Jak obliczyć c w teorii prawdopodobieństwa. Jak znając procent prawdopodobieństwa przeliczyć go na współczynnik dziesiętny? Całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia

Nasza odpowiedź

Wybór prawidłowy zakład zależy nie tylko od intuicji, wiedzy sportowej, kursów bukmacherskich, ale także od współczynnika prawdopodobieństwa zdarzenia. Umiejętność obliczenia takiego wskaźnika w zakładach bukmacherskich jest kluczem do sukcesu w prognozowaniu nadchodzące wydarzenie, na który ma zostać postawiony zakład.
U bukmacherów istnieją trzy rodzaje kursów (więcej szczegółów w artykule), od których rodzaju zależy sposób obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia dla gracza.

Kursy dziesiętne

W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się ze wzoru: 1/współczynnik. = v.i, gdzie współczynnik. to współczynnik zdarzenia, a v.i to prawdopodobieństwo wyniku. Przykładowo, przy zakładzie za jednego dolara przyjmujemy kurs zdarzenia 1,80, wykonując operację matematyczną według wzoru, gracz otrzymuje, że prawdopodobieństwo wyniku zdarzenia według bukmachera wynosi 0,55 procent.

Szanse ułamkowe

W przypadku kursów ułamkowych wzór na obliczenie prawdopodobieństwa będzie inny. Zatem przy współczynniku 7/2, gdzie pierwsza cyfra oznacza możliwą kwotę zysku netto, a druga wielkość zakładu wymaganego do uzyskania tego zysku, równanie będzie wyglądać następująco: zn.od/ dla sumy z zn.od i chs.od = v.i. Tutaj zn.coef jest mianownikiem współczynnika, chs.coef jest licznikiem współczynnika, v.i jest prawdopodobieństwem wyniku. Zatem dla ułamkowego kursu 7/2 równanie wygląda jak 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, zatem prawdopodobieństwo wyniku zdarzenia wynosi według bukmachera 0,22%.

Amerykańskie kursy

Kursy amerykańskie nie cieszą się zbyt dużą popularnością wśród graczy i z reguły stosowane są wyłącznie w USA, gdyż mają złożoną i zagmatwaną strukturę. Aby odpowiedzieć na pytanie: „Jak w ten sposób obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia?”, trzeba wiedzieć, że współczynniki te mogą być ujemne i dodatnie.

Współczynnik ze znakiem „-”, na przykład -150, pokazuje, że gracz musi postawić zakład za 150 dolarów, aby otrzymać zysk netto w wysokości 100 dolarów. Prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się na podstawie wzoru, w którym należy podzielić ujemny współczynnik przez sumę ujemnego współczynnika i 100. Wygląda to jak na przykładzie zakładu o wartości -150, a więc (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, gdzie 0,6 mnoży się przez 100, a prawdopodobieństwo wyniku zdarzenia wynosi 60 procent. Tę samą formułę można zastosować również w przypadku dodatnich kursów amerykańskich.

Profesjonalny gracz musi dobrze rozumieć kursy, szybko i prawidłowo oszacować prawdopodobieństwo zdarzenia za pomocą współczynnika i, jeśli to konieczne, móc konwertować kursy z jednego formatu na inny. W tym podręczniku porozmawiamy o rodzajach współczynników, a także na przykładach, aby pokazać, jak to zrobić obliczyć prawdopodobieństwo, korzystając ze znanego współczynnika i wzajemnie.

Jakie rodzaje kursów są dostępne?

Bukmacherzy oferują graczom trzy główne rodzaje kursów: kursy dziesiętne, ułamkowe szanse(Angielski i Amerykańskie kursy. Najpopularniejsze kursy w Europie to kursy dziesiętne. W Ameryka północna Popularne są kursy amerykańskie. Najwięcej jest kursów ułamkowych tradycyjny wygląd, natychmiast odzwierciedlają informację o tym, ile musisz postawić, aby otrzymać określoną kwotę.

Kursy dziesiętne

Dziesiętny lub też są tzw Europejskie kursy to znany format liczb reprezentowany przez dziesiętny z dokładnością do setnych, a czasem nawet tysięcznych. Przykładem kursu dziesiętnego jest 1,91. Obliczenie zysku w przypadku kursów dziesiętnych jest bardzo proste, wystarczy pomnożyć kwotę swojego zakładu przez ten kurs. Na przykład w meczu „Manchester United” - „Arsenal” zwycięstwo „Manchester United” ustala się ze współczynnikiem 2,05, remis szacowany jest ze współczynnikiem 3,9, a zwycięstwo „Arsenalu” jest równe 2,95. Powiedzmy, że jesteśmy pewni zwycięstwa United i stawiamy na nich 1000 dolarów. Potem nasz możliwy dochód obliczone w następujący sposób:

2.05 * $1000 = $2050;

To naprawdę nie jest takie skomplikowane, prawda?! W ten sam sposób oblicza się możliwy dochód w przypadku obstawiania remisu lub zwycięstwa Arsenalu.

Rysować: 3.9 * $1000 = $3900;
Zwycięstwo Arsenalu: 2.95 * $1000 = $2950;

Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia za pomocą kursów dziesiętnych?

Teraz wyobraź sobie, że musimy określić prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie kursów dziesiętnych ustawionych przez bukmachera. Odbywa się to również bardzo prosto. Aby to zrobić, dzielimy jeden przez ten współczynnik.

Weźmy istniejące dane i obliczmy prawdopodobieństwo każdego zdarzenia:

Zwycięstwo Manchesteru United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Rysować: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Zwycięstwo Arsenalu: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Kursy ułamkowe (angielski)

Jak sama nazwa wskazuje współczynnik ułamkowy przedstawione ułamek zwyczajny. Przykładem kursów angielskich jest 5/2. W liczniku ułamka znajduje się liczba będąca potencjalną kwotą wygranej netto, a w mianowniku liczba wskazująca kwotę, jaką należy postawić, aby otrzymać tę wygraną. Mówiąc najprościej, musimy postawić 2 dolary, aby wygrać 5 dolarów. Kurs 3/2 oznacza, że ​​aby otrzymać 3 $ wygranej netto, będziemy musieli postawić 2 $.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia za pomocą kursów ułamkowych?

Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia przy użyciu kursów ułamkowych również nie jest trudne, wystarczy podzielić mianownik przez sumę licznika i mianownika.

Dla ułamka 5/2 obliczamy prawdopodobieństwo: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Dla ułamka 3/2 obliczamy prawdopodobieństwo:

Amerykańskie kursy

Amerykańskie kursy niepopularny w Europie, ale bardzo w Ameryce Północnej. Być może, ten typ współczynniki jest najbardziej złożona, ale to tylko na pierwszy rzut oka. Tak naprawdę w tego typu współczynnikach nie ma nic skomplikowanego. Teraz ustalmy to wszystko w odpowiedniej kolejności.

Główną cechą amerykańskich kursów jest to, że mogą one być jednym i drugim pozytywny, Więc negatywny. Przykład kursów amerykańskich - (+150), (-120). Kurs amerykański (+150) oznacza, że ​​aby zarobić 150 dolarów, musimy postawić 100 dolarów. Innymi słowy, dodatni współczynnik amerykański odzwierciedla potencjał zarobki netto przy zakładzie 100 dolarów. Ujemne kursy amerykańskie odzwierciedlają kwotę zakładu, którą należy postawić, aby uzyskać wygraną netto w wysokości 100 $. Na przykład współczynnik (-120) mówi nam, że stawiając 120 dolarów, wygramy 100 dolarów.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przy użyciu kursów amerykańskich?

Prawdopodobieństwo zdarzenia przy użyciu współczynnika amerykańskiego oblicza się za pomocą następujących wzorów:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), gdzie M jest ujemnym współczynnikiem amerykańskim;
100/(P+100), gdzie P jest dodatnim współczynnikiem amerykańskim;

Na przykład mamy współczynnik (-120), wówczas prawdopodobieństwo oblicza się w następujący sposób:

(-(M)) / ((-(M)) + 100); zamień wartość (-120) na „M”;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia przy kursie amerykańskim (-120) wynosi 54,5%.

Na przykład mamy współczynnik (+150), wówczas prawdopodobieństwo oblicza się w następujący sposób:

100/(P+100); zamień wartość (+150) na „P”;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia po kursie amerykańskim (+150) wynosi 40%.

Jak znając procent prawdopodobieństwa przeliczyć go na współczynnik dziesiętny?

Aby obliczyć współczynnik dziesiętny na podstawie znanego procentu prawdopodobieństwa, należy podzielić 100 przez prawdopodobieństwo zdarzenia wyrażone w procentach. Na przykład prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 55%, wówczas współczynnik dziesiętny tego prawdopodobieństwa będzie równy 1,81.

100 / 55% = 1,81

Jak, znając procent prawdopodobieństwa, przekonwertować go na współczynnik ułamkowy?

Aby obliczyć współczynnik ułamkowy na podstawie znanego procentu prawdopodobieństwa, należy odjąć jeden od podzielenia 100 przez prawdopodobieństwo zdarzenia wyrażone w procentach. Na przykład, jeśli mamy procent prawdopodobieństwa 40%, wówczas współczynnik ułamkowy tego prawdopodobieństwa będzie równy 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Współczynnik ułamkowy wynosi 1,5/1 lub 3/2.

Jak znając procent prawdopodobieństwa przeliczyć go na współczynnik amerykański?

Jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia jest większe niż 50%, obliczeń dokonuje się za pomocą wzoru:

- ((V) / (100 - V)) * 100, gdzie V jest prawdopodobieństwem;

Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 80%, wówczas amerykański współczynnik tego prawdopodobieństwa będzie równy (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia jest mniejsze niż 50%, obliczeń dokonuje się za pomocą wzoru:

((100 - V) / V) * 100, gdzie V jest prawdopodobieństwem;

Na przykład, jeśli mamy procentowe prawdopodobieństwo zdarzenia wynoszące 20%, to amerykański współczynnik tego prawdopodobieństwa będzie równy (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Jak przekonwertować współczynnik na inny format?

Są chwile, kiedy konieczna jest konwersja kursów z jednego formatu na inny. Na przykład mamy kurs ułamkowy równy 3/2 i musimy go przekonwertować na dziesiętny. Aby zamienić kurs ułamkowy na kurs dziesiętny, najpierw określamy prawdopodobieństwo zdarzenia z kursem ułamkowym, a następnie przekształcamy to prawdopodobieństwo na kurs dziesiętny.

Prawdopodobieństwo zdarzenia przy ułamkowym kursie 3/2 wynosi 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Przeliczmy teraz prawdopodobieństwo zdarzenia na współczynnik dziesiętny; w tym celu podziel 100 przez prawdopodobieństwo zdarzenia wyrażone w procentach:

100 / 40% = 2.5;

Zatem kurs ułamkowy 3/2 jest równy kursowi dziesiętnemu 2,5. W podobny sposób np. kursy amerykańskie przeliczane są na ułamkowe, dziesiętne na amerykańskie itd. Najtrudniejszą rzeczą w tym wszystkim są właśnie obliczenia.

„Wypadki nie są przypadkowe”… Brzmi to jak powiedzenie filozofa, ale tak naprawdę studiowanie wypadków jest przeznaczeniem wielka nauka matematyka. W matematyce przypadek zajmuje się teorią prawdopodobieństwa. W artykule zostaną zaprezentowane formuły i przykłady zadań, a także główne definicje tej nauki.

Co to jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa jest jedną z dyscyplin matematycznych badającą zdarzenia losowe.

Aby było to trochę jaśniejsze, podamy mały przykład: jeśli rzucisz monetę w górę, może wypaść orzeł lub reszka. Gdy moneta jest w powietrzu, możliwe są oba prawdopodobieństwa. Czyli prawdopodobieństwo możliwe konsekwencje stosunek wynosi 1:1. Jeśli zostanie wylosowany z talii 36 kart, prawdopodobieństwo zostanie wskazane jako 1:36. Wydawać by się mogło, że nie ma tu co badać i przewidywać, zwłaszcza za pomocą wzorów matematycznych. Jeśli jednak powtarzasz daną czynność wiele razy, możesz zidentyfikować pewien wzorzec i na jego podstawie przewidzieć wynik zdarzeń w innych warunkach.

Podsumowując wszystko powyższe, teoria prawdopodobieństwa w klasycznym sensie bada możliwość wystąpienia jednego z możliwych zdarzeń w wartości liczbowej.

Z kart historii

Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady pierwszych zadań pojawiły się w odległym średniowieczu, kiedy pojawiły się pierwsze próby przewidywania wyniku gier karcianych.

Początkowo teoria prawdopodobieństwa nie miała nic wspólnego z matematyką. Uzasadniano to faktami empirycznymi lub właściwościami zdarzenia dającymi się odtworzyć w praktyce. Pierwsze prace z tego zakresu jako dyscypliny matematycznej pojawiły się w XVII wieku. Założycielami byli Blaise Pascal i Pierre Fermat. Długi czas oni uczyli się hazard i dostrzegli pewne prawidłowości, o których postanowili opowiedzieć społeczeństwu.

Tę samą technikę wynalazł Christiaan Huygens, choć nie znał wyników badań Pascala i Fermata. Wprowadził on pojęcie „teorii prawdopodobieństwa”, wzory i przykłady, które uważane są za pierwsze w historii dyscypliny.

Niemałe znaczenie mają także prace Jacoba Bernoulliego, twierdzenia Laplace'a i Poissona. Sprawili, że teoria prawdopodobieństwa bardziej przypominała dyscyplinę matematyczną. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady podstawowych zadań otrzymały swoją obecną formę dzięki aksjomatom Kołmogorowa. W wyniku tych wszystkich zmian teoria prawdopodobieństwa stała się jedną z gałęzi matematyki.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenia

Główną koncepcją tej dyscypliny jest „wydarzenie”. Istnieją trzy typy wydarzeń:

• Niezawodny. Te, które i tak się wydarzą (moneta spadnie).
• Niemożliwe. Wydarzenia, które w żadnym wypadku nie będą miały miejsca (moneta pozostanie w powietrzu).
• Losowy. Te, które się wydarzą lub nie. Wpływ na nie mogą mieć różne czynniki, które są bardzo trudne do przewidzenia. Jeśli mówimy o monecie, na wynik mogą mieć wpływ czynniki losowe: cechy fizyczne monety, jej kształt, pierwotne położenie, siła rzutu itp.

Wszystkie zdarzenia w przykładach oznaczono wielkimi literami z literami łacińskimi, z wyjątkiem P, który pełni inną rolę. Na przykład:

• A = „studenci przyszli na wykład”.
• Ā = „studenci nie przyszli na wykład”.

W zadaniach praktycznych zdarzenia są zwykle zapisywane słownie.

Jeden z najważniejsze cechy zdarzenia - ich równość możliwości. Oznacza to, że jeśli rzucisz monetą, możliwe są wszystkie warianty początkowego upadku, dopóki nie spadnie. Ale zdarzenia również nie są równie możliwe. Dzieje się tak, gdy ktoś celowo wpływa na wynik. Na przykład „oznaczone” grać w karty lub kostki, w których środek ciężkości jest przesunięty.

Zdarzenia mogą być również kompatybilne i niekompatybilne. Zdarzenia zgodne nie wykluczają wzajemnego wystąpienia. Na przykład:

• A = „uczeń przyszedł na wykład”.
• B = „uczeń przyszedł na wykład”.

Zdarzenia te są od siebie niezależne i wystąpienie jednego z nich nie ma wpływu na wystąpienie drugiego. Zdarzenia niezgodne definiuje się przez fakt, że wystąpienie jednego wyklucza wystąpienie drugiego. Jeśli mówimy o tej samej monecie, to utrata „resztek” uniemożliwia pojawienie się „resztek” w tym samym eksperymencie.

Działania na zdarzeniach

Zdarzenia można mnożyć i dodawać, dlatego w dyscyplinie wprowadza się spójniki logiczne „AND” i „OR”.

Kwota jest ustalana na podstawie faktu, że zdarzenie A, B lub dwa mogą wystąpić jednocześnie. Jeśli są one niezgodne, ostatnia opcja jest niemożliwa; zostanie wyrzucony albo A, albo B.

Mnożenie zdarzeń polega na jednoczesnym pojawieniu się A i B.

Teraz możemy podać kilka przykładów, aby lepiej zapamiętać podstawy, teorię prawdopodobieństwa i wzory. Poniżej przykłady rozwiązań problemów.

Ćwiczenie 1: Firma bierze udział w konkursie na kontrakty na trzy rodzaje prac. Możliwe zdarzenia, które mogą wystąpić:

• A = „firma otrzyma pierwszy kontrakt”.
• A 1 = „firma nie otrzyma pierwszego kontraktu”.
• B = „firma otrzyma drugi kontrakt”.
• B 1 = „firma nie otrzyma drugiego zamówienia”
• C = „firma otrzyma trzeci kontrakt”.
• C 1 = „firma nie otrzyma trzeciego kontraktu”.

Używając akcji na zdarzeniach, spróbujemy wyrazić następujące sytuacje:

• K = „firma otrzyma wszystkie kontrakty”.

W formie matematycznej równanie będzie miało następny widok: K = ABC.

• M = „firma nie otrzyma ani jednego kontraktu.”

M = ZA 1 B 1 do 1.

Skomplikujmy zadanie: H = „firma otrzyma jeden kontrakt”. Ponieważ nie wiadomo, jaki kontrakt otrzyma firma (pierwszy, drugi czy trzeci), konieczne jest odnotowanie całego ciągu możliwych zdarzeń:

H = ZA 1 BC 1 υ AB 1 do 1 υ ZA 1 B 1 C.

A 1 p.n.e. 1 to seria wydarzeń, w których firma nie otrzymuje pierwszego i trzeciego kontraktu, ale otrzymuje drugi. Inne możliwe zdarzenia rejestrowano przy użyciu odpowiedniej metody. Symbol υ w dyscyplinie oznacza łącznik „OR”. Jeśli przetłumaczymy powyższy przykład na język ludzki, wówczas firma otrzyma albo trzeci kontrakt, albo drugi, albo pierwszy. W podobny sposób możesz zapisać inne warunki w dyscyplinie „Teoria prawdopodobieństwa”. Przedstawione powyżej formuły i przykłady rozwiązywania problemów pomogą Ci to zrobić samodzielnie.

Właściwie prawdopodobieństwo

Być może w tej dyscyplinie matematycznej prawdopodobieństwo zdarzenia jest pojęciem centralnym. Istnieją 3 definicje prawdopodobieństwa:

• klasyczny;
• statystyczny;
• geometryczny.

Każdy ma swoje miejsce w badaniu prawdopodobieństwa. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady (9. klasa) korzystają głównie z klasycznej definicji, która brzmi następująco:

• Prawdopodobieństwo sytuacji A jest równe stosunkowi liczby wyników sprzyjających jej wystąpieniu do liczby wszystkich możliwych wyników.

Wzór wygląda następująco: P(A)=m/n.

A jest właściwie wydarzeniem. Jeśli pojawi się przypadek przeciwny do A, można go zapisać jako Ā lub A 1 .

m to liczba możliwych korzystnych przypadków.

n - wszystkie zdarzenia, które mogą się wydarzyć.

Na przykład A = „dobierz kartę w kolorze kier”. W standardowej talii znajduje się 36 kart, z czego 9 to kier. W związku z tym formuła rozwiązania problemu będzie wyglądać następująco:

P(A)=9/36=0,25.

W rezultacie prawdopodobieństwo, że z talii zostanie wylosowana karta w kolorze kier, wyniesie 0,25.

W stronę wyższej matematyki

Teraz mało wiadomo, czym jest teoria prawdopodobieństwa, formuły i przykłady rozwiązywania problemów, które się w niej pojawiają program nauczania. Jednak teorię prawdopodobieństwa można znaleźć także w wyższej matematyce, której wykłada się na uniwersytetach. Najczęściej operują geometrycznymi i statystycznymi definicjami teorii oraz złożonymi wzorami.

Teoria prawdopodobieństwa jest bardzo interesująca. Lepiej zacząć uczyć się wzorów i przykładów (wyższa matematyka) od małych - ze statystyczną (lub częstotliwościową) definicją prawdopodobieństwa.

Podejście statystyczne nie jest sprzeczne z podejściem klasycznym, lecz nieznacznie je rozszerza. Jeśli w pierwszym przypadku konieczne było określenie, z jakim prawdopodobieństwem wystąpi zdarzenie, to w tej metodzie konieczne jest wskazanie, jak często będzie ono występować. Wprowadzono tutaj nową koncepcję „częstotliwości względnej”, którą można oznaczyć jako Wn (A). Formuła nie różni się od klasycznej:

Jeżeli do predykcji obliczany jest klasyczny wzór, to statystyczny jest obliczany na podstawie wyników eksperymentu. Weźmy na przykład małe zadanie.

Dział kontroli technologicznej sprawdza jakość wyrobów. Spośród 100 produktów 3 uznano za złej jakości. Jak znaleźć prawdopodobieństwo częstotliwości produktu wysokiej jakości?

A = „wygląd produktu wysokiej jakości”.

W n (A) = 97/100 = 0,97

Zatem częstotliwość produktu wysokiej jakości wynosi 0,97. Skąd wziąłeś 97? Na 100 skontrolowanych produktów 3 okazały się złej jakości. Odejmujemy 3 od 100 i otrzymujemy 97, to jest ilość towarów wysokiej jakości.

Trochę o kombinatoryce

Inną metodą teorii prawdopodobieństwa jest kombinatoryka. Jej podstawowa zasada jest taka, że ​​jeśli pewnego wyboru A można dokonać m.in różne sposoby, a wyboru B można dokonać na n różnych sposobów, wówczas wyboru A i B można dokonać przez mnożenie.

Na przykład istnieje 5 dróg prowadzących z miasta A do miasta B. Z miasta B do miasta C prowadzą 4 ścieżki. Na ile sposobów można dostać się z miasta A do miasta C?

To proste: 5x4=20, czyli na dwadzieścia różnych sposobów można dostać się z punktu A do punktu C.

Skomplikujmy zadanie. Na ile sposobów można ułożyć karty w pasjansie? W talii znajduje się 36 kart – to jest punkt wyjścia. Aby poznać liczbę sposobów, należy „odejmować” po jednej karcie od punktu początkowego i pomnożyć.

Oznacza to, że 36x35x34x33x32...x2x1= wynik nie mieści się na ekranie kalkulatora, więc można go po prostu oznaczyć jako 36!. Podpisać "!" obok liczby wskazuje, że cały ciąg liczb jest mnożony przez siebie.

W kombinatoryce istnieją takie pojęcia jak permutacja, rozmieszczenie i kombinacja. Każdy z nich ma swoją własną formułę.

Uporządkowany zbiór elementów zbioru nazywa się układem. Miejsca docelowe można powtarzać, czyli jeden element można wykorzystać kilkukrotnie. I bez powtórzeń, gdy elementy się nie powtarzają. n to wszystkie elementy, m to elementy biorące udział w rozmieszczeniu. Wzór na umieszczenie bez powtórzeń będzie wyglądał następująco:

A n m = n!/(n-m)!

Połączenia n elementów różniących się jedynie kolejnością umieszczenia nazywane są permutacjami. W matematyce wygląda to tak: P n = n!

Kombinacje n elementów m to takie związki, w których ważne jest jakie to były elementy i jakie były całkowity. Formuła będzie wyglądać następująco:

A n m = n!/m! (n-m)!

Wzór Bernoulliego

W teorii prawdopodobieństwa, jak i w każdej dyscyplinie, istnieją dzieła wybitnych badaczy w swojej dziedzinie, którzy do tego doprowadzili nowy poziom. Jedną z takich prac jest wzór Bernoulliego, który pozwala określić prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia w niezależnych warunkach. Sugeruje to, że wystąpienie A w eksperymencie nie zależy od wystąpienia lub niewystąpienia tego samego zdarzenia we wcześniejszych lub kolejnych próbach.

Równanie Bernoulliego:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Prawdopodobieństwo (p) wystąpienia zdarzenia (A) jest stałe dla każdej próby. Prawdopodobieństwo, że sytuacja wystąpi dokładnie m razy w n liczbie eksperymentów, zostanie obliczone ze wzoru przedstawionego powyżej. W związku z tym pojawia się pytanie, jak znaleźć liczbę q.

Jeśli zdarzenie A wystąpi p razy, odpowiednio, może nie wystąpić. Jednostka to liczba używana do określenia wszystkich wyników sytuacji w danej dyscyplinie. Zatem q jest liczbą oznaczającą możliwość nie wystąpienia zdarzenia.

Teraz znasz już wzór Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa). Poniżej rozważymy przykłady rozwiązywania problemów (pierwszy poziom).

Zadanie 2: Osoba odwiedzająca sklep dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2. Do sklepu samodzielnie weszło 6 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odwiedzający dokona zakupu?

Rozwiązanie: Ponieważ nie wiadomo, ilu odwiedzających powinno dokonać zakupu, jednego czy wszystkich sześciu, konieczne jest obliczenie wszystkich możliwych prawdopodobieństw za pomocą wzoru Bernoulliego.

A = „odwiedzający dokona zakupu”.

W tym przypadku: p = 0,2 (jak wskazano w zadaniu). Odpowiednio q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ponieważ w sklepie jest 6 klientów). Liczba m będzie się wahać od 0 (żaden klient nie dokona zakupu) do 6 (wszyscy odwiedzający sklep coś kupią). W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Żaden z kupujących nie dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2621.

Jak inaczej wykorzystuje się wzór Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa)? Przykłady rozwiązania problemu (drugi poziom) poniżej.

Po powyższym przykładzie pojawiają się pytania, dokąd poszły C i r. Względem p liczba do potęgi 0 będzie równa jeden. Jeśli chodzi o C, można je znaleźć za pomocą wzoru:

Do n m = n! /m!(n-m)!

Ponieważ w pierwszym przykładzie odpowiednio m = 0, C = 1, co w zasadzie nie ma wpływu na wynik. Za pomocą Nowa formuła, spróbujmy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo, że dwóch odwiedzających dokona zakupu towarów.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria prawdopodobieństwa nie jest aż tak skomplikowana. Bezpośrednim dowodem na to jest wzór Bernoulliego, którego przykłady przedstawiono powyżej.

Wzór Poissona

Równanie Poissona służy do obliczania sytuacji losowych o niskim prawdopodobieństwie.

Podstawowa formuła:

P n (m) = λ m /m! × mi (-λ) .

W tym przypadku λ = n x p. Oto prosty wzór Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Poniżej rozważymy przykłady rozwiązywania problemów.

Zadanie 3: Fabryka wyprodukowała 100 000 części. Wystąpienie wadliwej części = 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii będzie 5 wadliwych części?

Jak widać małżeństwo jest wydarzeniem mało prawdopodobnym, dlatego do obliczeń używana jest formuła Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania tego typu problemów nie różnią się od innych zadań z dyscypliny, niezbędne dane podstawiamy do podanego wzoru:

A = „losowo wybrana część będzie wadliwa”.

p = 0,0001 (wg warunków zadania).

n = 100000 (liczba części).

m = 5 (części wadliwe). Podstawiamy dane do wzoru i otrzymujemy:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Podobnie jak wzór Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa), którego przykłady rozwiązań opisano powyżej, równanie Poissona ma niewiadomą e. W rzeczywistości można je znaleźć za pomocą wzoru:

mi -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Istnieją jednak specjalne tabele, które zawierają prawie wszystkie wartości e.

Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a

Jeżeli w schemacie Bernoulliego liczba prób jest wystarczająco duża, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest takie samo we wszystkich schematach, to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określona ilość razy w serii testów można znaleźć ze wzoru Laplace'a:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Aby lepiej zapamiętać wzór Laplace’a (teorię prawdopodobieństwa), poniżej znajdują się przykłady problemów.

Najpierw znajdźmy X m, podstawmy dane (wszystkie są wymienione powyżej) do wzoru i otrzymamy 0,025. Korzystając z tabel, znajdujemy liczbę ϕ(0,025), której wartość wynosi 0,3988. Teraz możesz zastąpić wszystkie dane wzorem:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Zatem prawdopodobieństwo, że ulotka wykona dokładnie 267 razy, wynosi 0,03.

Formuła Bayesa

Wzór Bayesa (teoria prawdopodobieństwa), którego przykłady rozwiązywania problemów zostaną podane poniżej, jest równaniem opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie okoliczności, które mogą być z nim powiązane. Podstawowa formuła jest następująca:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B to zdarzenia określone.

P(A|B) jest prawdopodobieństwem warunkowym, co oznacza, że ​​zdarzenie A może zaistnieć pod warunkiem, że zdarzenie B jest prawdziwe.

P (B|A) - prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B.

Tak więc ostatnią częścią krótkiego kursu „Teoria prawdopodobieństwa” jest formuła Bayesa, przykłady rozwiązań problemów, które znajdują się poniżej.

Zadanie 5: Na magazyn przywieziono telefony z trzech firm. Jednocześnie udział telefonów produkowanych w pierwszym zakładzie wynosi 25%, w drugim – 60%, w trzecim – 15%. Wiadomo też, że średni odsetek wadliwych produktów w pierwszej fabryce wynosi 2%, w drugiej – 4%, a w trzeciej – 1%. Musisz znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany telefon będzie uszkodzony.

A = „losowo wybrany telefon”.

B 1 - telefon wyprodukowany przez pierwszą fabrykę. Odpowiednio pojawią się wprowadzające B 2 i B 3 (dla drugiej i trzeciej fabryki).

W rezultacie otrzymujemy:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - w ten sposób wyznaczyliśmy prawdopodobieństwo każdej opcji.

Teraz musimy znaleźć prawdopodobieństwa warunkowe pożądane zdarzenie, czyli prawdopodobieństwo wystąpienia wadliwych produktów w firmach:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Podstawmy teraz dane do wzoru Bayesa i otrzymamy:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

W artykule przedstawiono teorię prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, ale to tylko wierzchołek góry lodowej ogromnej dyscypliny. A po tym wszystkim, co zostało napisane, logiczne będzie zadanie pytania, czy teoria prawdopodobieństwa jest potrzebna w życiu. Do zwykłego człowieka Trudno odpowiedzieć, lepiej zapytać kogoś, kto skorzystał z niego, aby wygrać jackpot więcej niż raz.

Rozumiem, że każdy chce wiedzieć z wyprzedzeniem, jak zakończy się wydarzenie sportowe, kto wygra, a kto przegra. Dzięki tym informacjom możesz obstawiać zakłady wydarzenia sportowe. Ale czy jest to w ogóle możliwe, a jeśli tak, to jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia?

Prawdopodobieństwo jest wartością względną, dlatego nie może mówić z pewnością o żadnym zdarzeniu. Ta wartość pozwala na analizę i ocenę konieczności postawienia zakładu na dane zawody. Określanie prawdopodobieństw to cała nauka wymagająca dokładnych badań i zrozumienia.

Współczynnik prawdopodobieństwa w teorii prawdopodobieństwa

W zakładach sportowych istnieje kilka możliwości wyniku zawodów:

• zwycięstwo pierwszej drużyny;
• zwycięstwo drugiej drużyny;
• rysować;
• całkowity

Każdy wynik konkursu ma swoje własne prawdopodobieństwo i częstotliwość występowania tego zdarzenia, pod warunkiem zachowania początkowych cech. Jak powiedzieliśmy wcześniej, niemożliwe jest dokładne obliczenie prawdopodobieństwa jakiegokolwiek zdarzenia - może się ono pokrywać lub nie. Zatem Twój zakład może albo wygrać, albo przegrać.

Nie można przewidzieć w 100% dokładnego wyniku zawodów, ponieważ na wynik meczu wpływa wiele czynników. Naturalnie bukmacherzy nie znają z góry wyniku meczu i jedynie zakładają wynik, podejmując decyzję na podstawie swojego systemu analiz i oferty określone współczynniki na zakłady.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia?

Załóżmy, że kursy bukmachera wynoszą 2,1/2 – otrzymamy 50%. Okazuje się, że współczynnik 2 jest równy prawdopodobieństwu 50%. Stosując tę ​​samą zasadę, można uzyskać współczynnik prawdopodobieństwa progu rentowności - 1/prawdopodobieństwo.

Wielu graczy uważa, że ​​po kilku powtarzających się porażkach na pewno dojdzie do zwycięstwa – jest to błędna opinia. Prawdopodobieństwo wygranej zakładu nie zależy od liczby przegranych. Nawet jeśli w grze na monety rzucisz kilka orłów z rzędu, prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki pozostaje takie samo – 50%.

Czy nam się to podoba, czy nie, nasze życie jest pełne wszelkiego rodzaju wypadków, zarówno przyjemnych, jak i mniej przyjemnych. Dlatego nie zaszkodzi każdemu z nas wiedzieć, jak znaleźć prawdopodobieństwo konkretnego zdarzenia. Pomoże Ci to w podjęciu właściwych decyzji w każdych okolicznościach, które wiążą się z niepewnością. Na przykład taka wiedza będzie bardzo przydatna przy wyborze opcji inwestycyjnych, ocenie możliwości wygrania akcji lub loterii, określeniu realności osiągnięcia osobistych celów itp. itp.

Wzór teorii prawdopodobieństwa

W zasadzie przestudiowanie tego tematu nie zajmuje zbyt dużo czasu. Aby uzyskać odpowiedź na pytanie: „Jak znaleźć prawdopodobieństwo zjawiska?”, musisz zrozumieć kluczowe idee i pamiętaj o podstawowych zasadach, na których opierają się obliczenia. Zatem według statystyk badane zdarzenia są oznaczone przez A1, A2,..., An. Każdy z nich ma zarówno korzystne wyniki (m), jak i całkowitą liczbę elementarnych wyników. Interesuje nas na przykład, jak znaleźć prawdopodobieństwo, że na górnej stronie sześcianu będzie parzysta liczba punktów. Wtedy A to rzut m - wyrzucenie 2, 4 lub 6 punktów (trzy korzystne opcje), a n to wszystkie sześć możliwych opcji.

Sam wzór obliczeniowy jest następujący:

Przy jednym wyniku wszystko jest niezwykle łatwe. Ale jak znaleźć prawdopodobieństwo, jeśli zdarzenia zachodzą jedno po drugim? Rozważmy następujący przykład: jedna karta jest pokazywana z talii kart (36 sztuk), następnie jest chowana z powrotem do talii, a po przetasowaniu wyciągana jest następna. Jak znaleźć prawdopodobieństwo, że przynajmniej w jednym przypadku została wylosowana dama pik? Istnieje następna zasada: jeśli wziąć pod uwagę złożone wydarzenie, które można podzielić na kilka niekompatybilnych prostych zdarzeń, można najpierw obliczyć wynik dla każdego z nich, a następnie dodać je do siebie. W naszym przypadku będzie to wyglądać następująco: 1/36 + 1/36 = 1/18. Ale co się stanie, gdy kilka wystąpi jednocześnie? Następnie mnożymy wyniki! Na przykład prawdopodobieństwo, że przy jednoczesnym rzucie dwiema monetami wypadną dwie reszki, będzie równe: ½ * ½ = 0,25.

Teraz weźmy jeszcze więcej złożony przykład. Załóżmy, że bierzemy udział w loterii książkowej, w której wygrywa dziesięć z trzydziestu losów. Musisz określić:

1. Prawdopodobieństwo, że obaj zostaną zwycięzcami.
2. Przynajmniej jeden z nich przyniesie nagrodę.
3. Obaj będą przegrani.

Rozważmy więc pierwszy przypadek. Można to podzielić na dwa zdarzenia: pierwszy los będzie szczęśliwy, a drugi również będzie szczęśliwy. Weźmy pod uwagę, że zdarzenia są zależne, ponieważ po każdym wyciągnięciu całkowita liczba opcji maleje. Otrzymujemy:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

W drugim przypadku musisz określić prawdopodobieństwo przegranej biletu i wziąć pod uwagę, że może to być pierwszy lub drugi: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

Wreszcie trzeci przypadek, gdy nie uda się wylosować ani jednej książki: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.