პოლიედონი, რომელსაც არ აქვს დიაგონალები. საცნობარო გეგმა-კომპენდიუმი მოსწავლეებისთვის მათემატიკაში თემაზე „შესავალი სტერეომეტრიაში“ (10 კლასი)

პოლიჰედრა

პოლიედონიარის სხეული, რომლის ზედაპირი შედგება ბრტყელი მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობისგან. პოლიედრონს ე.წ ამოზნექილი, თუ იგი დევს მის ზედაპირზე თითოეული პლანშეტური მრავალკუთხედის სიბრტყის ერთ მხარეს. საერთო ნაწილიასეთ სიბრტყეს და ამოზნექილი მრავალკუთხედის ზედაპირი ეწოდება ზღვარი.
ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს მარცხნივ არაამოზნექილ პოლიედრონს; ფიგურაში მარჯვნივ - ამოზნექილი.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის სახეები ბრტყელი ამოზნექილი მრავალკუთხედებია. სახეების გვერდები ე.წ პოლიედრონის კიდეებიდა სახეების წვეროები - პოლიედრონის წვეროები.

პრიზმა

პრიზმამრავალკუთხედი ეწოდება, რომელიც შედგება ორი ბრტყელი მრავალკუთხედისაგან, რომლებიც დევს სხვადასხვა სიბრტყეში და გაერთიანებულია პარალელური გადაცემით და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ მრავალკუთხედების შესაბამის წერტილებს (იხ. სურათი). მრავალკუთხედები ეწოდება პრიზმის საფუძვლებიდა შესაბამისი წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტები - პრიზმის გვერდითი კიდეები.

აღნიშვნები: .
გვერდითი ზედაპირიპრიზმა შედგება პარალელოგრამებისგან. თითოეულ მათგანს აქვს ორი მხარე, რომლებიც ბაზის შესაბამისი მხარეა, ხოლო დანარჩენი ორი არის მიმდებარე გვერდითი ნეკნები. პრიზმის ფუძეები ტოლია და პარალელურ სიბრტყეზეა. პრიზმის გვერდითი კიდეები პარალელური და თანაბარია. პრიზმის სიმაღლეუწოდა მანძილი მისი ფუძეების სიბრტყეებს შორის.
სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს პრიზმის ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს, ეწოდება პრიზმის დიაგონალი. (სურათზე - სიმაღლე და - დიაგონალები.)
დიაგონალური სექციები- ეს არის პრიზმის მონაკვეთები თვითმფრინავებით, რომლებიც გადიან ორ გვერდით კიდეებს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს (იხ. ნახატები).

პრიზმა ე.წ სწორითუ მისი გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში პრიზმას ეძახიან ირიბი.
სწორი პრიზმის გვერდითი სახეები არის მართკუთხედები, სწორი პრიზმის სიმაღლე ტოლია გვერდითი კიდეს, დიაგონალური მონაკვეთები მართკუთხედია.
გვერდითი ზედაპირიპრიზმა ეწოდება გვერდითი სახეების ფართობების ჯამს. პრიზმის სრული ზედაპირიგვერდითი ზედაპირისა და ფუძეების ფართობების ჯამის ტოლია.
თეორემა 1. სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძისა და სიმაღლის პერიმეტრის ნამრავლს, ანუ გვერდითი კიდის სიგრძეს.
პრიზმის პერპენდიკულარული მონაკვეთიმონაკვეთს დავარქმევთ პრიზმის გვერდითა კიდეზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეს (რაც ნიშნავს, რომ ეს სიბრტყე პერპენდიკულარულია პრიზმის ყველა გვერდითი კიდეზე).
თეორემა 2. დახრილი პრიზმის გვერდითი ზედაპირი პროდუქტის ტოლიაგვერდითი ნეკნის სიგრძე და პერპენდიკულარული მონაკვეთის პერიმეტრი.
ფიგურაში ნაჩვენებია პერპენდიკულარული მონაკვეთი.
სბ = ჰ ⋅ პმთავარი;
ს n = სბ + 2 სმთავარი
სბ = ლ ⋅ პტერ;
ს n = სბ + 2 სმთავარი

ცხადია, ეს თეორემა მართალია სწორი პრიზმის შემთხვევაშიც, რადგან მაშინ პერპენდიკულარული მონაკვეთი იქნება სიბრტყის მონაკვეთი პრიზმის ფუძეების სიბრტყეების პარალელურად.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ გარკვეული მრავალკუთხედი არის პრიზმის პერპენდიკულარული მონაკვეთი, მაშინ მისი შიდა კუთხეები არის დიედრული კუთხეების წრფივი კუთხეები შესაბამის გვერდებს შორის.
სწორი პრიზმის შემთხვევაში, გვერდითა სახეებს შორის დიედრული კუთხეების წრფივი კუთხეები უშუალოდ ფუძის კუთხეებია.
მაგალითი
ფიგურა გვიჩვენებს სწორ პრიზმას.

- ხაზოვანი კუთხე დიედრული კუთხეკიდეებს შორის და.
პრიზმა ე.წ სწორი, თუ:
იგი ეფუძნება რეგულარულ მრავალკუთხედს;
პრიზმა სწორია.

პარალელეპიპედი

პარალელეპიპედი არის პრიზმა, რომელიც დაფუძნებულია პარალელოგრამაზე.
პარალელეპიპედის ყველა სახე პარალელოგრამია.
პარალელეპიპედის სახეებს, რომლებსაც საერთო წვეროები არ აქვთ, ეწოდება საწინააღმდეგო.
თეორემა 1. პარალელეპიპედის საპირისპირო სახეები პარალელური და ტოლია.
პარალელეპიპედი რჩება პარალელეპიპედად ყველა შემთხვევაში, როცა მის რომელიმე სახეს მივიჩნევთ მის საფუძვლად (იხ. სურათი).
თეორემა 2. პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და გადაკვეთის წერტილი იყოფა შუაზე.
აქედან გამომდინარეობს, რომ პარალელეპიპედის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი მისი სიმეტრიის ცენტრია.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მარჯვენა პარალელეპიპედს აქვს ოთხი დიაგონალი, ერთმანეთის ტოლი წყვილებით.
სურათზე; .
ეს გამომდინარეობს obliques-ის თვისებებიდან, ვინაიდან - საბაზისო სიბრტყის პერპენდიკულარული დონე Ა Ბ Გ Დ.

თუ სწორი პარალელეპიპედის ორი დიაგონალი გამოდის მეზობელი წვეროები, მაშინ მათგან ყველაზე დიდი არის ის, რომელიც დაპროექტებულია ფუძის დიდ დიაგონალში, ანუ პარალელოგრამის ისეთ დიაგონალზე, რომელიც დევს ბლაგვი კუთხის საპირისპიროდ. ასე რომ, თუ ზემოთ მოცემულ ფიგურაში განვიხილავთ კუთხეს ABCსულელი, მიიღე .
მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის ფუძე არის მართკუთხედი, ეწოდება მართკუთხა პარალელეპიპედი(იხილეთ სურათი).

კუბოიდის ყველა სახე არის მართკუთხედი, რომელიც შეიძლება დაიყოს სამ თანაბარ წყვილად. მართკუთხა პარალელეპიპედის თვითნებური სახე შეიძლება ჩაითვალოს მის ფუძედ. იმის გათვალისწინებით, რომ პარალელურად პროექციაში თვითნებური პარალელოგრამი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს თვითნებური პარალელოგრამით, მართკუთხა პარალელეპიპედის გამოსახულება არანაირად არ განსხვავდება რომელიმე მარჯვენა პარალელეპიპედის გამოსახულებისგან.
არაპარალელური კიდეების სიგრძეებს უწოდებენ ხაზოვანი ზომებიმართკუთხა პარალელეპიპედის (გაზომვები).
თეორემა 3. მართკუთხა პარალელეპიპედში ყველა დიაგონალი ტოლია. დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამს.
კუბოიდის ყველა ორმხრივი კუთხე მართკუთხაა.
მართკუთხა პარალელეპიპედს აქვს სამი წყვილი თანაბარი დიაგონალური მონაკვეთი. თითოეული ეს მონაკვეთი არის მართკუთხედი (იხ. ნახატები).

მონაკვეთების თითოეული წყვილი იკვეთება სწორი ხაზის გასწვრივ, რომელიც გადის საპირისპირო სახეების დიაგონალების გადაკვეთის წერტილებზე. ამ წერტილებს შორის სეგმენტები პარალელურია და ტოლია კუბოიდის ერთ-ერთ კიდეს.
მართკუთხა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალით, გვერდითი სახის დიაგონალით და ფუძის გვერდით (იხ. სურათი). Მაგალითად, .

მართკუთხა პარალელეპიპედს აქვს სიმეტრიის ცენტრი - ეს არის მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი.
მას ასევე აქვს სიმეტრიის სამი სიბრტყე, რომელიც გადის სიმეტრიის ცენტრში სახეების პარალელურად.
მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება კუბი.
კუბის ნებისმიერი დიაგონალური მონაკვეთის სიბრტყე არის მისი სიმეტრიის სიბრტყე. ამრიგად, კუბს აქვს სიმეტრიის ცხრა სიბრტყე.
ნახატზე განიხილეთ სწორი პარალელეპიპედის ზოგიერთი ელემენტის შედარებითი პოზიცია:

- კუთხე გვერდითი სახის დიაგონალსა და ფუძის სიბრტყეს შორის ( - პერპენდიკულარული, - დახრილი, CD- პროექტირება).
- კუთხე მარჯვენა პარალელეპიპედის დიაგონალსა და ფუძის სიბრტყეს შორის ( - პერპენდიკულური, - ირიბი, AU- პროექტირება).
- გვერდითი სახის დიაგონალის დახრილობის კუთხე ( ახ.წ- პერპენდიკულარული, - ირიბი, - პროექცია).
მოდით იყოს მართი პარალელეპიპედი (იხ. სურათი), სადაც Ა Ბ Გ Დ- რომბი. მის მონაკვეთს ვხატავთ სიბრტყით, რომელიც გადის ფუძის დიაგონალზე BDდა ზედა.

განყოფილებაში ვიღებთ ტოლფერდა სამკუთხედს.
- დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე ფუძესა და მონაკვეთის სიბრტყეს შორის. რომბის დიაგონალების თვისებით - პერპენდიკულური, - ირიბი, ᲘᲡᲔ- პროექტირება. სამი პერპენდიკულარულის თეორემის მიხედვით: .

პირამიდა

პირამიდამრავალედრონი ეწოდება, რომელიც შედგება ბრტყელი მრავალკუთხედისაგან - პირამიდის ფუძე, წერტილი, რომელიც არ დევს ფუძის სიბრტყეში - პირამიდის მწვერვალი, და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს პირამიდის ზედა წერტილებს. ბაზა. პირამიდის ზედა ნაწილის ფუძის მწვერვალებთან დამაკავშირებელი სეგმენტები ე.წ გვერდითი ნეკნები.
პირამიდის სიმაღლე- პირამიდის ზემოდან ძირის სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარი.
პირამიდა ე.წ ნ-ქვანახშირითუ მისი საფუძველია ნ-გონი. სამკუთხა პირამიდასაც ეძახიან ტეტრაედონი. პირამიდის გვერდითი სახე- სამკუთხედი. მისი ერთ-ერთი წვერო არის პირამიდის მწვერვალი, ხოლო მოპირდაპირე მხარე არის პირამიდის ფუძის მხარე.
სურათზე ᲘᲡᲔარის პირამიდის სიმაღლე. მერე - კუთხე გვერდითა კიდესა და ფუძის სიბრტყეს შორის ( ᲘᲡᲔ- პერპენდიკულარული, SA- მიდრეკილი, OA- პროექტირება).

პირამიდის სიმაღლის ფუძიდან (ქულები და) დახაზეთ პერპენდიკულარული ფუძის მხარეს (მაგალითად, AE). ამ პერპენდიკულარულის ფუძე (წერტილი ფ) დააკავშირეთ პირამიდის მწვერვალთან (წერტილი ს). სამი პერპენდიკულარულის თეორემის მიხედვით: . ( ᲘᲡᲔ- პერპენდიკულარული, SP- მიდრეკილი, OF- პროექტირება, კონსტრუქციით.) ამიტომ, - გვერდითი სახის სიბრტყეს შორის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე ASEდა ბაზის თვითმფრინავი.
პირამიდის პრობლემების გადასაჭრელად ძალიან მნიშვნელოვანია იმის გარკვევა, თუ სად მდებარეობს მისი სიმაღლის საფუძველი.
1. თუ დაკმაყოფილებულია ქვემოთ ჩამოთვლილთაგან ერთი მაინც:
პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე თანაბარია;
ყველა გვერდითი ნეკნი მიდრეკილია საბაზისო სიბრტყისკენ იმავე კუთხით;
ყველა გვერდითი კიდე ქმნის ერთსა და იმავე კუთხეს პირამიდის სიმაღლით;
ყველა გვერდითი კიდე თანაბრად არის დაშორებული სიმაღლის ფუძისგან, მაშინ პირამიდის სიმაღლის საფუძველი არის წრის ცენტრი, რომელიც შემოიფარგლება პირამიდის ფუძის გარშემო.
გვერდითი ნეკნი ლ, სიმაღლე ჰდა რადიუსი რწრის ფუძის გარშემო შემოხაზული მართკუთხა სამკუთხედი:

ამ შემთხვევაში, გვერდითი ზედაპირი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით, სადაც ლ- გვერდითი კიდის სიგრძე, , ... - ბრტყელი კუთხეები ზედა.
2. თუ დაკმაყოფილებულია ქვემოთ ჩამოთვლილთაგან ერთი მაინც:
ყველა გვერდითი სახე მიდრეკილია საბაზისო სიბრტყისკენ იმავე კუთხით;
ყველა გვერდითი სახე აქვს იგივე სიმაღლე;
გვერდითი სახეების სიმაღლეები ქმნიან იმავე კუთხეებს პირამიდის სიმაღლესთან;
გვერდითი სახეები თანაბრად არის დაშორებული სიმაღლის ფუძისგან, შემდეგ სიმაღლის ფუძე დევს პირამიდის ძირში ჩაწერილი წრის ცენტრში.
სურათზე - მართკუთხა, - შემოხაზული წრის რადიუსი ABCDEF;

- პირამიდის სიმაღლე, SP- გვერდითი სახის სიმაღლე;
- დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე გვერდსა და ფუძის სიბრტყეს შორის;
ო- ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრი, ანუ ბისექტორების გადაკვეთის წერტილი ABCDEF.
Ამ შემთხვევაში .
3. თუ გვერდითი კიდე ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარულია, მაშინ ეს კიდე არის პირამიდის სიმაღლე (იხ. ნახატები).

Ამ შემთხვევაში და - გვერდითი ნეკნების დახრილობის კუთხეები სვდა სკშესაბამისად საბაზო სიბრტყეზე. არის ხაზოვანი კუთხეორმხრივი კუთხე გვერდებს შორის საკდა SBA.
4. თუ გვერდითი მხარე საბაზისო სიბრტყის პერპენდიკულარულია (იხ. ფიგურა), მაშინ პირამიდის სიმაღლე იქნება ამ სახის სიმაღლე (თეორემის მიხედვით „თუ ორი პერპენდიკულარული სიბრტყიდან ერთ-ერთში მდებარე სწორი ხაზი პერპენდიკულარულია. მათი გადაკვეთის ხაზი, მაშინ ის მეორე სიბრტყის პერპენდიკულარულია“ ).
5. თუ ორი გვერდითი სახე პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყეზე, მაშინ პირამიდის სიმაღლე მათი საერთო გვერდითი კიდეა.

დაშორებები პირამიდის სიმაღლის ფუძიდან

მანძილი პირამიდის სიმაღლის ფუძიდან გვერდითი კიდემდე არის წერტილიდან ჩამოშვებული პერპენდიკულური. ოამ ზღვარზე (იხ. სურათი). გთხოვთ გაითვალისწინოთ: , მაგრამ ფიგურაში არ უნდა იყოს სწორი: კუთხეები არ არის დაცული პარალელური დიზაინის დროს.
OF- მანძილი სიმაღლის ფუძიდან გვერდით კიდემდე SE;
ჩართულია- მანძილი სიმაღლის ფუძიდან გვერდით სახემდე ASB(იხილეთ ქვემოთ ამ მანძილის შესახებ მეტი.)

, სად არის კუთხე კიდეს შორის SEდა ბაზის თვითმფრინავი.

მანძილი სიმაღლის ფუძიდან გვერდით სახემდე

მოდით, მაშინ სამი პერპენდიკულარულის თეორემა. შესაბამისად, ABსიბრტყეზე პერპენდიკულარული ს.ო.კ.. აქედან გამომდინარე, თუ, მაშინ ჩართულიასიბრტყეზე პერპენდიკულარული ASB.
.
პირამიდა ე.წ სწორი, თუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი და მისი სიმაღლის ფუძე იგივეა, რაც მრავალკუთხედის ცენტრი. ღერძიჩვეულებრივ პირამიდას ეწოდება სწორი ხაზი, რომელიც შეიცავს მის სიმაღლეს. რეგულარული პირამიდის გვერდითი კიდეები ტოლია, გვერდითი სახეები ტოლია ტოლფერდა სამკუთხედები. პირამიდის ზემოდან გამოყვანილი გვერდითი სახის სიმაღლე ეწოდება აპოთემა. ეს არის გვერდითი სახის ბისექტორი და შუამავალი და არის ტოლფერდა სამკუთხედი.
თეორემა. რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძისა და აპოთემის პივპერიმეტრის ნამრავლს.
; ,
სადაც რ- ბაზის პერიმეტრი, ა- ბაზის მხარე ლ- აპოთემის სიგრძე.
რეგულარული სამკუთხა პირამიდა
ჩვეულებრივი სამკუთხა პირამიდის ძირში დევს ტოლგვერდა სამკუთხედიგამოსახულია თვითნებური სამკუთხედით (იხ. სურათი).

ცენტრი არის მისი ბისექტორების გადაკვეთის წერტილი, რომლებიც არის როგორც სიმაღლე, ასევე შუამავლები. მედიანები პარალელურ პროექციაში წარმოდგენილია მედიანებით. აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვაშენებთ ბაზის ორ მედიანას. მათი გადაკვეთის წერტილი არის პირამიდის სიმაღლის საფუძველი. ჩვენ გამოვსახავთ სიმაღლეს, შემდეგ კი პირამიდის ზედა ნაწილს ვაკავშირებთ ბაზის მწვერვალებთან. ჩვენ ვიღებთ გვერდითი ნეკნები.
ნახატზე: - გვერდითი ნეკნის დახრილობის კუთხე ფუძის სიბრტყეზე (იგივეა ყველა ნეკნისთვის); - გვერდითი სახის დახრილობის კუთხე ფუძის სიბრტყეზე (იგივეა ყველა სახისთვის).
იყოს .
შემდეგ; ; ;
; ; .
შესაბამისად,.
; .
ღერძული მონაკვეთის სიბრტყე ASDარის რეგულარული სამკუთხა პირამიდის სიმეტრიის სიბრტყე.
ეს სიბრტყე პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყისა და სახის სიბრტყის მიმართ BSC.
ასევე საინტერესოა, რომ პირამიდის გადაკვეთის კიდეები ( SAდა ძვ.წ, სბდა AC, სკდა AB) პერპენდიკულარულია. თუ, მაშინ ჩართულიაარის მანძილი სიმაღლის ფუძიდან არა მხოლოდ ანათემამდე, არამედ გვერდით სახემდე BSC.
.
რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა
რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ძირში დევს კვადრატი, რომელიც წარმოდგენილია თვითნებური პარალელოგრამით. მისი ცენტრი არის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. ეს წერტილი არის პირამიდის სიმაღლის საფუძველი.
მოედნის მხარე ა(იხილეთ სურათი).
შემდეგ;
;
;
;
.

შენიშვნა: , , ანუ.
პარალელური დიზაინი ინარჩუნებს პარალელიზმს.
; .
მანძილი სიმაღლიდან გვერდიდან სახემდე:
; .

რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა
რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის გულში არის რეგულარული ექვსკუთხედი (იხ. სურათი). მისი ცენტრი არის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. ეს წერტილი არის პირამიდის სიმაღლის საფუძველი.
შემდეგ;
დაუშვით ჩვეულებრივი ექვსკუთხედის გვერდი ა.
;
;

.
; .

შეკვეცილი პირამიდა
გაპარსული პირამიდაპოლიედრონს უწოდებენ, რომელიც დარჩება, თუ პირამიდა იგივე წვეროთი გამოეყოფა პირამიდას ფუძის პარალელურად.
თეორემა. სიბრტყე, რომელიც პარალელურია პირამიდის ფუძესთან და კვეთს მას, წყვეტს მსგავს პირამიდას.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: იმისათვის, რომ სწორად გამოსახოთ მოჭრილი პირამიდა, თქვენ უნდა დაიწყოთ ორიგინალური სრული პირამიდის გამოსახულებით (იხ. სურათი).

დამსხვრეული პირამიდის ფუძეები მსგავსი მრავალკუთხედებია. გვერდითი სახეები - ტრაპეცია. - ჩამოჭრილი პირამიდის სიმაღლე, გვერდითი სახის სიმაღლე - გვერდითი კიდის დახრილობის კუთხე ფუძის სიბრტყეზე (ნებისმიერი), - გვერდითი სახის დახრილობის კუთხე ქვედა ფუძის სიბრტყის მიმართ.
შეასწორეთ დამსხვრეული პირამიდა- ეს არის ჩამოჭრილი პირამიდა, რომელიც ამოღებულია ჩვეულებრივი პირამიდიდან.
მისი გვერდითი ნეკნები ტოლია და მიდრეკილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით. მისი გვერდითი სახეები ტოლგვერდა ტრაპეციის ტოლია და იმავე კუთხით დახრილია ქვედა ფუძის სიბრტყისკენ. პირამიდის გვერდითი სახეების სიმაღლეებს ე.წ აპთემები.
რეგულარული ჩამოსხმული პირამიდის გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძეების პერიმეტრისა და აპოთემის ჯამის ნახევრის ნამრავლს.
, სად პ n და პგ - შესაბამისი ფუძის პერიმეტრები, ლ- აპოთემა.
ფიგურებში ნაჩვენებია ფიგურები, რომელთა გათვალისწინებაც შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს შეკვეცილ პირამიდაზე ამოცანების გადაჭრისას.
;
.

;


- მართკუთხა ტრაპეცია.
- დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე.
- გვერდითი კიდის სიმაღლე.

იმ შემთხვევაში, როდესაც დამსხვრეული პირამიდა რეგულარულია, სეგმენტები ODდა არის შემოხაზული წრის რადიუსი და OFდა - ჩაწერილი წრის რადიუსი ქვედა და ზედა ფუძისთვის, შესაბამისად.

რეგულარული პოლიედრები

ამოზნექილი პოლიედონი ეწოდება უფლება, თუ მისი სახეები არის რეგულარული მრავალწახნაგები გვერდების ერთნაირი რაოდენობით, და იგივე რაოდენობის კიდეები ემთხვევა მრავალედნის თითოეულ წვეროზე.
არსებობს რეგულარული ამოზნექილი პოლიედრების ხუთი ტიპი: რეგულარული ტეტრაედონი, კუბი, რვააედონი, დოდეკაედრონი, იკოსაედონი.
1. წესიერ ტეტრაედრონს აქვს სახეები - რეგულარული სამკუთხედები; თითოეულ წვეროზე სამი კიდეა. ტეტრაედონი არის სამკუთხა პირამიდა, რომლის ყველა კიდე ტოლია.
2. კუბის ყველა სახე კვადრატია; თითოეულ წვეროზე სამი კიდეა. კუბი არის მართკუთხა პარალელეპიპედი თანაბარი კიდეებით.
3. რვაკუთხედის სახეები რეგულარული სამკუთხედებია. მის თითოეულ წვეროს ოთხი კიდე აქვს.
4. დოდეკაედრონში სახეები არის რეგულარული p "yatikutniks. სამი კიდე ემთხვევა მის თითოეულ წვეროზე.
5. იკოსაედრონის სახეები რეგულარული სამკუთხედებია. მის თითოეულ წვეროს აქვს ხუთი კიდე.
ფიგურებში ნაჩვენებია რეგულარული პოლიედრების მაგალითები სახელებით.

პოლიჰედრა არის უმარტივესი მყარი სხეულები სივრცეში, ისევე როგორც მრავალკუთხედები სიბრტყეში უმარტივესი ფიგურები. ჩვენ ყოველდღე ვხედავთ მრავალმხრივ ფორმებს: ასანთის ყუთს, წიგნს, ოთახს, მრავალსართულიანი შენობა(ჰორიზონტალური სახურავით) - მართკუთხა პარალელეპიპედები; რძის პარკები-ტეტრაჰედრები ან ასევე პარალელეპიპედები; სახიანი ფანქარი, თხილი იძლევა წარმოდგენას პრიზმებზე (თუმცა, პარალელეპიპედი ასევე ოთხკუთხა პრიზმაა). ბევრი არქიტექტურული ნაგებობებიან მათი დეტალები არის პირამიდები ან დამსხვრეული პირამიდები - ასეთი ფორმები აქვთ ცნობილ ეგვიპტურ პირამიდებს ან კრემლის კოშკებს. ბევრი მრავალწახნაგოვანი ფორმა, როგორიცაა „სახლი“ ნახ. 1 და " მრგვალი სახლი» ნახ. 2-ს განსაკუთრებული სახელები არ აქვს. წმინდა გეომეტრიული თვალსაზრისით პოლიედონი არის სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ბრტყელი მრავალკუთხედებით - სახეებით. სახეების გვერდებსა და წვეროებს უწოდებენ თვით პოლიედრონის კიდეებს და წვეროებს. სახეები ქმნიან ე.წ. განხილვიდან გამორიცხეთ ნახ. 3, რომლებსაც ჩვეულებრივ არ უწოდებენ პოლიედრებს, შემდეგი შეზღუდვები ჩვეულებრივ დაწესებულია მრავალსაფეხურიან ზედაპირზე:

1) თითოეული კიდე უნდა იყოს ორი და მხოლოდ ორი სახის საერთო მხარე, რომელსაც ეწოდება მიმდებარე;

2) ყოველი ორი სახე შეიძლება იყოს დაკავშირებული თანმიმდევრულად მიმდებარე სახეების ჯაჭვით;

3) თითოეული წვეროსთვის, ამ წვეროს მიმდებარე სახეების კუთხეები უნდა ზღუდავდეს რამდენიმე მრავალწახნაგოვან კუთხეს.

მრავალედრონს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის დევს მისი რომელიმე სახის სიბრტყის ერთ მხარეს. ეს პირობა ექვივალენტურია ყოველი დანარჩენი ორიდან: 1) სეგმენტი, რომელსაც ბოლოები აქვს პოლიედრონის ნებისმიერ ორ წერტილში, მთლიანად დევს პოლიედრონში, 2) პოლიედონი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც რამდენიმე ნახევარსივრცის კვეთა.

ნებისმიერი ამოზნექილი პოლიედრონისთვის მოქმედებს ეილერის ფორმულა (იხ. ტოპოლოგია), რომელიც ადგენს კავშირს B წვეროების რაოდენობას, კიდეებს P და G სახეებს შორის:

არაამოზნექილი პოლიედრებისთვის, ეს კავშირი, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ შეესაბამება სიმართლეს, მაგალითად, ნახ. 2; , , ამიტომაც . რიცხვს ეწოდება ეილერის მახასიათებელი პოლიედრონისთვის და შეიძლება იყოს ტოლი . ეილერის მახასიათებელი გვიჩვენებს, უხეშად რომ ვთქვათ, რამდენი "ნახვრეტი" აქვს პოლიედრონს. ხვრელების რაოდენობა (ან ).

უმარტივესი კლასიფიკაცია წვეროების რაოდენობით (კუთხეები, გვერდები) პოლიედრებისთვის არაეფექტურია. უმარტივესი პოლიედრები - ოთხწვერა ან ტეტრაჰედრები - ყოველთვის შემოიფარგლება ოთხი სამკუთხა სახეებით. მაგრამ უკვე პენტაედრონები შეიძლება იყოს მთლიანად განსხვავებული ტიპები, მაგალითად: ოთხკუთხა პირამიდა შემოიფარგლება ოთხი სამკუთხედით და ერთი ოთხკუთხედით (ნახ. 4, ა), ხოლო სამკუთხა პრიზმა შემოიფარგლება ორი სამკუთხედით და სამი ოთხკუთხედით (ნახ. 4, ბ). ხუთ წვეროიანი სტრუქტურების მაგალითებია ოთხკუთხა პირამიდა და სამკუთხა დიედონი (ნახ. 4c).

ჩვენს ირგვლივ მსოფლიოში ყველაზე გავრცელებულ პოლიედრებს, რა თქმა უნდა, განსაკუთრებული სახელები აქვთ. Ისე, - ქვანახშირის პირამიდააქვს -gon ფუძესთან და გვერდითი სამკუთხა სახეები, რომლებიც ემთხვევა სამკუთხედების საერთო წვეროზე (ნახ. 4a, სადაც ); -კუთხოვანი პრიზმა შემოიფარგლება ორი ტოლი, პარალელური და თანაბრად განლაგებული -გონებით - ფუძეებით - და პარალელოგრამებით - ფუძეების შესაბამისი გვერდების დამაკავშირებელი გვერდითი სახეებით (ნახ. 4,ბ, სადაც ).

პირამიდებსა და პრიზმებს შორის შუალედურ პოზიციას იკავებს დამსხვრეული პირამიდები, რომლებიც მიიღება პირამიდებიდან ფუძეების პარალელურად სიბრტყეებით პატარა პირამიდების მოწყვეტით (ნახ. 5). კრისტალების ბუნებრივ ფორმებს შორის არის დიედრები, ანუ ბიპირამიდები, რომლებიც შედგება ორი პირამიდისგან. საერთო საფუძველი(ნახ. 4c). არქიმედემ ასევე განიხილა - გონალური ანტიპრიზმები, რომლებიც შემოსაზღვრულია ორი პარალელური, მაგრამ ერთმანეთის მიმართ მობრუნებული - გონებით და აკავშირებს მათ, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 6, -სამკუთხედები (დიდი ანტიპრიზმით ჰგავს პიონერ ბარაბანს - სურ. 6).

მრავალკუთხედების მსგავსად, პოლიედრები ასევე კლასიფიცირდება მათი სიმეტრიის ხარისხის მიხედვით. პირამიდებს შორის განასხვავებენ სწორს: მათ აქვთ ძირში რეგულარული მრავალკუთხედი, ხოლო სიმაღლე - ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე დახატული პერპენდიკულარი - ვარდება პირამიდის ფუძის ცენტრში.

პარალელოგრამის ანალოგი არის პარალელეპიპედი; ისევე, როგორც პარალელოგრამს, პარალელეპიპედს აქვს სიმეტრიის ცენტრი, სადაც ოთხივე დიაგონალი (წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტები, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს) იკვეთება და ორად იკვეთება. ფუძეებზე მდებარე რეგულარულ პრიზმებს აქვთ რეგულარული მრავალკუთხედები განლაგებული ისე, რომ მათ ცენტრებში გამავალი ხაზი პერპენდიკულარული იყოს ფუძეების სიბრტყეზე. რეგულარული კუთხოვანი ანტიპრიზმის ფუძეები ასევე უნდა იყოს განლაგებული, მაგრამ მხოლოდ ერთი ფუძე უნდა იყოს შემობრუნებული კუთხით მეორესთან შედარებით. ყველა რეგულარულ პოლიედრს აქვს საკმაოდ ბევრი თვითდამთხვევა - ბრუნვა და სიმეტრია, რომელიც პოლიედრონს საკუთარ თავში გარდაქმნის. ყველა თვით-კომბინაციის მთლიანობა, განხილული და იდენტური, ქმნის პოლიედრონის სიმეტრიათა ე.წ. კრისტალოგრაფიაში სიმეტრიის ჯგუფების მიხედვით კლასიფიცირდება ერთკრისტალები, რომლებსაც, როგორც წესი, აქვთ მრავალწახნაგოვანი ფორმა.

ზემოთ განხილული პოლიედრების სიმეტრია და კანონზომიერება მთლად სრული არ არის - მათ შეიძლება ჰქონდეთ არათანაბარი სახეები, სხვადასხვა მრავალწახნაგოვანი კუთხეები. გამონაკლისს წარმოადგენს სამი პოლიჰედრა: რეგულარული ტეტრაედონი არის რეგულარული სამკუთხა პირამიდა თანაბარი კიდეებით, შემოსაზღვრული ოთხი რეგულარული სამკუთხედით (ნახ. 7, ა); კუბი, ანუ რეგულარული ჰექსაედონი, არის რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა თანაბარი კიდეებით, შეზღუდული ექვსი კვადრატით (ნახ. 7, ბ); და ბოლოს, რვაკუთხედი არის რეგულარული ოთხკუთხა დიედონი თანაბარი კიდეებით, შემოსაზღვრული რვა წესიერი სამკუთხედით (სურ. 7c); ოქტაედრონი ასევე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც რეგულარული სამკუთხა ანტიპრიზმი თანაბარი კიდეებით. თვითნებური რეგულარული პირამიდებისგან, პრიზმებისგან, დიედრებისგან და ანტიპრიზმებისგან განსხვავებით, ტეტრაედონი, კუბი, რვაედრონი ისეთია, რომ მათი ნებისმიერი ორი სახე (და ნებისმიერი ორი მრავალწახნაგოვანი კუთხე) შეიძლება გაერთიანდეს მთელი პოლიედრონის გარკვეული თვითკომბინაციის გამოყენებით. გარდა ამისა, მათი მრავალწახნაგოვანი კუთხეები რეგულარულია, ე.ი. აქვს თანაბარი სიბრტყე და თანაბარი ორმხრივი კუთხეები.

სიბრტყეზე რეგულარული მრავალკუთხედების მსგავსად, ასევე შეიძლება განვსაზღვროთ რეგულარული მრავალწახნაგები "ზოგადად": ეს არის ამოზნექილი მრავალკუთხედები, რომლებიც შემოსაზღვრულია თანაბარი რეგულარული მრავალკუთხედებით და აქვთ თანაბარი რეგულარული მრავალკუთხედი. გამოდის, რომ გარდა ზემოთ ნახსენები რეგულარული მრავალწახნაგების სამი ტიპისა - რეგულარული ტეტრაედრის, კუბის და ოქტაედრისა - არსებობს კიდევ ორი ​​სახის რეგულარული პოლიედრები: დოდეკედრონი (დოდეკედრონი) და იკოსაედონი (ოცი ცალმხრივი). შემოიფარგლება შესაბამისად 12 რეგულარული ხუთკუთხედით და 20 რეგულარული სამკუთხედით - ნახ. 8, ა, ბ. ეს ორი მრავალწახნაგოვანი ურთიერთდაკავშირებულია ისევე, როგორც კუბი და ტეტრაედონი (იხ. კუბი): დოდეკაედრონის სახეების ცენტრები არის იკოსაედრის წვეროები - ნახ. 9 და პირიქით.

გასაკვირია მხოლოდ ხუთი მართლაც რეგულარული პოლიჰედრის არსებობის ფაქტი - ბოლოს და ბოლოს, თვითმფრინავზე უსასრულოდ ბევრი რეგულარული მრავალკუთხედია.

ყველა რეგულარული პოლიჰედრა ცნობილი იყო ადრე Უძველესი საბერძნეთი, და მათ ეძღვნება ევკლიდეს ცნობილი „დასაწყისების“ ბოლო, XIII წიგნი. ამ პოლიედრებს ხშირად პლატონურ მყარებსაც უწოდებენ - დიდი ძველი ბერძენი მოაზროვნის პლატონის მიერ წარმოდგენილ სამყაროს იდეალისტურ სურათში ოთხი მათგანი განასახიერებდა ოთხ ელემენტს: ტეტრაედონი - ცეცხლი, კუბი - დედამიწა, იკოსაედონი - წყალი და ოქტაედრონი - ჰაერი; მეხუთე პოლიედონი, დოდეკაედონი, სიმბოლურად განასახიერებდა მთელ სამყაროს - მათ დაიწყეს მისი დარქმევა ლათინურად qunta essentia ("მეხუთე არსი"). როგორც ჩანს, ძნელი არ იყო სწორი ტეტრაედრის, კუბის, ოქტაედრის გამომუშავება, მით უმეტეს, რომ ამ ფორმებს აქვთ ბუნებრივი კრისტალები, მაგალითად: კუბი არის ნატრიუმის ქლორიდის მონოკრისტალი (NaCl), რვაედრონი არის კალიუმის ალუმის ერთი კრისტალი. . არსებობს ვარაუდი, რომ ძველმა ბერძნებმა დოდეკედრის ფორმა მიიღეს პირიტის კრისტალების (გოგირდოვანი პირიტი FeS) გათვალისწინებით. დოდეკაედონის ქონა, იკოსაედრონის აგება არ არის რთული: როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მისი წვეროები იქნება დოდეკაედონის თორმეტი სახის ცენტრი - ნახ. ცხრა.

„ჩემს სახელს ცილისწამება მოახდენს, ბევრ სისასტიკეს მომიწერენ. მსოფლიო სიონიზმი მთელი ძალით შეეცდება გაანადგუროს ჩვენი კავშირი, რათა რუსეთი ვეღარასოდეს აღდგეს. ბრძოლის სათავე მიზნად ისახავს საზღვრისპირა რეგიონების რუსეთისგან გამოყოფას. ნაციონალიზმი თავს ასწევს განსაკუთრებული ძალით. ბევრი პიგმე ლიდერი გამოჩნდება, მოღალატეები თავიანთ ერებში ... "

”სტალინი არის ცენტრი, გული ყველაფრისა, რაც მოსკოვიდან გამოდის მთელ მსოფლიოში.”

ფრანგი მწერალი ა.ბარბიუსი

65 წლის წინ, 1953 წლის 5 მარტს გარდაიცვალა დიდი სახალხო ლიდერი იოსებ სტალინი. ადამიანი, რომელმაც შეძლო რუსეთის იმპერიის აღორძინება საბჭოთა კავშირის სახით, რომელმაც მოიგო მეორე მსოფლიო ომი, რომელმაც შექმნა ძლიერი შეიარაღებული ძალები, ბირთვული ფარი ჩვენი სამშობლოსთვის, საუკეთესო მეცნიერება და განათლება მსოფლიოში.

1991-1993 წლებში შექმნილ „დემოკრატიულ რუსეთში“ გამოაცხადეს მანიაკად და სისხლიან დიქტატორად. რატომ სძულს სტალინს სხვადასხვა დასავლელები, ლიბერალები და პატარა ქალაქების ნაციონალისტები? პასუხი მარტივია. სტალინი იყო ნამდვილი სახალხო ლიდერი, რომელმაც მთელი ცხოვრება მიუძღვნა რუსული ცივილიზაციისა და რუსი ხალხის გლობალური და ეროვნული პრობლემების მოგვარებას. მან აიძულა ხელისუფლება და კომუნისტური პარტია, თავის დაზოგვის გარეშე ემსახურათ სამშობლოს. გარდაცვალების შემდეგ მან არ დატოვა არც სიმდიდრე, არც ანგარიშები უცხოურ ბანკებში, არც სასახლეები და ვილები, არც მოპარული მილიარდები და ოქრო. საბჭოთა ზესახელმწიფო მისი საგანძური გახდა.

რაც მთავარია, სტალინმა აჩვენა მომავლის მთავარი გზა დიდი რუსეთი(სსრკ) და მთელი კაცობრიობა - "ოქროს ხანის" საზოგადოება, სოციალური სამართლიანობის, სამსახურისა და შემოქმედების საზოგადოება. საზოგადოება, სადაც დომინირებს სინდისის ეთიკა და ადამიანი არის შემოქმედი, შემოქმედი, ემსახურება სამშობლოს და ხალხს. სტალინმა აჩვენა ალტერნატიული გზა მთელი კაცობრიობის განვითარებისთვის. დასავლური პროექტისა და ცივილიზაციის ოსტატები აშენებენ უსამართლო მსოფლიო წესრიგს - გლობალურ მონურ, მონათმფლობელურ, კასტურ ცივილიზაციას, სადაც არის ერთი მუჭა "სიცოცხლისა და ფულის ოსტატები", "რჩეულები", რომლებსაც ყველაფრის უფლება აქვთ და რომლებსაც აქვთ წვდომა ნამდვილ ცოდნაზე, მეცნიერების, ტექნოლოგიების, მედიცინის ყველაზე მოწინავე მიღწევებზე.

დანარჩენი ხალხი კი სიღარიბის სიბნელეშია ჩაძირული, არ აქვს წვდომა ნორმალურ განათლებაზე და ჯანდაცვაზე, გამუდმებით არის ნასვამი სხვადასხვა ნარკოტიკებით: თამბაქო, ალკოჰოლი, მძიმე ინტოქსიკაციები, საკვების სუროგატები, საინფორმაციო-ვირტუალური ილუზიები და ა.შ. მათი სიცოცხლის ხანგრძლივობა. განზრახ მცირდება, სულიერება, ინტელექტი და ფიზიკური მდგომარეობა დათრგუნულია, ეშვება ორფეხა იარაღების, პირუტყვის დონეზე.

ამასთან, დასავლური „ელიტები“ მუდმივად ამუშავებენ და ახორციელებენ გეგმებს ადამიანის „ბიომასის“ შესამცირებლად. რომ მეტი რესურსი დარჩეს „არჩეული“, რათა შეგეძლოს სუფთა პლანეტის შექმნა, ორფეხა „ვირუსების“ გარეშე, რომლებიც კლავენ დედამიწას.

ეს არის უსარგებლო საკვები და ადამიანების ნარკოტიკების მოხმარება, ნორმალური იმუნიტეტის ჩახშობისა და ფიზიკური და ფიზიკური პროგრამების ნორმალური არარსებობით. სულიერი განვითარებახალხის. ეს არის სტრესული საზოგადოების შექმნა, სადაც ადამიანები ციყვებივით ტრიალებენ ბორბალში, მოიპოვებენ რესურსებს "ნორმალური" ცხოვრებისთვის, მაგრამ სინამდვილეში ისინი ანგრევენ გონებრივ და გონებრივ მდგომარეობას. ფიზიკური ჯანმრთელობა, დაჯექი სტიმულატორებზე და დოპი, რომ დროებით დაივიწყო. ეს არის ასევე სამომხმარებლო საზოგადოება, რომელიც ანადგურებს როგორც პლანეტას, ასევე მის ბიოსფეროს და თავად პიროვნებას, როგორც საერთო ცხოვრების სისტემის ნაწილს. ადამიანი იქცევა სამომხმარებლო ცხოველად, მთლიანად დამოკიდებული "ცხოვრების ოსტატებზე". ეს არის ასევე კაცობრიობის გამრავლების განადგურებისკენ მიმართული სისტემა - აბორტების პროპაგანდა, კონტრაცეპტივები, უშვილობის იდეები, ჰომოსექსუალური "ქორწინებები", სხვადასხვა გარყვნილები (გარყვნილები არ აჩენენ ბავშვებს), ვირტუალური სექსი, სექს-რობოტები შემდეგია. და ა.შ.

სტალინის დროს სსრკ-ში დაიწყო სამართლიანი სახელმწიფოსა და საზოგადოების შენება, სამსახურისა და შემოქმედების საზოგადოება, საზოგადოება, რომელსაც აქვს სინდისის ეთიკის დომინირება. აქედან მოდის ხალხის ყველაზე ძლიერი სულიერი იმპულსი, რამაც შესაძლებელი გახადა არა მხოლოდ ზესახელმწიფოს შექმნა, კაცობრიობის ისტორიაში ყველაზე საშინელი ომის მოგება, არამედ ყველაზე მძიმე მსოფლიო ხოცვა-ჟლეტის ყველა შედეგის აღმოფხვრა, შექმნა. სოციალისტური ბანაკი, რამაც შესაძლებელი გახადა წინააღმდეგობის გაწევა დასავლური სამყარომის კოლონიებსა და ნახევრად კოლონიებზე დაყრდნობით. პოპულარულმა მხარდაჭერამ შესაძლებელი გახადა დამოუკიდებელის აშენება ეროვნული ეკონომიკარომ მოგაწოდეთ ყველაფერი რაც გჭირდებათ საბჭოთა ხალხიდა კიდევ მხარი დაუჭირეთ მოკავშირეებს, შექმენით საუკეთესო შეიარაღებული ძალები მსოფლიოში, აღმოფხვრა ახალი ღია ფართომასშტაბიანი თავდასხმის საფრთხე სსრკ-რუსეთზე რამდენიმე თაობის განმავლობაში (რუსეთის მაცხოვრებლების უმეტესობა მსოფლიოში მხოლოდ ამ ფონდის წყალობით ცხოვრობს) შექმენით მსოფლიოში საუკეთესო მეცნიერება, განათლება, სისტემა, რომელიც ავლენს ბავშვებისა და ახალგაზრდების შემოქმედებით, შემოქმედებით პოტენციალს და სხვა მრავალი.

ჯოზეფ ვისარიონოვიჩის ცხოვრების განმავლობაში უბრალო ხალხი მას კერპად აქცევდა. მასზე მღეროდნენ სიმღერები, დაუდგეს ძეგლები, დაარქვეს ქალაქები და ქალაქები. მსხვილი საწარმოები. სტალინმა და მისმა მთავრობამ მიიღო დანგრეული და განადგურებული რუსეთი, რომელმაც 1917 წელს ყოფილი განვითარების პროექტის კატასტროფა განიცადა. ბოლშევიკებს (რუს კომუნისტებს), პოპულარული რწმენის საწინააღმდეგოდ, პრაქტიკულად არაფერი ჰქონდათ საერთო ამ კატასტროფასთან, მათ უბრალოდ აიღეს ძალაუფლება გარდაცვლილში. ძველი რუსეთი". ხალხს შესთავაზა ახალი პროექტი- საბჭოთა ცივილიზაცია, რომელიც შედიოდა ხალხის აბსოლუტური უმრავლესობის ინტერესებში. მოახერხა საბჭოთა ზესახელმწიფოს შექმნა - დაბრუნდა ყველაზეარეულობის წლებში დაკარგული მიწებიდან დაამარცხა იაპონია და გერმანია, რომლებიც დაკარგეს სამეფო რუსეთი. საბჭოთა კავშირითავის გავლენის სფეროში შედის პლანეტის ნახევარი, ჩინეთის ჩათვლით. სტალინის მმართველობის წლებში აღდგა ეროვნული ეკონომიკა, რომელიც უფრო ეფექტური გახდა, ვიდრე კაპიტალისტური სამყაროს ლიდერების ქვეყნებში, მათ შექმნეს მოწინავე ინდუსტრიები, რომლებიც მხოლოდ ყველაზე მოწინავე ძალებს ჰქონდათ - თვითმფრინავების მშენებლობა, გემთმშენებლობა, მანქანათმშენებლობა, მანქანათმშენებლობა. ხელსაწყოების მშენებლობა, ქიმიური მრეწველობა, სამხედრო-სამრეწველო კომპლექსი, სარაკეტო მეცნიერება. მათ შექმნეს ბირთვული იარაღი და შექმნეს კოსმოსური ინდუსტრიის საფუძველი. უმუშევრობა აღმოიფხვრა, განათლება და ჯანდაცვა გახდა უფასო და საჯაროდ ხელმისაწვდომი. ბავშვები ღარიბებისგან გლეხის ოჯახები, რომლებსაც კაპიტალიზმში შანსი არ ჰქონდათ, გახდნენ პროფესორები და მარშლები, ტუზები პილოტები და მინისტრები სოციალიზმში.

სტალინის ხელმძღვანელობით მოიგო მეორე მსოფლიო ომი, როდესაც დასავლეთის ოსტატებმა ევროპაში ძალაუფლების აღების უფლება მისცეს. გერმანელი ნაცისტებიჰიტლერის ხელმძღვანელობით. დასავლეთის ოსტატებს საბჭოთა პროექტის ეშინოდათ. რუსეთი ხდებოდა ახალი სამართლიანი მსოფლიო წესრიგის ალტერნატიული ცენტრი. კაცობრიობის დიდი ნაწილის თანაგრძნობა, საუკეთესო ხალხიმიწები საბჭოთა ცივილიზაციის „მზიანი“ მხარეზე იყო. შედეგად, ფაქტობრივად, შეიქმნა „ევროპული კავშირი“, რომლის სათავეშიც გერმანია იყო და მთელი მისი ძალა - სამხედრო-ტექნიკური, დემოგრაფიული და ეკონომიკური - გადაყარეს საბჭოთა ცივილიზაციის წინააღმდეგ, რომელიც დაუპირისპირდა დასავლეთის დომინირებას პლანეტაზე. თუმცა, რუსეთის (საბჭოთა) არმიამ დაამარცხა ძლიერი და სასტიკი მტერი. აღმოსავლური და ნაწილი ცენტრალური ევროპა, მათ შორის აღმოსავლეთ გერმანიამოსკოვის გავლენის სფეროში შევიდა. საბჭოთა კავშირმა დაამარცხა მილიტარისტული იაპონია, შური იძია სირცხვილისთვის რუსეთ-იაპონიის ომი 1904-1905 წწ და დაიბრუნა თავისი გავლენა Შორეული აღმოსავლეთი. ჩვენი დახმარებით კომუნისტებმა გაიმარჯვეს ჩინეთში და ციურმა იმპერიამ აღიარა სსრკ მის "დიდ ძმად".

სტალინი არ უცქერდა შეერთებული შტატების ატომური საფრთხის წინაშე, რომელმაც სისხლიანი "ტესტი" ჩაატარა. ბირთვული იარაღებიიაპონიაში. მოსკოვს ისეთი ძლიერი შეიარაღებული ძალები ჰყავდა, რომ შეერთებულმა შტატებმა და ინგლისმა და მათმა მოკავშირეებმა ვერ გაბედეს მეორე მსოფლიო ომის დასრულებისთანავე „ცხელი“ მესამეს დაწყება. მსოფლიო ომი(თუმცა იყო გეგმები). მალე მოსკოვმა შექმნა თავისი ატომური ბომბიდა სწრაფად ააშენა პირველი კლასის ბირთვული არსენალი. დასავლეთმა დაიწყო მესამე მსოფლიო ომი - საინფორმაციო-იდეოლოგიური, ეკონომიკური, სპეცსამსახურების ფარული ომი, ომი სხვა ქვეყნების ტერიტორიაზე (კორეის ომი და სხვ.).

ამიტომ ჩვენი დასავლეთის მტრები და რუსი ვესტერნისტები, რომლებმაც უღალატეთ სსრკ-ს და სოციალიზმის, სოციალური სამართლიანობის იდეალებს, სძულთ სტალინს. მათ შექმნეს შავი მითების მასა დიდი ეროვნული ლიდერის ცილისწამებისთვის. თუმცა, სიმართლე ატმოსფეროშიც კი პოულობს გზას სრული ტყუილი. ამიტომ, სტალინის იმიჯი ახლა კვლავ პოპულარულია რუს ხალხში. მისი მეფობის დროს ხალხს სჯეროდა სოციალური სამართლიანობის, ხალხის და ქვეყნის მომავლის. შეიქმნა მძლავრი ეკონომიკური, სამეცნიერო, ტექნიკური, საგანმანათლებლო, კულტურული და სამხედრო ფონდი, რომელმაც რუსეთს დღემდე გადარჩენის საშუალება მისცა.

კავშირის აშკარა მტერი და შეურიგებელი ანტიკომუნისტიც კი, ცნობილი ბრიტანეთის პრემიერ მინისტრი ვ. ჩერჩილი, 1959 წლის 21 დეკემბერს თემთა პალატაში გამოსვლისას, სტალინის 80 წლის იუბილეს დღეს, აღიარა მისი განსაკუთრებული როლი მსოფლიოში. : „ყველაზე მეტი ის იყო გამორჩეული პიროვნება, შთაბეჭდილება მოახდინა ჩვენს ცვალებადი და სასტიკ დროს იმ პერიოდის, რომელშიც გავიდა მისი ცხოვრება. სტალინი იყო არაჩვეულებრივი ენერგიითა და შეუპოვარი ნებისყოფის ადამიანი, მკვეთრი, სასტიკი, დაუნდობელი საუბარში, რომელსაც მე, აქ აღზრდილი ბრიტანეთის პარლამენტშიც კი ვერაფერს ვეწინააღმდეგებოდი. სტალინი პირველ რიგში ფლობდა დიდი გრძნობაიუმორი და სარკაზმი და აზრების ზუსტად აღქმის უნარი. ეს ძალა იმდენად დიდი იყო სტალინში, რომ იგი უნიკალური ჩანდა ყველა დროისა და ხალხის ლიდერებს შორის. სტალინმა ჩვენზე უდიდესი შთაბეჭდილება მოახდინა. მას ჰქონდა ღრმა, ყოველგვარი პანიკისგან დაცლილი, ლოგიკურად მნიშვნელოვანი სიბრძნე. Ის იყო სრულყოფილი ოსტატიიპოვნეთ გამოსავალი ყველაზე გამოუვალი სიტუაციიდან მოგზაურობის რთულ მომენტებში. გარდა ამისა, სტალინი ყველაზე მეტად კრიტიკული მომენტები, და ასევე ტრიუმფის მომენტებში იყო ერთნაირად თავშეკავებული და არასოდეს ემორჩილებოდა ილუზიებს.

გეომეტრიის აქამდე შესწავლილ ნაწილს პლანიმეტრია ჰქვია - ეს ნაწილი სიბრტყის თვისებებს ეხებოდა გეომეტრიული ფორმები, ანუ ფიგურები მთლიანად განლაგებულია გარკვეულ სიბრტყეში. მაგრამ ჩვენს ირგვლივ ობიექტების უმეტესობა არ არის ბრტყელი. ნებისმიერი რეალური ობიექტი იკავებს სივრცის გარკვეულ ნაწილს.

გეომეტრიის დარგს, რომელიც სწავლობს სივრცეში ფიგურების თვისებებს, ეწოდება სტერეომეტრია.

თუ გეომეტრიული სხეულების ზედაპირები შედგება მრავალკუთხედებისგან, მაშინ ასეთ სხეულებს უწოდებენ პოლიედრები.

მრავალკუთხედებს, რომლებიც ქმნიან მრავალკუთხედს, მის სახეებს უწოდებენ. ვარაუდობენ, რომ პოლიედრონის ორი მიმდებარე სახე არ არის ერთ სიბრტყეში.

სახეების გვერდებს კიდეები ეწოდება, კიდეების ბოლოები კი პოლიედრონის წვეროებია.

სეგმენტს, რომელიც აკავშირებს ორ წვეროს, რომლებიც არ განეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს, პოლიედრონის დიაგონალი ეწოდება.

პოლიედრები ან ამოზნექილია ან არაამოზნექილი.

ამოზნექილი პოლიედონი ხასიათდება იმით, რომ იგი მდებარეობს მისი თითოეული სახის სიბრტყის ერთ მხარეს. ნახატზე ამოზნექილი პოლიედონი არის რვაედრონი. ოქტაედრონს რვა სახე აქვს, ყველა სახე რეგულარული სამკუთხედია.

ნახატზე ნაჩვენებია არაამოზნექილი (ჩაზნექილი) მრავალკუთხედი. თუ გავითვალისწინებთ, მაგალითად, სამკუთხედის \(EDC\) სიბრტყეს, მაშინ, ცხადია, მრავალკუთხედის ნაწილი არის ერთ მხარეს, ნაწილი კი ამ სიბრტყის მეორე მხარეს.

შემდგომი განმარტებებისთვის წარმოგიდგენთ პარალელური სიბრტყეების და პარალელური წრფეების ცნებას სივრცეში და წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობას.

ამბობენ, რომ ორი სიბრტყე პარალელურია, თუ მათ საერთო წერტილები არ აქვთ.

სივრცეში ორ წრფეს პარალელურს უწოდებენ, თუ ისინი დევს ერთ სიბრტყეში და არ იკვეთება.

სწორი ხაზი ე.წ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულითუ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის რომელიმე წრფეზე.

პრიზმა

ახლა ჩვენ შეგვიძლია შემოგთავაზოთ პრიზმის განმარტება.

\(n\)-გონალური პრიზმა ეწოდება პოლიედრონს, რომელიც შედგება ორი ტოლი \(n\)-გან. კვადრატები,პარალელურ სიბრტყეებში დევს და \(n\)-პარალელოგრამები, რომლებიც წარმოიქმნება \(n\)-გონების წვეროების პარალელური წრფეების სეგმენტებით შეერთებით.

ტოლი \(n\)-გონები ეწოდება პრიზმის ფუძეებს.

მრავალკუთხედების გვერდები ეწოდება ბაზის კიდეები.

პარალელოგრამები ეწოდება გვერდითი სახეებიპრიზმები.

პარალელური ხაზები ეწოდება გვერდითი ნეკნებიპრიზმები.

პრიზები სწორი და ირიბია.

თუ სწორი პრიზმის ფუძეები რეგულარული მრავალკუთხედებია, მაშინ ასეთ პრიზმას რეგულარული ეწოდება.

სწორი პრიზმებისთვის, ყველა გვერდითი სახე მართკუთხედია. სწორი პრიზმის გვერდითი კიდეები პერპენდიკულარულია მისი ფუძეების სიბრტყეებზე.

თუ ერთი ფუძის რომელიმე წერტილიდან დავხატოთ პერპენდიკულარი პრიზმის მეორე ფუძეზე, მაშინ ამ პერპენდიკულურას პრიზმის სიმაღლე ეწოდება.

ნახატზე დახრილი ოთხკუთხა პრიზმა, რომელშიც დახატულია B 1 E სიმაღლე.

სწორ პრიზმაში თითოეული გვერდითი კიდე არის პრიზმის სიმაღლე.

ნახატზე ნაჩვენებია მართკუთხა სამკუთხა პრიზმა. ყველა გვერდითი სახე მართკუთხედია, ნებისმიერ გვერდით კიდეს შეიძლება ეწოდოს პრიზმის სიმაღლე. სამკუთხა პრიზმას არ აქვს დიაგონალები, რადგან ყველა წვერო დაკავშირებულია კიდეებით.

ფიგურაში ნაჩვენებია რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა. პრიზმის ფუძეები კვადრატებია. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ყველა დიაგონალი ტოლია, იკვეთება ერთ წერტილში და ორად იკვეთება ამ წერტილში.

ოთხკუთხა პრიზმას, რომლის ფუძეები პარალელოგრამებია, ეწოდება პარალელეპიპედი.

ზემოთ მოყვანილი რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმაც შეიძლება ეწოდოს სწორი პარალელეპიპედი.

თუ მარჯვენა პარალელეპიპედის ფუძეები მართკუთხედია, მაშინ ეს პარალელეპიპედი არის მართკუთხა.

ნახატზე ნაჩვენებია მართკუთხა პარალელეპიპედი. სამი კიდის სიგრძეს საერთო წვერით ეწოდება კუბოიდის ზომები.

მაგალითად, AB, AD და A A 1 შეიძლება ეწოდოს ზომები.

ვინაიდან სამკუთხედები ABC და AC C 1 მართკუთხაა, ამიტომ, მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალის სიგრძის კვადრატი უდრის მისი გაზომვების კვადრატების ჯამს:

A C 1 2 = AB 2 + AD 2 + A A 1 2

თუ მონაკვეთი დახაზულია ფუძის შესაბამისი დიაგონალების მეშვეობით, მაშინ მას ეძახიან დიაგონალური განყოფილებაპრიზმები.

სწორ პრიზმებში დიაგონალური მონაკვეთები მართკუთხედია. თანაბარი დიაგონალური მონაკვეთები გადის თანაბარ დიაგონალებზე.

ნახატზე ნაჩვენებია რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმა, რომელშიც შედგენილია ორი განსხვავებული დიაგონალური მონაკვეთი, რომლებიც გადიან სხვადასხვა სიგრძის დიაგონალებს.

პირდაპირი პრიზმების გამოთვლების ძირითადი ფორმულები

1. გვერდითი ზედაპირი S მხარე. = P მთავარი. ⋅ H , სადაც \(H\) არის პრიზმის სიმაღლე. დახრილი პრიზმებისთვის, თითოეული გვერდითი სახის ფართობი განისაზღვრება ცალკე.

2. სრული ზედაპირი S დასრულებულია. = 2 ⋅ S მთავარი. + S მხარე. . ეს ფორმულა მოქმედებს ყველა პრიზმისთვის და არა მხოლოდ სწორი ხაზებისთვის.

3. მოცულობა V = S მთავარი. ⋅სთ. ეს ფორმულა მოქმედებს ყველა პრიზმისთვის და არა მხოლოდ სწორი ხაზებისთვის.

პირამიდა

\(n\) - ქვანახშირის პირამიდა- მრავალკუთხედი, რომელიც შედგება \(n\)-გონებისგან ფუძეზე და \(n\)-სამკუთხედებისგან, რომლებიც წარმოიქმნება პირამიდის ზედა წერტილის ფუძის მრავალკუთხედის ყველა წვეროსთან შეერთებით.

\(n\)-გონს ეწოდება პირამიდის ფუძე.

სამკუთხედები არის პირამიდის გვერდითი სახეები.

სამკუთხედების საერთო წვერო არის პირამიდის წვერო.

ზემოდან გამომავალი კიდეები არის პირამიდის გვერდითი კიდეები.

პერპენდიკულარს პირამიდის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე ეწოდება პირამიდის სიმაღლე.

ძირითადი გეგმა-რეზიუმე თემაზე:

"შესავალი სტერეომეტრიაში" მე-10 კლასი

Ძირითადი ცნებები: წერტილი, წრფე, სიბრტყე, პოლიედონი, პოლიედრონული სახე, საპირისპირო სახეები, მიმდებარე სახეები, გვერდითი სახეები, ფუძეები, პოლიედრონის კიდე, პოლიედრონის წვერო, საპირისპირო წვეროები, დიაგონალი, სრული ზედაპირი, ფართობი სრული ზედაპირი, ამოზნექილი პოლიტოპი, არაამოზნექილი პოლიტოპი

სამშენებლო ხელსაწყოები: მმართველი გაყოფის გარეშე, კომპასები, სახატავი კვადრატი.

სტერეომეტრია (ბერძნულიდან "სტერეოსიდან" - სივრცითი) - გეომეტრიის მონაკვეთი, რომელშიც შესწავლილია არა მხოლოდ ბრტყელი, არამედ სივრცითი გეომეტრიული ფორმების თვისებები.

ძირითადი ფიგურები (უმარტივესი ფიგურები) სტერეომეტრიაში არის წერტილები, ხაზები და სიბრტყეები.

აქსიომები (განცხადებები მიღებულია მტკიცებულების გარეშე)

1. სივრცეში უსასრულოდ ბევრი სიბრტყეა და თითოეულ მათგანზე სრულდება პლანიმეტრია, ანუ მოქმედებს პლანიმეტრიის აქსიომები და მათი შედეგები.

2. პლანიმეტრიაში შესწავლილი სამკუთხედების ტოლობისა და მსგავსების ნიშნები მოქმედებს აგრეთვე სხვადასხვა სიბრტყეში მდებარე სამკუთხედებზე..

ფიგურების დახატვის ძირითადი წესები

სეგმენტი ნაჩვენებია სეგმენტის სახით

სეგმენტის შუა ნაწილი წარმოდგენილია მისი გამოსახულების შუაში

წერტილი, რომელიც ყოფს სეგმენტს მიმართებითმ: ნწარმოდგენილია წერტილით, რომელიც ყოფს მის გამოსახულებას მიმართმ: ნ

პარალელური ხაზები (სეგმენტები) გამოსახულია როგორც პარალელური ხაზები (სეგმენტები). პარალელიზმი შენარჩუნებულია

თვითნებური სამკუთხედი შეიძლება იქნას მიღებული, როგორც ნებისმიერი სამკუთხედის გამოსახულება

პოლიედონი – გეომეტრიული სხეული, ესაზღვრება სასრული რაოდენობის პლანშეტური მრავალკუთხედი, რომელთაგან ნებისმიერი ორი მიმდებარე არ დევს ერთ სიბრტყეში. მრავალკუთხედები ეწოდებასახეები, მათი მხარეებია ნეკნები პოლიედონი და მათი წვეროებიამწვერვალებიმრავალწახნაგოვანი.

სრული ზედაპირი არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება პოლიედრონის ყველა სახისგან.

მთლიანი ზედაპირის ფართობი (სსრული) არის ყველა სახის ფართობის ჯამი.

გვერდითი ზედაპირის ფართობი (სმხარე) - გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი.

Ძირითადი ცნებები: კუბი, კუბოიდი, კუბოიდური, კუბოიდური, პრიზმა, კუბოიდური, რეგულარული n-გონალური პრიზმა, პირამიდა, რეგულარული პირამიდა, ტეტრაედონი

კუბიარის პოლიედრონთან ერთად ექვსისახეები, რომლებიც ტოლი კვადრატებია (ნახ. 1). კვადრატების გვერდები ე.წ ნეკნებიკუბა. კვადრატების წვეროები ეწოდება მწვერვალებიკუბა.
პარალელეპიპედი - ეს არის პოლიჰედრონი, რომელსაც აქვს ექვსი სახე და თითოეული მათგანი პარალელოგრამია (სურ. 2). Საწინააღმდეგო სახეები არის სახეები, რომლებსაც არ აქვთ საერთო ზღვარი. დაკავშირებულისახეები არის სახეები, რომლებსაც აქვთ საერთო ზღვარი. Საწინააღმდეგო წვეროები არის უჯრის ორი წვერო, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს. დიაგონალიარის მოპირდაპირე წვეროების დამაკავშირებელი სეგმენტი (ნახ. 3). მარჯვენა პარალელეპიპედი არის პარალელეპიპედი, რომლის გვერდითი სახეები მართკუთხედია. კუბოიდური - ეს არის პარალელეპიპედი, რომელშიც ყველა სახე მართკუთხედია (ნახ. 4).
პრიზმა ( ნ -ქვანახშირი)არის პოლიედონი, რომელშიც ორი სახე ტოლია n-გონებით, ხოლო დანარჩენი ნ სახეები პარალელოგრამებია (სურ. 5). ტოლი n-გონები ეწოდება საფუძველი და პარალელოგრამები გვერდითისახეები. სწორი პრიზმა - ეს ისეთი პრიზმაა, რომელშიც გვერდითი სახეები მართკუთხედია (სურ. 6). სწორი ნ - ნახშირბადის პრიზმა - ეს არის ისეთი პრიზმა, რომელშიც გვერდითი სახეები მართკუთხედია, ხოლო მისი ფუძეები რეგულარული n-გონები.
პირამიდა ( ნ -ქვანახშირი)- ეს არის პოლიედონი, რომელშიც ერთი სახე არის რაღაც n-გონი, ხოლო დარჩენილი n სახე არის სამკუთხედები საერთო წვერით (ნახ. 7). ბაზაპირამიდას n-gon ეწოდება. მხარესახეები არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო. ვერტექსიპირამიდა მათი საერთო მწვერვალია. ნეკნებიპირამიდა არის პირამიდის სახეების მხარეები. მხარეპირამიდის კიდეები არის კიდეები, რომლებიც ერთმანეთს ემთხვევა წვეროზე. სწორი პირამიდა - ეს არის ისეთი პირამიდა, რომლის ფუძე არის რეგულარული n-გონი და ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია. ტეტრაედონიარის სამკუთხა პირამიდა. რეგულარული ტეტრაედონი არის სამკუთხა პირამიდა, თუ მისი ყველა სახე რეგულარული სამკუთხედია.