თუმცა უნდა გვესმოდეს, რომ სხვადასხვა დამკვირვებლებმა და ტესტების სხვადასხვა სერიამ შეიძლება P(O)-ს განსხვავებული მნიშვნელობა მისცეს, ვიდრე ჩვენმა. თუმცა მოსალოდნელია, რომ ყველა ეს განსხვავებული პასუხი არ განსხვავდება 1/2√N-ზე მეტით [თუ P(O) ნახევართან ახლოსაა]. ექსპერიმენტული ფიზიკოსები ჩვეულებრივ ამბობენ, რომ "ექსპერიმენტულად აღმოჩენილ" ალბათობას აქვს "შეცდომა" და წერენ როგორც

ეს აღნიშვნა გულისხმობს, რომ არსებობს გარკვეული "ჭეშმარიტი" ალბათობა, რომელიც პრინციპში შეიძლება გამოითვალოს, მაგრამ რომ სხვადასხვა რყევები იწვევს შეცდომას მის ექსპერიმენტულ განსაზღვრაში. თუმცა, არ არსებობს გზა, რომ ეს არგუმენტები ლოგიკურად თანმიმდევრული იყოს. უკეთესია, ბოლოს და ბოლოს, თქვენ გესმოდეთ, რომ ალბათობა გარკვეული გაგებით არის სუბიექტური რამ, რომ ის ყოველთვის ემყარება ჩვენი ცოდნის გარკვეულ გაურკვევლობას და მისი ღირებულება იცვლება მათი ცვლილებისას.

შემთხვევითი სიარულის ჰიპოთეზის „ვალიდობის“ შესამოწმებლად, უნდა განვსაზღვროთ კონკრეტული აქციის (ჩვენი ფუნქციის) ფინანსური შესრულება სტოქასტურია თუ დეტერმინისტული. თეორიულად, არსებობს პრობლემის მიმართ ალგორითმული და სტატისტიკური მიდგომა, მაგრამ პრაქტიკაში მხოლოდ ეს უკანასკნელი გამოიყენება (და ამის ახსნა არსებობს).

ალგორითმული მიდგომა

გამოთვლითი ფუნქციების თეორია, ასევე ცნობილი როგორც რეკურსიის თეორია ან ტურინგის გამოთვლა, არის თეორიული კომპიუტერული მეცნიერების ფილიალი, რომელიც ეხება გამოთვლითი და არაგამოთვლითი ფუნქციების კონცეფციას. ფუნქციას ეწოდება გამოთვლადი იმისდა მიხედვით, შესაძლებელია თუ არა ისეთი ალგორითმის დაწერა, რომელიც, გარკვეული შეყვანის მონაცემების გათვალისწინებით, ყოველთვის შეძლებს მის გამოთვლას.

თუ შემთხვევითობა არაპროგნოზირებადობის თვისებაა, მაშინ ფუნქციის გამომავალი ვერასოდეს იქნება ზუსტად პროგნოზირებული. ლოგიკურად, აქედან გამომდინარეობს, რომ ყველა შემთხვევითი პროცესი გამოუთვლელი ფუნქციებია, რადგან მათი გამოთვლის ალგორითმის შექმნა შეუძლებელია. ცნობილი ჩერჩ-ტურინგის თეზისი ამტკიცებს, რომ ფუნქცია გამოთვლადია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი გამოთვლა შესაძლებელია ტურინგის მანქანით:

როგორც ჩანს, ყველაფერი მარტივია - თქვენ უბრალოდ უნდა გამოიყენოთ ტურინგის მანქანა, რათა დადგინდეს, არის თუ არა ალგორითმი, რომელიც პროგნოზირებს აქციების ფასების ქცევას (ჩვენი ფუნქცია). მაგრამ აქ ჩვენ წინაშე ვდგავართ გაჩერების პრობლემის წინაშე, ანუ პრობლემის დადგენის, ალგორითმი სამუდამოდ იმუშავებს თუ ოდესმე შეწყვეტს.

დადასტურებულია, რომ ეს პრობლემა გადაუჭრელია, რაც იმას ნიშნავს, რომ წინასწარ შეუძლებელია იმის ცოდნა, შეწყვეტს თუ არა პროგრამას მუშაობას. ეს ნიშნავს, რომ შეუძლებელია ალგორითმის პოვნის პრობლემის გადაჭრა, რომელსაც შეუძლია ფუნქციის „გამოთვლა“ (საქონლის ფასის პროგნოზირება) - გაჩერებამდე ტურინგის მანქანას დასჭირდება ყველა შესაძლო ალგორითმის გავლა, და ამას დასჭირდება უსასრულო დრო. ამიტომ ამის დამტკიცება შეუძლებელია ფინანსური ბაზარისრულიად შემთხვევითი.

თუ ამ ფაქტს არ გავითვალისწინებთ, მაშინ ასეთმა კვლევამ გამოიწვია საინტერესო სფეროს გაჩენა, რომელსაც ალგორითმული ინფორმაციის თეორია ჰქვია. იგი ეხება გამოთვლების თეორიასა და ინფორმაციის თეორიას შორის ურთიერთობას. ის განსაზღვრავს შემთხვევითობის სხვადასხვა ტიპს - ერთ-ერთი ყველაზე პოპულარულია მარტინ-ლეფუს განმარტება შემთხვევითობის შესახებ, რომლის მიხედვითაც, იმისათვის, რომ სტრიქონი შემთხვევითად ჩაითვალოს, ის უნდა:

• იყავი შეკუმშვადი- შეკუმშვა გულისხმობს ინფორმაციის გამოსახულების პოვნას, რომელიც იყენებს ნაკლები ინფორმაცია. მაგალითად, უსასრულოდ გრძელი ორობითი სტრიქონი 0101010101…. უფრო ზუსტად შეიძლება გამოვხატოთ, როგორც 01 მეორდება უსასრულო რაოდენობის ჯერ, ხოლო უსასრულოდ გრძელ სტრიქონს 0110000101110110101... არ აქვს მკაფიო ნიმუში და, შესაბამისად, არ შეიძლება შეკუმშული იყოს იმავე სტრიქონზე უფრო მოკლე 01100001011110110101... ეს ნიშნავს, რომ თუ კომპლექსი მეტია ან ტოლია სტრიქონის სიგრძეზე, მაშინ თანმიმდევრობა ალგორითმულად შემთხვევითია.
• გაიარეთ სტატისტიკური ტესტები შემთხვევითობისთვის- არსებობს შემთხვევითობის მრავალი ტესტი, რომელიც ამოწმებს განსხვავებას მიმდევრობის განაწილებას შორის ნებისმიერი მიმდევრობის მოსალოდნელ განაწილებასთან მიმართებაში, რომელიც შემთხვევით ითვლება.
• არ მოიტანოთ სარგებელი- საინტერესო კონცეფცია, რომელიც გულისხმობს, რომ თუ შესაძლებელია გარკვეული ფსონის შექმნა, რომელსაც მხოლოდ წარმატებამდე მივყავართ, მაშინ ეს არ არის შემთხვევითი.

ზოგადად, უნდა განვასხვავოთ გლობალური და ლოკალური შემთხვევითი გასეირნება. პირველი ეხება ბაზრებს გრძელვადიან პერსპექტივაში, ხოლო ლოკალური შემთხვევითი სიარულის ჰიპოთეზა შეიძლება მიუთითებდეს, რომ ბაზარი შემთხვევითია გარკვეული დროის მინიმალურ პერიოდში.

არყოფნისას დამატებითი ინფორმაციაბევრი სისტემა შეიძლება შემთხვევით ჩანდეს ისე, რომ არ იყოს - მაგალითად, იგივე გენერატორები შემთხვევითი რიცხვები. Ან მეტი რთული მაგალითი, გარკვეული აქციის ფასის მოძრაობა შეიძლება შემთხვევით ჩანდეს. მაგრამ თუ გადავხედავთ ფინანსურ ანგარიშებს და სხვა ფუნდამენტურ მაჩვენებლებს, ყველაფერი შეიძლება აღმოჩნდეს სრულიად არა შემთხვევითი.

სტატისტიკური მიდგომა

თანმიმდევრობა სტატისტიკურად შემთხვევითია, როდესაც ის არ შეიცავს შესამჩნევ ნიმუშებს. ეს არ ნიშნავს რეალურ შემთხვევითობას, ანუ არაპროგნოზირებადობას - ფსევდო შემთხვევითი შემთხვევითი რიცხვების გენერატორების უმეტესობა, რომლებიც არაპროგნოზირებადია, სტატისტიკურად შემთხვევითია. აქ მთავარია გაიაროთ NIST ტესტის ნაკრები. ამ ტესტების უმეტესობა მოიცავს შემოწმებას, თუ რამდენად ემთხვევა სავარაუდო შემთხვევითი სისტემის გამომავალი განაწილება მართლაც შემთხვევითი სისტემის გამოსავალს. ბმული შეიცავს პითონის კოდს ასეთი ტესტებისთვის.

ბაზრის გატეხვა

განხილვის შემდეგ თეორიული საფუძვლებიშემთხვევითობის ცნება და ტესტების გათვალისწინება, რომლებიც მის იდენტიფიცირების საშუალებას იძლევა, სხვა მნიშვნელოვანი კითხვაარის თუ არა შესაძლებელი ასეთი ტესტების დახმარებით ისეთი სისტემის შექმნა, რომელიც ადამიანზე უკეთ განსაზღვრავს ბაზრის თანმიმდევრობების შემთხვევითობას თუ არაშემთხვევას.

მკვლევარმა გადაწყვიტა ჩაეტარებინა საკუთარი ექსპერიმენტი, რისთვისაც გამოიყენა შემდეგი მონაცემები:

ასევე გაანალიზდა სხვადასხვა ტიპის აქტივები:

• გაცვლითი კურსი დოლარი/ფუნტი წყვილისთვის (USD vs GBP) 1990 წლიდან 2015 წლამდე (ყოველდღიური სქემა) ~ 25 წელი

NIST სატესტო კომპლექტი მუშაობდა რეალურ მონაცემთა კომპლექტებზე - ისინი იქნა აღებული და დაყოფილი იყო 3,5,7 და 10 წლიან პერიოდებად. გარდა ამისა, სატესტო ფანჯრების გენერირების ორი გზა არსებობს - გადახურული ფანჯრები და არა გადახურული ფანჯრები. პირველი ვარიანტი უკეთესია, რადგან ის საშუალებას გაძლევთ ნახოთ ბაზრის მომავალი შემთხვევითობა, მაგრამ ეს გავლენას ახდენს აგრეგირებული P-მნიშვნელობების ხარისხზე, რადგან ფანჯრები არ არის დამოუკიდებელი.

გარდა ამისა, შედარებისთვის გამოყენებული იქნა ორი იმიტირებული მონაცემთა ნაკრები. პირველი არის ორობითი მონაცემთა ნაკრები, რომელიც გენერირებულია Mersenne Twister-ის ალგორითმის შერჩევის სტრატეგიის გამოყენებით (ერთ-ერთი საუკეთესო ფსევდო შემთხვევითი გენერატორი).

მეორე არის ორობითი მონაცემები, რომლებიც წარმოიქმნება SIN ფუნქციით.

პრობლემები

თითოეულ ექსპერიმენტს აქვს საკუთარი სუსტი ლაქები. მათ გარეშე არც ამჯერად შეგვეძლო:

1. ზოგიერთი ტესტი მოითხოვს იმაზე მეტ მონაცემს, ვიდრე ბაზარს აწარმოებს (თუ არ გამოიყენება წუთების ან სქემების გამოყენება, რაც ყოველთვის არ არის შესაძლებელი), რაც იმას ნიშნავს, რომ მათი სტატისტიკური მნიშვნელობა იდეალურზე ოდნავ ნაკლებია.
2. NIST ტესტები მხოლოდ სტანდარტული შემთხვევითობის ტესტირებას ახდენს - ეს არ ნიშნავს, რომ ბაზრები ჩვეულებრივ არ არის განაწილებული ან სხვაგვარად, მაგრამ ისინი მაინც შემთხვევითია.
3. შემთხვევით შერჩეული დროის პერიოდები (დაწყებული ყოველი წლის 1 იანვრიდან) და მნიშვნელოვნების დონე (0,005). ტესტები უნდა ჩატარდეს ნიმუშების ბევრად უფრო დიდ ნაკრებზე, ყოველი თვიდან ან კვარტალში დაწყებული. P- მნიშვნელობას არ ჰქონდა სერიოზული გავლენა საბოლოო დასკვნებზე, რადგან სხვადასხვა მნიშვნელობებზე (0.001, 0.005, 0.05) ზოგიერთი ტესტი ჯერ კიდევ არ იყო გავლილი. გარკვეული პერიოდები(მაგ. 1954-1959 წწ.)

შედეგები

აქ არის შედეგები, რომლებიც ჩვენ მივაღწიეთ ტესტირების ორი მეთოდის გამოყენებით გადახურვის ან გადახურვის ფანჯრების გამოყენებით:

შემდეგი დასკვნების გამოტანა შეიძლება:

1. მნიშვნელობები დევს ორი ნიშნის მნიშვნელობებს შორის, რაც ნიშნავს, რომ ბაზრები ნაკლებად შემთხვევითია ვიდრე Mersenne vortex და უფრო შემთხვევითი ვიდრე SIN ფუნქცია. მაგრამ საბოლოოდ ისინი არ არიან შემთხვევითი.
2. მნიშვნელობები ძალიან განსხვავდება განზომილებაში - ფანჯრის ზომა სერიოზულად მოქმედებს შედეგზე - და უნიკალურობა - ბაზრები არ არის თანაბრად შემთხვევითი, ზოგი უფრო შემთხვევითია, ვიდრე სხვები.
3. საორიენტაციო მნიშვნელობები სტაბილურად კარგია მერსენის მორევისთვის (საშუალოდ გავლილი ტესტების 90%-ზე მეტი) და ცუდი SIN გრაფიკისთვის (საშუალოდ გავლილი ტესტების 10-30%).

სტატიის დასაწყისში ჩვენ გადავხედეთ მაგალითს პროფესორ ბარტონ მალკიელის ექსპერიმენტით, რომელიც წერდა ცნობილი წიგნი"შემთხვევითი გასეირნება უოლ სტრიტზე" (

შემთხვევითი სიარულის განხილვისას, სისტემის მდგომარეობა განმარტებულია, როგორც მოძრავი „ნაწილაკის“ პოზიცია.

ერთგანზომილებიანი შემთხვევითი გასეირნება არის მარკოვის ჯაჭვი, რომლის მდგომარეობის სივრცე შედგება მთელი რიცხვების სასრული ან უსასრულო სიმრავლისგან; თუ ნაწილაკი I მდგომარეობაშია, მაშინ ერთ საფეხურზე მას შეუძლია ან მის მეზობელ მდგომარეობამდე მიაღწიოს, ან დარჩეს მდგომარეობაში, თუ მდგომარეობა არის არაუარყოფითი რიცხვების ერთობლიობა, მაშინ შემთხვევითი გადასვლის ალბათობების მატრიცა. სიარულს ფორმა აქვს

სად . რიცხვებს შემდეგი მნიშვნელობა აქვთ: თუ მაშინ როდის

ცვლილებები აშკარაა.

ამ ტიპის პროცესის სახელწოდებას „შემთხვევითი გასეირნება“ მხარს უჭერს იმ ფაქტს, რომ მისი განხორციელება აღწერს „მთლიანად მთვრალი“ ადამიანის გზას, რომელიც შემთხვევით გადადგამს ნაბიჯს წინ ან უკან.

თამაშების სერიაში მონაწილე მოთამაშის კაპიტალი აზარტული თამაშები, ხშირად აღწერილია, როგორც შემთხვევითი სიარული პროცესი. დავუშვათ, რომ მოთამაშე A, რომელსაც აქვს კაპიტალი, თამაშობს უსასრულოდ მდიდარ პარტნიორთან და იმის ალბათობა, რომ ის მოიგებს თამაშს და გაზრდის თავის კაპიტალს ერთით, უდრის, და ალბათობა იმისა, რომ ის წააგებს და ამით თავის კაპიტალს ერთით შეამცირებს. ტოლია . მოგებისა და წაგების ალბათობაზე დამოკიდებულება ასახავს თამაშის პირობების შესაძლო დამოკიდებულებას კაპიტალზე. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია შევთანხმდეთ, რომ ერთხელ O-ში (შეესაბამება A მოთამაშის განადგურებას), პროცესი რჩება ამ მდგომარეობაში, ანუ პროცესი, როდესაც მოთამაშის კაპიტალის ზომა თამაშების შემდეგ არის შემთხვევითი სიარული პროცესი. ეს პროცესი ცნობილია როგორც "აზარტული მოთამაშეების ნგრევის პრობლემა".

შემთხვევითი გასეირნება შეესაბამება იდენტურ განმეორებით პარტიებს; თუ მაშინ თითოეულ თამაშში A მოთამაშის შანსები აშკარად სასურველია. ჩვ. 3 ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ამ შემთხვევაში, ალბათობით, სად არის მისი საწყისი კაპიტალი, მოთამაშე A გაკოტრდება (კარგავს თავის კაპიტალს) და ალბათობით მისი კაპიტალი გაიზრდება განუსაზღვრელი ვადით. თუ თამაში აშკარად მომგებიანია მფლობელებისთვის სათამაშო დაწესებულება, და თითქმის დარწმუნებულია (1 ალბათობით) რომ მოთამაშე A წავა, თუ საკმარისად დიდხანს ითამაშებს. მოთამაშე A განწირულია ნგრევისთვის (1 ალბათობით) იმ შემთხვევაშიც კი, როდესაც თამაში უვნებელია, ე.ი.

თუ პარტნიორი, მოთამაშე, ასევე იწყებს თამაშს შეზღუდული კაპიტალით y, მაშინ A მოთამაშის კაპიტალი კვლავ აღწერილია მარკოვის ჯაჭვით, თუმცა, ამ ჯაჭვს აქვს მდგომარეობების სასრული ნაკრები საწყისი მდგომარეობებიმოთამაშეებს შესაბამისად. განსხვავება ინტერპრეტირებულია როგორც B მოთამაშის კაპიტალი თამაშების შემდეგ. თუ ყოველი თამაშის შედეგს შორის დაშვებულია ფრე, მაშინ ჯაჭვის გადასვლის ალბათობების მატრიცას აქვს ფორმა

როგორც ადრე, არსებობს შესაძლებლობა, რომ მოთამაშე A, რომელსაც აქვს კაპიტალი, გაზარდოს (დაამციროს) ის ერთით შემდეგ თამაშში. გაითვალისწინეთ, რომ გარდამავალი ალბათობების მატრიცის (2.3) შესაბამისად, მოთამაშის A კაპიტალი (პროცესის მდგომარეობა), რომელმაც მიაღწია a მნიშვნელობას ან გადაიქცა 0-ზე, სამუდამოდ რჩება ამ მდგომარეობებში. ჩვენ ვამბობთ, რომ მოთამაშე A არის გატეხილი, თუ პროცესი მიაღწია მდგომარეობას 0; თუ პროცესი მთავრდება a მდგომარეობაში, მაშინ ჩვენ ვამბობთ, რომ მოთამაშე გაფუჭებულია

შემთხვევითი სიარული სასარგებლოა არა მხოლოდ აღწერისთვის თამაშის სიტუაციები, არამედ ემსახურება როგორც კარგ მოდელებს ფიზიკური პროცესები, კერძოდ ნაწილაკების დიფუზია. თუ ნაწილაკი განიცდის შემთხვევით შეჯახებას, მაშინ მისი პოზიცია ექვემდებარება შემთხვევით რყევებს, თუმცა მის მიერ აღწერილი ტრაექტორია უწყვეტია. თუ ნაწილაკის მომავალი პოზიცია (უფრო ზუსტად, მისი ალბათობის განაწილება) დამოკიდებულია მხოლოდ მის ამჟამინდელ პოზიციაზე, მაშინ პროცესი, სადაც ნაწილაკის პოზიცია მომენტში არის მარკოვიური. ასეთი უწყვეტი მოძრაობის დისკრეტული მიახლოება შეესაბამება შემთხვევით სიარულს. სიმეტრიული შემთხვევითი სიარული არის ბრაუნის მოძრაობის კლასიკური დისკრეტული ანალოგი (იხ. § 2 თავის 1). სიმეტრიული შემთხვევითი სიარული ყველა მთელი რიცხვის სიმრავლეზე ჩვენ ვგულისხმობთ მარკოვის ჯაჭვს მდგომარეობის სივრცით, რომელიც არის ყველა რიცხვის სიმრავლე, ფორმის გარდამავალი ალბათობების მატრიცის ელემენტებით.

სად . ჩვეულებრივ, სიმეტრიული შემთხვევითი სიარული არის მარკოვის ჯაჭვი

ზოგიერთი ფიზიკური მოდელის შესწავლას მივყავართ შემთხვევითი სიარულის გათვალისწინებამდე არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლეზე. შესაძლებელია ასეთი პროცესების კლასიფიკაცია ნულოვანი მდგომარეობის თვისებების მიხედვით. მოდით, შემთხვევითი სიარული აღწერილი იყოს მატრიცით (2.2). თუ (და შესაბამისად ასევე), მაშინ ნულოვანი მდგომარეობა აქვს ამრეკლავი ეკრანის თვისებებს. როდესაც ნაწილაკი მიაღწევს ნულოვან მდგომარეობას, შემდეგი გადასვლის შედეგად ის მთავრდება 1-ლ მდგომარეობაში. ეს შეესაბამება სიტუაციას, როდესაც არის ელასტიური კედელი ნულზე და ნაწილაკი მისგან ბრუნავს ყოველგვარი ნარჩენი ეფექტის გარეშე.

თუ მაშინ ნულოვანი მდგომარეობა იქცევა შთამნთქმელი ეკრანივით. მას შემდეგ, რაც ნულოვანი მდგომარეობაშია, ნაწილაკი რჩება

მასში სამუდამოდ. თუ მაშინ ნულოვანი მდგომარეობა ნაწილობრივ ამრეკლავი ეკრანია.

თუ შემთხვევითი სიარული შემოიფარგლება მდგომარეობების სასრული რაოდენობით, ვთქვათ, ორივე უკიდურესი მდგომარეობა 0 და a, დამოუკიდებლად და ნებისმიერ კომბინაციაში, შეიძლება იყოს ამრეკლავი, შთამნთქმელი ან ნაწილობრივ ამრეკლავი ეკრანები. ჩვენ უკვე შევეხეთ შემთხვევას, როდესაც მდგომარეობები 0 და a შთანთქავენ [იხ (2.3)].

მემბრანის მეშვეობით დიფუზიის კლასიკური მოდელი არის Ehrenfest მოდელი. მოდელი აღწერილია, როგორც შემთხვევითი სიარულის პროცესი სასრული რაოდენობის მდგომარეობით, უკიდურესი მდგომარეობებით a და ამრეკლავი ეკრანებით. გადასვლის ალბათობის მატრიცა მითითებულია შემდეგნაირად:

ამ მოდელის ფიზიკური ინტერპრეტაცია შემდეგია. არის ორი ურნა, რომელიც შეიცავს ერთად 2ა ბურთულებს. დავუშვათ, რომ ურნა A შეიცავს ბურთებს. ყოველ საცდელზე შემთხვევით ირჩევა ერთი ბურთი და გადადის სხვა ურნაში; უფრო მეტიც, თითოეულ ბურთს აქვს იგივე ალბათობა, როგორც ყველა სხვა გადაადგილების, მიუხედავად იმისა, რომელ ურნაშია იგი. ყოველი ტესტი იწვევს 1) სისტემის მდგომარეობის ცვლილებას. ბურთების მოძრაობის დამახასიათებელი მიმართულება იქნება უფრო მაღალი კონცენტრაციის ურნადან დაბალი კონცენტრაციის ურნამდე. Ehrenfest მოდელი ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება გამოყენებულ იქნას კვლევისთვის ფიზიკური სისტემები, აღმდგენი ძალების გავლენის ქვეშ, რომელთა სიდიდე პროპორციულია წონასწორობის პოზიციიდან დაშორებით.

კლასიკური სიმეტრიულ-განზომილებიანი შემთხვევითი სიარული განისაზღვრება შემდეგნაირად. პროცესის მდგომარეობის სივრცე არის მთელი რიცხვი ბადე (n-განზომილებიანი ევკლიდური სივრცეში), რომლის წერტილები არის ფორმის მთელი რიცხვების სიმრავლე. გარდამავალი ალბათობები განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ერთგანზომილებიანი შემთხვევის მსგავსად, -განზომილებიანი სიმეტრიული შემთხვევითი სიარული არის - განზომილებიანი ბრაუნის მოძრაობის დისკრეტული ანალოგი.

ნაწილაკების მოძრაობის აღწერა გარკვეულ ფაზურ სივრცეში რაიმე შემთხვევითი მექანიზმის გავლენის ქვეშ. ფაზის სივრცე, როგორც წესი, მასში d-განზომილებიანი ან მთელი რიცხვია. შემთხვევითი მექანიზმები შეიძლება იყოს განსხვავებული; უფრო ხშირად განიხილება სისტემები, რომლებიც წარმოიქმნება დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ან მარკოვის ჯაჭვების შეჯამებით. ზუსტი ზოგადად მიღებული განმარტება S. b. არა.
პროტოზოების ტრაექტორიები S. b. შემთხვევაში d=l აღწერილია საწყისი პოზიციით S 0 =0 და ჯამების თანმიმდევრობით

სად X იარიან დამოუკიდებლები და ჰყავთ ბერნული

მნიშვნელობა S nშეიძლება განიმარტოს როგორც ორი მოთამაშიდან ერთის მოგება თამაშში p-თამაშების შემდეგ, რომელშიც ეს მოთამაშე იგებს თითო რუბლს თითოეულ თამაშში ალბათობით. . და კარგავს მას ალბათობით 1- რ.თუ თამაში ტარდება სიმეტრიული მონეტის სროლით, მაშინ უნდა დააყენოთ p = 1/2 ( სიმეტრიული სიარული, სმ. ბერნულის სიარული). თუ ვივარაუდებთ, რომ 1-ლი მოთამაშის საწყისი კაპიტალი უდრის b-ს, ხოლო მე-2 მოთამაშის საწყისი კაპიტალი უდრის a-ს, თამაში დასრულდება მაშინ, როდესაც მოხეტიალე ნაწილაკი (კოორდინატებით S 1, S 2, ...) პირველად შეეხო. ერთ-ერთი დონე a ან -ბ.ამ შემთხვევაში, ერთ-ერთი მოთამაშე გაფუჭდება. ეს კლასიკა ნგრევის პრობლემა, რომელშიც a და -b წერტილების ბარიერები შეიძლება ჩაითვალოს შთანთქმად.
აპლიკაციებში, რომლებიც დაკავშირებულია რიგის თეორია, a და -b=0 ბარიერების მახლობლად ნაწილაკი შეიძლება განსხვავებულად მოიქცეს: მაგალითად, თუ a=, ბ=0, შემდეგ პოზიცია Z n+ 1მოხეტიალე ნაწილაკი n+1 მომენტში (1)-ის შესაბამისად აღწერილია მიმართებით

და ბარიერი 0 წერტილში შეიძლება ეწოდოს. დაყოვნება. არსებობს ნაწილაკების ქცევის სხვა შესაძლებლობები ბარიერებთან ახლოს.
თუ a = მაშინ ისინი იღებენ დავალებებს S. b. ერთი საზღვრით. თუ a=b= მაშინ ისინი იღებენ შეუზღუდავ S. b. აღწერილი ს.ბ. ჩვეულებრივ ხდება დისკრეტული მარკოვის ჯაჭვების აპარატის გამოყენებით და, კერძოდ, სასრულ სხვაობებში შესაბამისი განტოლებების შესწავლით. მოდით, მაგალითად, u kარის ნგრევის პრობლემაში პირველი მოთამაშის ნგრევა, თუ მისი კაპიტალი უდრის კ, და ორივე მოთამაშის ჯამური კაპიტალი ფიქსირებული და თანაბარია a+b.შემდეგ ფორმულიდან სრული ალბათობა(პირველი ნახტომიდან) ამას მოჰყვება და კაკმაყოფილებს განტოლებას

და სასაზღვრო პირობები u ა=0, u-b= 1. აქედან ვიღებთ

ამ ფორმულებიდან მეორე გვიჩვენებს, რომ უწყინარიც კი

მათემატიკური ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. I. M. ვინოგრადოვი. 1977-1985 წწ.

ნახეთ, რა არის "RANDOM WALK" სხვა ლექსიკონებში:

შემთხვევითი სიარულის თეორია, თეორია, რომლის დროსაც ფასიანი ქაღალდების ღირებულების ცვლილებები შემთხვევით იცვლება მათი ობიექტური ფასის გარშემო, ეწინააღმდეგება ტექნიკური ანალიზის თეორიას. სარჩევი 1 ერთგანზომილებიანი დისკრეტული შემთხვევითი სიარული ... ვიკიპედია

შემთხვევითი სიარული- atsitiktinis klajojimas statusas T sritis fizika atitikmenys: ინგლ. შემთხვევითი სიარული vok. zufällige Irrfahrt, f; zufällige Schrittfolge, f rus. შემთხვევითი სიარული, ხუმრობა. ქიმია aléatoire, მ; შეცდომა, ვ; marche aléatoire, f … Fizikos Terminų žodynas

ბერნულის ცდებით გენერირებული შემთხვევითი სიარული. B.b-ის მაგალითის გამოყენებით. შესაძლებელია უფრო ზოგადი შემთხვევითი სიარულის გარკვეული ძირითადი მახასიათებლების ახსნა. კერძოდ, უკვე ამ უმარტივესი სქემაშემთხვევითობის თვისებები ჩნდება, პარადოქსული თვალსაზრისით... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

მოთამაშის განადგურების პრობლემა ალბათობის თეორიის სფეროდან არის პრობლემა. დეტალურად განიხილა რუსი მათემატიკოსი A. N. Shiryaev მონოგრაფიაში "ალბათობა" ... ვიკიპედია

თამაში, რომელსაც აქვს პროცესის ხასიათი, რომელიც ვითარდება დისკრეტულ დროში ხის მსგავს მოწესრიგებულ კომპლექტზე (ასევე უწოდებენ ხეს). საბოლოო P. და. დაურეკა სისტემა, სადაც 1) I არის მოთამაშეთა ნაკრები (|I| = n); 2) X არის სასრული ხე, რომლის წვეროებს უწოდებენ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

მარკოვის ჰომოგენური პროცესი X(t), სადაც T არის რეალური ღერძის R დანამატის ქვეჯგუფი, მნიშვნელობებით ტოპოლოგიურში. სივრცე. ტოპოლოგიით და ბორელის ალგებრით, გარდამავალი ფუნქცია P(t, x, B), რომელსაც აქვს სიგლუვის გარკვეული თვისება... მათემატიკური ენციკლოპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ მონტე კარლო (მნიშვნელობები). მონტე კარლოს მეთოდი (მონტე კარლოს მეთოდები, MMK) საერთო სახელირიცხვითი მეთოდების ჯგუფები, რომლებიც დაფუძნებულია სტოქასტური (შემთხვევითი) რეალიზაციის დიდი რაოდენობის მიღებაზე ... ... ვიკიპედია

მონტე კარლოს მეთოდი (მონტე კარლოს მეთოდები, MMK) არის რიცხვითი მეთოდების ჯგუფის ზოგადი სახელწოდება, რომელიც დაფუძნებულია სტოქასტური (შემთხვევითი) პროცესის რეალიზაციის დიდი რაოდენობით მიღებაზე, რომელიც იქმნება ისე, რომ მისი ალბათური ... . .. ვიკიპედია

ბრაუნის ნაწილაკების ქაოტური მოძრაობა სითხეში ან აირში არის შემთხვევითი სიარულის მაგალითი. ბრაუნის მოძრაობის თეორია შეიმუშავეს ა.აინშტაინმა და მ.სმოლუჩოვსკიმ 1905 - 1906 წლებში.

შემთხვევითი სიარულის პრობლემა ერთ-ერთი ფართოდ შესწავლილი პრობლემაა ალბათობის თეორიაში და აქვს მრავალი სხვა გამოყენება.

6.1. შემთხვევითი სიარულის ნიმუშები

შემთხვევითი სიარულის ნიმუშების გაგება შესაძლებელია გამოყენებით მარტივი მოდელი, რომელიც მარტივად ხორციელდება კომპიუტერის გამოყენებით.

N ნაწილაკები (რომლებიც საწყის მომენტში, დაკვირვების მოხერხებულობისთვის, ნაწილდება y ღერძზე) გადაადგილდებიან ზედიზედ Δx x ღერძის გასწვრივ. თითოეული ნაწილაკის თითოეული ნაბიჯი არჩეულია შემთხვევით და დამოუკიდებლად სხვა ნაბიჯებისგან. თუმცა, ნებისმიერი ნაბიჯის არჩევის ალბათობის განაწილება იგივეა. დავუშვათ, რომ გადაადგილებები საპირისპირო მიმართულებით თანაბრად სავარაუდოა. ეს ნიშნავს, რომ საშუალო გადაადგილება

∆x = 0.

ამ თანასწორობის მნიშვნელობა არის ის, რომ ძალიან დიდი რაოდენობის ნაწილაკების გადაადგილების ∆x საშუალო არითმეტიკული რიცხვი იზრდება ნულს. ასე არის გაგებული შემდგომში საშუალოდ. ზოგჯერ ასეთ საშუალო მნიშვნელობებს უწოდებენ აპრიორი 19. გარდა ამისა, ჩვენ გამოვიყენებთ "დაკვირვებულ საშუალოებს" - არითმეტიკული საშუალო ნაწილაკების მოცემული რაოდენობისთვის (ჩვეულებრივ, ძალიან დიდი). ∆x n ნაწილაკის „დაკვირვებული საშუალო“ გადაადგილება მცირეა, მაგრამ არ არის ნულის ტოლი.

ყოველი ნაბიჯის შემდეგ, ნაწილაკები "გავრცელდებიან" y ღერძიდან მოშორებით. მოდით x(k) აღვნიშნოთ გარკვეული ნაწილაკების კოორდინატი k საფეხურის შემდეგ. მერე

x (k + 1) =x (k) + ∆x.

საშუალოდ ამ თანასწორობის (ისევ ნაწილაკების სიმრავლეზე), ვიღებთ

x (k + 1) =x (k) ,

იმათ. x (k)-ის საშუალო მნიშვნელობა არ იცვლება საფეხურიდან საფეხურამდე და, შესაბამისად, უდრის x (0) = 0. x n-ის დაკვირვებული მნიშვნელობა ნაწილაკების დიდი რაოდენობით

	x (k)n =N
			1 x j(k)

ადრე, ჩვენ ვვარაუდობდით, რომ თავების მიღების ალბათობა არის 1/2.

ახლოს იქნება ნულთან (აქ x j არის j-ე ნაწილაკის კოორდინატი)20.

ზოლის სიგანე, რომლის გასწვრივაც ნაწილაკები ნაწილდება kth ნაბიჯის შემდეგ, შეიძლება მოხერხებულად დახასიათდეს x 2 (k) მნიშვნელობით. ამ მნიშვნელობის დამოკიდებულების გასარკვევად საფეხურების რაოდენობაზე, მოდით კვადრატული ტოლობა (2) და საშუალო:

x 2 (k + 1) =x 2 (k) + 2x (k)∆x + (∆x)2.

x(k) და ∆x-ის დამოუკიდებლობის გამო გვაქვს

x (k)∆x =x (k) ∆x = 0.

ავღნიშნოთ (∆x )2 =a 2 . (4)-დან გამომდინარეობს

x 2 (k + 1) =x 2 (k) +a 2,

იმათ. კოორდინატის საშუალო კვადრატი ყოველ ნაბიჯზე იზრდება a 2-ით. ნიშნავს,

x2 (k) = ka2.
დაკვირვებული ღირებულება
	n =		xj 2

მერყეობს დაახლოებით ნაბიჯების რაოდენობის პროპორციულად.

ნაწილაკების განაწილება მათ მიერ დაკავებულ ზოლში უფრო დეტალურად ხასიათდება განაწილების ფუნქციით f (x), რომელიც განსაზღვრავს ნაწილაკების კონცენტრაციას dW = f (x)dx;

– ალბათობა იმისა, რომ j-ე ნაწილაკის კოორდინატი kth ნაბიჯის შემდეგ იქნება ≤ x j ≤ x +dx ინტერვალში. შემთხვევითი სიარულის თეორია იძლევა, საკმარისად დიდი რაოდენობის ნაბიჯებისთვის, გაუსიან განაწილებას

	f(x) =
		√ 2 πka2

დაკვირვებული განაწილების ფუნქცია მიიღება x-ღერძის სასრულ ინტერვალებად დაყოფით და თითოეულ მათგანში ნაწილაკების რაოდენობის დათვლით. გაანგარიშების შედეგი წარმოდგენილია გრაფიკულად, როგორც საფეხურის მრუდი - ჰისტოგრამა (ნახ. 7).

ყურადღება მივაქციოთ დამოკიდებულების ერთ თვისებას (5). თუ დროის საფეხურებს გავდიდებთ l-ჯერ, მაშინ გადაადგილების საშუალო კვადრატი ერთი ნაბიჯის 2-ისთვის მიჰყვება

						კ/ლ. საბოლოოდ
(5) შესაბამისად შეცვალეთ witha					ხოლო ნაბიჯების რაოდენობა k – nak
	(კ) =ლა	კ/ლ = ა	კ, ე.ი. დამოკიდებულების ტიპი (5) არ იცვლება გადიდებისას

20 N ნაწილაკების მოცემული რაოდენობისთვის ეს მართალია არცთუ ისე დიდი ოთახინაბიჯები

ბრინჯი. 7. ნაწილაკების განაწილება დიფუზიის დროს (ჰისტოგრაფია და თეორიული მრუდი)

6.2. ბრაუნის ნაწილაკის მოძრაობის პარამეტრების შეფასება სითხეში

წარმოვადგინოთ რეალური ბრაუნის მოძრაობის შეფასებები. ბრაუნის ნაწილაკის v T ქაოტური მოძრაობის საშუალო სიჩქარე განისაზღვრება ისევე, როგორც საშუალო სიჩქარემოლეკულები, თანაფარდობა

თუ ნაწილაკების სიჩქარე ახლოსაა თერმულთან, v v T, მაშინ ძალა ბუნებრივად გაცილებით მცირეა და მისი გადახრები საშუალო მნიშვნელობიდან -αv ძალიან მნიშვნელოვანია.

21 R რადიუსის ბურთისთვის სითხეში სიბლანტის კოეფიციენტით η სტოქსის კანონის მიხედვით

α = 6 πηR.

სწორედ ეს გადახრებია პასუხისმგებელი ნაწილაკების უწყვეტ ქაოტურ მოძრაობაზე. თუ ჩვენ ვსაუბრობთასეთი მოძრაობის შესახებ, მაშინ τ (9)-დან შეიძლება გავიგოთ, როგორც დროის შეფასება, რის შემდეგაც ნაწილაკი „ივიწყებს“ მოძრაობის საწყის მიმართულებას. მაგრამ იგივე მნიშვნელობა იძლევა დროის ინტერვალის უხეშ შეფასებას, რომლის დროსაც ნაწილაკი „იმახსოვრებს“ მოძრაობის მიმართულებას. (შესაძლოა, „გარანტირებული დავიწყების“ დროის შესაფასებლად ღირდეს 2τ აღება და შეფასდეს მიმართულების გარანტირებული შენარჩუნების დრო τ/2, მაგრამ ჩვენ გვაინტერესებს არა „გარანტირებული“ დრო, არამედ საშუალო დრო. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ კოეფიციენტები არის 2, 1/2 და ა.შ. სცილდება მიღებული შეფასებების სიზუსტეს.)

დროში τ ნაწილაკი გადის სიდიდის ტოლ გზას

a vT τ.

ჩვენ შეგვიძლია მივიჩნიოთ ნაწილაკების გადაადგილება τ-ის რიგის სხვადასხვა დროის ინტერვალებში, როგორც შემთხვევითი, ადრე განხილული ∆x-ის მსგავსი, მხოლოდ მიმართული არა x ღერძის გასწვრივ, არამედ თვითნებური მიმართულებით (მაგალითად, როგორც სამი ერთდროული და დამოუკიდებელი გადაადგილება სამის გასწვრივ. კოორდინატთა ღერძები). ნაწილაკების მოძრაობა t τ დროში შეიძლება დაიყოს k t/τ ასეთ საფეხურებად. ნაწილაკების გადაადგილება t დროში შეფასებულია (5) ანალოგიით:

		(t)ka(vT τ)
ეს შედეგი ჩვეულებრივ წარმოდგენილია ფორმით
		r2 (t) = 6 D t,

სადაც D არის დიფუზიის კოეფიციენტი22. (8), (9), (11) გათვალისწინებით

D k α B T .(13)

თუ თავდაპირველად ნაწილაკები კონცენტრირებული იყო რაიმე მცირე მოცულობით, მაშინ დროთა განმავლობაში ისინი უფრო და უფრო ვრცელდებიან და იკავებენ r(t) ზომის ფართობს.

აინშტაინისა და სმოლუჩოვსკის მიერ მოპოვებული ფორმის (12), (13) მიმართებები დაედო საფუძველს პერინის ექსპერიმენტებს, რომლის დროსაც განისაზღვრა ატომების მასა და რომელიც მიღებული იქნა „მეცნიერული საზოგადოების მიერ“, როგორც ატომების არსებობის დამაჯერებელი მტკიცებულება. .

ზემოთ აღწერილი შაბლონები უნდა გავიგოთ, როგორც შემზღუდველი შემთხვევა, რომელიც შეესაბამება ნაწილაკების უსასრულო რაოდენობის დაკვირვებას. სასრული რაოდენობის ნაწილაკების შემთხვევითი სიარულის განხორციელება, რომლებიც ასრულებენ ბრაუნის მოძრაობას (რეალური ან „კომპიუტერი“) აჩვენებს ამ მიმართებების მხოლოდ მიახლოებით შესრულებას.

22 x ღერძის მიმართულებით შემთხვევითი სიარულისთვის, (12)-ის ნაცვლად გვაქვს x 2 (t) = 2 D t.